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广东省深圳市龙岗区2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷
1．在△ABC中，AB =3，BC=4，AC=5，则下列结论正确的是(　　)
A．△ABC是直角三角形，且∠A =90°
B．△ABC是直角三角形，且∠B=90°
C．△ABC是直角三角形，且∠C =90°
D．△ABC不是直角三角形
2．陈强同学向大家介绍自己家的具体位置，其表达合理的是(　　)
A．在深圳中学的东边 B．距深圳中学500米处
C．东南方向500米处 D．在深圳中学西北方向500米处
3．若 是关于x和y的二元一次方程 ax+y=1的一组解，则a的值是(　　)
A．-3 B．4 C．-4 D．3
4．在实数0，-2，-π，-3中，最小的是(　　)
A．0 B．-2 C．-π D．-3
5．深圳中学为丰富学生的阅读品味，决定将购买第十届茅盾文学奖的《北上》和《牵风记》两种书．通过了解发现购买1本《北上》和2本《牵风记》共需80元；购买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同．如果设《北上》的单价是x元，《牵风记》的单价是y元．根据题意列方程组正确的是(　　)
A． B． C． D．
6．在同一平面直角坐标系中，判断两个不同的一次函数 与 的图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
7．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB =90°，AC=3，BC=5，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF 的最小值为(　　)
A． B． C． D．4
8．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线 和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2， △B2A3B3，…均为等腰直角三角形，其中 A1、A2... An均为其直角顶点，如果点A1(1，1)，那么A2024的纵坐标是( )
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则　 　．
10．已知 那么a的取值范围是　 　．
11．如图所示，点A、B的坐标分别为(4，0)，(0，2)，点P是第一象限内直线 上一个动点，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积　 　(填“变大”、“变小”或“不变”)．
12．如图，正方体的棱长为10，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短距离是　 　．
13．如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-6，0)，B(-3，-2)，C(4，0)，D(0，4)，当过点A的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达为　 　．
14．计算与解方程组：
（1）计算：
①
②
（2）解关于x与y的方程组：
③
④
15．如图，深圳某校有一块三角形空地ABC，其中∠ACB =90°，为了更好发挥这片空地的价值，并且丰富孩子们的校园生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形ACD区域设计成休息区，其余部分设计成英语角，经过测量发现：CD=30米，AD=40米，BC=120米，AB=130米.
（1）求∠ADC的度数；
（2）假如给英语角铺路需要用到水泥，经过了解发现铺设每平方米地需要50元水泥，请问该英语角一共需要花费多少钱用于购买水泥
16．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问：甲、乙持钱各几何 ”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50两银子；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有50两银子．问：甲、乙两人原本各自带了多少银子
17．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(0，2)，B(2，0)，C(4，3)．
（1）在图中画出△ABC并标出字母，△ABC的面积为 ▲ ；
（2）若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为　 　；
（3）已知Q为y轴上一点，若△ACQ的面积为8，请直接写出点Q的坐标．
18．小深在学习二次根式分母有理化问题时：已知 他是这样分析与解答的：
请你根据小深的分析过程，解决如下问题：
（1）填空： 　 　，　 　(n≥1)；
（2）计算：
19．
（1）放在墙角的立柜(图1)上下面是一个等腰直角三角形(图2)，其面积为0.5m2，现要将这个立柜通过一个宽为0.75m的直行通道(没有拐弯，高度足够)，请问能通过吗 请通过计算进行说明．
（2）小明是一个很喜欢思考的学生，有一次他去木板加工厂参观发现有时候木板的宽度略大于门的高度和宽度也可以通过，只需要把木板倾斜到合适的角度就可以通过．现在小明遇到一个问题，有一个比较特殊的正方形门(图3)，边长为2m，有一块长3m，宽2.2m，厚度0.5m的长方体箱子想从门内通过，请问可以通过吗 如果可以通过请帮小明解释如何通过(作图辅助说明)，并通过计算进行说明，如果不行请说明理由．(参考数据：)
20．如图1，已知直线 交x轴于A(6，0)，交y轴于 B(0，6).
