资源简介

浙江省长兴县龙山中学共同体素养检测2026-2027学年九年级上学期10月阶段测数学试题卷
一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)
1．下列函数中，一定是二次函数的是 (　　)
A． B．y=x(x-1) C． D．
2．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．旭日东升 B．守株待兔 C．大海捞针 D．水中捞月
3．抛物线 的对称轴是直线 (　　)
A．x=2 B．x=1 C． D．x=-1
4．二次函数 的图象如图所示，则关于x的一元二次方程 的解为(　　)
A． B．
C． D．
5．如图所示的桥拱是抛物线形，其函数表达式为 当水位线在AB位置时，水面宽12m，此时水面离桥拱顶的高度为(　　)
A．3m B．2 C．4m D．4
6． 在-1，1，2中任取两个数作为点的坐标，那么该点刚好在一次函数y=x-2的图象上的概率是(　　)
A． B． C． D．
7．已知点(-1，y1)，(3，y2)，(，y3)都在函数y=x2+2x+4的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y2>y3>y1 D．y3>y1>y2
8．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和点B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．已知二次函数 的最大值为6，那么关于x的一元二次方程 的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
10．已知 两点在抛物线y= - (x-1)(x-3)上， 下列判断正确的是(　　)
A．当t<1时， B．当t<1时，
C．当t>1时， D．当t>0时，
二、填空题(本大题有 6 个小题，每小题 3 分，共18 分)
11．二次函数 的图象与y轴交点坐标是　 　.
12．若函数 是关于x的二次函数，则a的值为　 　.
13．从形状、大小相同的9张数字卡片(1—9)中任意抽1张，抽出的恰好是①偶数；②小于6的数；③不小于9的数.将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排列，则有　 　 (用“>”连接).
14．如图，抛物线 (a， b，c为常数， 且a≠0) 交x轴于A(-1，0)，B(2，0)两点， 则不等式 的解集为　 　.
15．如图，二次函数 的图象与x轴交于(-1，0)， (x1，0)， 其中 结合图象给出下列结论：①ab>0；②a-b=-2；③关于x的一元二次方程 的另一个根是 ④b的取值范围为 其中结论正确的是　 　.
16．如图，抛物线 与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动 (点C在点D下方)，且CD=2.当AD+BC的值最小时，点C的坐标为　 　.
三、解答题(第 17, 18, 19, 20, 21 题每题 8 分, 第22, 23 题每题 10 分, 第 24 题 12分, 共 72 分)
17．已知二次函数图象的顶点坐标是(2，3)，并经过点(1，2)求：
（1）二次函数表达式.
（2）当x取何值时，y随x的增大而减小
18．深圳某中学科技社举办“拥抱智能，探索未来”AI 应用体验日活动，准备了以下四个体验项目供学生随机选择：
A.智能语音助手对话编程 B. AI学习助手解疑体验
C. AI图像生成艺术创作 D.人形机器人指令交互
（1）该校学生小智随机选择一个项目，他选中“AI图像生成艺术创作”（项目C)的概率是　 　；
（2）科技社成员小深和小港都参加了活动，他们各自从以上四个项目中随机选择一项进行体验。请用画树状图或列表方法，求两人选择的项目恰好相同的概率.
19．已知二次函数
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤7时，函数的最大值和最小值分别为多少
20．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共60个，它们除颜色外其余均相同.圆圆做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，不断重复上述摸球的过程，下表是实验中的若干统计数据：
摸球的次数n 50 100 200 400 1000 2000 3000
摸到白球的次数m 35 69 142 280 702 1398 2103
摸到白球的频率 mn 0.70 0.69 0.71 0.70 0.702 0.699 0.701
（1） 当n很大时，请估计摸到白球的概率.(精确到0.1)
（2） 试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个
（3）若要使摸到白球的概率为0.8，则需要往盒子里再放入多少个白球
21．设二次函数 已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x … -1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
（1）若m=4，求二次函数的表达式；
（2）若此抛物线上有M(x1，2026)， N(x2，2026)两点， 求当 时，二次函数的值.
22．已知二次函数 (t为常数) .
（1）证明：该二次函数图象与x轴必有两个交点.
（2）若图象上有点A(m，a)，B(m+2，a)，C(4，b)， 且满足a>b>2， 求m的取值
23．甲同学家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场ABCD，已知木栏总长为50米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设AB长为x米.
