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2026～2027 学年度第一学期阶段自主检测
九年级数学试题卷
2026. 10
注意事项：1. 你拿到的试卷，满分 150 分。考试时间为 120 分钟。
2. 本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。请务必在“答题卷”上答题。
一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分；每小题都给出代号为 A、B、C、D 的四个选项，其中只有一个是正确的)
1.下列各式中， 是 的二次函数是
A. B.
C. D.
2.若二次函数 的图象经过点 P(2，4)，则该图象必经过点
A. B. C. D.
3.点 A(3，)，B(1，)，C(2，)是抛物线 上的点，则 ，， 的大小为
A. B. C. D.
4.在函数 的图象上有三点 、、，已知 ，则下列各式中，正确的是
A. B. C. D.
5.已知反比例函数 在第二象限内的图象与一次函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能为
A. B. C. D.
　　　　
第 5 题图　　　第 6 题图　　　第 7 题图
6.一次函数 与二次函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为
A. B. C. D. 或
7.某养鸡场利用院墙和 15 米长的铁栅栏围成三个相连的矩形养殖小院，总面积为 平方米，为方便取物，在各个院子之间留出了 1 米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个 1 米宽的缺口作小门，若设 米，则 关于 的函数关系式为
A. B. C. D.
8.如图是二次函数 的图象的一部分，给出下列结论：①；②；③；④（ 为任意实数），其中正确的结论有
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
　　　
第 8 题图　第 9 题图　第 10 题图　第 13 题图
9.如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，当抛物线 与四边形 OABC 的边有交点时， 的取值范围是
A. B.
C. D.
10.如图，在菱形 ABCD 中，，AB=4，动点 E 从点 A 出发沿边 AB→BC 匀速运动，运动到点 C 时停止，过点 E 作 AD 的垂线 ，在点 E 运动过程中，垂线 扫过菱形（即阴影部分）的面积为 ，点 E 运动的路程为 ．下列图象能反映 与 之间函数关系的是
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分)
11.如果函数 是二次函数，则 的值为 .
12.某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离 (单位：米)关于滑行的时间 (单位：秒)的函数解析式是 ，无人机着陆后滑行 秒才能停下来.
13.如图，一次函数 和 的图象与反比例函数 的图象在第一象限分别交于 A、B 两点，已知 面积为 10，则 的值为 .
14.已知二次函数 ，将 P(1，7)向左平移 个单位长度后，再向上平移 2 个单位长度，恰好落在 的图象上.
（1） ；
（2）将该二次函数图象向右平移 个单位长度后，当 时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为 6，则 .
三、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分)
15.已知抛物线经过点(2，0)，(4，0)，(6，8)，求该抛物线的表达式.
16.已知函数 ，且 与 成反比例， 与 成正比例，当 时，，又该函数的图象经过点 ，求 与 之间的函数关系式.
四、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分)
17.已知二次函数 .
（1）求证：无论 为何值时，该二次函数的图象与 轴都有交点；
（2）若该二次函数图象的对称轴为直线 ，求它与 轴的交点坐标.
18.如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 P(2，)和点 Q(1，4).
（1）求一次函数及反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出关于 的不等式 的解集.
第 18 题图
五、(本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分)
19.为预防秋季疾病传播，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量 (毫克)与燃烧时间 (分钟)之间的关系如图所示(即图中线段 OA 和双曲线在 A 点及其右侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始， 与 之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）据测定，只有当空气中每立方米的含药量不低于 5 毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用 20 分钟以上，才能完全杀死这种病毒，请问这次消毒是否彻底？
第 19 题图
20.如图，某隧道口的横截面是抛物线一部分，已知单行车道宽 AB 为 3 米，最高点离地面的距离 OC 为 5 米．以最高点 O 为坐标原点，抛物线的对称轴为 轴，建立平面直角坐标系.
（1）求该部分抛物线函数解析式，并写出 的取值范围；
（2）有一辆宽 2.4 米，高 3.1 米货车（货物最高处与地面 AB 的距离）能否通过此隧道？
六、(本题满分 12 分)
21.如图 1，抛物线 经过 A(1，0)，B(3，0)两点，与 轴交于点 C，P 为第四象限内抛物线上一点.
（1）设四边形 PBOC 的面积为 ，求 的最大值；
（2）连接 BC，若 的面积为 ，求 的最大值；
（3）如图 2，过点 P 作 PM 轴于点 M，连接 AC，AP，AP 与 轴交于点 N，当 时，求点 N 的坐标.
七、(本题满分 12 分)
22.根据以下生活素材，探索、解决问题：
【生活素材】
素材 1：某批发商以 40 元/千克的价格购入了某种水果 500 千克．据市场预测，该种水果的售价 (元/千克)与保存时间 (天)的函数关系为 .
素材 2：保存这批水果平均每天将损耗 10 千克，且最多能保存 8 天．另外，批发商保存该批水果每天还需 40 元的费用.
