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专题二·期中综合复习·基础巩固讲义
（第10~12章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版八年级数学上册
思维导图
课程目标
· 夯实平方根、算术平方根、立方根与实数的基本概念，会求根并做实数简单运算
· 熟记幂的四条运算法则，准确进行同底数幂乘除、幂的乘方与积的乘方运算
· 掌握单项式、多项式乘除法，会用平方差与完全平方公式进行基本运算
· 理解因式分解的意义，熟练用提公因式法与公式法把多项式分解彻底
· 掌握全等三角形的五个判定，会用角平分线、垂直平分线性质解决基础几何问题
知识梳理
☆ 1.数的开方与实数
若x2=a（a≥0），则x是a的平方根，记作±；其中非负的是算术平方根
若x3=a，则x是a的立方根，记作 a；任意实数都有唯一立方根
有理数和无理数统称实数，实数与数轴上的点一一对应
具有非负性，常与|x|、平方的非负性联合命题
概念辨析例题：求下列各数的平方根与算术平方根：(1) 81；(2) 。
答案：(1) 平方根±9，算术平方根9；(2) 平方根±，算术平方根。
解析：正数有两个互为相反数的平方根，非负的那个才是算术平方根，注意不要漏写负的平方根。
☆ 2.幂的运算与整式乘除
am·an=am+n；(am)n=amn；(ab)n=anbn；am÷an=am-n
单项式相乘：系数、同字母幂分别相乘，单独字母连同指数照抄
多项式除以单项式：用多项式每一项分别除以单项式，再把商相加
运算顺序：先乘方，再乘除，注意符号与指数的加减
概念辨析例题：计算：(2a3)2 · (3a2) ÷ (6a3)。
答案：2a5。
解析：先乘方得4a6，再乘3a2得12a8，最后除以6a3，系数12÷6=2、指数8 3=5，得2a5。
☆ 3.乘法公式与因式分解
平方差公式：(a+b)(a b)=a2 b2；完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2
因式分解是把多项式化成几个整式积的形式，与整式乘法互为逆变形
因式分解先提公因式，再套用公式，必须分解到不能再分为止
判断一个变形是否为因式分解，看结果是不是几个整式的积
概念辨析例题：分解因式：(1) x2 9；(2) x2 6x+9。
答案：(1) (x+3)(x 3)；(2) (x 3)2。
解析：x2 9是两数平方差，用平方差公式；x2 6x+9符合a2 2ab+b2结构，用完全平方公式。
☆ 4.全等三角形
全等三角形对应边、对应角分别相等，对应顶点写在对应位置
判定：SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形还有HL；AAA与SSA不能判定
角平分线上的点到角两边距离相等；垂直平分线上的点到线段两端点距离相等
等腰三角形等边对等角、三线合一；等边三角形三边相等、三个角都是60°
概念辨析例题：如图，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：△ABD≌△ACD。
答案：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD；又AB=AC，AD=AD，故△ABD≌△ACD（SAS）。
解析：由角平分线得到一组角相等，加上公共边AD与已知AB=AC，满足两边及其夹角对应相等，用SAS判定。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
平方根与算术平方根 若x2=a则x是a的平方根；非负平方根记作 正数有两个平方根互为相反数；≥0
立方根 若x3=a则记作 a 任意实数都有唯一立方根，符号与被开方数一致
幂的运算法则 am·an=am+n；(am)n=amn；(ab)n=anbn 底数相同才能合并；注意法则的逆用
乘法公式 (a+b)(a b)=a2 b2；(a±b)2=a2±2ab+b2 完全平方展开有三项，勿漏中间项2ab
因式分解 把多项式化成几个整式积的形式 先提公因式再套公式，分解要彻底
全等三角形 对应边、对应角相等；判定SSS/SAS/ASA/AAS/HL 至少一组边对应相等；AAA、SSA不能判定
核心考点
【考点1】平方根、算术平方根与立方根（第1-10题）
· 表示非负平方根，±才是两个平方根
· 立方根符号与被开方数一致，负数也有立方根
· 注意区分平方根、算术平方根、立方根的符号
· 遇到联想其非负性
1．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）下列各数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.7
2．（24-25七年级下·云南昆明·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段检测）16的算术平方根为（ ）
A． B．4 C． D．16
4．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）9的平方根是（ ）
A． B．3 C． D．
5．（23-24八年级上·山东青岛·期末）的值是______．
6．（24-25七年级下·广西钦州·期中）的绝对值是___________．
7．（24-25八年级下·四川广安·阶段检测）若x，y为实数，且，则______．
8．（24-25七年级下·新疆和田·期末）计算：
(1)；
(2)求x的值：．
9．（24-25八年级上·吉林长春·阶段检测）计算：．
10．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）计算：．
【考点2】实数分类、大小比较与实数运算（第11-16题）
· 无理数是无限不循环小数，常见三类要记牢
· 实数与数轴上的点一一对应
· 比较大小可借助数轴或取近似值
· 实数运算律与有理数相同
11．（24-25八年级上·山西·阶段检测）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）若实数满足，则，，和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24八年级上·山西晋中·期中）《九章算术》中指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．例如面积为8的正方形的边长称为8“面”，关于38“面”的值说法正确的是（ ）
A．是4和5之间的实数 B．是5和6之间的实数
C．是6和7之间的实数 D．是7和8之间的实数
14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）比大小______；______．（用“＞”或“＜”填空）
15．（25-26七年级下·青海西宁·期中）观察下表，然后回答问题．
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 0.1 1 10 100 …
从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下列问题：已知，若，则________．
16．（25-26七年级下·广西钦州·阶段检测）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩3.14．
(1)整数集合：{ …}；
(2)分数集合：{ …}；
(3)非负有理数集合：{ …}；
(4)无理数集合：{ …}．
【考点3】幂的运算法则及其逆用（第17-24题）
· 四条幂法则要记准：乘加、乘方乘、积乘方
· 系数运算与幂运算分开处理
· 逆用法则可整体代入求值
· 注意指数的符号与括号
17．（2023九年级·安徽·专题练习）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
18．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
19．（23-24八年级上·山西朔州·阶段检测）下列算式是小明的作业，那么小明做对的题数为（ ）
（1）若，，则； （2）；
（3）； （4）；
（5）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
20．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算的结果是________．
21．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段检测）计算： ____________．
22．（24-25七年级上·上海·阶段检测）______．
23．（24-25八年级上·青海海东·阶段检测）计算：．
24．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）计算：．
【考点4】整式的乘法与除法（第25-30题）
· 单项式乘除：系数、同字母幂分别运算
· 多项式乘多项式逐项相乘再相加
· 多项式除以单项式逐项相除
· 乘积不含某项即该项系数为0
25．（24-25七年级上·重庆·期末）已知两个整式，．将整式与整式求和后得到整式．此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，，以此类推，以下四个说法中正确的个数有（ ）
①当时，第六次求和操作的结果为；
②当时，有最小值，最小值为；
③若关于的方程有无数个解，则；
④当为大于的正整数时，是关于，的五次三项式（其中和均为整数，，均不为）．则的值有种不同结果．
A．个 B．个 C．个 D．个
26．（24-25七年级下·广东深圳·期末）在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小鲲同学对自己设计的运算给出如下定义：．则的化简结果是______．
27．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔弄污了，你认为处应是______．
28．（24-25七年级下·广东佛山·阶段检测）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是______．
29．（23-24六年级下·山东东营·期末）若的积中不含x的二次项和一次项，则的值为__________．
