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第四章　数列
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若数列{an}满足a1=2,an+1an=an-1,则a2 025=(　　)
A.　　　B.2　　　C.3　　　D.-1
2.已知数列{an},则“ m,n∈N*,am+n=am+an”是“数列{an}为等差数列”的　　(　　)
A.充分不必要条件　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　D.既不充分也不必要条件
3.“三分损益法”是中国古代发明的制定音律时所用的生律法.假如第一个基准音的乐器的长度为36,那么第二个基准音的乐器的长度为36×=24,第三个基准音的乐器的长度为24×=32,……,也就是依次先减少三分之一,后增加三分之一.现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列{an}来研究数据的变化,已知a8=192,则a4=(　　)
A.324　　　B.243　　　C.256　　　D.168
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a8+a13=-120,5S7-7S5=70,若Sk=Sk+1,则k=(　　)
A.27　　　B.28　　　C.54　　　D.55
5.已知函数f(x)满足f(x+1)=2f(x), f(1)=1,设bn=nf(n),Sn为数列{bn}的前n项和,则使得Sn>2 024成立的最小正整数n为(　　)
A.8　　　B.9　　　C.10　　　D.11
6.已知{an}为正项等比数列,且a1 012=1,若函数f(x)=-2ln x+1,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 023)=(　　)
A.2 023　　　B.2 024　　　C.　　　D.1 012
7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,2S3=3a3+4,数列{bn}满足:bn=(n∈N*),且数列{bn}的前n项和为Tn,若对于任意的实数a∈[-1,1],不等式TnA.(-∞,-1]∪[1,+∞)　　　B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)　　　D.(-∞,-3]∪[3,+∞)
8.斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入,故又称“兔子数列”.这一数列定义如下:设{an}为斐波那契数列,则a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),其通项公式为an=.设n是log2[(1+)x]A.5　　　B.6　　　C.7　　　D.8
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,若a4+a11<0,a7a8<0,则下列结论正确的是(　　)
A.S14<0
B.|a7|>|a8|
C.若d>0,则当n=8时,Sn取得最小值
D.若d<0,则使Sn<0的n的最小值为14
10.已知数列{an}满足a1=3,an=3an-1+λ·3n(n≥2,n∈N*),则下列说法正确的是(　　)
A.当λ=0时,数列{an}是递减数列
B.当λ=-1时,数列是等差数列
C.当λ=1时,an=n·3n
D.当λ=-2时,数列{an}存在最小项
11.已知数列{an}满足a1=,且an+1=,n∈N*,{an}的前n项和为Sn,则下列选项正确的有(　　)
A.数列{an}是递减数列　　　B.>2
C.存在n∈N*,使得an>　　　D.Sn≤1-
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知数列{an}的所有项均为正整数,an+1=若a3=1,则a1的所有可能的值构成的集合为　　　　.
13.已知数列{an}的前n项和为Sn,an+an+1=2(n∈N*),若数列的前k项和Tk=,则k=　　　　.
14.已知集合A={m|m=2k-1,k∈N*,m<80},B={n|n=3k-1,k∈N*,n<80},则集合A∩B中所有元素的和为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知数列{an+1-an}是首项为4,公差为2的等差数列,且a1=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,λ∈R,若{bn}是等差数列,求λ的值.
16.(15分)2025年6月底,某厂的废水池已储存废水75吨,以后每月新产生的6吨废水也存入废水池.该厂2025年7月开始对废水处理后进行排放,7月底排放4吨处理后的废水,计划以后每月月底排放一次,且每月排放的处理后的废水比上月增加1吨.
(1)若按计划排放,该厂在哪一年的几月份排放后,第一次将废水池中的废水排放完毕
(2)该厂加大科研攻关力度,提升废水处理技术水平,经过深度净化的废水可以再次利用.自2026年1月起,该厂对废水池中的废水开展深度净化工作,首月净化废水5吨,以后每月净化废水量比上月增加20%.从哪一年的几月份开始,废水池中的废水能全部完成深度净化 (参考数据:1.210≈6.19,1.215≈15.41)
17.(15分)已知正项等比数列{an}是递增数列,且a2a6=64,a3+a5=20,数列{bn}是等差数列,且(n+1)bn=2n2+n+C.