（1）直接写出k的值为　 　，b的值为　 　．
（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线 经过AB的中点P，点Q(t，0)为x轴上一动点，过Q作QD⊥x轴分别交直线l1、l2于D、E，连接OD、OE、OQ得到 △ODE和△ODQ，若其中一个三角形面积是另一个三角形面积的两倍，求c和t的值；
（3）如图3，已知点M(-2，0)，点N(m，2m-6)为直线AB右侧一点，且满足 求m的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵32+42=52，即AB2+BC2=AC2
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°
故答案为：B
【分析】根据勾股定理逆定理即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解： A：只说明“在深圳中学的东边”，仅有方向，无距离，无法确定具体位置（东边范围过大）。
B：只说明“距深圳中学500米处”，仅有距离，无方向，无法确定具体位置（以深圳中学为圆心，500米为半径的圆上任意一点都满足)。
C：只说明“东南方向500米处”，无参照物，东南方向的起点不明确，无法确定具体位置。
D：“在深圳中学西北方向500米处”，有参照物(深圳中学)、方向（西北)、距离（500米)，能唯一确定位置。
故答案为：D
【分析】根据确定物体的位置的要素即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：由题意可得：
-2a+7=1，解得：a=3
故答案为：D
【分析】将解代入方程可得关于a的一次方程，再解方程即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：-π<-3<-2<0
∴最小的是-π
故答案为：C
【分析】直接比较大小即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设《北上》的单价是x元，《牵风记》的单价是y元
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设《北上》的单价是x元，《牵风记》的单价是y元，根据题意建立方程组即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解： 当a>0时，一次函数y=ax+a2与y=a2x+a的图象都经过第一、二、三象限，故选项A，C错误；
当a<0时，一次函数y=ax+a2的图象经过第一、二、四象限，一次函数y=a2x+a的图象经过第一、三、四象限，故选项B错误，选项D正确
故答案为：D
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：在AB上取一点G，使得AG=AF
∵在Rt△ABC中，∠ACB =90°，AC=3，BC=5
∴
∵∠CAD=∠BAD，AE=AE
∴△AEF≌△AEG
∴FE=FG
∴CE+EF=CE+EG≥CG
当C，E，F三点共线，且CF⊥AB时，CG最小
∵
∴
故答案为：C
【分析】在AB上取一点G，使得AG=AF，根据勾股定理可得AB，根据全等三角形判定定理可得△AEF≌△AEG，则FE=FG，根据边之间的关系可得CE+EF=CE+EG≥CG，当C，E，F三点共线，且CF⊥AB时，CG最小，再根据三角形面积即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形；用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点A1(1，1)在直线 上
∴，解得：
∴
设
则有
...
∵△OA1B1，△B1A2B2， △B2A3B3，…均为等腰直角三角形
∴
...
将点坐标代入直线解析式可得：
...
∵y1=1
∴
...
故答案为：A
【分析】根据待定系数法将点A1(1，1)代入直线解析式可得，设，代入解析式可得y值，根据等腰直角三角形性质，总结规律，即可求出答案.
9．【答案】-4
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：因为在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称 ，
所以
解得：
故答案为：.
【分析】如果两点关于原点点对称，则两点横纵坐标对应为相反数，据此求解即可.
10．【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵
∴1-2a＞0，解得：
故答案为：
【分析】根据二次根式的非负性建立不等式，解不等式即可求出答案.
11．【答案】不变
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+2
将点A(4，0)代入解析式可得：4k+2=0，解得：
∴直线AB的解析式为
∴直线AB与直线 平行
∴点P在移动过程中，△PAB的面积不变
∴四边形OAPB的面积不变
故答案为：不变
【分析】设直线AB的解析式为y=kx+2，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得直线AB的解析式为，则直线AB与直线 平行，结合直线平行性质即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将正方体的右侧面与前面展开，如图，过点B作BC⊥AC于点C
由题意可得：AC=10+5=15，BC=10÷2=5
∴
∴从点A爬到点B的最短距离是
故答案为：
【分析】解：将正方体的右侧面与前面展开，过点B作BC⊥AC于点C，由题意可得：AC=15，BC=5，再根据勾股定理即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设直线CD的解析式为：y=kx+b
∵C(4，0)，D(0，4)在直线CD上
∴，解得：
∴直线CD的解析式为：y=-x+4
∵四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-6，0)，B(-3，-2)，C(4，0)，D(0，4)
∴
∵过点A的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分
设l与CD的交点为E，连接AE
∴
解得：yE=1
当y=1时，x=3
∴E(3，1)
∵A(-6，0)，E(3，1)
设直线AE的解析式为y=mx+n
∴，解得：
∴直线AE的解析式为：
故答案为：
【分析】设直线CD的解析式为：y=kx+b，根据待定系数法将点C，D坐标代入解析式可得直线CD的解析式为：y=-x+4，根据三角形面积可得，设l与CD的交点为E，连接AE，由题意可得，解方程可得yE=1，代入解析式可得E(3，1)，设直线AE的解析式为y=mx+n，再根据待定系数法将点A，E坐标代入解析式即可求出答案.
