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新疆维吾尔自治区2024年九年级中考三模数学试题
一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）
1．下图中用量角器测得的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（　　）
A． B． C． D．
3．二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
4． 下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，直线被射线所截，，若°，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（　　）
A．95° B．100° C．105° D．110°
7．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
8．如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（　　）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
10．分解因式：x3y﹣xy3=　 　．
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　 　，使矩形ABCD是正方形．
12．一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为　 　．
13．计算：　 　．
14．小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论：
①当时，x越小，函数值越小；
②当时，x越大，函数值越小；
③当时，x越小，函数值越大；
④当时，x越大，函数值越大．
其中正确的是　 　（只填写序号）．
15． 已知，，，，……都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点，，，……都在轴正半轴上，且，则点的坐标是　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．
（1）计算：．
（2）解方程组：
17．
（1）先化简，再求值：，其中．
（2）某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，刘老师从少年宫带回来两条信息：信息一：按原来报名参加的人数，共需交费340元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费480元；
信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用会比原来少5元．
根据以上信息，求原来报名参加活动的学生有多少人？在没有享受优惠的情况下每人需交费多少元？
18． 某服装店的某款衣服最近销售火爆．现有两家供应商到该服装店推销服装，两家服装价格相同，品质相近．服装店决定通过检查材料的纯度来确定选购哪家供应商的服装．检查人员从两家供应商提供的材料样品中分别随机抽取15块相同的材料，通过特殊操作检验出其纯度（单位：%），并对数据进行整理、描述和分析．部分信息如下：
Ⅰ．A供应商供应材料的纯度如下：
A 72 73 74 75 76 78 79
频数 1 1 5 3 3 1 1
Ⅱ．B供应商供应材料的纯度如下：
Ⅲ．A，B两家供应商供应材料纯度的平均数、中位数、众数和方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
A 75 75 74 3.07
B 75
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的　 　，　 　，　 　；
（2）你认为服装店应选择哪家供应商供应服装？为什么？
19．如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），昌昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E.且测得BC＝3米，CD＝28米.∠CDE＝127°.已知小华的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度.（参考数据：，）
20．如图，已知坐标轴上两点，连接，过点B作，交反比例函数在第一象限的图象于点．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）将直线向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
21．如图，中，，垂足为D，点E、F、G分别是中点，直线交点G．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的度数．
22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，与弦AF交于G，过点F的直线分别与AB，CD的延长线交于M，N，FN＝GN．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若BM＝1，，求AF的长．
23．如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．
（1）求直线的函数表达式及点C的坐标；
（2）点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图所示：∠ABC=130°，
故答案为：C.
【分析】观察所给的量角器，求解即可。
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设以6cm与8cm为边长的三角形的第三边长为xcm，
由题意，得8-6＜x＜8+6，
即2＜x＜14，
∴A、B、D三个选项错误，不符合题意，只有C选项正确，符合题意.
故答案为：C.
【分析】设以6cm与8cm为边长的三角形的第三边长为xcm，根据三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可求出x的取值范围，从而即可一一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴1-x≥0，
∴x≤1.
在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则1-x≥0，求出x的范围，然后根据解集的表示方法进行判断.
4．【答案】B
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项，a+a=2a，故A错误；
B选项，正确；
C选项，结果应为a2b2，故c错误；
D选项，结果应为a6，d错误；
故答案：B.
【分析】直接由同底数幂的运算规则、合并同类项的规则进行判断即可.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=108°，
∴∠3=∠1=108°
∵CD∥EF，
∴∠3+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-108°=72°.
故答案为：C.
【分析】利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质解题，当然可以通过同位角或内错角作为桥梁角进行解题.
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠C=55°，
∴∠AOB=2∠C=110°.
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C，据此计算.
