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2026-2027学年福建省厦门市槟榔中学九年级（上）学情自测数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是抛物线y=ax2+k的示意图，则a的值可以是（　　）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
2.抛物线y=2x2-3的对称轴是（　　）
A. y轴 B. 直线x=2 C. 直线 D. 直线x=-3
3.若x1，x2是方程x2-2x-3=0的两个根，则（　　）
A. x1+x2=-2 B. x1+x2=3 C. x1x2=-3 D. x1x2=2
4.已知点（-1，y1）、（-3，y2）都在函数y=2x2+1的图象上，则（　　）
A. 0＜y1＜y2 B. 0＜y2＜y1 C. y1＜y2＜0 D. y2＜y1＜0
5.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（　　）
A. 第一轮后有（x+1）个人患了流感
B. 第二轮后又增加x（x+1）个人患流感
C. 依题意可列方程x+1+x（1+x）=144
D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感
6.二次函数y=x2+x-1的图象与一次函数y=-x-2的交点的个数有（　　）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
7.已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … -2.6 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 …
y … 0.56 0.25 -0.04 -0.31 -0.56 …
则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（　　）
A. -2.6＜x＜-2.5 B. -2.5＜x＜-2.4 C. -2.4＜x＜-2.3 D. -2.3＜x＜-2.2
8.设函数，，直线x=1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（　　）
A. 若1＜a1＜a2，则c1＜c2 B. 若a1＜1＜a2，则c1＜c2
C. 若a1＜a2＜1，则c1＜c2 D. 若a1＜a2＜1，则c2＜c1
二、填空题：本题共12小题，共45分。
9.方程（x-2）2=0的解是 ；
（2）方程x2-x=0的解是 .
10.抛物线y=（x-1）2-3的对称轴是 ，顶点坐标是 .
11.把y=x2+4的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数的解析式为 .
12.二次函数y=x2-2x+a与x轴有两个交点，则a的取值范围是 .
13.如果二次函数y=（m-3）x2+x+m2-9的图象经过原点，那么m= .
14.二次函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程-x2+bx+c=0的根是 .
15.二次函数y=x2-2x-3，当-1≤x≤2时，y的取值范围是 .
16.飞机着陆后滑行的距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系满足.当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是 秒.
17.如图，直线y=kx+h与抛物线y=ax2+bx+c交于A（-1，m）、B（5，n）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+h的解集是 .
18.小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程x2+8ax=9a2（a＞0）的过程如下：将方程配方得（x+4a）2=（3a）2+（4a）2，以3a和4a为两直角边作△ABC（如图），再在斜边AB及其延长线上截取BD=BE=BC，发现方程的解x1=AD，x2=-AE.若x1=AD=2，则x2的值为 .
19.对于二次函数y=ax2和y=bx2，其自变量与函数值的两组对应值如表所示：
x -1 m（m≠-1）
y=ax2 c c
y=bx2 c+3 d
根据表中相关数据可知，m的值为 ，d-c的值为 .
20.已知P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y=mx2-2m2x-1上的任意两点，若对于0＜x1＜1，m+1＜x2＜m+2，都不存在y1=y2的情形，则m的取值范围是 .
三、计算题：本大题共2小题，共19分。
21.计算：|-3|+（-1）0-2-1.
22.为了发展乡镇经济，助力农民致富，某县县长在抖音平台上直播带货，销售西梅，成本价为50元/箱．直播后，按每箱70元销售，第一天卖出了80箱
(1) 每箱的销售利润为 元；第一天的销售利润共 元
(2) 若第三天的销售利润为2500元，求第二天、第三天日销售利润的平均增长率
(3) 若直播后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10箱．求当售价降低多少时，日销售利润最大，最大利润是多少？
四、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中m=-1.
24.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE=DF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
25.(本小题10分)
已知：抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A、B两点（A点在B点的左侧），顶点为P.求A、B、P三点的坐标，并求△ABP的面积.
26.(本小题12分)
如图，在单位长度为1的正方形网格中，正方形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC，BD相交于点E，二次函数y=ax2（0≤x≤4）的图象经过点A（2，2）
(1) 求这个二次函数的解析式，并画出符合题意的函数图象
(2) 将正方形ABCD向左平移，当点E落在这个二次函数的图象上时，平移的距离为
(3) 将抛物线y=ax2（0≤x≤4）向上平移2个单位长度得到新的抛物线，判断点M（2，4）和点（其中-2≤m≤2）是否在新抛物线上，并说明理由
27.(本小题8分)
已知关于x的方程，其中p＞1
(1) 判断该方程的根的情况，并说明理由
(2) C是线段AB上一点，AB=p,AC的长t是该方程的一个根，且2t（p-t）=1．确定点C在线段AB上的位置，并说明理由
28.(本小题6分)
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，一元二次方程x2-3x+2=0的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”
(1) 若（x-2）（ax-b）=0（a≠0）是“二倍根方程”，求的值
(2) 若方程x2+bx+c=0是“二倍根方程”，求b与c之间的关系
29.(本小题10分)
2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌.在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）.如图2所示，建立平面直角坐标系xOy.如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y=a（x-h）2+k（a＜0）.
水平距离x/m 3 h 4 4.5
竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如上：根据上述数据，直接写出h的值为______，直接写出满足的函数关系式：______；
（2）在（1）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为d1；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：y=-5x2+40x-68，记比赛当天入水点的水平距离为d2，判断d1与d2的大小关系，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c,则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y=-5t2+c,如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的207C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】x1=x2=2
x1=0，x2=1

