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2026-2027学年天津市第五十五中学九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.把方程2x（x-1）=3x化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A. 2，1，0 B. 2，-5，0 C. 2，-3，-1 D. 2，5，0
2.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（　　）
A. x2-2x-99=0化为（x-1）2=100 B. 3y2-4y-2=0化为
C. 2t2-7t-4=0化为 D. x2+8x+9=0化为（x+4）2=25
3.若关于x的一元二次方程（a-3）x2-6x-2=0有实数根，则a的取值范围为（　　）
A. B. a≠3 C. 且a≠3 D. 且a≠3
4.对于反比例函数，下列说法正确的是（　　）
A. 图象经过点（3，-4） B. 图象位于第二、四象限
C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大
5.根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04
A. 6＜x＜6.17 B. 6.17＜x＜6.18 C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20
6.如图，二次函数y=a（x+1）2+1的图象与x轴交于A（-3，0），B两点，下列说法错误的是（　　）
A. a＜0
B. 图象的对称轴为直线x=-1
C. 点B的坐标为（1，0）
D. 当x＜0时，y随x的增大而增大
7.已知函数y=-（x-2）2的图象上有A（-1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y3＜y1＜y2 D. y3＜y2＜y1
8.把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（　　）
A. y=5（x-2）2+3 B. y=5（x+2）2-3 C. y=5（x+2）2+3 D. y=5（x-2）2-3
9.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是（　　）
A. x≤2
B. x≤0
C. -3≤x≤0
D. x≤-3或x≥0
10.函数y=ax2-a与y=ax-a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
11.已知点M（m-2，n）在二次函数的图象上（如图所示），当x=m时，y＜0，则下列说法正确的是（　　）
A. n＜0
B.
C.
D.
12.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=6t-t2.有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6s；
②小球运动中的高度可以是3m；
③小球落地的水平距离是6m；
④当小球运动的时间是3s时，小球运动的最大高度是9m.
其中正确结论的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.某地有若干支球队参加足球比赛，每两队之间比赛一场，共比赛了45场，则该地有 支球队.
14.要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管高度应为 m.
15.若点A（x1，-1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是 .
16.如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C，D在x轴上．若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 ．
17.若对于一切实数x,不等式mx2-mx-1＜0恒成立，则m的取值范围是 .
18.已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=-1，它的图象经过点A（1，y1），B（-2，y2），C（-4，0）．对于下列四个结论：①y1＜y2；②c=-8a；③方程ax2+bx+c=0的解为x1=-4，x2=2；④对于任意实数t,总有a（t2+9）+bt+c≤0．其中正确的结论是 （填写序号）．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.
(1) 某商场销售台灯，1月售出400个，2月、3月这种台灯的销量持续增加，在售价不变的情况下，3月的销量为576个．设2月、3月该台灯销量的月平均增长率不变，求2月、3月该台灯销量的月平均增长率
(2) 该商场为迎五一劳动节，负责人在商场门口摆放了一个如图所示的长方形工艺品（CD边在地上），并计划在该工艺品的中间镶上三条宽度相同的丝绸花边．已知该工艺品的长AB为3m、宽AC为2m,若丝绸花边的面积为3m2，求该丝绸花边的宽
四、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x1，x2满足，求a的值．
21.(本小题10分)
如图①，用一段长为33m的篱笆围成一个一边靠墙且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD菜园，墙长为12m,设AB的长为x m,矩形ABCD菜园的面积为Sm2．
(1) 用含x的代数式表示BC=
(2) 若S=54，求x的值
(3) 如图②，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5m宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值？最大值为多少？
22.(本小题10分)
如图，已知一次函数y1=-x+m与二次函数y2=ax2+bx-3的图象相交于点A（-1，0）、B（2，-3），且二次函数与y轴相交于点C．
（1）求点m的值和二次函数的解析式；
（2）求二次函数的顶点坐标和对称轴；
（3）请直接写出当y1＜y2时，自变量的取值范围．
23.(本小题10分)
为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件.经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件.
（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是______件；
（2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
（3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B、与y轴交于点C（0，-3），连接BC.
（1）求抛物线的函数表达式及点B的坐标；
（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值.
25.(本小题10分)
抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，M为抛物线对称轴l上一动点，连接MA、MC，求MA+MC的最小值及此时M点的坐标；
（3）如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，点F（2，1），P为抛物线上一动点，Q为抛物线对称轴l上一动点，以点E、F、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出所有可能的点Q的坐标.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】C
12.【答案】C
13.【答案】10
14.【答案】
15.【答案】x1＜x3＜x2
16.【答案】2
17.【答案】-4＜m≤0
18.【答案】②③
19.【答案】【小题1】设2月、3月该台灯销量的月平均增长率为x,
依题意，得：400（1+x）2=576，
∴x1=0.2=20%，x2=-2.2（不符合题意，舍去）．
答：2月、3月该台灯销量的月平均增长率为20%
【小题2】设丝绸花边的宽为b m,
依题意得：（3-2b）（2-b）=3×2-3，
解得：b1=0.5，b2=3（不符合题意，舍去），
答：丝绸花边的宽为0.5m.

