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2026-2027学年福建省厦门市央美恒一高级中学高二（上）第一次月考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在空间直角坐标系Oxyz中，点（3，-1，-4）关于平面Oxy的对称点为（　　）
A. （-3，-1，-4） B. （-3，1，-4） C. （3，-1，4） D. （-3，1，4）
2.已知平面α外的直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，则（　　）
A. l与α斜交 B. l⊥α C. l∥α D.
3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若，，，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
4.如果A（1，5，-1），B（2，4，1），C（a,3，b+2）三点共线，那么a+b=（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.如图，四面体ABCD的所有棱长都是2，则=（　　）
A.
B.
C. 2
D. 1
6.已知空间向量，=（-1，2，-2），=（7，6，λ），若向量，，共面，则实数λ的值为（　　）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
7.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=135°，，BC=1，BB1=2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）
A. B. C. D.
8.已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为（　　）
A. [0，4] B. [1，6] C. [0，6] D. [1，4]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知空间向量，，则（　　）
A.
B.
C.
D. 在的投影向量的坐标是
10.若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（　　）
A. B.
C. D.
11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足，且0≤λ≤1，0≤μ≤1，则下列说法正确的是（　　）
A. 若λ+u=1，则AP∥面A1C1D
B. 若λ+u=1，则AP⊥BC1
C. 若，则P到平面A1BD的距离为
D. 若λ=1，0≤μ≤1时，直线DP与平面A1BD所成角为θ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点A（1，0，0），点B（0，0，3），点C（3，1，-1），则点C到直线AB的距离为 .
13.已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，都满足，若A，B，C，D四点共面，则m= .
14.已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知空间向量=（2，4，-2），=（-1，0，2），=（x,2，-1）.
（1）若∥，求；
（2）若⊥，求cos＜，＞的值.
16.(本小题15分)
如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为2，且两两夹角为60°，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM=2MC′，，，.
（1）用，，表示，；
（2）求AC′的长度.
17.(本小题15分)
在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=3，AB=BC=1，点Q在PD上，且PQ=2QD.
（1）求异面直线BQ与AD夹角的余弦值；
（2）求点C到平面PBD的距离.
18.(本小题17分)
如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，PA=AB=2.
（Ⅰ）求证：当AD=2时，平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）当时，
①求二面角B-PD-C的大小；
②求PB与平面PDC成角的正弦值.
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，CD=AD=1，M为棱PC的中点.
（1）证明：BM∥平面PAD；
（2）若，PD=1，
（i）求二面角P-DM-B的余弦值；
（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】AD
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】2．
14.【答案】（0，2）∪（2，+∞）
15.【答案】解：（1）空间向量=（2，4，-2），=（x,2，-1），=（-1，0，2），
∵∥，
∴存在实数k,使得，
所以，则x=1，
则．
（2）∵⊥，则，
∴x=-2，
∴，
故．
16.【答案】解：（1），
=．
（2）由（1）知
∴
==24；
∴，
即AC′的长度为．
17.【答案】解：（1）以A为坐标原点，AB，AD，AP 所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图，
则D（0，3，0），B（1，0，0），P（0，0，3），Q（0，2，1），C（1，1，0），
∴，
∵cos＜＞===，
∴异面直线BQ与AD夹角的余弦值为．
（2）设平面PBD的一个法向量，
=（-1，3，0），=（-1，0，3），=（0，1，0），
则，取z=1，得平面PBD的一个法向量，
∴点C到平面PBD的距离为．
18.【答案】（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，且BD 平面ABCD，所以PA⊥BD，
又因为底面ABCD为矩形，AB=AD=2，
所以底面ABCD为正方形，即AC⊥BD，
又因为AC∩PA=A，AC，PA 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，又因为BD 平面PBD，
所以平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）①；②．
19.【答案】（1）证明：取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：
∵M为棱PC的中点，
∴MN∥CD，MN=CD，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴AB∥MN，AB=MN，
∴四边形ABMN是平行四边形，∴BM∥AN，
又BM 平面PAD，AN 平面PAD，
∴BM∥平面PAD；
（2）解：∵，PD=1，CD=2，
∴PC2=PD2+CD2，∴PD⊥DC，
∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，
PD 平面PDC，
∴PD⊥平面ABCD，
又AD 平面ABCD，∴PD⊥AD，又AD⊥DC，
∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图：
则P（0，0，1），D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，2，0），
∵M为棱PC的中点，
∴M（0，1，），B（1，1，0），
（i）=（0，1，），=（1，1，0）
设平面BDM的一个法向量为=（x,y,z），
则，令z=2，则y=-1，x=1，
∴=（1，-1，2），
平面PDM的一个法向量为=（1，0，0），
∴cos＜，＞===，
∴二面角P-DM-B的余弦值为；
（ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是，
设=λ，0＜λ＜1，则Q（λ，0，1-λ），=（λ-1，-1，1-λ），
由（i）知平面BDM的一个法向量为=（1，-1，2），
=λ-1+1+2（1-λ）=2-λ，
∵点Q到平面BDM的距离是==，
∴λ=，∴PQ=．
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