10.【答案】直线x=1
（1，-3）

11.【答案】y=（x+2）2+1
12.【答案】a＜1
13.【答案】-3
14.【答案】-3和1
15.【答案】-4≤y≤0
16.【答案】20
17.【答案】-1＜x＜5
18.【答案】-18
19.【答案】1
3

20.【答案】m＜0或0＜m≤1或m≥3
21.【答案】解：|-3|+（-1）0-2-1
=3+1-
=．
22.【答案】【小题1】
20
1600
【小题2】
设第二天、第三天日销售利润的平均增长率为x,
则（70-50）×80（1+x）2=2500，
解得：x1==25%，x2=-（舍去），
答：第二天、第三天日销售利润的平均增长率为25%
【小题3】
设应降价x元，日销售利润为w元，
则w=（20-x）（80+10x）=-10x2+120x+1600=-10（x-6）2+1960，
∵-10＜0，
∴当x=6时，w取最大值，最大值为1960，
答：当售价降低6元时，日销售利润最大，最大利润是1960元

23.【答案】解：原式=，
=，
=．
当m=-1时，原式==．
24.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠C=90°．
又∵BE=DF，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
∴AE=CF，
∵AD=BC，
∴AD-AE=BC-CF．
即ED=BF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
25.【答案】解：当y=0时，-x2+4x-3=0，
解得x1=1，x2=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，
∴顶点P的坐标为（2，1），
∴△ABP的面积=×（3-1）×1=1．
26.【答案】【小题1】
∵y=ax2（0≤x≤4）的图象经过点A（2，2），
∴2=a×22，
解得：a=，
∴y=x2（0≤x≤4）；
【小题2】
4-2
【小题3】
点M在新的抛物线上，点N不在新的抛物线上．
理由：新的抛物线为：y=x2+2，
当x=2时，y=×22+2=4，
∴点M在新的抛物线上，
当x=m+2时，y=×（m+2）2+2=m2+2m+4，
∴点N不在新的抛物线上

27.【答案】【小题1】该方程有两个不相等的实数解．
理由如下：
∵Δ=[-（p+2）]2-4（2p-）
=p2+4p+4-8p+6
=p2-4p+4+6
=（p-2）2+6＞0，
∴该方程有两个不相等的实数解
【小题2】点C在线段AB上的位置为AC=p-1．
理由如下：
∵AC的长t是该方程的一个根，
∴t2-（p+2）t+2p-=0，
∴2t2=2t（p+2）-4p+3，
∵2t（p-t）=1，
∴2t2=2tp-1，
即2t（p+2）-4p+3=2tp-1，
∴t=p-1，
∴点C在线段AB上的位置为AC=p-1

28.【答案】【小题1】（x-2）（ax-b）=0，
x-2=0或ax-b=0，
解得x1=2或x2=，
∵（x-2）（ax-b）=0（a≠0）是“二倍根方程”，
∴2=2 或=2×2，
即a=b或b=4a,
当a=b时，原式===，
当b=4a时，原式===，
综上所述，的值为或
【小题2】∵方程x2+bx+c=0是“二倍根方程”，
∴设方程两根分别为t,2t,
∴t+2t=-b,t 2t=c,
∴t=-b,
∴2×（-b）2=c,
即2b2=9c,
∵Δ=b2-4c≥0，
∴9c-8c≥0，
解得c≥0，
∴b与c之间的关系为2b2=9c（c≥0）

29.【答案】3.5，y=-5（x-3.5）2+11.25；
d1＜d2；
她当天的比赛能成功完成此动作．
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