（1） 如图1， 当AD≤MN时，
①AD=▲米(用含x的代数式表示).
②若围成的养鸡场面积为138平方米，求AB的长.
（2）如图2，当AD>MN时，求养鸡场可达到的最大面积.
24．喷泉是城市中一道美丽的风景.如图1，水花从垂直地面的水管OA的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线.以水管与地面的交点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系.经测量，水管的高度是 米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线y1(如图2所示)，水花在与水管OA的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的B点.
（1）若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且y1，y2， ，yn这些抛物线的顶点在同一条直线l上，其中一条抛物线 与水平直线 相交于点 E，请求出y2的顶点坐标和l的表达式；
（2）若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为 且与直线 相交于点 F，经测算，当 时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线 yn中a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意；
B、，是二次函数，故选项B符合题意；
C、，不是二次函数，故选项C不符合题意；
D、，不是二次函数，故选项D不符合题意；
故选：B．
【分析】根据二次函数的定义“形如的函数是二次函数”逐项判断解答即可．
2．【答案】A
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解： A、旭日东升，是必然事件，A符合题意；
B、守株待兔，是随机事件，B不符合题意；
C、大海捞针，是随机事件，C不符合题意；
D、水中捞月，是不可能事件，D不符合题意；
故答案为：A .
【分析】 根据事件发生的可能性大小判断 .
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2(x2﹣2x+1)﹣2+1＝2(x﹣1)2﹣1，
∴抛物线y＝2x2﹣4x+l的对称轴是直线x＝1．
故选：B．
【分析】先把二次函数化为顶点式，得到对称轴方程解答即可．
4．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由图可得，二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，，即为一元二次方程的解．
故选：C．
【分析】根据函数图象得到抛物线与轴的交点的横坐标，即可得到方程的两个解．
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：桥拱对应的函数表达式为且水位线与轴平行，
，关于轴对称，
，
，，
将代入函数表达式得，即水面离桥拱顶的高度为，
故选：C．
【分析】根据水面宽度得到点A的横坐标，单后代入二次函数的解析式求出y的值解答即可．
6．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，
其中只有（1，-1）在一次函数y=x-2图象上，
所以点在一次函数y=x-2图象上的概率=．
故选：D．
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可.
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2+2x+4=（x+1）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当x＞-1时随x的增大而增大，
∵3＞＞-1，
∴ y2>y3>y1，
故答案为：C.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴为直线x=-1，同时可得到抛物线的开口向上，利用二次函数的增减性可知当x＞-1时随x的增大而增大，然后比较三个点的横坐标大小，可得到y1、y2、y3的大小关系.
8．【答案】D
【知识点】概率公式；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形
∴
故答案为：D.
【分析】先确定余下可选点的总数，再找出能使△ABC为直角三角形的点的个数，最后根据概率公式计算概率.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：，
∵，
∴当时，二次函数取得最大值为，
∵二次函数的最大值为6，
∴，
∴，
∵一元二次方程为，
∴，
∴关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根．
故答案为：A.
【分析】将二次函数化为顶点式，得出得最大值为，即可得到，整理得，然后计算一元二次方程的根的判别式，整体代入求出，盘后判断方程根的情况解答即可．
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：将抛物线整理得．
二次项系数为负，
抛物线开口向下，顶点坐标为，抛物线上所有点的纵坐标满足．
将，代入抛物线得：
，．
．
当时，，
，即，又恒成立，故A正确．
当时，取，得，故B错误．
当时，，
，即，取，得，故C错误．
当时，若时，，故D错误．
故答案为：A.
【分析】把抛物线的解析式化为顶点式，得到其开口方向与最大值，然后把点P，Q的坐标代入求出y1，y2，然后求差得到，再根据t的取值范围判断个选项解答即可.
11．【答案】(0，3)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当时，，
∴二次函数的图象与轴交点坐标是.
故答案为：.
【分析】把x=0代入，求出y值解答即可.
12．【答案】1
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
∴，
故答案为；1．
【分析】根据二次函数的定义得到a2+1=2且a+1≠0，求出a的值解答即可.
13．【答案】②>①>③
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答解：中，偶数有2，4，6，8共4个，小于6的数有1，2，3，4，5共5个，不小于9的数只有9，共1个，
∵，
故发生的可能性从大到小排列为.
【分析】得到各种事件的结果数，根据结果数越大发生的可能性越大解答即可.
