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广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）海德学校2025-2026学年上学期11月期中考试九年级数学试题
1．福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1．云纹青铜大绕是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
2． 若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．如图，，，，，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表：
抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
“正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　）
A．0.52 B．0.55 C．0.58 D．0.63
5．如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比（约为），已知蝴蝶展开的双翅的长度是，则蝴蝶身体的长度约为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（　　）
A． B． C． D．
7．如图，学校园林设计师，打算在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论：
①线段的长为8；
②点的坐标为；
③当时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．若，则　 　．
10．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是　 　．（填一个正确条件即可）
11．若t是方程的一个根，则的值为　 　．
12．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为　 　．
13．如图．在中，，点D，E分别在边AB和BC上，且，，连接DE，点M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长为　 　．
14．（1）解方程：；
（2）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
二次项系数化为1，得…………………………第一步
移项，得…………………………第二步
配方，得，即．…………………………第三步
由此，可得．…………………………第四步
所以，．…………………………第五步
填空：
①“第二步”变形的数学依据是_______；（用文字语言填空）
②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是_______；（用数学符号语言填空）
③小明同学的解题过程中，从第_______步开始出现错误，正确答案应为_______．
15．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定转动转盘，等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘．
（1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为______；
（2）任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率．
16．2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神．我们在电商平台和实体店了解其销售情况．
（1）统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
（2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？
17．如图，矩形中，．
（1）求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，求（1）中所作的正方形的边长．
18．在函数的学习，我们经历了“函数表达式－画函数图象－利用函数图象研究函数性质－利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质．
（1）根据题意，列表如下：
在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象；
（2）观察图象，发现：
①当________时，y随x的增大而________（填“增大”或“减少”）；
②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为________；
（3）函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，x的取值范围是________________．
19．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程（a、b是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值．
20．综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．
【操作实践】在矩形中，，，点是线段上异于点的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点落在点处．
【初步感知】（1）如图1，当为的中点时，延长交于点，求证：．
【深入探究】（2）如图2，点在线段上，．点在移动过程中，求的最小值．
【拓展运用】（3）如图2，点在线段上，．点在移动过程中，点在矩形内部，当为直角三角形时，求的长．（在备用图中画出简图并直接写出答案）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解；A是该几何体的主视图，B，C，D不是该几何体的三视图．
故答案为A．
【分析】本题考查几何体三视图的识别能力，主视图是从物体正前方观察所得到的平面图形，这是区分主视图与俯视图、左视图的核心依据。解题时需结合云纹青铜大铙示意图的外形特征，判断四个选项中哪个图形符合从主视方向观察的结果，排除从上方、左侧等其他视角得到的选项B、C、D，即可确定正确答案。
2．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根 ，
∴
∴
∴a的值可以是0
故答案为： D.
【分析】根据一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根得到，计算即可判断.
3．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，，
，
，
，
解得，
故答案为：B．
【分析】由题目给出l1∥l2∥l3这个平行条件，运用平行线分线段成比例定理，写出对应线段的比例关系；已知AC=6，AB=2，利用线段的和差关系，计算出BC=AC AB=4；AB=2、BC=4、DE=3代入比例式，到得到方程；求解这个比例方程，算出EF=6，确定答案.
4．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从图中信息可以看出，在抛掷160次以上之后，正面朝上的概率都是0.55，因此抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55.
故答案为：B．
【分析】根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在0.55附近，即可得出答案．
5．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比（约为），已知蝴蝶展开的双翅的长度是，
设蝴蝶身体的长度为，
，
则，
蝴蝶身体的长度约为，
故答案为：C．
【分析】 由身体长度与双翅长度之比为黄金比 0.618，设身体长度为x，列出比例等式，代入双翅长度 7cm，计算求出x，再取近似值得到结果.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质；位似图形的概念
【解析】【解答】解：∵与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为；B．
【分析】由位似图形性质，得知位似图形是相似图形，由面积比等于相似比的平方，结合两个三角形面积的倍数关系求出相似比；再由△OAC∽△ODF，根据相似三角形对应边成比例，得到OC：OF的比值.
