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2026-2027学年河北省石家庄一中实验学校高二（上）月考数学试卷（9月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设集合A={x|x2-x-6≤0}，B={x||x-2|≤2}，则A∩B=（　　）
A. [0，2] B. （2，3] C. [0，3] D. [-2，3]
2.已知复数，其中i为虚数单位，则z的虚部是（　　）
A. B. C. D.
3.已知角α的终边过点（1，-2），则cos2α=（　　）
A. B. C. D.
4.若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
5.已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α B. 若m∥α，β⊥α，则m∥β
C. 若m∥α，n⊥α，则m⊥n D. 若m∥α，m⊥β，则α∥β
6.已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则原点到平面ABC的距离是（　　）
A. B. C. D.
7.盒子中装有大小、质地完全相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地依次取出2个球，事件A=“取出的2个球同色”，事件B=“第一次取出的是黑球”，事件C=“第二次取出的是白球”，事件D=“取出的2个球不同色”，则下列结论错误的是（　　）
A. A与D对立 B. C. C与D相互独立 D.
8.已知正三角形ABC的边长是2，D是BC的中点，将△BAD沿直线AD翻折，构成三棱锥P-ADC，使得二面角P-AD-C的大小为，则该三棱锥外接球的表面积是（　　）
A. 6π B. 7π C. 8π D. 9π
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题是真命题的有（　　）
A. 分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30
B. 某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4
C. 甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67
D. 一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5
10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（　　）
A. 若bcos（B+C）-acos（A+C）=0，则△ABC为等腰三角形
B. 若a=10，b=8，，则符合条件的三角形仅有一个
C. 若△ABC为钝角三角形，则
D. 若，则cosB的最小值为
11.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足，λ∈[0，1]，μ∈[0，1].则下列结论正确的是（　　）
A. 平面A1BD⊥平面APC1
B. 当λ+μ=1时，D1P∥平面A1BD
C. 若，则AP与平面BCC1B1所成角的最小值为
D. 当，时，过点P作正方体外接球的截面，截面面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调减区间是 .
13.已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，设，，其中m＞0，n＞0，则的最小值是 .
14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M在线段BC上（不含端点），点N在线段CC1上，且，若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为五边形，则线段BM长的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量与的夹角为，||=1，||=2.
（1）若（2+）⊥（-t），求实数t的值；
（2）求向量与3+2的夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
已知△ABC中，A，B，C所对的边为a,b,c,向量，，且.
（1）求C的大小；
（2）若D为AB中点，CD=2，且△ABC面积为，求边c.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=120°，E为棱PA的中点，PA=PB=4，，直线PA与BC所成的角的大小为60°.
（Ⅰ）证明：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求三棱锥E-ABD的体积；
（Ⅲ）求二面角E-BD-A的正切值.
18.(本小题17分)
某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.求：
（1）根据图中数据，求出月销售额在[14，16）小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务.
（2）该公司决定从月销售额为[12，14）和[24，26]的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率.
（3）第一组[12，14）中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组[24，26）中推销员的销售金额的平均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差.
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，CD=4，AB=AD=PA=PB=2.点M为AB的中点.点P在底面ABCD的投影落在梯形ABCD内.
（1）若PM⊥PC；
（i）求证：PM⊥平面PCD；
（ii）求直线AC和平面PCD所成角的正弦值.
（2）球O为三棱锥P-ABD的外接球，当二面角P-AD-B的平面角的余弦值为时，求平面PBC截球O的截面面积.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABC
12.【答案】（-∞，-1）
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】；
．
17.【答案】解：（Ⅰ）证明：连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，∴O为AC的中点，
∵E是棱PA的中点，∴PC∥OE，
又OE 平面BED，PC 平面BED，
∴PC∥平面BED；
（Ⅱ）∵直线PA与BC所成的角为60°，且AD∥BC，
∴∠PAD就是直线PA与BC所成的角或其补角，
∵PA=4，，∴PA＞PD，∴∠PAD=60°，
在△PAD中，由正弦定理得，，
=，解得sin∠PDA=1，
∴∠PDA=90°，即PD⊥AD，从而AD=2，
∵四边形ABCD是菱形，且∠ABC=120°，∴∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，从而AD=BD，
又PA=PB，PD=PD，∴△PAD≌△PBD，
∴∠PDB=∠PDA=90°，从而PD⊥BD，
又AD∩BD=D，AD 平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，
，
∵E为PA的中点，PD⊥平面ABCD，∴三棱锥E-ABD的高为h==，
；
（Ⅲ）过点E作EH⊥AD，垂足为H，
过H作HI⊥BD，垂足为I，连接EI，
由（Ⅱ）PD⊥平面ABCD，又PD 平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，
又平面PAD∩平面ABCD=AD，EH⊥AD，EH 平面PAD，
∴EH⊥平面ABCD，
BD 平面ABCD，HI 平面ABCD，∴EH⊥BD，EH⊥HI，
∵HI⊥BD，HI∩EH=H，EH 平面EHI，HI 平面EHI，
∴BD⊥平面EHI，
∵EI 平面EHI，∴BD⊥EI，
∴二面角E-BD-A的平面角是∠EIH，
在Rt△EHI中，，，
∴，
∴二面角E-BD-A的正切值是2．
18.【答案】解：（1）月销售额在[14，16）小组内的频率为1-2×（0.03+0.12+0.18+0.07+0.02+0.02）=0.12，
若要使70%的推销员能完成月销售额目标，则意味着30%的推销员不能完成该目标，
根据频率分布直方图知，[12，14）和[14，16）两组的频率之和为0.18，
故估计月销售额目标应定为（万元）；
（2）根据频率分布直方图可知，月销售额为[12，14）的人数为0.03×2×50=3人，记为A，B，C，
月销售额为[24，26]的人数为0.02×2×50=2人，记为a，b，
从这5位推销员中选取2位推销员，样本空间Ω={AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab}，
共10个样本点，
其中选出的推销员来自不同小组的有{Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb}，共6个样本点，
所以所求概率为P==；
（3）第一组[12，14）的人数为3人，第七组[24，26）的人数为2人，
所以两组中所有推销员的销售金额的平均数为=17.8，
方差为=37．
19.【答案】（i）∵PA=PB，点M为AB的中点，∴PM⊥AB，
∵AB∥CD，∴PM⊥CD，
∵PM⊥PC，PC，CD 平面PCD，且PC∩CD=P，
∴PM⊥平面PCD；（ii）
π
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