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2026-2027学年河北省邢台市部分学校高三（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题：，，则( )
A. ：， B. ：
C. ：， D. ：，
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.年月日凌晨点日本本州岛发生级地震，震源深度公里已知地震释放的能量单位：焦耳与震级之间的关系为其中，为常数若级地震所释放的能量为焦耳，级地震所释放的能量为焦耳，则这次日本地震所释放的能量约为参考数据：，，
A. 焦耳 B. 焦耳 C. 焦耳 D. 焦耳
6.已知对任意的实数，，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知是定义域为的奇函数，满足，且在上单调递减若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 函数在区间上的平均变化率为
B. 若扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为
C. 幂函数在上是减函数的充要条件是
D. 函数的定义域是
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数的一个对称中心是
B. 函数的单调递增区间为，
C. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象
D. 若方程在区间上恰有个不同的解，则的最大值为
11.对于给定的实数，，且，定义集合，，，的“长度”均为，则下列说法正确的是( )
A. 不等式的解集的“长度”为
B. 若集合的“长度”为，则实数为
C. 若且，则集合的“长度”可以为
D. 若，则满足不等式的解集中各集合的“长度”之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数若曲线在处的切线方程为，则 ．
13.年第届亚运会爱知名古屋亚运会于月日开幕，某小区为了方便居民观看比赛，小区广场大屏幕会滚动直播各类赛事，已知大屏幕下沿离地面米，大屏幕的高度为米，若某位居民眼睛离地面米，则这位居民在距离大屏幕 米远时，可以获得观看的最佳视野最佳视野是指眼睛到屏幕上沿、下沿的视线夹角达到最大
14.若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象过点，且．
求的单调区间和极值；
求在区间上的最大值和最小值．
16.本小题分
已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，将函数的图象向右平移个单位长度得到偶函数的图象．
若，求的值；
若，，求的最小值．
17.本小题分
已知函数．
若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
若，，都有恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的零点个数；
若不等式恒成立，求的值；
在的条件下，求证：．
19.本小题分
设函数在非空数集上的取值集合为，即，如果，那么称函数为上的“子集函数”．
分别判断函数，是否为上的“子集函数”，并说明理由；
若存在实数，使得函数为上的“子集函数”，求实数的取值范围；
若函数为上的“子集函数”，求证：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：已知函数，
对求导得
因为函数的图象过点，且
所以，解得，，
所以，
令，解得，，
所以，，与的变化情况如下表：
递增 极大值 递减 极小值 递增
所以，的单调递增区间为，；单调递减区间为．
极小值：；
极大值：；
由知在区间上的单调性的情况为：
函数在单调递增，在上单调递减，
因为，，
所以，在区间上的最小值为，最大值为．
16.【答案】解：已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，
则函数的半周期，即，
所以，解得，
所以，
将函数的图象向右平移个单位得，
因为为偶函数，
所以，解得，
又因为，所以，
所以
因为，
即，
所以．
由知，
所以，即，，
所以或，
解得或，
因为的周期，在一个周期内，两根之差的绝对值最小为，
所以．
17.【答案】解：由题意，方程在上有解，
即在上有解，
令，当时，，代入得．
整理后参变分离：，即．
令．
由均值不等式，，当且仅当时取等号，因此的最大值为；
．
因此的最小值为．
因此，则．
设，
因为，所以．
由题意，等价于对任意，有，
即任意满足恒成立，
即，即．
令，当时，，代入不等式得．
处理左侧不等式，整理得，
因为，所以．
令，该函数在区间上单调递增，因此的最大值为．
故，解得．
处理右侧不等式，整理得，
因为，
所以．
令，该函数在区间上单调递减，因此的最小值为，
故，解得．
综合两个不等式的结果，的取值范围是．
18.【答案】解：，当时，，定义域为，，
令，得．
当时，，则在上是单调递减函数，
当时，，则在上是单调递增函数，
则在处取最小值，且．
当时，，故；当时，，
则在上函数从递减到，始终为负，无零点；
在上从负值单调递增到正无穷，函数图象穿过横轴一次，
所以有且仅有个零点．
故当时，的零点个数为个；
解：，不等式恒成立，
则恒成立，
令，．
由于对一切成立，而，说明就是的最小值点，
因此必有．
，，解得，
当时，，．
当时，，则在上是单调递减函数；
当时，，则在上是单调递增函数，
则的最小值，故恒成立，
故；
证明：由知，，
要证，只需证．
设，，
设，则，
设，则．
当时，，
当时，，，，，
则，则在上是单调递增函数，当时，，，
所以，，则
则在上是单调递减函数，
所以在处取最小值，且最小值为，
则在上恒成立，即在上恒成立，
则在上为单调递增函数，
又，
则当时，，即，
所以在上是单调递减函数；
当时，，即，
所以在上是单调递增函数，
所以在处取最小值，且最小值为，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
即，故成立，证毕．
19.【答案】解：不是上的“子集函数”，是上的“子集函数”理由如下：
因为是上的增函数，
所以有，即，即，
因为不是的子集，所以不是上的“子集函数”．
因为是上的增函数，
所以有，即，即，
因为，所以是上的“子集函数”．
由函数为上的“子集函数”，
令在上的值域为，则，
又是开口向上的二次函数，且对称轴为，则分种情况讨论：
当时，在上单调递增，则，
由，则需满足，即，
两个不等式相加消去得，解得，结合，得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
记表示，中最大的数，
则，，
由，则需满足，
因为，，所以，
故存在满足条件，因此均成立；
当时，在上单调递减，则，
由，则需满足，即，
两个不等式相加消去得，解得，结合，得，
综上所述，实数的取值范围是．
证明：由，则，解得，所以的定义域为，
设，是内任意两个实数，且，则有，
因为，则，且，，
所以，即，
所以，即，
所以在上单调递减，且，
所以的值域为，
由“子集函数”定义可得，
则，即，即，即，
所以，
令，，由，所以，
则，由，即取不到等号，
所以，解得，
又，所以，则，
即，即，，证毕．
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