14．【答案】x<-1或x>2
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由题意可知：和是方程的两根，
由图象可知：的解集为或，且二次函数的开口向下，
∴的解集为或，
故答案为：或．
【分析】根据图象得到的解集为或，开口向下得到a<0，然后不等式两边同时除以a，不等号方向改变即可得到解集．
15．【答案】②③④
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由图可得：，对称轴，
，
，①错误；
由图得，图象经过点，将代入可得，
，②正确；
该函数图象与轴的交点为，
关于的一元二次方程的一个根为，另一个根为，
由根与系数的关系得，
，即关于的一元二次方程的另一个根是，
③正确；
，即，
解得，
，即，
，
，
④正确．
综上，②③④正确．
故答案为：②③④．
【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴位置得到a，b的符号判断①；把(-1，0)代入解析式计算判断②；令y=0，得当方程，根据根与系数的关系判断③；③根据方程的根的取值范围求出a的取值范围，利用可得的取值范围判断④解答即可．
16．【答案】(4，）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：设抛物线与x轴另一个交点为F，在y轴上取点E，使得，连接，，，
令，则，
令，则，
解得，，
，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
直线是抛物线的对称轴，
，
，
∵，
当点C在上时，的值最小，
设直线的解析式为，
把，的坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线
∴对于，令，则，
即此时点C的坐标为．
当的值最小时，点C的坐标为．
故答案为：.
【分析】 设抛物线与x轴另一个交点为F，在y轴上取点E，使得，连接，，，即可得到，，，，根据平行四边形得性质得到，进而可得，当点C在上时，的值最小，然后求出直线EF的解析式，进而求点C点的坐标解答即可．
17．【答案】（1）解： ∵二次函数图象的顶点坐标是(2，3)，
∴设二次函数表达式为
∵二次函数经过点(1，2)，
解得：a=-1，
（2）解： ∵a=-1<0，
∴抛物线开口向下，
又∵抛物线的对称轴为x=2，
∴当x≥2|时，y随x的增大而减小
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为把点(1，2)带入解析式求出a的值解答即可；
（2）得到二次函数的对称轴，根据二次函数性质解答即可．
18．【答案】（1）
（2）解：用A、B、C、D分别表示四个体验项目，画树状图如下：
∴由树状图可知，共有16种等可能结果，其中小深和小港选择的项目相同的结果有4种，
∴两人选择的项目恰好相同的概率为14
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中小深和小港选择的项目相同的结果，再根据概率公式即可求出答案.
19．【答案】（1）解：
∴二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：∵，
抛物线有最大值，当时，，
抛物线离对称轴最远，即时，，
∴当时，函数的最大值为16，最小值为0．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将二次函数利用配方法得到顶点式解答即可；
（2）根据自变量的取值范围得到当x=5时，抛物线有最大值，根据离对称轴远的点的函数值小得到当时取得最小值解答即可．
20．【答案】（1）解：观察表格里的数据，随着试验次数的不断增加，频率精确到0.1都等于0.7，
∴当n很大时，估计摸到白球的概率为0.7
（2）解： 60×0.7=42(个)
60-42=18(个)
∴白球42个， 黑球18个
（3）解：设放入x个白球，则
解得x=30
检验： 当x=30时， 60+x≠0
∴需要往盒子里再放入30个白球。
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据一定条件下大量重复试验频率的稳定值即为概率解答即可；
（2）根据概率公式求出白球的个数，利用球的总数减去白球的个数即为黑球的个数；
（3）设再放入x白球，根据概率公式列方程求出x的值解答即可．
21．【答案】（1）解：由题意得，当时，，当时，，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式是；
（2）解：由表格可得，和时的函数值都是1，
∴抛物线对称轴为直线
∵此抛物线图象上有两点，，且，关于抛物线对称轴对称，
∴，
∴当时，由表格得．
【知识点】用表格表示变量间的关系；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）选取时，；时，；利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）根据表格数据得到抛物线对称轴为直线，根据两点，关于对称轴对称，即可求出，根据表格得到函数值解答即可.