7．【答案】D
【知识点】几何体的展开图；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：折叠后的图行如图：
∴与顶点K距离最远的顶点是D点，
故答案为：D
【分析】先根据折叠画出正方体，进而即可求解。
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】∵中，，，
∴，
由作图知，平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，②正确；
设，，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，③错误；
当时，，
∵，
∴，
∴，④正确
∴正确的有①②④，共3个．
故选：C．
【分析】本题综合考查等腰三角形的判定与性质、角平分线与线段垂直平分线的尺规作图及性质、相似三角形的判定与性质、黄金分割的计算。先由等腰三角形顶角∠A=36°，结合三角形内角和定理计算出底角∠ABC 与∠C 的度数；根据尺规作图的步骤可判断 BD 是∠ABC 的角平分线，MN 是 BD 的垂直平分线，利用角平分线定义得出∠ABD 与∠CBD 的度数，再由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，得到 EB=ED，进而推出∠EBD=∠EDB，通过等量代换得到∠EDB=∠CBD，依据内错角相等两直线平行判定 DE∥BC，再由两直线平行同位角相等验证结论①；接着由等角对等边，分别推导 AD=BD、BC=BD 以及 AD=AE，通过等量代换验证结论②；再由 DE∥BC 判定△AED 与△ABC 相似，根据相似三角形对应边成比例建立边长关系，结合黄金分割比例计算 ED 与 BC 的比值，判断结论③；最后当 AC=2 时，利用 CD 与 AD 的比例关系列方程，求解得出 AD 的长度，验证结论④。
9．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令抛物线y=ax2-a中的y=0，
得ax2-a=0，
∵a≠0，
∴x2-1=0，
解得x=±1，
∴抛物线y=ax2-a与x轴交点坐标为（1，0）与（-1，0），
令抛物线y=ax2-a中的x=0，得y=-a，
∴抛物线的顶点坐标为（0，-a），
当a＞0，k＞0时，其图象大致为
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
当a＞0，k＜0时，其图象大致为
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、三、四象限；
当a＜0，k＞0时，其图象大致为：
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、二、四象限；
当a＜0，k＜0时，其图象大致为：
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
综上直线y=ax+k的图象一定经过第一、四象限.
故答案为：D.
【分析】首先求出抛物线y=ax2-a与x轴两交点的坐标及顶点坐标，然后分当a＞0，k＞0时，当a＞0，k＜0时，当a＜0，k＞0时，当a＜0，k＜0时，四种情况画出大致图象，找出两交点横坐标的取值范围，进而根据x1+x2＜0进行一一验证，得出符合题意的a、k的取值，最后根据一次函数的图象与系数的关系可得直线y=ax+k所经过的象限，即可得出答案.
10．【答案】xy（x+y）（x﹣y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3y﹣xy3，
=xy（x2﹣y2），
=xy（x+y）（x﹣y）．
【分析】首先提取公因式xy，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．
11．【答案】AB=AD(答案不唯一)
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，AB=AD，
矩形ABCD是正方形.
故答案为：AB=AD.
【分析】邻边相等的矩形是正方形.
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画出树状图如下：
共有4种情况数，其中和为3的情况数为2，
∴和为3的概率为=.
故答案为：.
【分析】画出树状图，找出总情况数以及和为3的情况数，然后利用概率公式进行计算.
13．【答案】
【知识点】立方根及开立方；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：8
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、立方根进行运算，进而即可求解。
14．【答案】②③④
【知识点】函数自变量的取值范围；函数的图象
【解析】【解答】解：∵函数，
∴
令y'=0，
∴2x3-2=0，
∴x=1，
∴当x<0或0当x≥1时，y'≥0，则此时y随x增大而增大.
∴当x<-1时，x越小，函数值越大，故结论①错误；
当-1当0当x>1时，x越大，函数值越大，故结论④正确；
故答案为：②③④.
【分析】结合题意，根据函数的性质判断求解即可。
15．【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：易知A3(3，0)，A6(，0)，A9(9，0)，A12(12，0).....这些点的横坐标与点字母的下标相同，纵坐标为0，2024=674×3+2，故点A2024也在x轴上，故A2024(2024，0)
故答案：(2024，0)
【分析】找到一系列点的坐标找到规律及表达式，即可求出A2024的坐标.