【解决问题】
批发商将这批水果保存 天后一次性卖出，获得的总利润为 (元)．
问题 1：当 时，则卖出时水果的售价为 元/千克，获得的总利润为 元；
问题 2：设批发商将这批水果保存 天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润 (元)与保存时间 (天)之间的函数关系式；
问题 3：求批发商经营这批水果所能获得的最大利润.
八、(本题满分 14 分)
23.已知抛物线 G： 的对称轴是直线 ，直线 : 与抛物线 G 交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）.
（1）求抛物线 G 的顶点坐标；
（2）平移抛物线 G，使其顶点始终在直线 下方原抛物线 G 上，得到新抛物线 H，新抛物线 H 与直线 交于 M、N 两点，且点 B 恰好为 MN 的中点，请写出抛物线 G 到抛物线 H 的平移方式，并说明理由；
（3）直线 分别与直线 和抛物线 G 交于点 P、Q，若 PQ 的长度随 的增大而减小，直接写出 的取值范围.
九年级数学试题参考答案
2026. 10
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B D B C A B D B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 3
12. 20
13. 8
14.（1）4 （2） 或
三、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分)
15.（8 分）
解：设二次函数的关系式为 ，
根据题意，得 ，　解得 ，
∴抛物线的表达式为 . 8 分
16.（8 分）
解：根据题意，可设 ，， 2 分
∴， 3 分
∵当 时 ，
该函数的图像经过点 ，
∴， 5 分
解得：， 7 分
∴ 与 之间的函数关系式 ． 8 分
四、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分)
17.（8 分）
解：（1）∵，
∴，
， 2 分
∵无论 为何值时，，
∴，
即无论 为何值时，该二次函数的图象与 轴都有交点； 4 分
（2）∵，
∴对称轴为直线 ， 5 分
∵该二次函数图象的对称轴为直线 ，
∴，即 ，
依题意，令 ，则 ，
∴，
解得 ， 7 分
∴它与 轴的交点坐标分别为 , 8 分
18.（8 分）
解：（1）将 Q(1，4)代入 ，得 ，
∴， 2 分
将 P(2,)代入 ，得 ，∴P(2,2)，
将 Q(1，4)、P(2,2)代入 ，
得：，
解得：，
故一次函数的解析式为：； 4 分
（2）由图像可知不等式 的解集为： 或 . 8 分
五、(本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分)
19.（10 分）
解：（1）设反比例函数解析式为 ，将 代入解析式得，
，
则函数解析式为 ， 2 分
将 ，代入解析式得，，
解得 ，故 ，
设正比例函数解析式为 ，将 代入上式得，
，
则正比例函数解析式为 ， 4 分
综上：； 5 分
（2）将 ，代入 ，得 ，
将 ，代入 ，得到 ，
∵，
∴这次消毒很彻底． 10 分
20.（10 分）
解：（1）设所求函数的解析式为 ，
由题意，得函数图象经过点 B（，5），　∴　∴， 2 分
∴所求的二次函数的解析式为 ， 3 分
的取值范围是 ； 5 分
（2）当车宽 2.4 米时，即当 时，，
∵，
∴农用货车不能够通过此隧道． 10 分
六、(本题满分 12 分)
21.（12 分）
解：（1）将 ， 代入 ，得：
∴，　∴，
∴ 2 分
过点 P 作 轴于点 N，如图所示，
第 21 题答图
令 ，则 ，
∴，　∴，
∵P 为第四象限内抛物线上一点，设点 ，
∴，　，
∵，　∴，　∴，
∴
4 分
，
∵，
∴当 时， 有最大值，； 5 分
（2）∵（3，0），（0，-3），
∴ 的面积=，
又∵ 的面积，
∴ 的最大值=； 8 分
（3）∵ 轴， 轴，
∴，　∴，
∵，　∴，
∴，　∴AN = CN，
设 ，　则 ，
∴，　∴，
∴． 12 分
七、(本题满分 12 分)
22.（12 分）
解：问题 1：62　；10340　； 2 分
问题 2：由题意，得
，且 为整数)； 8 分
问题 3：，
∵， 为整数，当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， 取最大值，，
答：批发商所获利润最大为 11600 元． 12 分
八、(本题满分 14 分)
23.（14 分）
解：（1）由题意得 ，解得 ，
∴，
∴抛物线 G 的顶点坐标为（1，1）； 4 分
（2）联立直线 和抛物线 ，
整理，得 ，解得 ，
∴， 6 分
由题意，设抛物线 H 的顶点横坐标为 ，则纵坐标为 ，
∴抛物线 的表达式为 ，
∵抛物线 与直线 交于 、 两点，
∴，
整理，得 ，
又∵ 点坐标（3，5），而点 是 、 的中点，
∴由根与系数的关系，得 ，解得 ，
∴，
∴抛物线 ：， 8 分
∵抛物线 G：，
∴抛物线 G 平移到抛物线 H 的方式是向右平移 个单位，向上平移 个单位；
10 分
（3）由题知，PQ 的长度随 的增大而减小时， 的取值范围是 或 .
14 分

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