7．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：将中间的草坪进行平移，如图所示：
草坪的面积为；总面积为；
草坪的面积为总面积的，
，
故答案为：D．
【分析】由题目已知矩形地面长 12m、宽 10m，花卉带宽度为xm，得出中间草坪的长为(12 2x)m、宽为(10 2x)m，由矩形面积公式得到草坪面积表达式(12 2x)(10 2x)，矩形总面积计算方法算出整个地面总面积为12×10，题中草坪面积是总面积的这个等量关系，列出方程(12 2x)(10 2x)=12×10×，对比选项选出正确答案.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点的横坐标为1，
∴，
∴，
∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，
∴；
∴；故①正确；
联立，解得：或（舍去）；
∴点的坐标为，故②正确；
由图象可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误；
故答案为：C．
【分析】由点 A 横坐标，代入反比例函数求出 A 点坐标，结合直线y=x求出 B 点坐标，由此计算线段AB长度判断①；联立一次函数与反比例函数解析式，求解方程组得到交点 C 坐标判断②；再观察图像，对比x>3时两个函数图象上下位置关系，判断③，最后统计正确结论的个数.
9．【答案】3
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：
【分析】将 a=3b 直接代入分式 中，约去 b 后计算得到结果为 3。
10．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在中，对角线相交于点，则，
，
，
在四边形中，，则四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形；
当时，四边形是菱形；
当时，四边形是菱形；
当时，四边形是菱形；
当时，是菱形，
平分，
即，
，，，
，
则，即四边形是菱形；
当时，是菱形，
，
，，，
，
则，即四边形是菱形；
当时，是菱形，
平分，
即，
，，，
，
则，即四边形是菱形；
当时，是菱形，
，
，，，
，
则，即四边形是菱形；
此外，还有对角线垂直也可以判定四边形是菱形；
综上所述，选取其中一个即可，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】由平行四边形ABCD的性质得到对角线互相平分，即OB=OD，OA=OC，结合已知条件AE=CF，推导出OE=OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形，得到四边形BEDF是平行四边形，再由菱形的判定定理，平行四边形加上一组邻边相等或者对角线互相垂直就可以判定为菱形，到确定可以添加的条件.
11．【答案】8
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：因为 是方程 的一个根，
所以，即，
又因为，
所以．
故答案为：8．
【分析】由一元二次方程根的定义，把根t代入方程2x2 x 9=0，变形得到2t2 t=9；再把所求代数式(t 1)(2t+1)展开化简，化为含有2t2 t的形式，整体代入2t2 t=9计算，求出代数式结果.
12．【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
解得：，
故答案为：．
【分析】由题目给出的高度、水平距离以及垂直地面的条件，先识别出平行线构造出第一组相似三角形，借助相似三角形对应边成比例求出地面上线段 BC 的长度，再结合已知 AC 的长度算出 AB 的长度，光的反射中入射角等于反射角得到一组相等角，搭配直角条件证明第二组直角三角形相似，再利用相似三角形的性质建立比例关系，最终求出灯泡到地面的高度 GA.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如解图，连接，取的中点，连接，．
，分别是，的中点，
，分别是和的中位线，
，，，．
，
，
，
，
．
【分析】由题目给出的直角三角形条件以及多个中点信息，到想到构造辅助线，取 CD 的中点构造两条三角形中位线，利用三角形中位线定理得到两条线段的长度以及线段的平行关系，再结合已知∠B=90° 推导出两条中位线互相垂直，得到直角三角形，最后由勾股定理求出 MN 的长度.
14．【答案】解：（1）
解得；
（2）①等式的基本性质；②；③四；
【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（2）①由题意得，“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质；
故答案为：等式的基本性质；
②由题意得，第三步配方时用到的数学公式是；
故答案为：；
③由题意得，小明同学的解题过程中，从第四步开始出现错误，正确过程如下：
∴，
解得．
故答案为：四；．
【分析】（1）由给出的一元二次方程x2=2x，到优先选用因式分解法，先移项再提取公因式，利用因式分解法解一元二次方程的原理求出方程的两个根.