30．（23-24六年级下·山东淄博·期末）计算：
(1)
(2)
【考点5】乘法公式与因式分解（第31-39题）
· 平方差认准「平方减平方」
· 完全平方展开有三项，勿漏2ab
· 因式分解遵循「一提二套三检查」
· 分解结果必须是几个整式的积
31．（24-25八年级上·山东烟台·期末）下列多项式中①；②；③；④；⑤；⑥．能用公式法分解因式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
32．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
33．（23-24八年级上·山东济宁·期末）要使多项式能运用完全平方公式进行分解因式，则整式M可以为______________（写出一个符合的条件的M即可）．
34．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）计算______．
35．（24-25九年级下·北京海淀·阶段检测）因式分解______．
36．（23-24八年级上·吉林长春·期中）把多项式(a为常数)因式分解得到，则______．
37．（23-24七年级下·重庆·阶段检测）已知，则______．
38．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）【概念学习】
在一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，所得的式子和原来的代数式相等，这样的式子叫作对称式多项式，简称对称式．
【特例感知】
代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式．对于式子，交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式．
【问题解决】
阅读以上材料，解答下面的问题：
(1)代数式 （填“是”或“不是”）对称式；
(2)若关于的代数式为对称式，求的值；
(3)在（2）的条件下，已知上述对称式满足，且，求的值．
39．（23-24八年级上·河南周口·阶段检测）（1）计算：
（2）分解因式：
【考点6】全等三角形的性质与判定（第40-45题）
· 先在图上标出已知等角等边
· 公共边、公共角、对顶角是隐含条件
· 根据已知选最简便的判定定理
· 对应顶点位置要写一致
40．（24-25八年级上·吉林松原·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B间的距离，作线段与相交于点O，使，，只要测得C、D之间的距离，就可知道A、B间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）

A． B． C． D．
41．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，D为等腰的斜边 的中点，E为边上一动点，连接并延长交的延长线于点F，过D作交于G，交的延长线于H，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
42．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知 ，的面积为，边上的高为，则______
43．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，．若，则________．

44．（期中真题必刷基础60题（20个考点专练）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版，吉林专用））在一次数学课上．王老师在黑板上画出一幅图（如图），并写下了四个等式：①②③④．
(1)上述四个条件中．由哪两个条件可以得到？用序号写出所有成立的情形；
(2)请选择（1）中的一种情形．写出证明过程．
45．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知 ，D是延长线上一点， ，，，连接，试说明：．
【考点7】等腰（边）三角形、命题与平行线（第46-54题）
· 等边对等角、等角对等边可互推
· 等腰三角形顶角平分线、底边上中线高三线合一
· 判断命题真假可举反例
· 平行线性质与判定要分清条件与结论
46．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列语句中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．同旁内角互补
C．若，则
D．对于直线a，b，c，如果，，那么
47．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，，经过点A，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
48．（22-23九年级下·湖南娄底·阶段检测）已知平面内点P到等边三角形的三边所在直线的距离分别为7，8，9，则的边长的可能值有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
49．（25-26八年级上·北京·期中）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，，点O，A可在槽中滑动，若，则的度数是______
50．（25-26七年级下·上海普陀·期末）已知等腰三角形的周长是，如果其中一条边长为，那么底边长为_______．
51．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，平面内三点A、B、C，，以为斜边作等腰直角三角形，连接，则的最大值是______．
52．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，、边的垂直平分线相交于点，分别交边于点、，连接，．
(1)若的周长为6，求的长；
(2)若，，求的度数；
(3)若，求的度数．
53．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，在等边中，点，分别在边、上，，过点作交的延长线于点．
(1)求的度数．
(2)若，求的长．
54．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）下面是数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．
【问题提出】
如图1，在中，，，点D在线段上，在外侧，以为边能否构造一个与全等的三角形．
【问题探究】
乐学组：如图2，分别以点B、点C为圆心，以、为半径画弧，两弧交于点E，连接、，则即为所求作的三角形．
善思组：如图3，过点B作于点B，过点C作于点C，、相交于点E，则即为所求作的三角形．
（1）乐学组得出的依据是__________ ，善思组得出的依据是__________．（横线上填序号：①；②；③；④）
【问题再探】
（2）善思组的同学们证得后，在图3的基础上连接，通过几何画板测量发现和的面积相等，请你一起来探究．
①在横线上填写内容或者依据；如图4，延长线段、交于点F，
∵，，
∴____________________，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴（______________）．
②把未完成的说理过程补充完整．
（3）在（2）的条件下，已知，点D是线段的三等分点，请直接写出的面积．
【考点8】角平分线、垂直平分线与尺规作图（第55-60题）
· 角平分线上的点到两边距离相等
· 垂直平分线上的点到两端点距离相等
· 尺规作图保留痕迹并说明依据
· 求角度常结合三角形内角和
55．（22-23八年级上·云南曲靖·阶段检测）如图，平分，，于M，其中，以下结论：①；②；③；④．其中正确的是________．
56．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点D是边上的一点，连接，且，平分，交于点E，过点E作，垂足为F，连接，且．若，，的面积是，则的面积是_____．
57．（25-26八年级上·北京西城·期末）已知：在中，为边上一点，平分，于点，于点．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接、（只保留作图痕迹，不写作法和结论）．
(2)若，求证：．请补全下面的证明过程．
58．（22-23九年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的两侧，，．
(1)求证：：
(2)若，求的度数．
59．（24-25八年级上·陕西延安·阶段检测）如图，已知，求作，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
60．（23-24八年级下·广东茂名·阶段检测）是等腰直角三角形，，是角平分线，．
(1)请你写出图中所有的等腰三角形；
(2)若，求的长．
课后巩固
复习建议
· 分清平方根、算术平方根、立方根的符号与个数
· 幂的四条法则记准，正反两用不混淆
· 乘法公式先看结构，因式分解一提二套三检查
· 全等证明先找对应边对应角，再选判定定理
· 角平分线、垂直平分线、等腰三角形性质成对记忆
【作业1】．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【作业2】．（24-25七年级下·浙江台州·期末）下列计算中，正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【作业3】．（25-26八年级上·河南鹤壁·阶段检测）用平方差公式计算，必须先变形，下列变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【作业4】．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【作业5】．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，且，于，于．若，，，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【作业6】．（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期末）在等腰三角形中，若，，则这个三角形的周长为( )
