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2026-2027学年新疆乌鲁木齐市部分校九年级（上）第一次学情诊断数学试卷
一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A. y=2x+1 B. y=ax2+bx+c C. D. y-2x2=x+1
2.用配方法解方程x2-6x=5，下列变形正确的是（　　）
A. （x-6）2=41 B. （x-3）2=4 C. （x-3）2=14 D. （x-3）2=9
3.已知抛物线，下列说法正确的是（　　）
A. 开口向上 B. 对称轴是直线x=-3
C. 顶点坐标为 D. 当x＜-3时，y随x的增大而减小
4.下列表格中是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似根是（　　）
x 6.7 6.8 6.9 7.0
y=ax2+bx+c -0.3 -0.1 0.2 0.6
A. 6.7 B. 6.8 C. 6.9 D. 7.0
5.点P1（-1，y1），，P3（6，y3）均在二次函数y=mx2-2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A. y1＞y2＞y3 B. y3＞y2＞y1 C. y2＞y3＞y1 D. y3＞y1＞y2
6.秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范.疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（　　）
A. （1+x）2=100 B. x2=100 C. x（1+x）=100 D. 1+x+x2=100
7.一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
8.九年级（1）班的同学计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案（如图），最佳方案是（　　）
A. 方案1 B. 方案2
C. 方案3 D. 三种方案使得菜园面积一样大
9.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为x=，且图象经过点（2，0）.下列说法：①abc＜0；②c-2b=0；③若是抛物线上的两点，则y1＜y2；④b+c＞m（am+b）+c（其中m≠）；⑤a-b+c＜0.其中正确的结论是（　　）
A. ①②③
B. ①③④
C. ②④⑤
D. ①②④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.将一元二次方程3x2+1=6x化成一般形式为 .
11.若关于x的一元二次方程x2-2026x+c=0有两个实数根，其中一根x1=1，则另一根x2= .
12.已知二次函数y=-2（x-a）2（a为常数），当x＞3时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是 .
13.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x-1先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是
14.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=2，若该抛物线与x轴的一个交点为（5，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 .
15.如图，点P1，P2，P3，…，Pn在抛物线y=a（x-1）2上，点Q1，Q2，Q3，…，Qn在抛物线的对称轴上，若△P1Q0Q1，△P2Q1Q2，…，△PnQn-1Qn都为等边三角形（点Q0是抛物线的顶点）且Q0Q1=2，则Pn的坐标为 .
三、计算题：本大题共3小题，共32分。
16.解一元二次方程：
(1) 3 x2-2x-1=0
(2) （2x-5）2-（x+4）2=0
(3) （x-5）（x+2）=18
17.解决问题
(1) 生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？
(2) 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？
18.如图，用长为22m的篱笆和一面可利用的墙（墙的最大可用长度为14m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC边留有两个宽为1m的出入口．设花圃的一边AB长为x米
(1) 请你用含x的代数式表示另一边AD的长为 m.
(2) 若花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽
(3) 在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到60m2，请说明理由．再猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+2k=0
(1) 求证：方程总有两个不相等的实数根
(2) 若x1、x2是方程的两根，且x1+x2-3x1x2=17，求k的值
20.(本小题10分)
已知二次函数y=x2+2x-3，完成下列各题：
(1) 该抛物线的顶点坐标是 ，对称轴是直线x=
(2) 请在图中的网格中建立合适的平面直角坐标系，画出该抛物线的简图
(3) 根据图象回答：当x的取值范围为 时，y＞0
21.(本小题12分)
根据以下素材，探索完成任务．
材料 如图，某经济开发区计划在道路AB上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路AB的宽为20m（路内侧两边各有2m宽的绿化带，其余路面正常通行），桥面最高处与路面的桥拱距离为8m.
(1) 任务1：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线OM为y轴建立平面直角坐标系，求该抛物线形彩虹桥的解析式
(2) 任务2：按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路AB的正常通行，求支撑柱的最大高度
22.(本小题12分)
2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某旅游景点紧抓春节消费机遇，自春节假期开始售卖马年吉祥物套装，且线上线下同步销售.该套装因做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其中每套进价为40元，经市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量y（套）与销售单价x（元/套）之间的关系如图所示：
（1）求该景点马年吉祥物套装的月销售量y与销售单价x的函数表达式；
（2）若该景点希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？
（3）当该景点马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？
23.(本小题14分)
定义：在平面直角坐标系中一点P（m,n），点P的纵坐标n与其横坐标m的差（n-m）称为点P的“影差”.例如：点（1，-3）的“影差”为：-3-1=-4.
（1）已知二次函数y=-x2+bx+c（c≠0），当x=-3，x=1时“影差”值为0.
①求b,c的值；
②求此时该二次函数点“影差”最大值.
（2）若二次函数y=x2+bx+c（c≠0）的“影差”最小值为，点M与点N分别是此二次函数图象与x轴和y轴的交点，且点M与点N的“影差”相等，求c的值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】3x2-6x+1=0
11.【答案】2025
12.【答案】a≤3
13.【答案】y=（x+3）2-7
14.【答案】x＜-1或x＞5
15.【答案】（n+1，n2）
16.【答案】【小题1】原方程因式分解得（3x+1）（x-1）=0，
3x+1=0或x-1=0，
解得，x2=1
【小题2】原方程因式分解得[（2x-5）+（x+4）][（2x-5）-（x+4）]=0，
整理得（3x-1）（x-9）=0，
3x-1=0或x-9=0，
解得，x2=9
【小题3】原方程整理得x2-3x-28=0，
因式分解得（x-7）（x+4）=0，
x-7=0或x+4=0，
解得x1=7，x2=-4

