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2026-2027学年江西省赣州市赣州中学九年级（上）第一阶段学情调研数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程x2-3x=0的解是（　　）
A. x1=3，x2=1 B. x1=3，x2=0 C. x1=3，x2=-2 D. x1=-2，x2=-1
2.关于x的一元二次方程2x2-3x+k=0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
3.红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg,2023年平均每公顷产8450kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率.设水稻每公顷产量的年平均增长率为x,列方程为（　　）
A. 7200（1+x）2=8450 B. 7200（1+2x）=8450
C. 8450（1-x）2=7200 D. 8450（1-2x）=7200
4.下列关于二次函数y=（x-2）2-3的说法正确的是（　　）
A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 图象与x轴没有交点
C. 当x＜2时，y随x增大而增大 D. 图象的顶点坐标是（2，-3）
5.已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长度是方程x2-13x+36=0的两个实数根，则此菱形的面积为（　　）
A. 18 B. 24 C. 30 D. 36
6.已知实数x满足（x2+x）2-5（x2+x）-6=0，则x2+x的值为（　　）
A. 6 B. -1 C. -1或6 D. 1或-6
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.关于x的一元二次方程x2+2x-1=0的两根之和为 .
8.抛物线y=x2-6x+c与x轴只有一个交点，则c= .
9.已知关于x的一元二次方程x2+mx-2=0的一个根为-1，则m的值为 .
10.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．
11.在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2+4x+4的图象经过点（m,y1）和（m+1，y2），若m＞0，则y1 y2（填“＞”“=”或“＜”）.
12.如图，点P在直线y=-x+b（b＞0）上，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAPB的面积为1（O为坐标原点）.若满足条件的点P有且仅有三个，则点P的横坐标为 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
13.先化简：，再从0，1，2中选择一个合适的数作为x代入求值.
四、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
解方程：x2-6x+5=0.
15.(本小题6分)
有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.求：每轮传染中平均一人传染了几人？
16.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实数根x1，x2，求k的取值范围.
17.(本小题6分)
如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A（1，-2）和B（0，-5）.
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标.
（2）当y≤-2时，请根据图象直接写出x的取值范围.
18.(本小题6分)
如图，在8×4的正方形网格中，△ABC的顶点B，C均在格点上，∠A=90°，∠C=30°，MN为△ABC的中位线.
（1）请仅用无刻度直尺作∠ABC的平分线，交MN于点P；（保留作图痕迹）
（2）若网格中小正方形的边长为1，则（1）中BP的长为______ .
19.(本小题8分)
已知关于x的方程x2-（k+4）x+4k=0.
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的底边长为5，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AD=BC，∠ABC+∠BAD=180°，BD平分∠ABC.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠BAD=2∠ABC，求∠ACB的度数.
21.(本小题9分)
阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a,b,c,有如下关系：，.
材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值.
解：∵m,n是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根，
∴m+n=1，mn=-1.
则m2n+mn2=mn（m+n）=-1×1=-1.
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2= ______ ，x1x2= ______ ；
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为m,n,求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s,t满足2s2+3s-1=0，2t2+3t-1=0且s≠t,求的值.
22.(本小题9分)
已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表：
x … -2 -1 0 1 4 …
y … 5 0 -3 -4 5 …
（1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是______（填序号）；
①a＞0；
②b2-4ac＞0；
③当x=1时，y有最小值为-4；
④当x＞0时，y的值随x值的增大而增大.
（3）若将该二次函数的图象沿y轴向下平移6个单位长度，交x轴于A，B两点，求AB的长.
23.(本小题12分)
如图，二次函数y=（x-t）（x-3t）（其中t＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为P.将点B绕点A顺时针旋转90°得到点D.
（1）若t=1，求直线PD的函数表达式，并判断点C关于二次函数图象对称轴的对称点C′是否在直线PD上.
（2）当3≤x≤6时，二次函数的最大值为9，求t的值.
（3）连接OP，当点D不在直线OP上时，过点D作直线DE∥OP交y轴于点E（0，m），请直接写出m的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】-2
8.【答案】9
9.【答案】-1
10.【答案】
11.【答案】＜
12.【答案】1-或1或1+
13.【答案】解：
=
=
=x+1；
∵x≠0且x≠±1，
∴将x=2代入上式得原式=2+1=3．
14.【答案】解：x2-6x+5=0，
∴（x-1）（x-5）=0，
∴x-1=0或x-5=0，
∴x1=1，x2=5．
15.【答案】解：设每轮传染中平均一人传染了x人，
根据题意得：1+x+x（1+x）=64．
解得：x1=7，x2=-9（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一人传染了7人．
16.【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实数根，
∴Δ=（2k+1）2-4（k2+1）=4k-3＞0，
∴k＞．
17.【答案】解：（1）把A（1，-2）和B（0，-5）代入y=x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-5，
∵y=x2+2x-5=（x+1）2-6，
∴顶点坐标为（-1，-6）；
（2）如图：
∵点A（1，-2）关于对称轴直线x=-1的对称点C（-3，-2），
∴当y≤-2时，x的范围是-3≤x≤1．
18.【答案】（1）图形如图所示：

（2）2

19.【答案】（1）证明：由题意可得，
Δ=[-（k+4）]2-4×1×4k=k2+8k+16-16k=（k-4）2，
∵（k-4）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵等腰三角形ABC的底边长为5，另两边的长恰好是这个方程的两个根，
∴x2-（k+4）x+4k=0由两个相等的实数根，
∴k-4=0，
∴k=4，
∴原方程变形为：x2-8x+16=0，
解得：x1=x2=4，
∴C△ABC=4+4+5=13．
20.【答案】∵∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形 60°
21.【答案】（1）-；-；（2）；（3）或-．
22.【答案】 ①②③ 2
23.【答案】y=x-3，点C'不在直线PD上；
t的值为或4；
-2
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