14．【答案】（1）解：①原式=
=
②原式=
=
（2）解：③
②×3-①可得：11y=22
解得：y=2，③
将③代入②可得：x+6=7
解得：x=1
∴原方程的解为：
④
②×6-①可得：3y=6
解得：y=2③
将③代入①可得：3x+2=5
解得：x=1
∴原方程的解为：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；实数的绝对值；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）①根据完全平方公式，平方差公式化简，再计算加减即可求出答案.
②根据负整数指数幂，绝对值，二次根式的除法化简，再计算加减即可求出答案.
（2）③根据加减消元法解方程组即可求出答案.
④根据加减消元法解方程组即可求出答案.
15．【答案】（1）解：∵∠ACB =90°，BC=120米，AB=130米
∴米
∵CD=30米，AD=40米
∴CD2+AD2=2500=AC2
∴△ACD是直角三角形
∴ADC=90°
（2）解：由题意可得：阴影部分的面积=
=
=
=2400平方米
∵每平方米地需要50元水泥
∴2400×50=120000元
∴该英语角一共需要花费120000元用于购买水泥
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AC，根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）根据阴影部分的面积=，结合三角形求出总面积，再乘以单价即可求出答案.
16．【答案】解：设甲带了x钱，乙带了y钱
由题意可得：
解得：
∴设甲带了37.5钱，乙带了25钱
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设甲带了x钱，乙带了y钱，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
17．【答案】（1）解：如图，△ABC即为所求
△ABC的面积为5
（2）(-4，3)
（3）(0，6)或(0，-2)
【知识点】三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：5
（2）∵点P与点C关于y轴对称
∴点P的坐标为(-4，3)
故答案为：(-4，3)
（3）设点Q的坐标为(0，m)
∵△ACQ的面积为8
∴
解得：m=6或-2
∴点Q的坐标为(0，6)或(0，-2)
【分析】（1）在直角坐标系中标出A，B，C三点，再依次连接即可，再根据割补法求出三角形面积即可求出答案.
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
（3）设点Q的坐标为(0，m)，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）；
（2）解：原式=
=
=2024-1
=2023
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：；
【分析】（1）进行分母有理化，结合平方差公式即可求出答案.
（2）根据（1）中规律化简，结合平方差公式即可求出答案.
19．【答案】（1）解：能通过，理由如下：
设等腰直角三角形直角边AB=AC=am
∴
解得：a=1
∴m
斜边上的高：m
0.707<0.75
∴能通过，
（2）解：能通过，理由如下：
如图，当AB=CD=0.5m，且△ABM为等腰直角三角形时
设AM=BM=am，则a2+a2=0.52
解得：
∴m
∵
∴△ADQ为等腰直角三角形
∴
∴小明能通过
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）设等腰直角三角形直角边AB=AC=am，根据三角形面积建立方程，解方程可得a=1，根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积可得斜边上的高，再比较大小即可求出答案.
（2）当AB=CD=0.5m，且△ABM为等腰直角三角形时，设AM=BM=am，根据勾股定理可得a，根据边之间的关系可得m，根据等腰直角三角形判定定理及性质即可求出答案.