(1)分别求数列{an}和数列{bn}的通项公式;
(2)设cn=(-1)nan+,求数列{cn}的前n项和Sn.
18.(17分)若正项数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,点P(,Sn+1)在曲线y=(x+1)2上,数列{bn}满足b1=1,b2=2,且anbn+bn=nbn+1.
(1)求证:数列{}为等差数列;
(2)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(3)设数列{cn}满足cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,若不等式(-1)nλ19.(17分)设数列{an}的前n项和为Sn,若≤2(n∈N*),则称{an}是“紧密数列”.
(1)已知数列{an}是“紧密数列”,其前5项依次为1,,求x的取值范围;
(2)若Sn=(n2+3n),判断{an}是不是“紧密数列”,并说明理由;
(3)设数列{an}是公比为q的等比数列,若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”,求q的取值范围.
答案全解全析
1.D　易知an≠0,∵数列{an}满足a1=2,an+1an=an-1,
∴an+1=1-,a3=1-2=-1,a4=1-(-1)=2,……,∴{an}是周期为3的周期数列,∵2 025=3×675,∴a2 025=a3=-1.
2.A　令m=1,得an+1=a1+an,即an+1-an=a1,因为a1为常数,所以数列{an}为等差数列,充分性成立;
已知数列{an}为等差数列,当通项公式为an=n+1时,am+n=m+n+1,am+an=m+n+2,此时am+n≠am+an,必要性不成立.
综上可得,“ m,n∈N*,am+n=am+an”是“数列{an}为等差数列”的充分不必要条件.
3.B　依题意得a2=a1×,……,以此类推,an+1=an×,
因此a8=a4×=192,解得a4=243.
4.A　设数列{an}的公差为d,则a3+a8+a13=3a8=-120,
解得a8=-40,即a1+7d=-40,①
∵5S7-7S5=70,∴5=70,解得d=2,代入①得a1=-54,
∵Sk=Sk+1,∴Sk=Sk+ak+1,即ak+1=0,
∴a1+kd=0,即-54+2k=0,解得k=27.
5.B　因为f(x+1)=2f(x),所以f(n+1)=2f(n),
又f(1)=1,所以f(n)≠0,所以=2,
所以{f(n)}是以f(1)=1为首项,2为公比的等比数列,
所以f(n)=1×2n-1=2n-1,所以bn=nf(n)=n·2n-1,
所以Sn=1×20+2×21+3×22+…+n·2n-1,
所以2Sn=1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n,
所以-Sn=20+21+22+…+2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)·2n-1,所以Sn=(n-1)·2n+1,
又S8=(8-1)×28+1=1 793,S9=(9-1)×29+1=4 097,
所以使得Sn>2 024成立的最小正整数n为9.
6.A　因为{an}为正项等比数列,且a1 012=1,
所以a1a2 023=a2a2 022=a3a2 021=…==1,
由f(x)=-2ln x+1可得f+2ln x+1,所以f(x)+f=2,
设S=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 023),
则S=f(a2 023)+f(a2 022)+…+f(a1),
两式相加可得2S=[f(a1)+f(a2 023)]+[f(a2)+f(a2 022)]+…+[f(a2 023)+f(a1)]=2×2 023,故S=2 023.
7.D　设等比数列{an}的公比为q,易知q≠0,且q≠1,
由题意得2·=3a1q2+4,即q2-2q=0,
解得q=2或q=0(舍去),则Sn==2n+1-2,
所以bn=,则Tn=+…+<1,所以原不等式可转化为1≤m2-2am-2对任意的实数a∈[-1,1]恒成立,
设f(a)=-2ma+m2-2,a∈[-1,1],易知f(a)为单调函数,所以
解得m∈(-∞,-3]∪[3,+∞).
8.A　因为n是log2[(1+)x]所以log2[(1+)n]则(1+)n<2n+4,
两边同除以2n得<24,
则×24,即an<×24,
易知an+1≥an,a5=5,a6=8,而a5<×24,所以满足要求的n的最大值为5.
9.AD　选项A,S14=×14=7(a4+a11)<0,A正确.
选项B,因为a7a8<0,所以a7≠a8,因此d≠0,
若d>0,则a7<0,a8>0,又a7+a8=a4+a11<0,所以a8<-a7,则|a7|>|a8|;
若d<0,则a7>0,a8<0,又a7+a8<0,所以a7<-a8,则|a7|<|a8|,B错误.