16．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：
由②得：③
①得：④
④③得：，解得：．
把代入①得：，解得：．
故原方程组的解是．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)先将除法化为乘法进行运算，再算减法即可；
(2)先将②式去分母整理为，将①×3即可用减法进行消元，即可得结果.
17．【答案】（1）解：原式
．
当时，原式．
（2）解：设原来报名参加的学生有人，
依题意得：，解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
在没有享受优惠的情况下每人需交费：（元）．
答：原来报名参加活动的学生有20人，在没有享受优惠的情况下每人需交费17元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先算括号内通分，因式分解后再约分化简，最后代入x=4即可求解结果；
（2）设学生人数为x人，则由题意可列，求解方程即可.
18．【答案】（1）75；75；6
（2）选A供应商供应服装，理由如下：
平均值一样，B的方差比A的大，A更稳定，
选A供应商供应服装．
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：(1)a=
第一空：75
观察数据发现出现次数最多的数据为75，故众数b=75；
s2=
c=6；
【分析】(1)直接可计算出数据的平均数，由方差公式即可算出其方差，观察可知其众数；
(2)两组数据平均值数、平均值与中位数，对比即可比较得出结论.
19．【答案】解：如图，过点E作EF⊥CD交CD延长线于点F，
∵∠CDE=127°，
∴∠EDF=53°，
∴∠DEF=37°，
∴，
设DF为x米，则EF米，
∴DE≈米，
∵∠B=∠EFC=90°，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
∴，
∴，
解得：x=28，
∴DE的长度为米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 过点E作EF⊥CD交CD延长线于点F，先求∠DEF=37°，可得，设DF为x米，则EF米，DE≈米，证明△ABC∽△EFC，可得，代入数据求出x值即可.
20．【答案】（1）解：如图，过点C作轴于点D，
则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点，
将点C代入中，
可得，
∴，
设的表达式为，
将点代入可得，
解得：，
∴的表达式为；
（2）解：直线l的解析式为，
当两函数相交时，可得，
解得，，
代入反比例函数解析式，
得，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点C作轴于点D，则，，根据题意进行转化即可得到，再运用相似三角形的判定与性质证明即可得到，再通过点A和点B的坐标即可得到OA和OB的长，进而代入即可求出BD，从而得到OD，进而得到点C，将点C代入反比例函数即可得到k，设的表达式为，将点代入即可求解；
（2）根据题意联立解析式即可求出交点坐标，进而即可求解。
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵点E、G分别是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据到线段两端点距离线段的点在线段的垂直平分线上可得BD=CD，根据三角形的中位线等于第三边的一半可推得AE=DE=DG=AG，根据四条边线段的四边形是菱形即可证明；
（2）根据菱形的对边平行可得AB∥DG，根据题意可得∠BEC=∠CFD=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推得BD=DE=BE，根据三条边线段的三角形是等边三角形，等边三角形的三个角都是60°可得∠B=60°，根据直角三角形两锐角互余即可求解.
22．【答案】（1）证明：连接OF，如图，
∵FN＝GN，
∴∠NFG＝∠NGF，
∵∠NGF＝∠AGE，
∴∠NFG＝∠AGE．
∵CD⊥AB，
∴∠AGE+∠A＝90°，
∵OF＝OA，
∴∠A＝∠OFA，
∴∠OFA+∠NFG＝90°．
即∠OFN＝90°，
∴OF⊥MN．
∵OF为⊙O的半径，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：连接BF，
在Rt△MOF中，
∵sinM＝，
∴设OF＝4a，则OM＝5a，OB＝OF＝4a，AB＝2OF＝8a，
∴BM＝OM﹣OB＝a＝1，MF＝＝3a＝3．
∴AB＝8．
∵MN是⊙O的切线，
∴∠MFB＝∠A．
∵∠M＝∠M，
∴△MBF∽△MFA，
∴，
∴．
设BF＝x，则AF＝3x，
∵BF2+AF2＝AB2，
∴x2+（3x）2＝82，
∵x＞0，
∴x＝，
∴AF＝．
【知识点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由等边对等角及对顶角相等可推出∠NFG＝∠AGE，由垂直的定义、直角三角形量锐角互余及等量代换可得∠OFA+∠NFG＝90°，即 ∠OFN＝90° ，从而根据切线的判定定理可推出MN是⊙O的切线；
（2） 连接BF， 在Rt△MOF中， 由∠M的正弦函数定义结合正弦函数值，可设 OF＝4a，则OM＝5a，OB＝OF＝4a，AB＝2OF＝8a，BM＝OM﹣OB＝a＝1，由勾股定理算出MF的长，由弦切角定理推出∠MFB＝∠A，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△MBF∽△MFA，由相似三角形对应边成比例可推出 ， 设BF＝x，则AF＝3x， 在Rt△ABF中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而得到AF的长.
