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全书综合测评(一)
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若函数y=f(x)在x=1处的导数为1,则=(　　)
A.1　　　B.
2.已知等差数列{an}的前7项和为30,后7项和为110,前n项和为230,则项数n为(　　)
A.21　　　B.22　　　C.23　　　D.24
3.已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的单调递增区间是(　　)
A.(-∞,2)和(3,+∞)　　　B.(2,3)
C.(2,+∞)　　　D.(-∞,3)
4.在各项均为正数的等比数列{an}中,a4a6=a7,则a5+16a2的最小值为(　　)
A.8
5.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),导函数为f'(x),且满足 x>0,都有xf'(x)<2.若f(e)=2,则当x>0时,不等式f(ex)<2的解集为(　　)
A.(0,+∞)　　　B.(0,e)　　　C.(1,+∞)　　　D.(e,+∞)
6.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-4,an=+2(n-1),则当取得最大值时,n=(　　)
A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.7
7.已知函数f(x)=若方程f(x)+ex=0存在三个不相等的实根,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,e)　　　B.(-∞,-e)　　　
C.(-∞,-2e)　　　D.(-∞,2e)
8.设正项数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,若对任意的正整数n都有A≥,其中A∈R,则称{an}是“A-数列”.下列结论中错误的是(　　)
A.若{an}是公差为2的等差数列,则{an}是“3-数列”
B.若{an}是“2-数列”,则{an}可能为常数列
C.若{an}是“2-数列”,则不存在正整数n≥2,满足an>2·3n-2
D.对任意p,q∈(1,+∞),q>p,若an=(pn-1+qn-1),且满足1+A≥q,则{an}是“A-数列”
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.若函数f(x)=x--aln x在(1,3)上单调递减,则实数a的值可能为(　　)
A.-2　　　B.1　　　C.　　　D.4
10.已知正项数列{an}满足a1=1,an+2(an+1-an)=an(an+2-an+1)(n∈N*),记Tn=a1a2+a2a3+…+anan+1,T10=,则(　　)
A.是等差数列　　　B.a2 025=
C.Tn<1　　　D.ai>3
11.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意实数x,都有f(-x)=e2xf(x),且2f(x)+f'(x)=2x+1-e-2x,则下列说法正确的是　(　　)
A.函数F(x)=exf(x)为偶函数
B.f(0)=0
C.不等式exf(x)+D.若方程-(x-a)2=0有两个不相等的实数根x1,x2,则x1+x2<2a
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.函数y=f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示,以下命题正确的是　　　　　.(填序号)
①-3是函数y=f(x)的极值点;
②-1是函数y=f(x)的最小值点;
③-1是函数y=f(x)的极小值点;
④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增;
⑤曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于零.
13.在数列{an}中,a1=3,=an+3(n∈N*),bn=(-1)n-1(2n+1)anan+1,记数列{bn}的前n项和为Sn,则S50=　　　　.
14.机器学习是人工智能和计算机科学的分支,专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式.在研究时需要估算不同样本之间的相似性,通常采用的方法是计算样本间的“距离”,闵氏距离是常见的一种距离形式.点A(x1,y1),B(x2,y2)的闵氏距离为Dp(A,B)=(,其中p为非零常数.如果点M在曲线y=ex上,点N在直线y=x-1上,则D1(M,N)的最小值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知数列{an}的前n项和Sn满足+1(n≥2,n∈N*),且a1=1.
(1)求证:数列{an}为等差数列;
(2)记bn=,Tn为数列{bn}的前n项和,求使Tn≥成立的n的最小值.
16.(15分)已知函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-.
(1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)若方程f(x)=k有3个不同的实根,求实数k的取值范围.
17.(15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,{bn}的前n项和为Tn.
①求数列{bn}的前n项和Tn;
②若不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切n∈N*恒成立,求实数λ的最大值.
18.(17分)已知函数f(x)的定义域为I,设xn∈I,曲线f(x)在点(x0, f(x0))处的切线交x轴于点(x1,0),……,曲线f(x)在点(xn, f(xn))处的切线交x轴于点(xn+1,0),称数列{xn}为函数f(x)关于x0的“N数列”,已知f(x)=2x-ln(x+1).
(1)求证:f(x)的图象与x轴有两个交点;
(2)若g(x)=f '(x),{an}是函数y=g(x)关于a0=-的“N数列”,记bn=log2|2an+1|.
①证明数列{bn}(n∈N*)为等比数列,并求其通项公式;
②记cn=(n∈N*),证明:c1+c2+…+cn<2.