A．21 B．20 C．19 D．18或21
【作业7】．（24-25七年级下·四川达州·期末）如果，那么________．
【作业8】．（24-25七年级下·全国·暑假作业）一个正数的两个平方根分别为a，b，则___________，___________．
【作业9】．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，则的值为_____．
【作业10】．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）因式分解：___________
【作业11】．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，，，要使，根据还需要添加一个条件是______．
【作业12】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）是的立方根，的立方根是，则______．
【作业13】．（23-24七年级下·广西百色·期中）计算：______．
【作业14】．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则_______．
【作业15】．（24-25九年级下·海南海口·阶段检测）（1）计算：；
（2）解不等式组．
【作业16】．（20-21八年级上·陕西渭南·期末）因式分解：．
【作业17】．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）计算：
(1)；
(2)．
【作业18】．（2026·浙江台州·二模）课堂上，屏幕上呈现一题：
已知：如图，在四边形中，，__________．
求证：．
请在空格处添加条件并证明．
小明：“添加，就可以证明．” 小丽：“要添加才可以证明．”
你支持__________（填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程．
【作业19】．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）先阅读材料，再解答问题：
因式分解：．
解：将“”看成一个整体，设，
则原式，
再将代入，得原式．
以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长．
【作业20】．（24-25八年级上·北京西城·期末）如图，点E，F分别在四边形的边，的的延长线上，连接，分别交，于点G，H，．
(1)求证：；
(2)判断线段与的位置关系，并证明．
1
1专题二·期中综合复习·基础巩固讲义
（第10~12章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版八年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· 夯实平方根、算术平方根、立方根与实数的基本概念，会求根并做实数简单运算
· 熟记幂的四条运算法则，准确进行同底数幂乘除、幂的乘方与积的乘方运算
· 掌握单项式、多项式乘除法，会用平方差与完全平方公式进行基本运算
· 理解因式分解的意义，熟练用提公因式法与公式法把多项式分解彻底
· 掌握全等三角形的五个判定，会用角平分线、垂直平分线性质解决基础几何问题
知识梳理
☆ 1.数的开方与实数
若x2=a（a≥0），则x是a的平方根，记作±；其中非负的是算术平方根
若x3=a，则x是a的立方根，记作 a；任意实数都有唯一立方根
有理数和无理数统称实数，实数与数轴上的点一一对应
具有非负性，常与|x|、平方的非负性联合命题
概念辨析例题：求下列各数的平方根与算术平方根：(1) 81；(2) 。
答案：(1) 平方根±9，算术平方根9；(2) 平方根±，算术平方根。
解析：正数有两个互为相反数的平方根，非负的那个才是算术平方根，注意不要漏写负的平方根。
☆ 2.幂的运算与整式乘除
am·an=am+n；(am)n=amn；(ab)n=anbn；am÷an=am-n
单项式相乘：系数、同字母幂分别相乘，单独字母连同指数照抄
多项式除以单项式：用多项式每一项分别除以单项式，再把商相加
运算顺序：先乘方，再乘除，注意符号与指数的加减
概念辨析例题：计算：(2a3)2 · (3a2) ÷ (6a3)。
答案：2a5。
解析：先乘方得4a6，再乘3a2得12a8，最后除以6a3，系数12÷6=2、指数8 3=5，得2a5。
☆ 3.乘法公式与因式分解
平方差公式：(a+b)(a b)=a2 b2；完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2
因式分解是把多项式化成几个整式积的形式，与整式乘法互为逆变形
因式分解先提公因式，再套用公式，必须分解到不能再分为止
判断一个变形是否为因式分解，看结果是不是几个整式的积
概念辨析例题：分解因式：(1) x2 9；(2) x2 6x+9。
答案：(1) (x+3)(x 3)；(2) (x 3)2。
解析：x2 9是两数平方差，用平方差公式；x2 6x+9符合a2 2ab+b2结构，用完全平方公式。
☆ 4.全等三角形
全等三角形对应边、对应角分别相等，对应顶点写在对应位置
判定：SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形还有HL；AAA与SSA不能判定
角平分线上的点到角两边距离相等；垂直平分线上的点到线段两端点距离相等
等腰三角形等边对等角、三线合一；等边三角形三边相等、三个角都是60°
概念辨析例题：如图，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：△ABD≌△ACD。
答案：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD；又AB=AC，AD=AD，故△ABD≌△ACD（SAS）。
解析：由角平分线得到一组角相等，加上公共边AD与已知AB=AC，满足两边及其夹角对应相等，用SAS判定。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
平方根与算术平方根 若x2=a则x是a的平方根；非负平方根记作 正数有两个平方根互为相反数；≥0
立方根 若x3=a则记作 a 任意实数都有唯一立方根，符号与被开方数一致
幂的运算法则 am·an=am+n；(am)n=amn；(ab)n=anbn 底数相同才能合并；注意法则的逆用
乘法公式 (a+b)(a b)=a2 b2；(a±b)2=a2±2ab+b2 完全平方展开有三项，勿漏中间项2ab
因式分解 把多项式化成几个整式积的形式 先提公因式再套公式，分解要彻底
全等三角形 对应边、对应角相等；判定SSS/SAS/ASA/AAS/HL 至少一组边对应相等；AAA、SSA不能判定
核心考点
【考点1】平方根、算术平方根与立方根（第1-10题）
· 表示非负平方根，±才是两个平方根
· 立方根符号与被开方数一致，负数也有立方根
· 注意区分平方根、算术平方根、立方根的符号
· 遇到联想其非负性
1．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）下列各数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.7
【答案】B
【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、无理数
【分析】本题考查的是无理数的识别，立方根，掌握无理数的定义是关键．根据无理数的定义逐项判断即可求解．
【详解】解：A. 是分数，属于有理数，不合题意；
B. 是无限不循环小数，是无理数，符合题意；
C. 是整数，是有理数，不合题意；
D. 是有限小数，是有理数，不合题意．
故选：B．
2．（24-25七年级下·云南昆明·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根
【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根等知识点，解题的关键是掌握算术平方根，平方根和立方根的定义．
根据算术平方根，平方根和立方根的定义，逐一分析各选项的正确性．
【详解】解： A.，而非，错误，不符合题意；
B. ，错误，不符合题意；
C. ，，错误，不符合题意；
D. ，正确，符合题意：
故选：D．
3．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段检测）16的算术平方根为（ ）
A． B．4 C． D．16
【答案】B
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】此题考查了算术平方根，一个正数x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根，据此进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴16的算术平方根为4，
故选：B
4．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）9的平方根是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】求一个数的平方根
【分析】本题考查平方根的定义，根据平方根的定义，一个数的平方根是平方后等于该数的数．
对于9，由于且，因此9的平方根是．
【详解】解：∵，
∴ 9的平方根是．
故选：D．
5．（23-24八年级上·山东青岛·期末）的值是______．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟记算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义作答即可．
【详解】解：，
故答案为：．
6．（24-25七年级下·广西钦州·期中）的绝对值是___________．
【答案】
【知识点】求一个数的立方根、求一个数的绝对值、实数的性质
【分析】本题考查立方根与绝对值的概念，掌握立方根与绝对值的意义是关键．