（2）由小明配方法解方程的完整步骤，到依次分析每一步变形对应的数学理论依据，识别配方所用的完全平方公式，再查找开平方环节的疏漏错误，依据正数有两个互为相反数的平方根，写出方程正确的解.
15．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
第二次 第一次 红 白 蓝
红 （红，红） （红，白） （红，蓝）
白 （白，红） （白，白） （白，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝）
共有9种等可能结果，颜色不同的结果有6种，
．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：由图可知，任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为；
故答案为：.
【分析】（1）由转盘被等分成 3 个面积相等扇形，红色区域占 1 份，根据概率公式：P=，代入求出指针落在红色区域的概率.
（2） 由列表法列举转动两次转盘全部等可能结果，数出全部结果总数，再统计两次颜色不相同的结果数量，再依据概率公式P=，计算颜色不同的概率.
（1）解：由图可知，任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为；
故答案为：；
（2）列表如下：
第二次 第一次 红 白 蓝
红 （红，红） （红，白） （红，蓝）
白 （白，红） （白，白） （白，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝）
共有9种等可能结果，颜色不同的结果有6种，
．
16．【答案】（1）解：设月平均增长率为，
根据题意得，
解得，（负值不符合题意，舍去），
答：月平均增长率为.
（2）解：设售价为每件元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得，
整理得，
解得，
又∵要尽量减少库存，
∴取，
答：售价应为每件元．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 由 9 月份销售量，结合月平均增长率相同，由增长率公式得到 11 月的销量表达式，代入已知 11 月销量列出一元二次方程，解方程后舍去不符合实际的负根，得到月平均增长率.
（2） 由进价和设定售价，表示每件利润；结合降价与销量的关系，表示每日销售件数；根据 “每件利润 × 销售量 = 总利润” 列一元二次方程，求出两个解，再由 “尽量减少库存” 要销量尽可能大，选择更低售价，得到最终售价.
（1）解：设月平均增长率为，
根据题意得，
解得，（负值不符合题意，舍去），
答：月平均增长率为；
（2）解：设售价为每件元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得，
整理得，
解得，
又∵要尽量减少库存，
∴取，
答：售价应为每件元．
17．【答案】（1）解：如图，四边形就是所求作的正方形．
由作图可知，，，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由作图可知，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形；
（2）解：由（1）知：，，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
．
，
．
又，
，
，即，
．
在中，，
，
∴正方形EFGH的边长为．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】（1） 由矩形对边平行得到角相等，证明三角形全等，得到对角线互相平分；结合作图得到四条线段相等，先判定为矩形；再根据对角线互相垂直，由矩形 + 对角线垂直推证得到四边形是正方形.
（2）由矩形得到直角，在Rt△ABD利用勾股定理求出对角线BD，得到OD；由两组角对应相等证△EOD∽△BAD，借助相似三角形对应边成比例求出OE；再利用正方形对角线互相垂直相等，在等腰直角三角形中勾股定理计算正方形边长.
（1）解：如图，四边形就是所求作的正方形．
由作图可知，，，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由作图可知，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形；
（2）由（1）知：，，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
．
，
．
又，
，
，即，
．
在中，，
，
∴正方形EFGH的边长为．
18．【答案】（1）解：在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象，如图所示，
（2）①1，增大；②
（3）或
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（2）观察图象，发现：
①当时，y随x的增大而增大；
故答案为：1，增大．
②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为.
故答案为：.
（3）函数的图象可由函数的图象向上平移个单位得到，
∴当时，x的取值范围是或
故答案为：或.
【分析】(1) 由已知函数表达式，读取表格中的 x、y 对应数值，再到平面直角坐标系中完成描点，最后用平滑曲线连线画出函数图象.