19.(17分)已知函数f(x)=x-aln x,g(x)=x-sin x.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)设函数h(x)=xg(x)(x∈R),求函数h(x)的极值点的个数;
(3)若存在x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2, f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2),证明:x1x2答案全解全析
1.C　因为函数y=f(x)在x=1处的导数为1,
所以=2f'(1)=2.
2.C　设等差数列{an}的前n项和为Sn.
由题意得两式相加得7(a1+an)=140,即a1+an=20,
又Sn==230,所以n=23.
3.A　由f(x)=2x3+ax2+36x-24得f'(x)=6x2+2ax+36,
∵f(x)在x=2处有极值,∴f'(2)=0,即24+4a+36=0,解得a=-15,
∴f'(x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3),
由f'(x)>0,得x<2或x>3,∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,2)和(3,+∞).
4.B　因为{an}是正项等比数列,所以a4a6=a3a7,又a4a6=a7,所以a3=1.
设等比数列{an}的公比为q(q>0),则a5+16a2=a3q2+.
令f(x)=x2+(x>0),则f'(x)=2x-,
因为x2+2x+4=(x+1)2+3>0,所以当02时, f'(x)>0,
所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(2)=12,
所以当q=2时,q2+即a5+16a2取得最小值,最小值为12.
5.C　当x>0时,xf'(x)<2即f'(x)-<0.
构造函数g(x)=f(x)-2ln x,x>0,则g'(x)=f'(x)-<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,
当x>0时,由f(ex)<2,得f(ex)-2x=f(ex)-2ln ex<0,又f(e)=2,所以g(e)=f(e)-2ln e=f(e)-2=0,
由f(ex)-2ln ex<0得g(ex)e,解得x>1,因此原不等式的解集为(1,+∞).
6.B　由题意得Sn=nan-2n(n-1),
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-2n(n-1)-(n-1)an-1+2(n-1)(n-2)=nan-(n-1)an-1-4(n-1),
则(n-1)an-(n-1)·an-1=4(n-1),即an-an-1=4,又a1=-4,
所以数列{an}是首项为-4,公差为4的等差数列,则Sn=-4×n+×4=n(2n-6).
令bn=,则bn-bn+1=,
令f(x)=x2-5x+2,则f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=,即f(x)在上单调递增,
又f(1)=-2<0, f(2)=-4<0, f(3)=-4<0, f(4)=-2<0, f(5)=2>0, f(6)=8>0,……,
所以b1-b2<0,b2-b3<0,b3-b4<0,b4-b5<0,b5-b6>0,b6-b7>0,……,即b1b6>b7>…,
因此当取得最大值时,n=5.
7.C　设g(x)=f(x)+ex.因为方程f(x)+ex=0存在三个不相等的实根,所以函数g(x)=f(x)+ex有三个零点,当x∈(-∞,0)时,g(x)=f(x)+ex=e-x+ex,则g'(x)=-e-x+e,
所以当x∈(-∞,-1)时,g'(x)<0,当x∈(-1,0)时,g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,则g(x)≥g(-1)=0,且当x→0-时,g(x)→1;当x→-∞时,g(x)→+∞.
当x∈(0,+∞)时,g(x)=f(x)+ex=a++ex,则g'(x)=-,
所以当x∈(0,1)时,g'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,
所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
则g(x)≥g(1)=a+2e,且当x→0+时,g(x)→+∞;当x→+∞时,g(x)→+∞.
综上所述,g(x)的大致图象如图所示,
由图可知,当a+2e<0,即a<-2e时,函数g(x)=f(x)+ex有三个零点,即方程f(x)+ex=0存在三个不相等的实根.
8.D　对于A,若{an}是首项为1,公差为2的等差数列,则an=2n-1,Sn==n2,
3Sn-an+1=3n2-(2n+1)=(3n+1)(n-1)≥0(当且仅当n=1时等号成立),
所以3≥,即{an}是“3-数列”,A中结论正确;
对于B,当an=1时,Sn=n,2≥成立,即当{an}是“2-数列”时,{an}可能为常数列,B中结论正确;
对于C,若{an}是“2-数列”,则an+1≤2Sn,且S1=1,
所以Sn+1=Sn+an+1≤Sn+2Sn=3Sn,则Sn≤3Sn-1≤32Sn-2≤…≤3n-1S1,即Sn≤3n-1,由题意知当n≥2时,an≤2Sn-1,结合Sn-1≤3n-2,得an≤2·3n-2,
故不存在n≥2使an>2·3n-2,C中结论正确;
对于D,取p=2,q=3,A=2(满足1+A≥q),则a2=,S1=1,而>2×1,即>A,不满足要求,因此1+A≥q不足以保证{an}是“A-数列”,D中结论错误.