根据绝对值的意义求解即可．
【详解】的绝对值是．
故答案为：．
7．（24-25八年级下·四川广安·阶段检测）若x，y为实数，且，则______．
【答案】/
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查非负数的性质，几个非负数的和为0，则每一个非负数同时为0．利用非负数的性质得到，，然后求出代数式的值．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴；
故答案为：．
8．（24-25七年级下·新疆和田·期末）计算：
(1)；
(2)求x的值：．
【答案】(1)
(2)或
【知识点】利用平方根解方程、实数的混合运算
【分析】本题主要考查了实数的运算，求平方根的方法解方程，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算算术平方根和立方根，再去绝对值，最后计算加减法即可；
（2）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或．
9．（24-25八年级上·吉林长春·阶段检测）计算：．
【答案】2
【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据立方根定义和算术平方根定义，绝对值意义，求出结果即可．
【详解】解：
．
10．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）计算：．
【答案】5
【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、有理数的乘方运算
【分析】本题考查了立方根、乘方、算术平方根，先化简立方根、乘方、算术平方根，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
【详解】
．
【考点2】实数分类、大小比较与实数运算（第11-16题）
· 无理数是无限不循环小数，常见三类要记牢
· 实数与数轴上的点一一对应
· 比较大小可借助数轴或取近似值
· 实数运算律与有理数相同
11．（24-25八年级上·山西·阶段检测）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相反数的定义、实数的性质
【分析】本题主要考查相反数，熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键．直接根据相反数的定义进行求解即可．
【详解】解：的相反数是；
故选：A．
12．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）若实数满足，则，，和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据题意得出，，再结合，即可得出，从而得解．
【详解】解：，
，，
，，
，
，
故选：A．
13．（23-24八年级上·山西晋中·期中）《九章算术》中指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．例如面积为8的正方形的边长称为8“面”，关于38“面”的值说法正确的是（ ）
A．是4和5之间的实数 B．是5和6之间的实数
C．是6和7之间的实数 D．是7和8之间的实数
【答案】C
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题考查了无理数的估算，由题意可知38“面”是面积为38的正方形的边长，即，估算出的值即可作出判断，理解题意掌握无理数的估算方法是解题关键．
【详解】解：，
，
38“面”是6和7之间的实数，
故选：C．
14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）比大小______；______．（用“＞”或“＜”填空）
【答案】 ＜ ＞
【知识点】有理数大小比较、实数的大小比较
【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较法则是解题的关键；
根据负数小于零，两个负数比较绝对值大的反而小，解答即可．
【详解】解：∵负数小于0，
∴，
，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，．
15．（25-26七年级下·青海西宁·期中）观察下表，然后回答问题．
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 0.1 1 10 100 …
从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下列问题：已知，若，则________．
【答案】32400
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题
【分析】观察表格可得规律：被开方数的小数点每向右或向左移动两位，算术平方根的小数点相应向右或向左移动一位．根据表格给出的规律求解即可．
【详解】解：由规律可知被开方数扩大10000倍，则算术平方根扩大100倍，
∵，
∴，
∵，
∴．
16．（25-26七年级下·广西钦州·阶段检测）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩3.14．
(1)整数集合：{ …}；
(2)分数集合：{ …}；
(3)非负有理数集合：{ …}；
(4)无理数集合：{ …}．
【答案】(1)③④⑥
(2)①⑨⑩
(3)④⑨⑩
(4)②⑤⑦⑧
【知识点】有理数的分类、无理数、带“非”字的有理数
【分析】（1）根据整数的定义作答即可；
（2）根据分数的定义作答即可；
（3）根据非负有理数的定义作答即可；
（4）根据无理数的定义作答即可．
【详解】（1）解： ③是整数，④0是整数，⑥是整数，
整数集合： ③④⑥；
（2）解：①是分数，⑨是分数，⑩是分数．
分数集合： ①⑨⑩；
（3）解：④0是非负有理数，⑨是非负有理数，⑩3.14是非负有理数；
非负有理数集合：④⑨⑩；
（4）解：②是无理数，⑤是无理数，⑦是无理数，
⑧ (相邻的两个3之间依次多1个0)是无理数，
无理数集合：②⑤⑦⑧．
【考点3】幂的运算法则及其逆用（第17-24题）
· 四条幂法则要记准：乘加、乘方乘、积乘方
· 系数运算与幂运算分开处理
· 逆用法则可整体代入求值
· 注意指数的符号与括号
17．（2023九年级·安徽·专题练习）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】计算单项式除以单项式、积的乘方运算
【分析】此题主要考查了积的乘方运算以及整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用积的乘方运算法则以及整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】解：
．
故选：C．
18．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】运用平方差公式进行运算、计算单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方运算
【分析】本题考查整式的运算，掌握运算法则是解题的关键．
根据单项式乘法、合并同类项、平方差公式、幂的乘方与同底数幂乘法的运算法则逐一判断选项即可．
【详解】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D符合题意．
故选：D．
19．（23-24八年级上·山西朔州·阶段检测）下列算式是小明的作业，那么小明做对的题数为（ ）
（1）若，，则； （2）；
（3）； （4）；
（5）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方运算、多项式除以单项式、计算多项式乘多项式
【分析】本题考查了整式的运算问题，分别利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方、积的乘方法则、多项式的除法、乘法法则计算各式进行判断即可．
【详解】（1）若，，则； 小明计算正确；
（2）；小明计算正确；
（3）；小明计算错误；
（4）；小明计算错误；
（5）．小明计算错误；
故正确的有2个
故答案为：A．
20．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算的结果是________．
【答案】
【知识点】积的乘方运算
【分析】本题主要考查了积的乘方运算，根据积的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
21．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段检测）计算： ____________．
【答案】
【知识点】积的乘方的逆用
【分析】本题考查了运算公式的逆用，掌握是解题的关键．
【详解】解：原式
．
22．（24-25七年级上·上海·阶段检测）______．
【答案】
【知识点】幂的乘方运算
【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则计算，再合并即可求解，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
23．（24-25八年级上·青海海东·阶段检测）计算：．
【答案】
【知识点】同底数幂相乘、计算单项式乘单项式、积的乘方运算、合并同类项
【分析】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂相乘，合并同类项，先运算积的乘方，再运算同底数幂相乘，然后合并同类项，即可作答．
【详解】解：
．
24．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）计算：．
【答案】
【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项
【详解】解： ．
【考点4】整式的乘法与除法（第25-30题）
· 单项式乘除：系数、同字母幂分别运算
· 多项式乘多项式逐项相乘再相加
· 多项式除以单项式逐项相除
· 乘积不含某项即该项系数为0