22．【答案】（1）∴函数 的图象与x轴必有两个交点；
（2）点A(m， a)， B(m+2，a)在函数 图像上，
∴对称轴为
∴t=m+1，即抛物线解析式为
∴当x=m时，
当x=4时，y=-42+2×4（m+1）+2=8m-6=b
∵b>2，
∴8m-6>2， 解得： m>1，
又∵a>b>2，
整理得： (m-2)(m-4)>0，
解得： m<2或m>4，
综上所述： m的取值范围14.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）计算，得到抛物线与x轴交点的个数解答即可；
（2）根据点A，B的坐标得到抛物线的对称轴公式为，将点a，c的坐标代入函数解析式求出a，b的值，根据解不等式求出m的取值范围即可．
23．【答案】（1）① (51-25)
②x·(52-2×) = 138，
化简，得
(x-23)(x-3) = 0，解得：
当x=3时， 52-2x = 46 >10，所以舍去.
答：AB 的长为 23米；
（2）∴养鸡场 ABCD的面积
∵
∴0∴当 时，养鸡场面积可以达到最大值 平方米
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）①∵AB=CD=x，
∴BC=50+2-2x=(51-25)米，
故答案为：(51-25)；
【分析】（1）①根据木栏长度+门口宽-AB的2倍列代数式即可；
②根据矩形的面积公式列方程求出x的值解答即可；
（2）表示出AD长，根据面积公式列二次函数，配方为顶点式，根据自变量x的取值范围求出最大值解答即可．
24．【答案】（1）解：
、
∴y2的顶点坐标为
设直线l的表达式为y= kx+b，
∵y1，y2，…，y 这些抛物线的顶点在同一条直线l上，且y1，y2的顶点坐标分别为(1，2)，
解得：
∴l的表达式为
（2）解： 令 则
解得： (舍)，
∴E('3 )
令 则
解得： (舍)，
∴抛物线y 顶点坐标为
由(2)可知，顶点所在的直线/的表达式为
解得： b=0 或
∵当b=0时，抛物线开口向下，顶点在 不符合题意，
解得：
即当喷泉的观赏效果最佳时，抛物线 yn中a的取值范围为
【知识点】解一元一次不等式组；待定系数法求一次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-喷水问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用配方法求出的顶点坐标，然后根据y1和y2的顶点坐标利用待定系数法求出直线l的解析式即可；
（2）令y2=，先求出点的坐标，令 求出点的坐标，然后把抛物线的解析式配方为顶点式，得到顶点坐标代入直线求出，则，列不等式求出a的取值范围即可．
1 / 1浙江省长兴县龙山中学共同体素养检测2026-2027学年九年级上学期10月阶段测数学试题卷
一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)
1．下列函数中，一定是二次函数的是 (　　)
A． B．y=x(x-1) C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意；
B、，是二次函数，故选项B符合题意；
C、，不是二次函数，故选项C不符合题意；
D、，不是二次函数，故选项D不符合题意；
故选：B．
【分析】根据二次函数的定义“形如的函数是二次函数”逐项判断解答即可．
2．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．旭日东升 B．守株待兔 C．大海捞针 D．水中捞月
【答案】A
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解： A、旭日东升，是必然事件，A符合题意；
B、守株待兔，是随机事件，B不符合题意；
C、大海捞针，是随机事件，C不符合题意；
D、水中捞月，是不可能事件，D不符合题意；
故答案为：A .
【分析】 根据事件发生的可能性大小判断 .
3．抛物线 的对称轴是直线 (　　)
A．x=2 B．x=1 C． D．x=-1
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2(x2﹣2x+1)﹣2+1＝2(x﹣1)2﹣1，
∴抛物线y＝2x2﹣4x+l的对称轴是直线x＝1．
故选：B．
【分析】先把二次函数化为顶点式，得到对称轴方程解答即可．
4．二次函数 的图象如图所示，则关于x的一元二次方程 的解为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由图可得，二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，，即为一元二次方程的解．
故选：C．
【分析】根据函数图象得到抛物线与轴的交点的横坐标，即可得到方程的两个解．
5．如图所示的桥拱是抛物线形，其函数表达式为 当水位线在AB位置时，水面宽12m，此时水面离桥拱顶的高度为(　　)
A．3m B．2 C．4m D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：桥拱对应的函数表达式为且水位线与轴平行，
，关于轴对称，
，
，，
将代入函数表达式得，即水面离桥拱顶的高度为，
故选：C．
【分析】根据水面宽度得到点A的横坐标，单后代入二次函数的解析式求出y的值解答即可．
6． 在-1，1，2中任取两个数作为点的坐标，那么该点刚好在一次函数y=x-2的图象上的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，
其中只有（1，-1）在一次函数y=x-2图象上，
所以点在一次函数y=x-2图象上的概率=．
故选：D．
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可.