(2)①由已经画好的函数图象，观察x>1分支图象的升降变化，由图象上升趋势，得到 y 随 x 增大而增大.
②由基础反比例函数对称中心，函数向右平移 1 个单位，得到对称中心跟着向右平移，最后读出对称中心坐标.
(3)由函数解析式对比，判断图象向上平移 2 个单位，由y≥ 2函数值条件，解方程求出边界点横坐标，再结合函数图象两支分布情况，最后读出 x 的取值范围.
19．【答案】（1）解：由题意得，
解得，
，不符合邻根方程的定义，
不是邻根方程.
（2）解：由题意得，
解得，
关于的方程是邻根方程，
∴，
解得，
故或.
（3）解：关于的方程（、是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、，
，
由根与系数的关系：，
，
，
，
，
当时，；
∴的最大值为0．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；绝对值的概念与意义
【解析】【分析】（1）由题目给出的 “邻根方程” 定义，到先因式分解求出方程的两个实数根，再计算两根差值，对比差值是否等于 1，以此判断该方程是否为邻根方程.
（2）由方程是邻根方程的条件，到先因式分解求出方程两根，根据邻根方程两根差值的绝对值为 1 列出绝对值方程，再解绝对值方程求出参数 m 的取值.
（3）由邻根方程的定义得到两根差的绝对值等于 1，结合一元二次方程根与系数的关系以及两根差的变形公式，推导出 a、b 之间的等量关系，再把等量关系代入代数式 t 中进行化简，转化为二次函数形式，结合自变量取值范围求出 t 的最大值.
（1）解：由题意得，
解得，
，不符合邻根方程的定义，
不是邻根方程；
（2）解：由题意得，
解得，
关于的方程是邻根方程，
∴，
解得，
故或；
（3）解：关于的方程（、是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、，
，
由根与系数的关系：，
，
，
，
，
当时，；
∴的最大值为0．
20．【答案】（1）证明：如图2，过点F作AB的平行线，交AC的延长线于Q．
∴∠BAC＝∠Q，
∵AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠QCF＝∠BCA，
∴∠QCF＝∠Q，
∴CF＝FQ，
∵FH⊥AC于点H，
∴CH＝QHCQ，
∵GHAC，QG＝GH+QH，
∴GQACCQAQ，
∴GQ＝AG，
又∵∠AGE＝∠QGF，∠EAG＝∠Q，
∴△AGE≌△QGF（ASA），
∴AE＝QF，
∴AE＝CF；
（2）解：，点在移动过程中，不变，
∴点在以为圆心，为半径的的弧上，连接，如图所示：
由点与圆周上动点连线构成的线段中，当点在线段上时，有最小值，
，
，
在中，由勾股定理可得，
∴的最小值为；
（3）解：由为直角三角形，分三种情况：；；；
当时，，则点在边上，
该情况与题中点在矩形内部矛盾，此种情况不存在；
当时，过点作于，如图所示：
由折叠性质可得，，，
在矩形中，，
，，
三点共线，
，
四边形是矩形，
则，
在中，，，，则由勾股定理可得，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
即，
，
解得，
则的长为；
当时，过点作于，交于点，如图所示：
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
，
解得，
即的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】 （1）由矩形折叠的性质得到对应边、对应角相等，结合 E 是 BC 中点的条件，通过作辅助线构造等腰三角形与全等三角形，利用角的等量代换和全等判定，推导出线段相等，完成 FP=FC 的证明.
（2）由折叠性质得到 AP 长度固定不变，确定动点 P 的运动轨迹是以 A 为圆心、AB 长为半径的圆弧，再依据点到圆上点距离的最值规律，连接定点 M 与圆心 A，求出 AM 的长度，用 AM 减去半径 AP 得到 PM 的最小值.
（3）由△PDN 是直角三角形，先分类讨论三个角分别为直角的情形，排除不符合点 P 在矩形内部的情况，对剩余两种有效直角情况，结合折叠的边相等、角相等性质，构造直角三角形，借助勾股定理建立方程求解 BE 的长度.