25．（24-25七年级上·重庆·期末）已知两个整式，．将整式与整式求和后得到整式．此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，，以此类推，以下四个说法中正确的个数有（ ）
①当时，第六次求和操作的结果为；
②当时，有最小值，最小值为；
③若关于的方程有无数个解，则；
④当为大于的正整数时，是关于，的五次三项式（其中和均为整数，，均不为）．则的值有种不同结果．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、多项式的项、项数或次数、绝对值的几何意义、计算多项式乘多项式
【分析】本题考查了整式的操作，涉及多项式的定义，整式的加减乘除，一元一次方程的解，绝对值的性质，零指数幂，代数式规律探索，熟练地根据题意得出规律，并掌握整式乘除、一元一次方程的解、绝对值的性质和定义是解题的关键．先利用题意得出，将代入，即可求出，即可判断①；当时，得出，利用绝对值的几何性质，结合图象分类讨论即可求出最小值，即可判断②；化简，得，利用“当且时，方程有无数解”即可求解，即可判断③；先得出，由为大于的正整数，得出，，则是系数不定的二项式，且，的次数都是次，再根据三项式的定义、整式的乘法以及的系数不为，得出只有当或时，才能使式子为三项式，分别讨论，并验证即可判断④．
【详解】解：第一次求和操作：；
第二次求和操作：；
第三次求和操作：；
第四次求和操作：；
第五次求和操作：；
第六次求和操作：；
∴第次求和操作：；
当时，，
故①正确；
当时，，，
∴，
当时，如图，
利用绝对值的几何性质得；
当时，如图，
利用绝对值的几何性质得；
当时，如图，
利用绝对值的几何性质得；
综上，的最小值为，故②正确；
∵，
∴，
化简得：，
∵关于的方程有无数个解，
∴，且，
∴，
故③正确；
由题意，得，
∴，
∵为大于的正整数，
∴，，
∴是系数不定的二项式，且，的次数都是次，
∵是关于，的五次三项式（其中和均为整数，，均不为），且的次数大于等于，且的系数不为，
∴只有当或时，才能使式子为三项式，
①当时，即时，，
要使式子是五次式，则，
解得：或，代入检验都符合题意，
则或；
②当时，即时，，
要使式子是五次式，
则，或，
当时，
解得：或，代入检验都符合题意，
则或；
当时，
解得：或，
∵当时，是九次三项式，
故不符合题意，
当时符合题意，
则；
综上，或或，
有种不同结果；
故④不正确；
综上正确的有①②③，共个，
故选：C．
26．（24-25七年级下·广东深圳·期末）在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小鲲同学对自己设计的运算给出如下定义：．则的化简结果是______．
【答案】
【知识点】新定义下的实数运算、计算多项式乘多项式
【分析】本题考查了新定义运算及多项式乘法运算，解题的关键是理解新运算的规则，将对应数值代入运算式后准确展开并合并同类项．
先明确新运算定义：，需计算，即确定、；再将、代入运算式，得到；最后展开该多项式并合并同类项，得出化简结果．
【详解】解：根据新运算定义，计算时，令，，则：
故答案为：．
27．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔弄污了，你认为处应是______．
【答案】
【知识点】单项式乘多项式的应用
【分析】将加法转化为减法，然后计算单项式乘以多项式，再利用整式的加减运算法则计算即可．
【详解】解：由题意得，
28．（24-25七年级下·广东佛山·阶段检测）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是______．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【分析】此题考查多项式除以单项式．根据题意得到，计算即可得到等号左边被撕掉的内容．
【详解】解：．
故答案为：．
29．（23-24六年级下·山东东营·期末）若的积中不含x的二次项和一次项，则的值为__________．
【答案】125
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用多项式乘多项式的法则对式子进行运算，再结合条件进行求解即可．
【详解】解：原式
，
∵展开式中不含x的二次项和一次项，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：125．
30．（23-24六年级下·山东淄博·期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】多项式除以单项式、计算多项式乘多项式
【分析】此题考查了多项式除以单项式运算，多项式乘以多项式运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）根据多项式除以单项式运算法则求解即可；
（2）根据多项式乘以多项式运算法则求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【考点5】乘法公式与因式分解（第31-39题）
· 平方差认准「平方减平方」
· 完全平方展开有三项，勿漏2ab
· 因式分解遵循「一提二套三检查」
· 分解结果必须是几个整式的积
31．（24-25八年级上·山东烟台·期末）下列多项式中①；②；③；④；⑤；⑥．能用公式法分解因式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式
【分析】本题考查因式分解，涉及平方差公式，完全平方公式．根据平方差公式，完全平方公式的结构即可判断．
【详解】解：①不能用公式法因式分解；
②，可以用完全平方公式分解因式；
③不能用公式法因式分解；
④，能用平方差公式分解因式；
⑤，能用完全平方公式分解因式；
⑥不能用公式法因式分解；
综上分析可知，能用公式法分解因式的有3个．
故选：B．
32．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断是否是因式分解
【详解】解：选项A，是整式乘法运算，结果是和的形式，不属于因式分解；
选项B，，变形错误，不属于因式分解；
选项C，的结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解；
选项D，，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义．
33．（23-24八年级上·山东济宁·期末）要使多项式能运用完全平方公式进行分解因式，则整式M可以为______________（写出一个符合的条件的M即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【详解】∵，
故答案为：（答案不唯一）．
34．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）计算______．
【答案】
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式的应用，先根据平方差公式进行计算，再求出答案即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
35．（24-25九年级下·北京海淀·阶段检测）因式分解______．
【答案】/
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可得．
【详解】解：
，
故答案为：．
36．（23-24八年级上·吉林长春·期中）把多项式(a为常数)因式分解得到，则______．
【答案】2
【知识点】已知因式分解的结果求参数
【分析】此题考查了因式分解与单项式的乘法，因式分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a的值即可．
【详解】解：根据题意得：，
∴．
故答案为：．
37．（23-24七年级下·重庆·阶段检测）已知，则______．
【答案】4
【知识点】运用完全平方公式进行运算、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式将等式整理为，再根据进行求解是解决问题的关键．
【详解】解：∵，
即：，
∴，
∴，
故答案为：4．
38．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）【概念学习】
在一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，所得的式子和原来的代数式相等，这样的式子叫作对称式多项式，简称对称式．
【特例感知】
代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式．对于式子，交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式．
【问题解决】
阅读以上材料，解答下面的问题：
(1)代数式 （填“是”或“不是”）对称式；
(2)若关于的代数式为对称式，求的值；
(3)在（2）的条件下，已知上述对称式满足，且，求的值．
【答案】(1)是；
(2)；
(3)
【知识点】整式加减的应用、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查新定义，整式的混合运算，理解定定义的计算，掌握整式的混合运算法则是关键．
（1）根据对称式的定义进行计算判定即可；
（2）根据题意得到，则，由此即可求解；
（3）由（2）得，则可化简为，由此代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴代数式是对称式，
故答案为：是；
（2）解：∵是对称式，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：由（2）得，则可化简为：，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
39．（23-24八年级上·河南周口·阶段检测）（1）计算：
（2）分解因式：
【答案】（1）；（2）
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、幂的混合运算、积的乘方运算
