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2026-2027学年福建省仙游第一中学高一（上）第一次月考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.A={0，3}，B={0，3，4}，C={1，2，3}，则（B∪C）∩A=（　　）
A. {0，1，2，3，4} B.
C. {0，3} D. {0}
2.子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语 卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.对于任意实数a,b,c,d,以下四个命题中的真命题是（　　）
A. 若a＞b,则a2＞b2 B. 若a＞b＞0，c＞d,则ac＞bd
C. 若a＜b,则 D. 若ac2＞bc2，则a3＞b3
4.已知命题p：1＜x＜3，命题q：2m＜x≤1-m,若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（　　）
A. B. C. D. m≤-2
5.已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a,b,c∈R）的解集为（-4，1），则的取值范围为（　　）
A. [-6，+∞） B. （-∞，6） C. （-6，+∞） D. （-∞，-6]
6.若命题“”为假命题，则a的值可能为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.若关于x的不等式ax2+2（a-1）x+a-2＜0的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
8.已知集合S是由某些正整数组成的集合，且满足：若a∈S，则当且仅当a=m+n（其中m,n∈S且m≠n），或a=p+q（其中p,q S，p,q∈Z*且p≠q）.现有如下两个命题：①4∈S；②集合{x|x=3n+5，n∈N} S.则下列选项中正确的是（　　）
A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题．
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若集合M={ ，{ }，{ ，{ }}}，则（　　）
A. M B. { }∈M C. M D. { ，{ }} M
10.对任意A，B R，记A B={x|x∈A∪B，x A∩B}，并称A B为集合A，B的对称差.下列命题中，是真命题的为（　　）
A. 若A={-1，0，1}，B={0，1，2}，则A B={-1，2}
B. 若A={x|-1≤x≤1}，B={x|0≤x≤2}，则A B={x|-1≤x≤0}∪{x|1≤x≤2}
C. 若A，B R且A B=B，则A=
D. 若A，B R且A B= ，则A=B
11.已知a＞0，b＞0，（2a+1）（b+1）=4，下列说法正确的是（　　）
A. 的最大值为1 B. 2a+b的最小值为2
C. ab的最大值为 D. 的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知1≤2x-y≤2，-1≤2x+3y≤1，则6x+5y的取值范围为 ．
13.满足{1，2，3} A {1，2，3，4，5，6，7，8，9}的集合A共有 个.
14.已知a1，a2，…，a8是8个正整数，记S=，其中i1，i2，…，i7∈N*，若S={82，83，84，85，86，87，89}，则这8个正整数中的最大数与最小数的和为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤4}，B={x|2a-1≤x≤2a+3}.
（1）若a=-1，求A∩B和（ UA）∪B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围.
16.(本小题15分)
已知二次函数y=x2-（a-3）x+4.
（1）若关于x的不等式x2-（a-3）x+4≤0的解集为{x|1≤x≤b}（b＞1），求a和b的值；
（2）若不等式y≥0对一切实数x都成立，求a的取值范围；
（3）解关于x的不等式x2-（a-3）x+4＞（a+1）x2+1.
17.(本小题15分)
如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为x米，宽为y米.
（1）若菜园面积为36平方米，则x,y为何值时，所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长为30米，则x,y为何值时，菜园面积最大？
（3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值.
18.(本小题17分)
柯西不等式在数学中有广泛应用，其二阶形式如下：对任意实数a,b,c,d,有（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，当时，等号成立.柯西不等式的三阶形式为对任意实数a,b,c,d,e,f,有（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，当时，等号成立.
（1）证明二阶柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2；
（2）若求a2+b2+c2的最小值；
（3）若a+b+c=1，求的取值范围.
19.(本小题17分)
对于给定的非空数集A={a1，a2，a3，…，an}（n∈N*），定义集合A+={x|x=ai+aj，ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}，A-={x|x=|ai-aj|，ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}，当A+∩A-= 时，称A具有孪生性质.
（1）若集合A={3，6}，求集合A+和A-并判断A是否具有孪生性质；
（2）若集合B={x1，x2，x3}，x1＜x2＜x3，且B-=B，求证：x3=2x2；
（3）若集合C {x|x2-2025x+2024≤0，x∈N+}，且集合C具有孪生性质，记|C|为集合C中元素的个数，求|C|的最大值.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】BD
12.【答案】[-1，4]
13.【答案】63
14.【答案】23
15.【答案】A∩B={x|-2≤x≤1}；（ UA）∪B={x|x≤1或x＞4}
16.【答案】解：（1）由题意可知x2-（a-3）x+4=0的两个解为1，b,
所以，所以；
（2）因为x2-（a-3）x+4≥0恒成立，则Δ=（a-3）2-4×4≤0，
即（a-3）2≤42，解之得-1≤a≤7，
则a的取值范围为[-1，7]；
（3）原不等式等价于ax2+（a-3）x-3=（ax-3）（x+1）＜0，
若a=0，则x＞-1；
若a=-3，则x≠-1；
若-3＞a,则或x＜-1；
若a＞0，则；
若-3＜a＜0，则或x＞-1；
综上所述：当a=0时，不等式的解集为{x|x＞-1}；
当a=-3时，不等式的解集为{x|x≠-1}；
当a＜-3时，不等式的解集为{或x＜-1}；
当a＞0时，不等式的解集为；
当-3＜a＜0时，不等式的解集为{或x＞-1}．
17.【答案】解：（1）若菜园面积为36平方米，则xy=36，所用篱笆总长为x+2y.
因为，
当且仅当x=2y时，即，时等号成立．
所以菜园的长x为，宽y为时，所用篱笆总长最小；
（2）若使用的篱笆总长为30米，则x+2y=30，菜园面积为xy.
因为，
当且仅当x=2y时，即x=15，时等号成立．
所以菜园的长x为15m,宽y为时，菜园面积最大；
（3）若使用的篱笆总长为30米，则x+2y=30，
，
当且仅当，即x=y=10时等号成立，
所以的最小值是．
18.【答案】（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2=a2d2+b2c2-2abcd=（ad-bc）2≥0，
当且仅当ad=bc，即时等号成立，
∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2；
3；

19.【答案】（1）A+={6，9，12}，A-={0，3}，A具有孪生性质 （2）由集合B={x1，x2，x3}，x1＜x2＜x3，
得B-集合的元素在0，x2-x1，x3-x1，x3-x2中产生，且0＜x2-x1＜x3-x1，0＜x3-x2＜x3-x1，
而B=B-，则B中最大元素x3属于B-，
而x3-x1为4个元素中的最大者，于是x3=x3-x1，即x1=0，B={0，x2，x3}，
则构成B的元素为0，x2，x3，x3-x2，且x3-x2与O或x2或x3重复，
又0＜x2＜x3，所以x3-x2=x2，即x3=2x2 （3）1350
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