1 / 1广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）海德学校2025-2026学年上学期11月期中考试九年级数学试题
1．福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1．云纹青铜大绕是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解；A是该几何体的主视图，B，C，D不是该几何体的三视图．
故答案为A．
【分析】本题考查几何体三视图的识别能力，主视图是从物体正前方观察所得到的平面图形，这是区分主视图与俯视图、左视图的核心依据。解题时需结合云纹青铜大铙示意图的外形特征，判断四个选项中哪个图形符合从主视方向观察的结果，排除从上方、左侧等其他视角得到的选项B、C、D，即可确定正确答案。
2． 若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根 ，
∴
∴
∴a的值可以是0
故答案为： D.
【分析】根据一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根得到，计算即可判断.
3．如图，，，，，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，，
，
，
，
解得，
故答案为：B．
【分析】由题目给出l1∥l2∥l3这个平行条件，运用平行线分线段成比例定理，写出对应线段的比例关系；已知AC=6，AB=2，利用线段的和差关系，计算出BC=AC AB=4；AB=2、BC=4、DE=3代入比例式，到得到方程；求解这个比例方程，算出EF=6，确定答案.
4．某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表：
抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
“正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　）
A．0.52 B．0.55 C．0.58 D．0.63
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从图中信息可以看出，在抛掷160次以上之后，正面朝上的概率都是0.55，因此抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55.
故答案为：B．
【分析】根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在0.55附近，即可得出答案．
5．如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比（约为），已知蝴蝶展开的双翅的长度是，则蝴蝶身体的长度约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比（约为），已知蝴蝶展开的双翅的长度是，
设蝴蝶身体的长度为，
，
则，
蝴蝶身体的长度约为，
故答案为：C．
【分析】 由身体长度与双翅长度之比为黄金比 0.618，设身体长度为x，列出比例等式，代入双翅长度 7cm，计算求出x，再取近似值得到结果.
6．如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质；位似图形的概念
【解析】【解答】解：∵与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为；B．
【分析】由位似图形性质，得知位似图形是相似图形，由面积比等于相似比的平方，结合两个三角形面积的倍数关系求出相似比；再由△OAC∽△ODF，根据相似三角形对应边成比例，得到OC：OF的比值.
7．如图，学校园林设计师，打算在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：将中间的草坪进行平移，如图所示：
草坪的面积为；总面积为；
草坪的面积为总面积的，
，
故答案为：D．
【分析】由题目已知矩形地面长 12m、宽 10m，花卉带宽度为xm，得出中间草坪的长为(12 2x)m、宽为(10 2x)m，由矩形面积公式得到草坪面积表达式(12 2x)(10 2x)，矩形总面积计算方法算出整个地面总面积为12×10，题中草坪面积是总面积的这个等量关系，列出方程(12 2x)(10 2x)=12×10×，对比选项选出正确答案.
8．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论：
①线段的长为8；
②点的坐标为；
③当时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点的横坐标为1，
∴，
∴，
∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，
∴；
∴；故①正确；
联立，解得：或（舍去）；
∴点的坐标为，故②正确；
由图象可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误；
故答案为：C．
【分析】由点 A 横坐标，代入反比例函数求出 A 点坐标，结合直线y=x求出 B 点坐标，由此计算线段AB长度判断①；联立一次函数与反比例函数解析式，求解方程组得到交点 C 坐标判断②；再观察图像，对比x>3时两个函数图象上下位置关系，判断③，最后统计正确结论的个数.