【分析】本题考查了整式的乘除混合运算，分解因式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先计算积的乘方，再计算同底数幂除法，最后计算同底数幂乘法即可；
（2）综合提公因式法和公式法分解因式即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【考点6】全等三角形的性质与判定（第40-45题）
· 先在图上标出已知等角等边
· 公共边、公共角、对顶角是隐含条件
· 根据已知选最简便的判定定理
· 对应顶点位置要写一致
40．（24-25八年级上·吉林松原·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B间的距离，作线段与相交于点O，使，，只要测得C、D之间的距离，就可知道A、B间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
利用证明即可得到．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故只要测得C、D之间的距离，就可知道A、B间的距离，
故选：B．
41．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，D为等腰的斜边 的中点，E为边上一动点，连接并延长交的延长线于点F，过D作交于G，交的延长线于H，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用全等三角形的判定和性质是解题的关键．利用证明，可判断①正确；由已知可得，但，可判断②不正确；利用证明，可判断③正确；无法证明出，可判断④不正确．
【详解】解：是等腰直角三角形，且点是斜边的中点，
，，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
故①正确；
，
，
，
，
，
故②不正确；
，，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
故③正确；
由，
得，
又，
但没有条件证明，
故④不正确．
综上所述，正确的是①③．
故选：B．
42．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知 ，的面积为，边上的高为，则______
【答案】
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的面积，由全等三角形的性质可得，再根据三角形的面积可得，据此即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵的面积为，边上的高为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
43．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，．若，则________．

【答案】12
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质是解题的关键；根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：12．
44．（期中真题必刷基础60题（20个考点专练）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版，吉林专用））在一次数学课上．王老师在黑板上画出一幅图（如图），并写下了四个等式：①②③④．
(1)上述四个条件中．由哪两个条件可以得到？用序号写出所有成立的情形；
(2)请选择（1）中的一种情形．写出证明过程．
【答案】(1)能推出的所有条件为：①③或①④或②③或②④；
(2)
选①③
证明：在和中，
，
，
；
选①④：
证明：在和中，
，
，
；
选②③：
证明：在和中，
，
，
；
选②④：
证明：在和中，
，
，
．
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，
对于（1），要证明当然要利用这些条件首先证明三角形全等，利用对应边相等就可以得到答案，据此可得；
对于（2），从（1）中所列条件任选一组，根据“角边角”或“角角边”证明即可得．
【详解】（1）解：略．
（2）解：略．
45．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知 ，D是延长线上一点， ，，，连接，试说明：．
【答案】
证明：，，
，
在与中，
，
，
，
∴．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据平行线判定与性质证明
【分析】根据已知条件得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，根据平行线的判定定理得到．本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【详解】略
【考点7】等腰（边）三角形、命题与平行线（第46-54题）
· 等边对等角、等角对等边可互推
· 等腰三角形顶角平分线、底边上中线高三线合一
· 判断命题真假可举反例
· 平行线性质与判定要分清条件与结论
46．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列语句中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．同旁内角互补
C．若，则
D．对于直线a，b，c，如果，，那么
【答案】D
【知识点】平行公理推论的应用、两直线平行同旁内角互补、判断命题真假、对顶角的定义
【分析】运用对顶角性质、平行线性质、平方的性质等知识点，逐个判断选项即可得到正确结论．
【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，如平行线的同位角相等，但不是对顶角，因此A是假命题；
B．只有两直线平行时，同旁内角才互补，选项缺少前提条件，因此B是假命题；
C．若，则或，例如满足但，因此C是假命题；
D．根据平行线的性质，平行于同一直线的两条直线互相平行，因此若，，则，D是真命题．
47．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，，经过点A，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
先利用全等三角形的性质得出，，再利用等边对等角得出，然后根据三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
，
故选：D．
48．（22-23九年级下·湖南娄底·阶段检测）已知平面内点P到等边三角形的三边所在直线的距离分别为7，8，9，则的边长的可能值有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质
【分析】本题考查了点到直线的距离，设等边的高为h，点P到的三边的距离为，如图，分类讨论即可．
【详解】解：设等边的高为h，点P到的三边的距离为，如图，
当P在Ⅰ时，；
当P在Ⅱ时，，有三种可能值，
当P在Ⅲ时，，无可能值，
因此这样的有4个不同的边长．
故选：D．
49．（25-26八年级上·北京·期中）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，，点O，A可在槽中滑动，若，则的度数是______
【答案】/26度
【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查等腰三角形性质与三角形外角性质，运用逻辑推理思想，通过等边对等角推导角度关系，利用三角形外角性质建立与的联系；解题关键是利用等腰三角形和外角性质逐步推导角度倍数关系；易错点是对三角形外角性质的应用及角度推导逻辑混淆；根据，利用等腰三角形性质和三角形外角性质，推导与的倍数关系，进而求解．
【详解】解：∵；
∴,；
∵是的外角；
∴；
∵是的外角；
∴;
故答案为．
50．（25-26七年级下·上海普陀·期末）已知等腰三角形的周长是，如果其中一条边长为，那么底边长为_______．
【答案】
【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用
【分析】分两种情况：当底边长为时，当腰长为时，并结合三角形三边关系判断即可得出结果．
【详解】解：∵等腰三角形的周长是，其中一条边长为，
∴当底边长为时，腰长为，此时三边长分别为，，，由可得满足三角形三边关系，符合题意；
当腰长为时，底边长为，此时三边长分别为，，，由可得不满足三角形三边关系，不符合题意；
综上所述，那么底边长为．
51．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，平面内三点A、B、C，，以为斜边作等腰直角三角形，连接，则的最大值是______．
【答案】72
【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形三边关系的应用
【分析】如图，过点D作，使得，连接，证明，推出，得出是等腰直角三角形，推出，当的值最大时，的值最大，根据三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题．
【详解】解：如图，过点D作，使得，连接，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
，
，
∴当的值最大时，的值最大，
∵，，
∴，
∴的最大值为12，即的最大值为144，
∴的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质的性质和判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
52．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，、边的垂直平分线相交于点，分别交边于点、，连接，．
(1)若的周长为6，求的长；
(2)若，，求的度数；
(3)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】多边形内角和问题、等边对等角、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质