选项C,若d>0,则a7<0,a8>0,故当n=7时,Sn取得最小值,C错误.
选项D,若d<0,则a7>0,则S13=×13=13a7>0,又S14<0,所以当1≤n≤13时,Sn>0,故使Sn<0的n的最小值为14,D正确.
10.BC　对于A,当λ=0时,an=3an-1,又a1=3≠0,所以{an}是首项为3,公比为3的等比数列,则an=3n,所以an-an-1=3n-3n-1=2×3n-1>0,所以数列{an}是递增数列,故A错误;
对于B,当λ=-1时,an=3an-1-3n,故-1,即=-1,所以数列是等差数列,故B正确;
对于C,当λ=1时,an=3an-1+3n,故+1,即=1,又=1,所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,所以=1+n-1=n,所以an=n·3n,故C正确;
对于D,当λ=-2时,an=3an-1-2·3n,故-2,即=-2,又=1,所以数列是首项为1,公差为-2的等差数列,所以=1+(n-1)×(-2)=3-2n,所以an=(3-2n)·3n,
则an+1-an=(1-2n)·3n+1-(3-2n)·3n=-4n·3n<0,
所以数列{an}为递减数列,且当n→+∞时,an→-∞,
故数列{an}无最小项,故D错误.
11.ABD　对于A,由an+1=,且an>0,所以1+>2,则0<<1,即<1,所以an+1对于B,由an+1=,可得,由A知{an}是递减数列,且a1=,则02,B正确.
对于C,由A知0<,则 n∈N*,n≥2,an=a1·,又a1=,所以an≤,
所以不存在n∈N*,使得an>,C错误.
对于D,由C知0当n=1时,S1=a1=,即Sn≤1-成立;
当n≥2时,Sn=a1+(*),
而,代入(*)得Sn<,
因此 n∈N*,Sn≤1-,D正确.
12.答案　{1,4}
解析　当a2为奇数时,a3=a2+1=1,解得a2=0,矛盾,舍去;
当a2为偶数时,a3==1,解得a2=2.
当a1为奇数时,a2=a1+1=2,解得a1=1,符合题意;
当a1为偶数时,a2==2,解得a1=4,符合题意.
综上所述,a1的所有可能的值构成的集合为{1,4}.
13.答案　16
解析　因为an+an+1=2,所以S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)=2n,则,
故Tk=,解得k=16.
14.答案　533
解析　对于集合A={m|m=2k-1,k∈N*,m<80},易知m=2k-1,k∈N*是正奇数,∵m<80,∴m的最大值为79,∴A={1,3,5,7,…,79}.
对于集合B={n|n=3k-1,k∈N*,n<80},由3k-1<80,k∈N*,得k<27,k∈N*,∴k的最大值为26,此时n=77,
∴B={2,5,8,11,…,77}.
设x∈A∩B,则x=2k1-1=3k2-1,k1,k2∈N*,可得2k1=3k2,即k1=k2,∵k1,k2∈N*,∴k2必须是2的倍数,设k2=2t(t∈N*),则x=3×2t-1=6t-1,又x<80,∴6t-1<80,∴t<13.5,∵t∈N*,∴t的最大值为13,
∴A∩B={5,11,17,…,77},
∴集合A∩B中所有元素的和为=533.
15.解析　(1)因为{an+1-an}是首项为4,公差为2的等差数列,所以an+1-an=4+2(n-1)=2n+2.(2分)
因此a2-a1=4,a3-a2=6,……,an-an-1=2n(n≥2),
以上各式相加得an-a1=4+6+…+2n(n≥2),
又a1=2,所以当n≥2时,an=2+4+6+…+2n==n2+n,(5分)
因为a1=2符合上式,所以an=n2+n.(6分)
(2)由(1)知bn=.(7分)
解法一:因为{bn}是等差数列,所以可设bn=kn+b,(8分)
则=kn+b,即2n2+n-1=kn2+(λk+b)n+λb对任意n∈N*恒成立,(10分)
所以
即λ的值为1或-.(13分)
解法二:因为{bn}是等差数列,所以b1+b3=2b2,(8分)
即=2·,化简得2λ2-λ-1=0,
解得λ=1或λ=-.(10分)
当λ=1时,bn==2n-1,此时bn+1-bn=2,符合题意;
当λ=-时,bn==2(n+1),此时bn+1-bn=2,符合题意.