7．已知点(-1，y1)，(3，y2)，(，y3)都在函数y=x2+2x+4的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y2>y3>y1 D．y3>y1>y2
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2+2x+4=（x+1）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当x＞-1时随x的增大而增大，
∵3＞＞-1，
∴ y2>y3>y1，
故答案为：C.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴为直线x=-1，同时可得到抛物线的开口向上，利用二次函数的增减性可知当x＞-1时随x的增大而增大，然后比较三个点的横坐标大小，可得到y1、y2、y3的大小关系.
8．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和点B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形
∴
故答案为：D.
【分析】先确定余下可选点的总数，再找出能使△ABC为直角三角形的点的个数，最后根据概率公式计算概率.
9．已知二次函数 的最大值为6，那么关于x的一元二次方程 的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：，
∵，
∴当时，二次函数取得最大值为，
∵二次函数的最大值为6，
∴，
∴，
∵一元二次方程为，
∴，
∴关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根．
故答案为：A.
【分析】将二次函数化为顶点式，得出得最大值为，即可得到，整理得，然后计算一元二次方程的根的判别式，整体代入求出，盘后判断方程根的情况解答即可．
10．已知 两点在抛物线y= - (x-1)(x-3)上， 下列判断正确的是(　　)
A．当t<1时， B．当t<1时，
C．当t>1时， D．当t>0时，
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：将抛物线整理得．
二次项系数为负，
抛物线开口向下，顶点坐标为，抛物线上所有点的纵坐标满足．
将，代入抛物线得：
，．
．
当时，，
，即，又恒成立，故A正确．
当时，取，得，故B错误．
当时，，
，即，取，得，故C错误．
当时，若时，，故D错误．
故答案为：A.
【分析】把抛物线的解析式化为顶点式，得到其开口方向与最大值，然后把点P，Q的坐标代入求出y1，y2，然后求差得到，再根据t的取值范围判断个选项解答即可.
二、填空题(本大题有 6 个小题，每小题 3 分，共18 分)
11．二次函数 的图象与y轴交点坐标是　 　.
【答案】(0，3)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当时，，
∴二次函数的图象与轴交点坐标是.
故答案为：.
【分析】把x=0代入，求出y值解答即可.
12．若函数 是关于x的二次函数，则a的值为　 　.
【答案】1
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
∴，
故答案为；1．
【分析】根据二次函数的定义得到a2+1=2且a+1≠0，求出a的值解答即可.
13．从形状、大小相同的9张数字卡片(1—9)中任意抽1张，抽出的恰好是①偶数；②小于6的数；③不小于9的数.将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排列，则有　 　 (用“>”连接).
【答案】②>①>③
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答解：中，偶数有2，4，6，8共4个，小于6的数有1，2，3，4，5共5个，不小于9的数只有9，共1个，
∵，
故发生的可能性从大到小排列为.
【分析】得到各种事件的结果数，根据结果数越大发生的可能性越大解答即可.
14．如图，抛物线 (a， b，c为常数， 且a≠0) 交x轴于A(-1，0)，B(2，0)两点， 则不等式 的解集为　 　.
【答案】x<-1或x>2
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由题意可知：和是方程的两根，
由图象可知：的解集为或，且二次函数的开口向下，
∴的解集为或，
故答案为：或．
【分析】根据图象得到的解集为或，开口向下得到a<0，然后不等式两边同时除以a，不等号方向改变即可得到解集．
15．如图，二次函数 的图象与x轴交于(-1，0)， (x1，0)， 其中 结合图象给出下列结论：①ab>0；②a-b=-2；③关于x的一元二次方程 的另一个根是 ④b的取值范围为 其中结论正确的是　 　.
【答案】②③④
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由图可得：，对称轴，
，
，①错误；
由图得，图象经过点，将代入可得，
，②正确；
该函数图象与轴的交点为，
关于的一元二次方程的一个根为，另一个根为，
由根与系数的关系得，
，即关于的一元二次方程的另一个根是，
③正确；
，即，
解得，
，即，
，
，
④正确．
综上，②③④正确．
故答案为：②③④．
【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴位置得到a，b的符号判断①；把(-1，0)代入解析式计算判断②；令y=0，得当方程，根据根与系数的关系判断③；③根据方程的根的取值范围求出a的取值范围，利用可得的取值范围判断④解答即可．
16．如图，抛物线 与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动 (点C在点D下方)，且CD=2.当AD+BC的值最小时，点C的坐标为　 　.
