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圆的定义在证题中的作用
我们知道，定理是推理证明的重要依据，而定义在证题当中也有不可忽视的作用．下面举例说明圆的定义在证题中的应用．
例1 如图1，△ABC为等边三角形，在AC边外侧作AD＝BC，求证∠BDC＝30°．
证明 ∵△ABC是等边三角形，
　　∴ AB＝AC＝AD．
　　这样，B，C，D三点应在以A为圆心，以AB为半径的圆上，将此圆画出．
　　∵△ABC为等边三角形，则∠BAC＝60°．
　　
　　∴∠BDC＝30°．
例2 如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝b，AB＝AC＝AD＝a，求BD的长．
　　
证明 以A为圆心，a长为半径画圆．
　　∵ AB＝AC＝AD＝a，
　　故B，C，D三点在⊙A上，延长BA交⊙A于E，连结DE．
　　
　　于是DE＝BC＝b．
　　在△BDE中，∴BE是⊙A的直径，
　　∴∠EDB＝90°．
　　
例3 如图3，△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：AB2－AD2＝BD·DC．
　　
分析 BD·DC的形式很容易使人想到相交弦定理，又由于AB＝AC，由圆的定义，可作辅助圆，于是我们有如下证明．
　　证明 以A为圆心，AB为半径作圆，向两侧延长AD和⊙A分别交于E，F，则
　　BD·DC＝ED·DF＝(EA＋AD)(AF－AD)
　　＝(AB＋AD)(AB－AD)
　　＝AB2－AD2
　　∴AB2－AD2＝BD·DC．
　　从上面几例可以看出，利用圆的定义解某些几何问题，其特点是要找出到定点的距离等于定长的点，然后以定点为圆心定长为半径画圆，利用圆的有关性质使问题简捷、巧妙地得到解决．

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