23．【答案】（1）解：由得，当时，．
解得．
∵点A在轴正半轴上．
∴点A的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将两点的坐标分别代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将代入，得．
∴点C的坐标为；
（2）解：①点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．
∴点的坐标分别为．
∴．
∵点的坐标为，
∴．
∵，
∴．
如图，当点在直线上方时，．
∵，
∴．
解得．
如图2，当点在直线下方时，．
∵，
∴．
解得，
∵，
∴．
综上所述，的值为2或3或；
②如图3，由（1）得，．
∵轴于点，交于点，点B的坐标为，
∴．
∵点在直线上方，
∴．
∵轴于点，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵轴，
∴四边形为矩形．
∴．
即．
∵，
∴当时，S的最大值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由求出y=0时x值，即得A（4，0） ，利用待定系数法求出直线AB解析式，再求出x=0时y值，即得C的坐标；
（2）①由题意知， 可得，由点C坐标可得=2， 分两种情况：当点在直线上方时 ，=2，解之即可； 当点在直线下方时，=2， 解之即可；
② 由（1）得， ，则EQ=m-1，证明．
可得，据此求出FQ=-m+4，即得FQ=DE，从而证四边形为矩形，继而得出 ∴，利用二次函数的性质求解即可.
1 / 1新疆维吾尔自治区2024年九年级中考三模数学试题
一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）
1．下图中用量角器测得的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图所示：∠ABC=130°，
故答案为：C.
【分析】观察所给的量角器，求解即可。
2．在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设以6cm与8cm为边长的三角形的第三边长为xcm，
由题意，得8-6＜x＜8+6，
即2＜x＜14，
∴A、B、D三个选项错误，不符合题意，只有C选项正确，符合题意.
故答案为：C.
【分析】设以6cm与8cm为边长的三角形的第三边长为xcm，根据三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可求出x的取值范围，从而即可一一判断得出答案.
3．二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴1-x≥0，
∴x≤1.
在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则1-x≥0，求出x的范围，然后根据解集的表示方法进行判断.
4． 下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项，a+a=2a，故A错误；
B选项，正确；
C选项，结果应为a2b2，故c错误；
D选项，结果应为a6，d错误；
故答案：B.
【分析】直接由同底数幂的运算规则、合并同类项的规则进行判断即可.
5．如图，直线被射线所截，，若°，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=108°，
∴∠3=∠1=108°
∵CD∥EF，
∴∠3+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-108°=72°.
故答案为：C.
【分析】利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质解题，当然可以通过同位角或内错角作为桥梁角进行解题.
6．如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（　　）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠C=55°，
∴∠AOB=2∠C=110°.
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C，据此计算.