【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，再由可得结论；
（2）由垂直平分线的性质可得，进而得到，再根据三角形内角和定理可得结论；
（3）根据三角形内角和定理可得，再由四边形内角和定理可得，代入求解即可．
【详解】（1）解：分别是、边的垂直平分线，
，
∵的周长为6，
∴，
，即
（2）解：，
，
，且，
即，
；
（3）解：如图，
，且
，即，
，
分别是、边的垂直平分线，
，
∵，
，
，
，
，
，
∴ ，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
53．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，在等边中，点，分别在边、上，，过点作交的延长线于点．
(1)求的度数．
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）证明中的三个角均为，然后再求得；
（2）先求得，然后由进行求解即可．
【详解】（1）是等边三角形，
．
，
，，
，
，
，
．
（2），
，
，
由（1）可知，
．
又，
．
．
54．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）下面是数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．
【问题提出】
如图1，在中，，，点D在线段上，在外侧，以为边能否构造一个与全等的三角形．
【问题探究】
乐学组：如图2，分别以点B、点C为圆心，以、为半径画弧，两弧交于点E，连接、，则即为所求作的三角形．
善思组：如图3，过点B作于点B，过点C作于点C，、相交于点E，则即为所求作的三角形．
（1）乐学组得出的依据是__________ ，善思组得出的依据是__________．（横线上填序号：①；②；③；④）
【问题再探】
（2）善思组的同学们证得后，在图3的基础上连接，通过几何画板测量发现和的面积相等，请你一起来探究．
①在横线上填写内容或者依据；如图4，延长线段、交于点F，
∵，，
∴____________________，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴（______________）．
②把未完成的说理过程补充完整．
（3）在（2）的条件下，已知，点D是线段的三等分点，请直接写出的面积．
【答案】（1）①，③；
（2）①，，全等三角形的对应边相等；
②∴，
∵，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）6或12．
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）乐学组：利用“”即可证明；善思组：利用“”即可证明；
（2）①证明，得出（全等三角形的对应边相等），即可得解②由①可得，再证明，得出，即可得解；
（3）先求出的面积，从而可得的面积，即可得解．
【详解】解：（1）由乐学组的作图可得，，，
在和中，
，
∴，
由善思组的作图可得，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
故乐学组得出的依据是①，善思组得出的依据是③；
（2）①略
②略
（3）∵，，
∴，
∵点D是线段的三等分点，
∴或，
由（2）可得：，
∴或．
【考点8】角平分线、垂直平分线与尺规作图（第55-60题）
· 角平分线上的点到两边距离相等
· 垂直平分线上的点到两端点距离相等
· 尺规作图保留痕迹并说明依据
· 求角度常结合三角形内角和
55．（22-23八年级上·云南曲靖·阶段检测）如图，平分，，于M，其中，以下结论：①；②；③；④．其中正确的是________．
【答案】①③④
【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．过作，交的延长线于，证，进而得出①正确，再证，进而得到③④正确，没有条件能证明②，进而即可解决问题．
【详解】解：如图，过作，交的延长线于，
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，，
，
，故④正确；
，
，故②错误，
综上所述：正确的是①③④，
故答案为：①③④．
56．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点D是边上的一点，连接，且，平分，交于点E，过点E作，垂足为F，连接，且．若，，的面积是，则的面积是_____．
【答案】84
【知识点】角平分线的性质定理、三角形内角和定理的应用
【分析】先算出，再结合，，得出，，故平分，再结合角平分线的性质得出，运用三角形面积之间的关系列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
如图，过E作于N，延长，过E作于H，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴
，
故答案为：84．
【点睛】本题考查了邻补角互补，三角形内角和性质，角平分线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
57．（25-26八年级上·北京西城·期末）已知：在中，为边上一点，平分，于点，于点．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接、（只保留作图痕迹，不写作法和结论）．
(2)若，求证：．请补全下面的证明过程．
【答案】(1)
解：如图所示，即为所求：
(2)
证明：∵平分，，，
∴（角平分线的性质），
∵是的垂直平分线，
∴，
又∵
∴（等量代换），
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）根据角平分线的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，则可证明，再证明，即可证明．
【详解】（1）略
（2）略
58．（22-23九年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的两侧，，．
(1)求证：：
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
证明：∵，
∴，即；
∵．
∴，
∵A
∴；
(2)
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，掌握相关结论即可．
（1）根据题意推出，，即可求证；
（2）根据题意推出结合，得；根据，即可求解；
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴；
∵
∴
∵，
∴；
∴，
∴
59．（24-25八年级上·陕西延安·阶段检测）如图，已知，求作，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】
解：如图：即为所求．
【知识点】尺规作图——作三角形
【分析】本题考查了作图-基本作图，作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定．作射线，以为圆心，长度为半径画弧，交于点；分别以、为圆心，、长度为半径画弧，两弧交于点，连接，，则即为所求．
【详解】略
60．（23-24八年级下·广东茂名·阶段检测）是等腰直角三角形，，是角平分线，．
(1)请你写出图中所有的等腰三角形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)10
【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数及等量代换的应用是正确解题关键．
（1）如图，根据是等腰直角三角形可知，由可知，由此得到为等腰三角形；由角平分线的性质可知，由此得到为等腰三角形；同理可得为等腰三角形；
（2）由于为等腰三角形，为等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可证明，然后就可以求出的长．
【详解】（1）解：如图：
∵是等腰直角三角形，，
∴，
又∵，
∴，
故为等腰三角形；
∵是的角平分线，，
∴，
故为等腰三角形；
∵是的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
，
故为等腰三角形．
故图中所有的等腰三角形为，共四个；
（2）由①可知为等腰三角形，为等腰三角形，为等腰三角形．
故，
∴．
课后巩固
复习建议
· 分清平方根、算术平方根、立方根的符号与个数
· 幂的四条法则记准，正反两用不混淆
· 乘法公式先看结构，因式分解一提二套三检查
· 全等证明先找对应边对应角，再选判定定理
· 角平分线、垂直平分线、等腰三角形性质成对记忆
【作业1】．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求一个数的平方根
【分析】本题主要考查了平方根的定义，因为，所以的平方根是．
【详解】解：，
的平方根是．
故选：C．
【作业2】．（24-25七年级下·浙江台州·期末）下列计算中，正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算
【分析】本题考查幂的运算法则，包括幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方、同底数幂相除．需逐一验证各选项是否符合对应法则．
【详解】选项A：根据幂的乘方法则，，故，选项A错误．
选项B：根据同底数幂相乘法则，，故，选项B正确．
选项C：根据积的乘方法则，，且负号的平方为正，故，选项C错误．
选项D：根据同底数幂相除法则，，故，选项D错误．
故选B．
【作业3】．（25-26八年级上·河南鹤壁·阶段检测）用平方差公式计算，必须先变形，下列变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查平方差公式：，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．熟记公式结构是解题的关键．
根据公式特点，把相同或相反的项结合即可．
【详解】解：．
故选D．