17.【答案】【小题1】设这种植物每个支干长出x个小分支，
由题意得，1+x+x2=43，
解得x=6或x=-7（舍去），
答：这种植物每个支干长出6个小分支
【小题2】假设存在三边长是三个连续正整数的直角三角形，
设这个直角三角形的三边长分别为m,m+1，m+2，
由勾股定理得m2+（m+1）2=（m+2）2，
解得m=3或m=-1（舍去），
∴m+1=4，m+2=5，
∴存在三边长是三个连续正整数的直角三角形，这样的直角三角形有1个

18.【答案】【小题1】
（24-3x）
【小题2】
∵花圃的面积刚好为45m2，
∴x（-3x+24）=45，
化简得：x2-8x+15=0，
∴x=3或x=5．
又∵2≤24-3x≤14，
∴≤x≤.∴x=5，
∴AB=x=5，AD=BC=24-3x=9，
答：此时花圃的长与宽边分别为9m和5m
【小题3】
建成花圃的面积不可能为60m2，
∴x（-3x+24）=60，
化简得：x2-8x+20=0，
∴Δ=（-8）2-4×20=-16＜0，
∴方程无解，
∴建成花圃的面积不可能为60m2．
∵S=x（-3x+24）=-3（x-4）2+48，且≤x≤，
∴当x=4时，则S取最大值，最大值为48，
答：花圃的面积不能达到60m2，这个花圃面积最大可以是48m2

19.【答案】【小题1】证明：在一元二次方程x2+（k+4）x+2k=0中，a=1，b=k+4，c=2k,
∴根的判别式Δ=b2-4ac=（k+4）2-4×1×2k=k2+8k+16-8k=k2+16，
∵无论k取何实数，k2≥0，
∴k2+16≥16＞0，即Δ＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根
【小题2】∵x1、x2是方程x2+（k+4）x+2k=0的两根，
∴由根与系数的关系得：x1+x2=-（k+4），x1 x2=2k,
将上述两式代入x1+x2-3x1x2=17得：-（k+4）-3 2k=17，
整理得：-7k=21，
解得k=-3

20.【答案】【小题1】
（-1，-4）
-1
【小题2】
列表：

x ... -3 -2 -1 0 1 ...
y ... 0 -3 -4 -3 0 ...
建立平面直角坐标系以及画出图象如图所示．
【小题3】
x＜-3或x＞1

21.【答案】【小题1】如图，根据题意建立平面直角坐标系：
∴，
∴顶点M（0，8），点B（10，0），
设解析式为y=ax2+8，
把点B（10，0）代入得：0=100a+8，
解得：，
∴
【小题2】按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，
∵要确保道路的正常通行，
∴两个支撑柱之间的距离最少为20-2×2=16（m），
∵支撑柱对称安置且要确保道路正常通行，
∴支撑柱到OM的距离至少为16÷2=8m,
令x=8，则，
即支撑柱的最大高度为2.88m.

22.【答案】y=-10x+900 每套吉祥物套装应定价为60元 当该景点马年吉祥物套装的销售单价定为65元时，每月销售利润最大，最大利润是6250元
23.【答案】①b=-1，c=3；
②4；
1或3
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