7．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】D
【知识点】几何体的展开图；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：折叠后的图行如图：
∴与顶点K距离最远的顶点是D点，
故答案为：D
【分析】先根据折叠画出正方体，进而即可求解。
8．如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】∵中，，，
∴，
由作图知，平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，②正确；
设，，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，③错误；
当时，，
∵，
∴，
∴，④正确
∴正确的有①②④，共3个．
故选：C．
【分析】本题综合考查等腰三角形的判定与性质、角平分线与线段垂直平分线的尺规作图及性质、相似三角形的判定与性质、黄金分割的计算。先由等腰三角形顶角∠A=36°，结合三角形内角和定理计算出底角∠ABC 与∠C 的度数；根据尺规作图的步骤可判断 BD 是∠ABC 的角平分线，MN 是 BD 的垂直平分线，利用角平分线定义得出∠ABD 与∠CBD 的度数，再由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，得到 EB=ED，进而推出∠EBD=∠EDB，通过等量代换得到∠EDB=∠CBD，依据内错角相等两直线平行判定 DE∥BC，再由两直线平行同位角相等验证结论①；接着由等角对等边，分别推导 AD=BD、BC=BD 以及 AD=AE，通过等量代换验证结论②；再由 DE∥BC 判定△AED 与△ABC 相似，根据相似三角形对应边成比例建立边长关系，结合黄金分割比例计算 ED 与 BC 的比值，判断结论③；最后当 AC=2 时，利用 CD 与 AD 的比例关系列方程，求解得出 AD 的长度，验证结论④。
9．抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（　　）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令抛物线y=ax2-a中的y=0，
得ax2-a=0，
∵a≠0，
∴x2-1=0，
解得x=±1，
∴抛物线y=ax2-a与x轴交点坐标为（1，0）与（-1，0），
令抛物线y=ax2-a中的x=0，得y=-a，
∴抛物线的顶点坐标为（0，-a），
当a＞0，k＞0时，其图象大致为
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
当a＞0，k＜0时，其图象大致为
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、三、四象限；
当a＜0，k＞0时，其图象大致为：
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、二、四象限；
当a＜0，k＜0时，其图象大致为：
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
综上直线y=ax+k的图象一定经过第一、四象限.
故答案为：D.
【分析】首先求出抛物线y=ax2-a与x轴两交点的坐标及顶点坐标，然后分当a＞0，k＞0时，当a＞0，k＜0时，当a＜0，k＞0时，当a＜0，k＜0时，四种情况画出大致图象，找出两交点横坐标的取值范围，进而根据x1+x2＜0进行一一验证，得出符合题意的a、k的取值，最后根据一次函数的图象与系数的关系可得直线y=ax+k所经过的象限，即可得出答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
10．分解因式：x3y﹣xy3=　 　．
【答案】xy（x+y）（x﹣y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3y﹣xy3，
=xy（x2﹣y2），
=xy（x+y）（x﹣y）．
【分析】首先提取公因式xy，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　 　，使矩形ABCD是正方形．
【答案】AB=AD(答案不唯一)
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，AB=AD，
矩形ABCD是正方形.
故答案为：AB=AD.
【分析】邻边相等的矩形是正方形.
12．一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画出树状图如下：
共有4种情况数，其中和为3的情况数为2，
∴和为3的概率为=.
故答案为：.
【分析】画出树状图，找出总情况数以及和为3的情况数，然后利用概率公式进行计算.
13．计算：　 　．
【答案】
【知识点】立方根及开立方；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：8
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、立方根进行运算，进而即可求解。
14．小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论：
①当时，x越小，函数值越小；
②当时，x越大，函数值越小；
③当时，x越小，函数值越大；
④当时，x越大，函数值越大．
其中正确的是　 　（只填写序号）．
【答案】②③④
【知识点】函数自变量的取值范围；函数的图象
【解析】【解答】解：∵函数，
∴
令y'=0，
∴2x3-2=0，
∴x=1，
∴当x<0或0当x≥1时，y'≥0，则此时y随x增大而增大.
∴当x<-1时，x越小，函数值越大，故结论①错误；
当-1当0当x>1时，x越大，函数值越大，故结论④正确；
故答案为：②③④.
【分析】结合题意，根据函数的性质判断求解即可。
15． 已知，，，，……都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点，，，……都在轴正半轴上，且，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：易知A3(3，0)，A6(，0)，A9(9，0)，A12(12，0).....这些点的横坐标与点字母的下标相同，纵坐标为0，2024=674×3+2，故点A2024也在x轴上，故A2024(2024，0)
故答案：(2024，0)
【分析】找到一系列点的坐标找到规律及表达式，即可求出A2024的坐标.