20．【答案】（1）-1；6
（2）解：如图
∵A(6，0)，B(0，6)
∴线段AB的中点P的坐标为(3，3)
将P(3，3)代入，可得：
解得：
∴
由（1）可得：
∵Q(t，0)，QD⊥x轴
∴D(t，-t+6)，
∴
∵△ODE和△ODQ，若其中一个三角形面积是另一个三角形面积的两倍
∴DE=2DQ或DQ=2DE
∴或
解得：或或或
（3）解：作点M关于y轴的对称点G(2，0)，以G为直角顶点，BG为直角边在BG右侧作等腰直角三角形BGH，过点H作HK⊥x轴于点K
∴∠OBM=∠OBG
∵A(6，0)，B(0，6)
∴△AOB是等腰直角三角形
∴∠OBG+∠ABG=45°
∵△BGH是等腰直角三角形
∴∠ABG+∠ABH=45°，BG=GH
∴∠OBG=∠ABH
∴∠OBM=∠ABH
∴N在直线BH上
∵∠OGB=90°-∠HGK=∠GHK，∠BOG=∠GKH=90°，BG=GH
∴△BOG≌△GKH
∴BO=GK=6，OG=HK=2
∴H(8，2)
由B(0，6)，H(8，2)可得直线BH的解析式为
将N(m，2m-6)代入可得：
解得：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；三角形全等及其性质；一次函数中的面积问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：（1）∵直线 交x轴于A(6，0)，交y轴于 B(0，6)
∴，解得：
故答案为：-1；6
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据线段中点坐标可得点P的坐标为(3，3)，根据待定系数法将点P坐标代入直线l2可得c值，根据两点间距离可得DE，DQ，再根据三角形面积可得DE=2DQ或DQ=2DE，建立方程，解方程即可求出答案.
（3）作点M关于y轴的对称点G(2，0)，以G为直角顶点，BG为直角边在BG右侧作等腰直角三角形BGH，过点H作HK⊥x轴于点K，根据等腰直角三角形判定定理可得△AOB是等腰直角三角形，则∠OBG+∠ABG=45°，根据角之间的关系可得∠OBM=∠ABH，再根据全等三角形判定定理可得△BOG≌△GKH，则BO=GK=6，OG=HK=2，根据点的坐标可得H(8，2)，根据待定系数法可得直线BH的解析式为，在将点N坐标代入，解方程即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市龙岗区2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷
1．在△ABC中，AB =3，BC=4，AC=5，则下列结论正确的是(　　)
A．△ABC是直角三角形，且∠A =90°
B．△ABC是直角三角形，且∠B=90°
C．△ABC是直角三角形，且∠C =90°
D．△ABC不是直角三角形
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵32+42=52，即AB2+BC2=AC2
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°
故答案为：B
【分析】根据勾股定理逆定理即可求出答案.
2．陈强同学向大家介绍自己家的具体位置，其表达合理的是(　　)
A．在深圳中学的东边 B．距深圳中学500米处
C．东南方向500米处 D．在深圳中学西北方向500米处
【答案】D
【知识点】用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解： A：只说明“在深圳中学的东边”，仅有方向，无距离，无法确定具体位置（东边范围过大）。
B：只说明“距深圳中学500米处”，仅有距离，无方向，无法确定具体位置（以深圳中学为圆心，500米为半径的圆上任意一点都满足)。
C：只说明“东南方向500米处”，无参照物，东南方向的起点不明确，无法确定具体位置。
D：“在深圳中学西北方向500米处”，有参照物(深圳中学)、方向（西北)、距离（500米)，能唯一确定位置。
故答案为：D
【分析】根据确定物体的位置的要素即可求出答案.
3．若 是关于x和y的二元一次方程 ax+y=1的一组解，则a的值是(　　)
A．-3 B．4 C．-4 D．3
【答案】D
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：由题意可得：
-2a+7=1，解得：a=3
故答案为：D
【分析】将解代入方程可得关于a的一次方程，再解方程即可求出答案.
4．在实数0，-2，-π，-3中，最小的是(　　)
A．0 B．-2 C．-π D．-3
【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：-π<-3<-2<0
∴最小的是-π
故答案为：C
【分析】直接比较大小即可求出答案.
5．深圳中学为丰富学生的阅读品味，决定将购买第十届茅盾文学奖的《北上》和《牵风记》两种书．通过了解发现购买1本《北上》和2本《牵风记》共需80元；购买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同．如果设《北上》的单价是x元，《牵风记》的单价是y元．根据题意列方程组正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设《北上》的单价是x元，《牵风记》的单价是y元
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设《北上》的单价是x元，《牵风记》的单价是y元，根据题意建立方程组即可求出答案.