【答案】(4，）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：设抛物线与x轴另一个交点为F，在y轴上取点E，使得，连接，，，
令，则，
令，则，
解得，，
，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
直线是抛物线的对称轴，
，
，
∵，
当点C在上时，的值最小，
设直线的解析式为，
把，的坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线
∴对于，令，则，
即此时点C的坐标为．
当的值最小时，点C的坐标为．
故答案为：.
【分析】 设抛物线与x轴另一个交点为F，在y轴上取点E，使得，连接，，，即可得到，，，，根据平行四边形得性质得到，进而可得，当点C在上时，的值最小，然后求出直线EF的解析式，进而求点C点的坐标解答即可．
三、解答题(第 17, 18, 19, 20, 21 题每题 8 分, 第22, 23 题每题 10 分, 第 24 题 12分, 共 72 分)
17．已知二次函数图象的顶点坐标是(2，3)，并经过点(1，2)求：
（1）二次函数表达式.
（2）当x取何值时，y随x的增大而减小
【答案】（1）解： ∵二次函数图象的顶点坐标是(2，3)，
∴设二次函数表达式为
∵二次函数经过点(1，2)，
解得：a=-1，
（2）解： ∵a=-1<0，
∴抛物线开口向下，
又∵抛物线的对称轴为x=2，
∴当x≥2|时，y随x的增大而减小
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为把点(1，2)带入解析式求出a的值解答即可；
（2）得到二次函数的对称轴，根据二次函数性质解答即可．
18．深圳某中学科技社举办“拥抱智能，探索未来”AI 应用体验日活动，准备了以下四个体验项目供学生随机选择：
A.智能语音助手对话编程 B. AI学习助手解疑体验
C. AI图像生成艺术创作 D.人形机器人指令交互
（1）该校学生小智随机选择一个项目，他选中“AI图像生成艺术创作”（项目C)的概率是　 　；
（2）科技社成员小深和小港都参加了活动，他们各自从以上四个项目中随机选择一项进行体验。请用画树状图或列表方法，求两人选择的项目恰好相同的概率.
【答案】（1）
（2）解：用A、B、C、D分别表示四个体验项目，画树状图如下：
∴由树状图可知，共有16种等可能结果，其中小深和小港选择的项目相同的结果有4种，
∴两人选择的项目恰好相同的概率为14
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中小深和小港选择的项目相同的结果，再根据概率公式即可求出答案.
19．已知二次函数
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤7时，函数的最大值和最小值分别为多少
【答案】（1）解：
∴二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：∵，
抛物线有最大值，当时，，
抛物线离对称轴最远，即时，，
∴当时，函数的最大值为16，最小值为0．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将二次函数利用配方法得到顶点式解答即可；
（2）根据自变量的取值范围得到当x=5时，抛物线有最大值，根据离对称轴远的点的函数值小得到当时取得最小值解答即可．
20．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共60个，它们除颜色外其余均相同.圆圆做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，不断重复上述摸球的过程，下表是实验中的若干统计数据：
摸球的次数n 50 100 200 400 1000 2000 3000
摸到白球的次数m 35 69 142 280 702 1398 2103
摸到白球的频率 mn 0.70 0.69 0.71 0.70 0.702 0.699 0.701
（1） 当n很大时，请估计摸到白球的概率.(精确到0.1)
（2） 试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个
（3）若要使摸到白球的概率为0.8，则需要往盒子里再放入多少个白球
【答案】（1）解：观察表格里的数据，随着试验次数的不断增加，频率精确到0.1都等于0.7，
∴当n很大时，估计摸到白球的概率为0.7
（2）解： 60×0.7=42(个)
60-42=18(个)
∴白球42个， 黑球18个
（3）解：设放入x个白球，则
解得x=30
检验： 当x=30时， 60+x≠0
∴需要往盒子里再放入30个白球。
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据一定条件下大量重复试验频率的稳定值即为概率解答即可；
（2）根据概率公式求出白球的个数，利用球的总数减去白球的个数即为黑球的个数；
（3）设再放入x白球，根据概率公式列方程求出x的值解答即可．
21．设二次函数 已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x … -1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
（1）若m=4，求二次函数的表达式；
（2）若此抛物线上有M(x1，2026)， N(x2，2026)两点， 求当 时，二次函数的值.