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．
（1）计算：．
（2）解方程组：
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：
由②得：③
①得：④
④③得：，解得：．
把代入①得：，解得：．
故原方程组的解是．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)先将除法化为乘法进行运算，再算减法即可；
(2)先将②式去分母整理为，将①×3即可用减法进行消元，即可得结果.
17．
（1）先化简，再求值：，其中．
（2）某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，刘老师从少年宫带回来两条信息：信息一：按原来报名参加的人数，共需交费340元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费480元；
信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用会比原来少5元．
根据以上信息，求原来报名参加活动的学生有多少人？在没有享受优惠的情况下每人需交费多少元？
【答案】（1）解：原式
．
当时，原式．
（2）解：设原来报名参加的学生有人，
依题意得：，解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
在没有享受优惠的情况下每人需交费：（元）．
答：原来报名参加活动的学生有20人，在没有享受优惠的情况下每人需交费17元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先算括号内通分，因式分解后再约分化简，最后代入x=4即可求解结果；
（2）设学生人数为x人，则由题意可列，求解方程即可.
18． 某服装店的某款衣服最近销售火爆．现有两家供应商到该服装店推销服装，两家服装价格相同，品质相近．服装店决定通过检查材料的纯度来确定选购哪家供应商的服装．检查人员从两家供应商提供的材料样品中分别随机抽取15块相同的材料，通过特殊操作检验出其纯度（单位：%），并对数据进行整理、描述和分析．部分信息如下：
Ⅰ．A供应商供应材料的纯度如下：
A 72 73 74 75 76 78 79
频数 1 1 5 3 3 1 1
Ⅱ．B供应商供应材料的纯度如下：
Ⅲ．A，B两家供应商供应材料纯度的平均数、中位数、众数和方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
A 75 75 74 3.07
B 75
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的　 　，　 　，　 　；
（2）你认为服装店应选择哪家供应商供应服装？为什么？
【答案】（1）75；75；6
（2）选A供应商供应服装，理由如下：
平均值一样，B的方差比A的大，A更稳定，
选A供应商供应服装．
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：(1)a=
第一空：75
观察数据发现出现次数最多的数据为75，故众数b=75；
s2=
c=6；
【分析】(1)直接可计算出数据的平均数，由方差公式即可算出其方差，观察可知其众数；
(2)两组数据平均值数、平均值与中位数，对比即可比较得出结论.
19．如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），昌昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E.且测得BC＝3米，CD＝28米.∠CDE＝127°.已知小华的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度.（参考数据：，）
【答案】解：如图，过点E作EF⊥CD交CD延长线于点F，
∵∠CDE=127°，
∴∠EDF=53°，
∴∠DEF=37°，
∴，
设DF为x米，则EF米，
∴DE≈米，
∵∠B=∠EFC=90°，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
∴，
∴，
解得：x=28，
∴DE的长度为米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 过点E作EF⊥CD交CD延长线于点F，先求∠DEF=37°，可得，设DF为x米，则EF米，DE≈米，证明△ABC∽△EFC，可得，代入数据求出x值即可.
20．如图，已知坐标轴上两点，连接，过点B作，交反比例函数在第一象限的图象于点．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）将直线向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
【答案】（1）解：如图，过点C作轴于点D，
则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点，
将点C代入中，
可得，
∴，
设的表达式为，
将点代入可得，
解得：，
∴的表达式为；
（2）解：直线l的解析式为，
当两函数相交时，可得，
解得，，
代入反比例函数解析式，
得，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点C作轴于点D，则，，根据题意进行转化即可得到，再运用相似三角形的判定与性质证明即可得到，再通过点A和点B的坐标即可得到OA和OB的长，进而代入即可求出BD，从而得到OD，进而得到点C，将点C代入反比例函数即可得到k，设的表达式为，将点代入即可求解；
（2）根据题意联立解析式即可求出交点坐标，进而即可求解。
21．如图，中，，垂足为D，点E、F、G分别是中点，直线交点G．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵点E、G分别是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据到线段两端点距离线段的点在线段的垂直平分线上可得BD=CD，根据三角形的中位线等于第三边的一半可推得AE=DE=DG=AG，根据四条边线段的四边形是菱形即可证明；
（2）根据菱形的对边平行可得AB∥DG，根据题意可得∠BEC=∠CFD=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推得BD=DE=BE，根据三条边线段的三角形是等边三角形，等边三角形的三个角都是60°可得∠B=60°，根据直角三角形两锐角互余即可求解.