6．在同一平面直角坐标系中，判断两个不同的一次函数 与 的图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解： 当a>0时，一次函数y=ax+a2与y=a2x+a的图象都经过第一、二、三象限，故选项A，C错误；
当a<0时，一次函数y=ax+a2的图象经过第一、二、四象限，一次函数y=a2x+a的图象经过第一、三、四象限，故选项B错误，选项D正确
故答案为：D
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
7．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB =90°，AC=3，BC=5，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF 的最小值为(　　)
A． B． C． D．4
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：在AB上取一点G，使得AG=AF
∵在Rt△ABC中，∠ACB =90°，AC=3，BC=5
∴
∵∠CAD=∠BAD，AE=AE
∴△AEF≌△AEG
∴FE=FG
∴CE+EF=CE+EG≥CG
当C，E，F三点共线，且CF⊥AB时，CG最小
∵
∴
故答案为：C
【分析】在AB上取一点G，使得AG=AF，根据勾股定理可得AB，根据全等三角形判定定理可得△AEF≌△AEG，则FE=FG，根据边之间的关系可得CE+EF=CE+EG≥CG，当C，E，F三点共线，且CF⊥AB时，CG最小，再根据三角形面积即可求出答案.
8．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线 和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2， △B2A3B3，…均为等腰直角三角形，其中 A1、A2... An均为其直角顶点，如果点A1(1，1)，那么A2024的纵坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形；用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点A1(1，1)在直线 上
∴，解得：
∴
设
则有
...
∵△OA1B1，△B1A2B2， △B2A3B3，…均为等腰直角三角形
∴
...
将点坐标代入直线解析式可得：
...
∵y1=1
∴
...
故答案为：A
【分析】根据待定系数法将点A1(1，1)代入直线解析式可得，设，代入解析式可得y值，根据等腰直角三角形性质，总结规律，即可求出答案.
9．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则　 　．
【答案】-4
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：因为在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称 ，
所以
解得：
故答案为：.
【分析】如果两点关于原点点对称，则两点横纵坐标对应为相反数，据此求解即可.
10．已知 那么a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵
∴1-2a＞0，解得：
故答案为：
【分析】根据二次根式的非负性建立不等式，解不等式即可求出答案.
11．如图所示，点A、B的坐标分别为(4，0)，(0，2)，点P是第一象限内直线 上一个动点，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积　 　(填“变大”、“变小”或“不变”)．
【答案】不变
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+2
将点A(4，0)代入解析式可得：4k+2=0，解得：
∴直线AB的解析式为
∴直线AB与直线 平行
∴点P在移动过程中，△PAB的面积不变
∴四边形OAPB的面积不变
故答案为：不变
【分析】设直线AB的解析式为y=kx+2，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得直线AB的解析式为，则直线AB与直线 平行，结合直线平行性质即可求出答案.
12．如图，正方体的棱长为10，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短距离是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将正方体的右侧面与前面展开，如图，过点B作BC⊥AC于点C
由题意可得：AC=10+5=15，BC=10÷2=5
∴
∴从点A爬到点B的最短距离是
故答案为：
【分析】解：将正方体的右侧面与前面展开，过点B作BC⊥AC于点C，由题意可得：AC=15，BC=5，再根据勾股定理即可求出答案.
13．如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-6，0)，B(-3，-2)，C(4，0)，D(0，4)，当过点A的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设直线CD的解析式为：y=kx+b
∵C(4，0)，D(0，4)在直线CD上
∴，解得：
∴直线CD的解析式为：y=-x+4
∵四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-6，0)，B(-3，-2)，C(4，0)，D(0，4)
∴
∵过点A的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分
设l与CD的交点为E，连接AE
∴
解得：yE=1
当y=1时，x=3
∴E(3，1)
∵A(-6，0)，E(3，1)
设直线AE的解析式为y=mx+n
∴，解得：
∴直线AE的解析式为：
故答案为：
【分析】设直线CD的解析式为：y=kx+b，根据待定系数法将点C，D坐标代入解析式可得直线CD的解析式为：y=-x+4，根据三角形面积可得，设l与CD的交点为E，连接AE，由题意可得，解方程可得yE=1，代入解析式可得E(3，1)，设直线AE的解析式为y=mx+n，再根据待定系数法将点A，E坐标代入解析式即可求出答案.