20.【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=[-2（a-1）]2-4（a2-a-2）＞0，
解得：a＜3．
（2）∵x1+x2=2（a-1），x1x2=a2-a-2，
∵x12+x22-x1x2=16，
∴（x1+x2）2-3x1x2=16，
∴[2（a-1）]2-3（a2-a-2）=16，
解得：a1=-1，a2=6，
∵a＜3，
∴a=-1．
21.【答案】【小题1】
33-3x
【小题2】
矩形面积S=AB BC=x（33-3x），
根据题意S=54，
列方程：x（33-3x）=5433x-3x2=54，
整理：3x2-33x+54=0，
两边除以3：x2-11x+18=0（x-2）（x-9）=0，
解得x1=2，x2=9．
墙长12m,BC=33-3x≤12，
33-3x≤12，
-3x≤-21，
x≥7，
x1=2，不满足x≥7，舍去；
x2=9，满足条件．
∴x=9
【小题3】
两个门各宽1.5m,不需要篱笆，相当于篱笆总长度增加1.5×2=3m.
此时水平边BC=33+1.5×2-3x=36-3x.
面积：S=x（36-3x）=-3x2+36x
=-3（x2-12x）
=-3（x2-12x+36-36）
=-3（x-6）2+108，
确定自变量x取值范围：BC不能超过墙长12m,且BC＞2×1.5=3m（两个门），
，
①36-3x≤12，
3x≤-24，
x≥8，
②36-3x＞3，
-3x＞33，
x＜11，
∴取值范围：8≤x＜11，
二次函数S=-3（x-6）2+108a=-3＜0，抛物线开口向下．
对称轴为直线x=6．
在对称轴右侧，也就是x＞6时，S随x增大而减小．
区间8≤x＜11，全部在对称轴x=6右侧，
所以x取最小值8时，S最大．
代入x=8：S=8×（36-3×8）=8×12=96，
当x=8时，S取得最大值，最大值为96m2

22.【答案】解：（1）把A（-1，0）代入y1=-x+m得1+m=0，
解得：m=-1；
根据题意得：，
解得：，
则二次函数的解析式是y2=x2-2x-3；
（2）y2=x2-2x-3=（x-1）2-4．
则顶点坐标是（1，-4），对称轴是x=1；
（3）由题意得点A和B的横坐标分别是-1和2．
则当y1＜y2时，自变量的取值范围是：x＜-1或x＞2．
23.【答案】（60+10x）； 3元； 售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．
24.【答案】解：（1）把A（1，0），C（0，-3）代入y=ax2+2x+c得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y=x2+2x-3，
令y=0得x2+2x-3=0，
解得x=1或x=-3，
∴B（-3，0）；
（2）设直线BC解析式为y=kx+b,
∴，
解得，
∴直线BC解析式为y=-x-3，
设P（m,-m-3），其中-3＜m＜0，则Q（m,m2+2m-3），
∴PQ=-m-3-（m2+2m-3）=-m2-3m=-（m+）2+，
∵-1＜0，
∴当m=-时，PQ取最大值，
∴线段PQ长度的最大值为．
25.【答案】解：（1）∵A（-1，0），B（3，0），
代入y=ax2+bx+3得：，
解得，
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3；
（2）如图，连接BC交直线l于点M，则MA+MC的最小值即为BC，
∵y=-x2+2x+3，
∴C（0，3），
∵B（3，0），
∴OB=OC=3，
∴BC=3，
∴MA+MC的最小值为3；
设直线BC的解析式为y=kx+b,
将B（3，0），C（0，3）代入得，
，
∴，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∵y=-x2+2x+3的对称轴为x=1，
当x=1时，y=-1+3=2，
∴M（1，2），
∴MA+MC的最小值为3，此时M点的坐标为（1，2）；
（3）过点F作FG⊥OB于G，如图2中，
∵y=-x2+2x+3的对称轴为x=1，
∴OE=1，
∵B（3，0），C（0，3）
∴OC=OB=3，
又∵∠COB=90°，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∵点F的坐标为（2，1），
∴EG=FG=1，
∵BE=OB-OE=2，
∴FG=GB=EG=1，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴∠EFB=90°，
当EF为边时，
∵四边形EFPQ为平行四边形，
∴QE=PF，QE∥PF∥y轴，
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，
当x=2时，y=-22+2×2+3=3，
∴点P的坐标为（2，3），
∴QE=PF=3-1=2，
点Q的坐标为（1，2），
根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形；
当EF为对角线时，如图3中，
∵四边形PEQF为平行四边形，
∴QE=PF，QE∥PF∥y轴，
同理求得：点P的坐标为（2，3），
∴QE=PF=3-1=2，
点Q的坐标为（1，-2）；
综上，点P的坐标为（2，3）时，点Q的坐标为（1，2）或（1，-2），P（0，3）时，Q（1，4）．
∴所有可能的点Q的坐标为（1，2）或（1，-2），Q（1，4）．
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