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2026-2027学年天津市益中学校高二（上）学情调研数学试卷
一、单项选择题：本大题共9小题，共27分。
1.已知直线经过点A（2，-8），B（5，1），则直线的斜率为（　　）
A. -3 B. C. 3 D.
2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，设=，=，=，M是BC1的中点，则可表示为（　　）
A. =
B. =
C. =
D. =
3.若直线l1：mx+3y-1=0与直线l2：2x+（m-5）y+1=0垂直，则m=（　　）
A. -3 B. -1 C. 3 D. 6
4.已知直线l1：ax+9y+3=0，l2：x+ay-1=0，则“a=3”是l1∥l2的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
6.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，BC=2AE=2，则向量与的夹角的余弦值是（　　）
A.
B.
C.
D. 0
7.是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x,y）与点N（a,b）的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（　　）
A. B. C. 7 D.
9.如图，圆锥的轴截面PAB是等边三角形，C是底面圆周上一动点，D是PA的中点，则直线CD与PB所成角的余弦值的取值范围是（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.已知直线l过P（-2，-1），且与以A（-4，2），B（1，3）为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 .
11.直线2x-3y-4=0关于x轴对称的直线方程为 .
12.对任意实数m,坐标原点O到直线（3+m）x+（2-m）y+1=0距离的最大值为 .
13.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=4，AA1=6，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=，则AC1的长为 .
14.过点P（4，3）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 .
15.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=6，点E在棱AB上，BE=2AE，动点P满足BP=PE，若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为 ；若点P在长方体ABCD-A1B1C1D1内部运动，F为棱C1D1的中点，M为CP的中点，则三棱锥M-B1CF的体积的最小值为 .
三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
（1）斜率是，经过点A（8，-2）；
（2）在x轴和y轴上的截距分别是，-3；
（3）经过两点P1（3，-2）、P2（5，-4）.
17.(本小题8分)
如图，在多面体ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，四边形A1ACC1为矩形，A1B1∥AB，AB=AC=AA1=3，A1B1=1，D为BC的中点.
（1）求证：A1B∥平面AC1D；
（2）求平面BCB1与平面AC1D夹角的余弦值.
18.(本小题9分)
过点P（2，1）作直线l,与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：
（1）△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
（2）求直线l的两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；
（3）求|PA| |PB|的最小值及此直线l的方程.
19.(本小题11分)
长方体ABCD-A1B1C1D1中，，E，F分别为A1D1，C1B1中点，且CG=2GC1.
（1）求证：GF⊥平面FBE；
（2）求直线AC1与平面FBE所成角的正弦值，
（3）求三棱锥D-FBE的体积.
20.(本小题12分)
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2.
（1）求AC与PB所成的角的余弦值；
（2）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（3）设M是PB上一点，且直线CM与平面PCD夹角的正弦值为，求的值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】
11.【答案】2x+3y-4=0
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】3x-4y=0或x-y-1=0
15.【答案】

16.【答案】x+2y-4=0；
2 x-y-3=0；
x+y-1=0
17.【答案】解：（1）证明：连接A1C，交AC1于点E，连接DE，
因为四边形A1ACC1为矩形，
所以点E为A1C中点，
又D为BC的中点，
所以ED∥A1B，
因为ED 平面AC1D，A1B 平面AC1D，
所以A1B∥平面AC1D．
（2）因为A1A⊥平面ABC，AB，AC 平面ABC，
所以A1A⊥AB，A1A⊥AC，
又AB⊥AC，
所以A1A，AB，AC两两垂直，
以点A为原点，以AB，AC，A1A为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，3，0），B1（1，0，3），C1（0，3，3），
因为D为BC的中点，
所以，
则，，，．
设平面BCB1的法向量为，
则，即，
令x1=3，则y1=3，z1=2，
所以，
设平面AC1D的法向量为，
则，即，
令y2=-1，则x2=z2=1，
所以，
设平面BCB1与平面AC1D夹角为θ，
则cosθ=|cos＜，＞|===，
故平面BCB1与平面AC1D夹角的余弦值为．
18.【答案】解：（1）设直线AB的方程为+=1（a＞0，b＞0），
∵点P（2，1）在直线上，
∴+=1，
由基本不等式1=+≥2=，当且仅当a=4且b=2时，等号成立，
∴ab≥8，可得△AOB的面积S=ab≥4，
因此△AOB的面积S的最小值为4，
此时的直线方程为+=1，即x+2y-4=0；
（2）：设∠PAO=θ，则可得θ∈（0，），
过P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，
则Rt△PDB中，tanθ=，可得|BD|=|PD|tanθ=2tanθ，
cosθ=，可得|PB|==，
同理，在Rt△PAC中，有|AC|==，|PA|=，
∴|OA|+|OB|=|OC|+|AC|+|OD|+|BD|=3++2tanθ，
∵θ∈（0，），得tanθ＞0，
∴+2tanθ≥2，可得当且仅当tanθ=时，等号成立．
由此可得|OA|+|OB|的最小值为3+2，
此时方程为的斜率为-，
直线l的方程为y-1=-（x-2），化为一般式可得x+2y-2-2=0
（3）∵|PA|=，|PB|=，
∴|PA| |PB|=
当2θ=，即θ=时，|PA| |PB|取最小值4，
此时，直线的倾斜角为，斜率为-1，
直线l的方程为y-1=-1（x-2），化为一般式可得x+y-3=0
19.【答案】解：（1）证明：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
由，AA1=3，得各点坐标：
D（0，0，0），，，，
D1（0，0，3），，，，
E为A1D1中点，故，
F为C1B1中点，故，
由CG=2GC1，得G在CC1上且CG=2，故，
，，，
，故GF⊥FB，
，故GF⊥FE，
又FB∩FE=F，FB、FE 平面FBE，
所以GF⊥平面FBE；
（2）由题，
由（1）知是平面FBE的一个法向量，
则，
，
，
设直线AC1与平面FBE所成角为θ，
则sinθ===；
（3）由题，，，
故EF∥CD，又EF 平面FBE，平面FBE，
所以CD∥平面FBE，
因此D、C两点到平面FBE的距离相等，故VD-FBE=VC-FBE，
换顶点得VC-FBE=VE-BCF，
又，
E点到平面FBC的距离为，
所以，
综上，VD-FBE=6．
20.【答案】 PA⊥面ABCD，CD 面ABCD，则PA⊥CD，
∠DAB=90°，AB∥DC，则AD⊥CD，
PA∩AD=A，PA，AD 面PAD，则CD⊥面PAD，
CD 面PCD，则面PAD⊥面PCD
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