所以λ的值为1或-.(13分)
16.解析　(1)设从2025年7月起第n个月排放的处理后的废水量为an吨,则数列{an}是首项为4,公差为1的等差数列,所以an=4+(n-1)×1=n+3,(3分)
令≥75+6n,整理得n2-5n-150≥0,解得n≥15或n≤-10,(5分)
又n是正整数,故n≥15,
所以当n=15时,恰好没有废水存积.(7分)
故该厂在2026年9月底第一次将废水池中的废水排放完毕.(8分)
(2)设从2025年7月起第n个月深度净化的废水量为bn吨,依题意得b1=b2=…=b6=0,
当n≥7时,数列{bn}是首项为5,公比为1.2的等比数列,
设{bn}的前n项和为Tn,则Tn==25(1.2n-6-1),(11分)
从2025年7月起第n个月废水存量为75+6n-(4+5+6+7+8+9)=(36+6n)吨,
当n=16时,T16=25×(1.210-1)≈129.75<36+6×16=132,
当n=17时,T17=25×(1.211-1)=25×(1.210×1.2-1)≈160.7>36+6×17=138,(14分)
所以从2026年的11月份开始,废水池中的废水能全部完成深度净化.(15分)
17.解析　(1)设等比数列{an}的公比为q,则q>1,
由题意可得
解得(舍去),(2分)
由a3·q2=a5,即4q2=16,得q=2或q=-2(舍去).
所以数列{an}的通项公式为an=4·2n-3=2n-1.(4分)
因为{bn}是等差数列,所以可设bn=An+B,(6分)
则(n+1)bn=(n+1)(An+B)=An2+(A+B)n+B=2n2+n+C,所以
所以数列{bn}的通项公式为bn=2n-1.(8分)
(2)由(1)知,cn=-(-2)n-1+,(11分)
所以Sn=c1+c2+…+cn
=-[(-2)0+(-2)1+…+(-2)n-1]++…+
=-
=.(15分)
18.解析　(1)证明:由点P(,Sn+1)在曲线y=(x+1)2上,可得Sn+1=(+1)2,易知Sn>0,所以+1,即=1,(2分)
又=1,所以数列{}是首项为1,公差为1的等差数列.(4分)
(2)由(1)得=1+n-1=n,即Sn=n2,(5分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
又a1=1满足上式,所以an=2n-1,n∈N*.(7分)
由anbn+bn=nbn+1,得(2n-1)bn+bn=nbn+1,所以bn+1=2bn,又b1=1≠0,所以{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,
所以bn=2n-1.(9分)
(3)由(2)得cn==n·,
所以Tn=1+2×+…+n·,(11分)
则+…+(n-1)·+n·,(12分)
两式相减可得+…+-n·-n·=2-(n+2)·,(13分)
则Tn=4-(n+2)·,(14分)
因为不等式(-1)nλ所以(-1)nλ<4-对一切n∈N*恒成立,
当n为奇数时,-λ<4-恒成立,易知函数y=4-单调递增,所以=4-2=2,则-λ<2,所以λ>-2;(16分)
当n为偶数时,λ<4-恒成立,由函数y=4-单调递增,得=4-1=3,则λ<3.
综上可得,实数λ的取值范围是(-2,3).(17分)
19.解析　(1)若数列{an}为“紧密数列”,则x≠0,
且(2分)
解得≤x≤,故x的取值范围为.(3分)
(2)数列{an}为“紧密数列”.理由如下:(4分)
当n=1时,a1=S1=×(1+3)=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,
又a1=1满足上式,所以an=(n∈N*),(7分)
所以对任意n∈N*,,
又0<,所以1<1+,所以<2,因此数列{an}为“紧密数列”.(9分)
(3)当q=1时,an=a1,Sn=na1,
所以=1≤2,≤2,满足题意.(11分)
当q≠1时,an=a1qn-1,Sn=,
因为{an}为“紧密数列”,所以=q≤2,即≤q<1或1当≤q<1时,=1,
=1+qn<2,
所以≤2,满足{Sn}为“紧密数列”;(15分)
当12,不满足{Sn}为“紧密数列”.(16分)
综上,实数q的取值范围是.(17分)

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