【答案】（1）解：由题意得，当时，，当时，，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式是；
（2）解：由表格可得，和时的函数值都是1，
∴抛物线对称轴为直线
∵此抛物线图象上有两点，，且，关于抛物线对称轴对称，
∴，
∴当时，由表格得．
【知识点】用表格表示变量间的关系；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）选取时，；时，；利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）根据表格数据得到抛物线对称轴为直线，根据两点，关于对称轴对称，即可求出，根据表格得到函数值解答即可.
22．已知二次函数 (t为常数) .
（1）证明：该二次函数图象与x轴必有两个交点.
（2）若图象上有点A(m，a)，B(m+2，a)，C(4，b)， 且满足a>b>2， 求m的取值
【答案】（1）∴函数 的图象与x轴必有两个交点；
（2）点A(m， a)， B(m+2，a)在函数 图像上，
∴对称轴为
∴t=m+1，即抛物线解析式为
∴当x=m时，
当x=4时，y=-42+2×4（m+1）+2=8m-6=b
∵b>2，
∴8m-6>2， 解得： m>1，
又∵a>b>2，
整理得： (m-2)(m-4)>0，
解得： m<2或m>4，
综上所述： m的取值范围14.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）计算，得到抛物线与x轴交点的个数解答即可；
（2）根据点A，B的坐标得到抛物线的对称轴公式为，将点a，c的坐标代入函数解析式求出a，b的值，根据解不等式求出m的取值范围即可．
23．甲同学家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场ABCD，已知木栏总长为50米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设AB长为x米.
（1） 如图1， 当AD≤MN时，
①AD=▲米(用含x的代数式表示).
②若围成的养鸡场面积为138平方米，求AB的长.
（2）如图2，当AD>MN时，求养鸡场可达到的最大面积.
【答案】（1）① (51-25)
②x·(52-2×) = 138，
化简，得
(x-23)(x-3) = 0，解得：
当x=3时， 52-2x = 46 >10，所以舍去.
答：AB 的长为 23米；
（2）∴养鸡场 ABCD的面积
∵
∴0∴当 时，养鸡场面积可以达到最大值 平方米
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）①∵AB=CD=x，
∴BC=50+2-2x=(51-25)米，
故答案为：(51-25)；
【分析】（1）①根据木栏长度+门口宽-AB的2倍列代数式即可；
②根据矩形的面积公式列方程求出x的值解答即可；
（2）表示出AD长，根据面积公式列二次函数，配方为顶点式，根据自变量x的取值范围求出最大值解答即可．
24．喷泉是城市中一道美丽的风景.如图1，水花从垂直地面的水管OA的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线.以水管与地面的交点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系.经测量，水管的高度是 米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线y1(如图2所示)，水花在与水管OA的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的B点.
（1）若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且y1，y2， ，yn这些抛物线的顶点在同一条直线l上，其中一条抛物线 与水平直线 相交于点 E，请求出y2的顶点坐标和l的表达式；
（2）若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为 且与直线 相交于点 F，经测算，当 时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线 yn中a的取值范围.
【答案】（1）解：
、
∴y2的顶点坐标为
设直线l的表达式为y= kx+b，
∵y1，y2，…，y 这些抛物线的顶点在同一条直线l上，且y1，y2的顶点坐标分别为(1，2)，
解得：
∴l的表达式为
（2）解： 令 则
解得： (舍)，
∴E('3 )
令 则
解得： (舍)，
∴抛物线y 顶点坐标为
由(2)可知，顶点所在的直线/的表达式为
解得： b=0 或
∵当b=0时，抛物线开口向下，顶点在 不符合题意，
解得：
即当喷泉的观赏效果最佳时，抛物线 yn中a的取值范围为
【知识点】解一元一次不等式组；待定系数法求一次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-喷水问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用配方法求出的顶点坐标，然后根据y1和y2的顶点坐标利用待定系数法求出直线l的解析式即可；
（2）令y2=，先求出点的坐标，令 求出点的坐标，然后把抛物线的解析式配方为顶点式，得到顶点坐标代入直线求出，则，列不等式求出a的取值范围即可．
1 / 1

展开更多......

收起↑