9．若，则　 　．
【答案】3
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：
【分析】将 a=3b 直接代入分式 中，约去 b 后计算得到结果为 3。
10．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是　 　．（填一个正确条件即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在中，对角线相交于点，则，
，
，
在四边形中，，则四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形；
当时，四边形是菱形；
当时，四边形是菱形；
当时，四边形是菱形；
当时，是菱形，
平分，
即，
，，，
，
则，即四边形是菱形；
当时，是菱形，
，
，，，
，
则，即四边形是菱形；
当时，是菱形，
平分，
即，
，，，
，
则，即四边形是菱形；
当时，是菱形，
，
，，，
，
则，即四边形是菱形；
此外，还有对角线垂直也可以判定四边形是菱形；
综上所述，选取其中一个即可，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】由平行四边形ABCD的性质得到对角线互相平分，即OB=OD，OA=OC，结合已知条件AE=CF，推导出OE=OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形，得到四边形BEDF是平行四边形，再由菱形的判定定理，平行四边形加上一组邻边相等或者对角线互相垂直就可以判定为菱形，到确定可以添加的条件.
11．若t是方程的一个根，则的值为　 　．
【答案】8
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：因为 是方程 的一个根，
所以，即，
又因为，
所以．
故答案为：8．
【分析】由一元二次方程根的定义，把根t代入方程2x2 x 9=0，变形得到2t2 t=9；再把所求代数式(t 1)(2t+1)展开化简，化为含有2t2 t的形式，整体代入2t2 t=9计算，求出代数式结果.
12．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
解得：，
故答案为：．
【分析】由题目给出的高度、水平距离以及垂直地面的条件，先识别出平行线构造出第一组相似三角形，借助相似三角形对应边成比例求出地面上线段 BC 的长度，再结合已知 AC 的长度算出 AB 的长度，光的反射中入射角等于反射角得到一组相等角，搭配直角条件证明第二组直角三角形相似，再利用相似三角形的性质建立比例关系，最终求出灯泡到地面的高度 GA.
13．如图．在中，，点D，E分别在边AB和BC上，且，，连接DE，点M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如解图，连接，取的中点，连接，．
，分别是，的中点，
，分别是和的中位线，
，，，．
，
，
，
，
．
【分析】由题目给出的直角三角形条件以及多个中点信息，到想到构造辅助线，取 CD 的中点构造两条三角形中位线，利用三角形中位线定理得到两条线段的长度以及线段的平行关系，再结合已知∠B=90° 推导出两条中位线互相垂直，得到直角三角形，最后由勾股定理求出 MN 的长度.
14．（1）解方程：；
（2）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
二次项系数化为1，得…………………………第一步
移项，得…………………………第二步
配方，得，即．…………………………第三步
由此，可得．…………………………第四步
所以，．…………………………第五步
填空：
①“第二步”变形的数学依据是_______；（用文字语言填空）
②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是_______；（用数学符号语言填空）
③小明同学的解题过程中，从第_______步开始出现错误，正确答案应为_______．
【答案】解：（1）
解得；
（2）①等式的基本性质；②；③四；
【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（2）①由题意得，“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质；
故答案为：等式的基本性质；
②由题意得，第三步配方时用到的数学公式是；
故答案为：；
③由题意得，小明同学的解题过程中，从第四步开始出现错误，正确过程如下：
∴，
解得．
故答案为：四；．
【分析】（1）由给出的一元二次方程x2=2x，到优先选用因式分解法，先移项再提取公因式，利用因式分解法解一元二次方程的原理求出方程的两个根.
（2）由小明配方法解方程的完整步骤，到依次分析每一步变形对应的数学理论依据，识别配方所用的完全平方公式，再查找开平方环节的疏漏错误，依据正数有两个互为相反数的平方根，写出方程正确的解.
15．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定转动转盘，等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘．
（1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为______；
（2）任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
第二次 第一次 红 白 蓝
红 （红，红） （红，白） （红，蓝）
白 （白，红） （白，白） （白，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝）
共有9种等可能结果，颜色不同的结果有6种，
．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：由图可知，任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为；
故答案为：.
【分析】（1）由转盘被等分成 3 个面积相等扇形，红色区域占 1 份，根据概率公式：P=，代入求出指针落在红色区域的概率.
（2） 由列表法列举转动两次转盘全部等可能结果，数出全部结果总数，再统计两次颜色不相同的结果数量，再依据概率公式P=，计算颜色不同的概率.