22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，与弦AF交于G，过点F的直线分别与AB，CD的延长线交于M，N，FN＝GN．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若BM＝1，，求AF的长．
【答案】（1）证明：连接OF，如图，
∵FN＝GN，
∴∠NFG＝∠NGF，
∵∠NGF＝∠AGE，
∴∠NFG＝∠AGE．
∵CD⊥AB，
∴∠AGE+∠A＝90°，
∵OF＝OA，
∴∠A＝∠OFA，
∴∠OFA+∠NFG＝90°．
即∠OFN＝90°，
∴OF⊥MN．
∵OF为⊙O的半径，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：连接BF，
在Rt△MOF中，
∵sinM＝，
∴设OF＝4a，则OM＝5a，OB＝OF＝4a，AB＝2OF＝8a，
∴BM＝OM﹣OB＝a＝1，MF＝＝3a＝3．
∴AB＝8．
∵MN是⊙O的切线，
∴∠MFB＝∠A．
∵∠M＝∠M，
∴△MBF∽△MFA，
∴，
∴．
设BF＝x，则AF＝3x，
∵BF2+AF2＝AB2，
∴x2+（3x）2＝82，
∵x＞0，
∴x＝，
∴AF＝．
【知识点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由等边对等角及对顶角相等可推出∠NFG＝∠AGE，由垂直的定义、直角三角形量锐角互余及等量代换可得∠OFA+∠NFG＝90°，即 ∠OFN＝90° ，从而根据切线的判定定理可推出MN是⊙O的切线；
（2） 连接BF， 在Rt△MOF中， 由∠M的正弦函数定义结合正弦函数值，可设 OF＝4a，则OM＝5a，OB＝OF＝4a，AB＝2OF＝8a，BM＝OM﹣OB＝a＝1，由勾股定理算出MF的长，由弦切角定理推出∠MFB＝∠A，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△MBF∽△MFA，由相似三角形对应边成比例可推出 ， 设BF＝x，则AF＝3x， 在Rt△ABF中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而得到AF的长.
23．如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．
（1）求直线的函数表达式及点C的坐标；
（2）点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
【答案】（1）解：由得，当时，．
解得．
∵点A在轴正半轴上．
∴点A的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将两点的坐标分别代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将代入，得．
∴点C的坐标为；
（2）解：①点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．
∴点的坐标分别为．
∴．
∵点的坐标为，
∴．
∵，
∴．
如图，当点在直线上方时，．
∵，
∴．
解得．
如图2，当点在直线下方时，．
∵，
∴．
解得，
∵，
∴．
综上所述，的值为2或3或；
②如图3，由（1）得，．
∵轴于点，交于点，点B的坐标为，
∴．
∵点在直线上方，
∴．
∵轴于点，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵轴，
∴四边形为矩形．
∴．
即．
∵，
∴当时，S的最大值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由求出y=0时x值，即得A（4，0） ，利用待定系数法求出直线AB解析式，再求出x=0时y值，即得C的坐标；
（2）①由题意知， 可得，由点C坐标可得=2， 分两种情况：当点在直线上方时 ，=2，解之即可； 当点在直线下方时，=2， 解之即可；
② 由（1）得， ，则EQ=m-1，证明．
可得，据此求出FQ=-m+4，即得FQ=DE，从而证四边形为矩形，继而得出 ∴，利用二次函数的性质求解即可.
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