14．计算与解方程组：
（1）计算：
①
②
（2）解关于x与y的方程组：
③
④
【答案】（1）解：①原式=
=
②原式=
=
（2）解：③
②×3-①可得：11y=22
解得：y=2，③
将③代入②可得：x+6=7
解得：x=1
∴原方程的解为：
④
②×6-①可得：3y=6
解得：y=2③
将③代入①可得：3x+2=5
解得：x=1
∴原方程的解为：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；实数的绝对值；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）①根据完全平方公式，平方差公式化简，再计算加减即可求出答案.
②根据负整数指数幂，绝对值，二次根式的除法化简，再计算加减即可求出答案.
（2）③根据加减消元法解方程组即可求出答案.
④根据加减消元法解方程组即可求出答案.
15．如图，深圳某校有一块三角形空地ABC，其中∠ACB =90°，为了更好发挥这片空地的价值，并且丰富孩子们的校园生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形ACD区域设计成休息区，其余部分设计成英语角，经过测量发现：CD=30米，AD=40米，BC=120米，AB=130米.
（1）求∠ADC的度数；
（2）假如给英语角铺路需要用到水泥，经过了解发现铺设每平方米地需要50元水泥，请问该英语角一共需要花费多少钱用于购买水泥
【答案】（1）解：∵∠ACB =90°，BC=120米，AB=130米
∴米
∵CD=30米，AD=40米
∴CD2+AD2=2500=AC2
∴△ACD是直角三角形
∴ADC=90°
（2）解：由题意可得：阴影部分的面积=
=
=
=2400平方米
∵每平方米地需要50元水泥
∴2400×50=120000元
∴该英语角一共需要花费120000元用于购买水泥
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AC，根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）根据阴影部分的面积=，结合三角形求出总面积，再乘以单价即可求出答案.
16．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问：甲、乙持钱各几何 ”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50两银子；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有50两银子．问：甲、乙两人原本各自带了多少银子
【答案】解：设甲带了x钱，乙带了y钱
由题意可得：
解得：
∴设甲带了37.5钱，乙带了25钱
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设甲带了x钱，乙带了y钱，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
17．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(0，2)，B(2，0)，C(4，3)．
（1）在图中画出△ABC并标出字母，△ABC的面积为 ▲ ；
（2）若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为　 　；
（3）已知Q为y轴上一点，若△ACQ的面积为8，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：如图，△ABC即为所求
△ABC的面积为5
（2）(-4，3)
（3）(0，6)或(0，-2)
【知识点】三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：5
（2）∵点P与点C关于y轴对称
∴点P的坐标为(-4，3)
故答案为：(-4，3)
（3）设点Q的坐标为(0，m)
∵△ACQ的面积为8
∴
解得：m=6或-2
∴点Q的坐标为(0，6)或(0，-2)
【分析】（1）在直角坐标系中标出A，B，C三点，再依次连接即可，再根据割补法求出三角形面积即可求出答案.
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
（3）设点Q的坐标为(0，m)，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
18．小深在学习二次根式分母有理化问题时：已知 他是这样分析与解答的：
请你根据小深的分析过程，解决如下问题：
（1）填空： 　 　，　 　(n≥1)；
（2）计算：
【答案】（1）；
（2）解：原式=
=
=2024-1
=2023
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：；
【分析】（1）进行分母有理化，结合平方差公式即可求出答案.
（2）根据（1）中规律化简，结合平方差公式即可求出答案.