（1）解：由图可知，任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为；
故答案为：；
（2）列表如下：
第二次 第一次 红 白 蓝
红 （红，红） （红，白） （红，蓝）
白 （白，红） （白，白） （白，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝）
共有9种等可能结果，颜色不同的结果有6种，
．
16．2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神．我们在电商平台和实体店了解其销售情况．
（1）统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
（2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？
【答案】（1）解：设月平均增长率为，
根据题意得，
解得，（负值不符合题意，舍去），
答：月平均增长率为.
（2）解：设售价为每件元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得，
整理得，
解得，
又∵要尽量减少库存，
∴取，
答：售价应为每件元．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 由 9 月份销售量，结合月平均增长率相同，由增长率公式得到 11 月的销量表达式，代入已知 11 月销量列出一元二次方程，解方程后舍去不符合实际的负根，得到月平均增长率.
（2） 由进价和设定售价，表示每件利润；结合降价与销量的关系，表示每日销售件数；根据 “每件利润 × 销售量 = 总利润” 列一元二次方程，求出两个解，再由 “尽量减少库存” 要销量尽可能大，选择更低售价，得到最终售价.
（1）解：设月平均增长率为，
根据题意得，
解得，（负值不符合题意，舍去），
答：月平均增长率为；
（2）解：设售价为每件元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得，
整理得，
解得，
又∵要尽量减少库存，
∴取，
答：售价应为每件元．
17．如图，矩形中，．
（1）求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，求（1）中所作的正方形的边长．
【答案】（1）解：如图，四边形就是所求作的正方形．
由作图可知，，，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由作图可知，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形；
（2）解：由（1）知：，，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
．
，
．
又，
，
，即，
．
在中，，
，
∴正方形EFGH的边长为．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】（1） 由矩形对边平行得到角相等，证明三角形全等，得到对角线互相平分；结合作图得到四条线段相等，先判定为矩形；再根据对角线互相垂直，由矩形 + 对角线垂直推证得到四边形是正方形.
（2）由矩形得到直角，在Rt△ABD利用勾股定理求出对角线BD，得到OD；由两组角对应相等证△EOD∽△BAD，借助相似三角形对应边成比例求出OE；再利用正方形对角线互相垂直相等，在等腰直角三角形中勾股定理计算正方形边长.
（1）解：如图，四边形就是所求作的正方形．
由作图可知，，，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由作图可知，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形；
（2）由（1）知：，，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
．
，
．
又，
，
，即，
．
在中，，
，
∴正方形EFGH的边长为．
18．在函数的学习，我们经历了“函数表达式－画函数图象－利用函数图象研究函数性质－利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质．
（1）根据题意，列表如下：
在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象；
（2）观察图象，发现：
①当________时，y随x的增大而________（填“增大”或“减少”）；
②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为________；
（3）函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，x的取值范围是________________．
【答案】（1）解：在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象，如图所示，
（2）①1，增大；②
（3）或
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（2）观察图象，发现：
①当时，y随x的增大而增大；
故答案为：1，增大．
②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为.
故答案为：.
（3）函数的图象可由函数的图象向上平移个单位得到，
∴当时，x的取值范围是或
故答案为：或.
【分析】(1) 由已知函数表达式，读取表格中的 x、y 对应数值，再到平面直角坐标系中完成描点，最后用平滑曲线连线画出函数图象.
(2)①由已经画好的函数图象，观察x>1分支图象的升降变化，由图象上升趋势，得到 y 随 x 增大而增大.
②由基础反比例函数对称中心，函数向右平移 1 个单位，得到对称中心跟着向右平移，最后读出对称中心坐标.
(3)由函数解析式对比，判断图象向上平移 2 个单位，由y≥ 2函数值条件，解方程求出边界点横坐标，再结合函数图象两支分布情况，最后读出 x 的取值范围.