【作业4】．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】判断是否是因式分解、提公因式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的乘积形式，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：A、左边是乘积形式，右边展开为多项式，属于整式乘法，不符合因式分解；
B、右边为部分提取公因式后仍含加减运算，未形成乘积形式，不符合因式分解；
C、，符合因式分解；
D、，不符合因式分解；
故选：C
【作业5】．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，且，于，于．若，，，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．利用证明，则 ，那么，再由即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【作业6】．（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期末）在等腰三角形中，若，，则这个三角形的周长为( )
A．21 B．20 C．19 D．18或21
【答案】D
【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系的应用，根据等腰三角形的定义结合三角形三边关系进行分类讨论即可．
【详解】解：根据题意，当这个三角形的三边长分别为8，5，5时，这个三角形的周长为
当这个三角形的三边长分别为8，8，5时，这个三角形的周长为，
故选：D．
【作业7】．（24-25七年级下·四川达州·期末）如果，那么________．
【答案】或
【知识点】求完全平方式中的字母系数、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式：．根据完全平方公式化简，由对应项系数相等求得和的值，即可求得的值．
【详解】解：，
，，
解得：，，或，，
故或，
故答案为：9或．
【作业8】．（24-25七年级下·全国·暑假作业）一个正数的两个平方根分别为a，b，则___________，___________．
【答案】 0
【知识点】平方根概念理解
【分析】本题主要考查了平方根的定义．根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出结果即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为a，b，
∴，．
故答案为：0；．
【作业9】．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，则的值为_____．
【答案】
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算
【分析】本题考查的知识点是同底数幂相乘、幂的乘方，解题关键是熟练掌握相关运算法则．
根据同底数幂相乘、幂的乘方进行运算求解即可．
【详解】解：，
，
即，
．
故答案为：．
【作业10】．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）因式分解：___________
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查因式分解，提取公因式是解题的关键．
观察表达式，发现具有公因式，直接提取公因式进行因式分解即可．
【详解】原式，
提取公因式，
得，
故答案为： ．
【作业11】．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，，，要使，根据还需要添加一个条件是______．
【答案】（或）
【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）
【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．根据定理即可得．
【详解】解：①根据还需要添加一个条件是，
∴，即，
在和中，
，
∴．
②根据还需要添加一个条件是，
在和中，
，
∴，
故答案为：（或）．
【作业12】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）是的立方根，的立方根是，则______．
【答案】512
【知识点】求一个数的立方根、已知字母的值 ，求代数式的值、已知一个数的立方根，求这个数
【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义，分别求出a和b的值，再计算．
【详解】解：是的立方根，
，
解得，
的立方根是，
，
即，
解得，
则，
故答案为512．
【作业13】．（23-24七年级下·广西百色·期中）计算：______．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法运算
【分析】此题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则求解即可．
【详解】
．
故答案为：．
【作业14】．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则_______．
【答案】/80度
【知识点】角平分线的判定定理、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查的知识点是角平分线的判定定理和定义，三角形的内角和定理，解题关键是熟练掌握角平分线的判定定理．
先由点在内部，且到三边的距离相等得出点是的内心，再由三角形的内角和定理可得和的度数和，再三角形的内角和定理计算即可．
【详解】解：点在内部且到三边的距离相等，
点是的内心，
即、分别是和的角平分线，
设，，则，，
在中，，
，
，
在中，，
即，
．
故答案为：．
【作业15】．（24-25九年级下·海南海口·阶段检测）（1）计算：；
（2）解不等式组．
【答案】（1）；（2）
【知识点】实数的混合运算、求不等式组的解集
【分析】本题考查的是实数的混合运算，一元一次不等式组的解法；
（1）先计算算术平方根，立方根，乘方运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可；
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式解集的公共部分即可.
【详解】解：（1）
；
（2），
由①得：，
由②得：，
∴，
解得：，
∴不等式组的解集为：；
【作业16】．（20-21八年级上·陕西渭南·期末）因式分解：．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可．熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．
【详解】解：原式
【作业17】．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)6
(2)
【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、含乘方的有理数混合运算、求一个数的算术平方根
【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据乘法分配律进行计算即可；
（2）根据立方根定义和算术平方根定义进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【作业18】．（2026·浙江台州·二模）课堂上，屏幕上呈现一题：
已知：如图，在四边形中，，__________．
求证：．
请在空格处添加条件并证明．
小明：“添加，就可以证明．” 小丽：“要添加才可以证明．”
你支持__________（填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程．
【答案】小丽，证明见解析
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）
【详解】解：支持小丽的观点，证明如下：
∵，，，
∴
∴．
【作业19】．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）先阅读材料，再解答问题：
因式分解：．
解：将“”看成一个整体，设，
则原式，
再将代入，得原式．
以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】完全平方公式分解因式、因式分解的应用、平方差公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解的相关知识及整体思想的应用．具体包括完全平方公式、平方差公式的灵活运用，以及通过换元法将多项式转化为可直接因式分解的形式，体现了整体思想在简化问题中的重要作用．同时，第三问还考查了利用因式分解解决实际几何问题（求长方形周长）的能力，强调了代数知识与几何应用的结合．
（1）把看成一个整体，利用完全平方公式进行因式分解；
（2）先把前三项利用完全平方公式变形，再利用平方差公式继续分解；
（3）先对给定的等式进行变形，通过因式分解求出的值，进而求出长方形的周长．
【详解】（1）解：因式分解，
设，则原式可化为，
则．
再把代回，得到原式．
（2）解：因式分解，
先把前三项进行变形，则．
此时原式变为，
又因为，
则．
（3）解：已知，
先把变形为，
则原式变为，
设，则，
则，即，解得．
因为长方形的周长，
把代入，得到．
【作业20】．（24-25八年级上·北京西城·期末）如图，点E，F分别在四边形的边，的的延长线上，连接，分别交，于点G，H，．
(1)求证：；
(2)判断线段与的位置关系，并证明．
【答案】(1)证明：，
，
，
，即，
在与中，
，
；
(2)
，证明如下：
，
，
，
，
，
．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用上述性质是解题的关键．
（1）根据得到，再利用得到，即可证明；
（2）根据（1）中可得，再利用平行线得到，即可得到．
【详解】（1）略
（2）略
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