19．
（1）放在墙角的立柜(图1)上下面是一个等腰直角三角形(图2)，其面积为0.5m2，现要将这个立柜通过一个宽为0.75m的直行通道(没有拐弯，高度足够)，请问能通过吗 请通过计算进行说明．
（2）小明是一个很喜欢思考的学生，有一次他去木板加工厂参观发现有时候木板的宽度略大于门的高度和宽度也可以通过，只需要把木板倾斜到合适的角度就可以通过．现在小明遇到一个问题，有一个比较特殊的正方形门(图3)，边长为2m，有一块长3m，宽2.2m，厚度0.5m的长方体箱子想从门内通过，请问可以通过吗 如果可以通过请帮小明解释如何通过(作图辅助说明)，并通过计算进行说明，如果不行请说明理由．(参考数据：)
【答案】（1）解：能通过，理由如下：
设等腰直角三角形直角边AB=AC=am
∴
解得：a=1
∴m
斜边上的高：m
0.707<0.75
∴能通过，
（2）解：能通过，理由如下：
如图，当AB=CD=0.5m，且△ABM为等腰直角三角形时
设AM=BM=am，则a2+a2=0.52
解得：
∴m
∵
∴△ADQ为等腰直角三角形
∴
∴小明能通过
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）设等腰直角三角形直角边AB=AC=am，根据三角形面积建立方程，解方程可得a=1，根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积可得斜边上的高，再比较大小即可求出答案.
（2）当AB=CD=0.5m，且△ABM为等腰直角三角形时，设AM=BM=am，根据勾股定理可得a，根据边之间的关系可得m，根据等腰直角三角形判定定理及性质即可求出答案.
20．如图1，已知直线 交x轴于A(6，0)，交y轴于 B(0，6).
（1）直接写出k的值为　 　，b的值为　 　．
（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线 经过AB的中点P，点Q(t，0)为x轴上一动点，过Q作QD⊥x轴分别交直线l1、l2于D、E，连接OD、OE、OQ得到 △ODE和△ODQ，若其中一个三角形面积是另一个三角形面积的两倍，求c和t的值；
（3）如图3，已知点M(-2，0)，点N(m，2m-6)为直线AB右侧一点，且满足 求m的值.
【答案】（1）-1；6
（2）解：如图
∵A(6，0)，B(0，6)
∴线段AB的中点P的坐标为(3，3)
将P(3，3)代入，可得：
解得：
∴
由（1）可得：
∵Q(t，0)，QD⊥x轴
∴D(t，-t+6)，
∴
∵△ODE和△ODQ，若其中一个三角形面积是另一个三角形面积的两倍
∴DE=2DQ或DQ=2DE
∴或
解得：或或或
（3）解：作点M关于y轴的对称点G(2，0)，以G为直角顶点，BG为直角边在BG右侧作等腰直角三角形BGH，过点H作HK⊥x轴于点K
∴∠OBM=∠OBG
∵A(6，0)，B(0，6)
∴△AOB是等腰直角三角形
∴∠OBG+∠ABG=45°
∵△BGH是等腰直角三角形
∴∠ABG+∠ABH=45°，BG=GH
∴∠OBG=∠ABH
∴∠OBM=∠ABH
∴N在直线BH上
∵∠OGB=90°-∠HGK=∠GHK，∠BOG=∠GKH=90°，BG=GH
∴△BOG≌△GKH
∴BO=GK=6，OG=HK=2
∴H(8，2)
由B(0，6)，H(8，2)可得直线BH的解析式为
将N(m，2m-6)代入可得：
解得：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；三角形全等及其性质；一次函数中的面积问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：（1）∵直线 交x轴于A(6，0)，交y轴于 B(0，6)
∴，解得：
故答案为：-1；6
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据线段中点坐标可得点P的坐标为(3，3)，根据待定系数法将点P坐标代入直线l2可得c值，根据两点间距离可得DE，DQ，再根据三角形面积可得DE=2DQ或DQ=2DE，建立方程，解方程即可求出答案.
（3）作点M关于y轴的对称点G(2，0)，以G为直角顶点，BG为直角边在BG右侧作等腰直角三角形BGH，过点H作HK⊥x轴于点K，根据等腰直角三角形判定定理可得△AOB是等腰直角三角形，则∠OBG+∠ABG=45°，根据角之间的关系可得∠OBM=∠ABH，再根据全等三角形判定定理可得△BOG≌△GKH，则BO=GK=6，OG=HK=2，根据点的坐标可得H(8，2)，根据待定系数法可得直线BH的解析式为，在将点N坐标代入，解方程即可求出答案.
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