19．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程（a、b是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值．
【答案】（1）解：由题意得，
解得，
，不符合邻根方程的定义，
不是邻根方程.
（2）解：由题意得，
解得，
关于的方程是邻根方程，
∴，
解得，
故或.
（3）解：关于的方程（、是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、，
，
由根与系数的关系：，
，
，
，
，
当时，；
∴的最大值为0．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；绝对值的概念与意义
【解析】【分析】（1）由题目给出的 “邻根方程” 定义，到先因式分解求出方程的两个实数根，再计算两根差值，对比差值是否等于 1，以此判断该方程是否为邻根方程.
（2）由方程是邻根方程的条件，到先因式分解求出方程两根，根据邻根方程两根差值的绝对值为 1 列出绝对值方程，再解绝对值方程求出参数 m 的取值.
（3）由邻根方程的定义得到两根差的绝对值等于 1，结合一元二次方程根与系数的关系以及两根差的变形公式，推导出 a、b 之间的等量关系，再把等量关系代入代数式 t 中进行化简，转化为二次函数形式，结合自变量取值范围求出 t 的最大值.
（1）解：由题意得，
解得，
，不符合邻根方程的定义，
不是邻根方程；
（2）解：由题意得，
解得，
关于的方程是邻根方程，
∴，
解得，
故或；
（3）解：关于的方程（、是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、，
，
由根与系数的关系：，
，
，
，
，
当时，；
∴的最大值为0．
20．综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．
【操作实践】在矩形中，，，点是线段上异于点的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点落在点处．
【初步感知】（1）如图1，当为的中点时，延长交于点，求证：．
【深入探究】（2）如图2，点在线段上，．点在移动过程中，求的最小值．
【拓展运用】（3）如图2，点在线段上，．点在移动过程中，点在矩形内部，当为直角三角形时，求的长．（在备用图中画出简图并直接写出答案）．
【答案】（1）证明：如图2，过点F作AB的平行线，交AC的延长线于Q．
∴∠BAC＝∠Q，
∵AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠QCF＝∠BCA，
∴∠QCF＝∠Q，
∴CF＝FQ，
∵FH⊥AC于点H，
∴CH＝QHCQ，
∵GHAC，QG＝GH+QH，
∴GQACCQAQ，
∴GQ＝AG，
又∵∠AGE＝∠QGF，∠EAG＝∠Q，
∴△AGE≌△QGF（ASA），
∴AE＝QF，
∴AE＝CF；
（2）解：，点在移动过程中，不变，
∴点在以为圆心，为半径的的弧上，连接，如图所示：
由点与圆周上动点连线构成的线段中，当点在线段上时，有最小值，
，
，
在中，由勾股定理可得，
∴的最小值为；
（3）解：由为直角三角形，分三种情况：；；；
当时，，则点在边上，
该情况与题中点在矩形内部矛盾，此种情况不存在；
当时，过点作于，如图所示：
由折叠性质可得，，，
在矩形中，，
，，
三点共线，
，
四边形是矩形，
则，
在中，，，，则由勾股定理可得，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
即，
，
解得，
则的长为；
当时，过点作于，交于点，如图所示：
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
，
解得，
即的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】 （1）由矩形折叠的性质得到对应边、对应角相等，结合 E 是 BC 中点的条件，通过作辅助线构造等腰三角形与全等三角形，利用角的等量代换和全等判定，推导出线段相等，完成 FP=FC 的证明.
（2）由折叠性质得到 AP 长度固定不变，确定动点 P 的运动轨迹是以 A 为圆心、AB 长为半径的圆弧，再依据点到圆上点距离的最值规律，连接定点 M 与圆心 A，求出 AM 的长度，用 AM 减去半径 AP 得到 PM 的最小值.
（3）由△PDN 是直角三角形，先分类讨论三个角分别为直角的情形，排除不符合点 P 在矩形内部的情况，对剩余两种有效直角情况，结合折叠的边相等、角相等性质，构造直角三角形，借助勾股定理建立方程求解 BE 的长度.
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