9.CD　由题意得f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=1+,
若f(x)在(1,3)上单调递减,则f'(x)≤0在(1,3)上恒成立,即x2-ax+1≤0在(1,3)上恒成立,所以a≥x+在(1,3)上恒成立,易知y=x+在(1,3)上单调递增,所以2结合选项可知,实数a的值可能为,4.
10.ACD　因为an+2(an+1-an)=an(an+2-an+1),所以,即=2,即,所以数列为等差数列,故A正确;
设等差数列的公差为d,又a1=1,所以=1+(n-1)d,则an=,
若d=0,则an=1,所以T10=10=10,不符合题意,
所以d≠0,所以anan+1=,
所以Tn=a1a2+a2a3+…+anan+1=
=,则T10=,解得d=1,
所以an=<1,所以a2 025=,故B错误,C正确;
设f(x)=x-ln(x+1),x>0,则f '(x)=1->0,
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)=x-ln(x+1)>f(0)=0,所以当x>0时,x>ln(x+1),故,x>0,
所以,
又+…+ln=ln 2-ln 1+ln 3-ln 2+ln 4-ln 3+…+ln 51-ln 50
=ln 51-ln 1=ln 51>ln e3=3,所以ai>3,故D正确.
11.AB　对于A,易知F(x)的定义域为R,因为f(-x)=e2xf(x),所以e-xf(-x)=exf(x),即F(-x)=F(x),所以F(x)为偶函数,故A正确;
对于B,由2f(x)+f'(x)=2x+1-e-2x,得2e2xf(x)+e2xf'(x)=(2x+1)e2x-1,即[e2xf(x)]'=(2x+1)e2x-1,
所以[f(-x)]'=(2x+1)e2x-1,则-f'(-x)=(2x+1)e2x-1,故-f'(x)=(1-2x)e-2x-1,所以2f(x)=2x+1-e-2x-f'(x)=2x(1-e-2x),则f(x)=x(1-e-2x),所以f(0)=0,故B正确;
对于C,exf(x)+=xex,
令g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,所以当x∈(1,+∞)时,g(x)>g(1)=e,即exf(x)+>e,故C错误;
对于D,方程-(x-a)2=0即e-2x=1-(x-a)2,方程有两个不相等的实数根等价于函数y=e-2x与y=1-(x-a)2的图象有两个交点,易知函数y=e-2x单调递减,函数y=1-(x-a)2的图象是开口向下的抛物线,对称轴为直线x=a,当x>a时,函数y=1-(x-a)2单调递减,
若方程-(x-a)2=0有两个不相等的实数根x1,x2,不妨令x11-(x2-a)2,设x3>a且x1+x3=2a,则有1-(x1-a)2=1-(x3-a)2,
所以1-(x3-a)2>1-(x2-a)2,所以x32a,故D错误.
12.答案　①④⑤
解析　根据题中导函数的图象可知,当x∈(-∞,-3)时, f'(x)<0,当x∈(-3,1)时, f'(x)≥0,且仅在x=-1处取“=”,∴函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,故-3是函数y=f(x)的极值点,故①④正确.
-1既不是函数y=f(x)的极小值点,也不是最小值点,故②③错误.
由题中导函数的图象可得f'(0)>0,故曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于零,故⑤正确.
13.答案　
解析　由=an+3(n∈N*),得(n∈N*),
又,所以为首项,为公差的等差数列,因此,
从而an=,则an+1=,
所以bn=(-1)n-1(2n+1)anan+1=(-1)n-1(2n+1),因此S50=9×+…+=9×.
14.答案　2
解析　令f(x)=ex-x+1,则f'(x)=ex-1,
当x∈(-∞,0)时, f'(x)<0, f(x)单调递减,当x∈(0,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,
因此f(x)min=f(0)=2,即f(x)=ex-x+1≥f(0)=2,从而1+ex≥x+2>x.
设N(x,x-1),M(t,et),则D1(M,N)=|x-t|+|x-1-et|,当x≤t时,D1(M,N)=t-x+1+et-x=et+t+1-2x≥et-t+1≥2;
当t当x≥1+et时,D1(M,N)=x-t+x-1-et=2x-t-1-et≥2(1+et)-t-1-et=1+et-t≥2.
综上所述,D1(M,N)≥2.
又当x=t=0时,D1(M,N)=|0-0|+|0-1-e0|=2,所以D1(M,N)的最小值为2.
15.解析　(1)证明:由+1(n≥2,n∈N*)得{}为等差数列,且公差为1,又=1,所以=1+(n-1)=n,即Sn=n2,(2分)
当n≥2时,Sn-1=(n-1)2,则an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
又a1=1符合上式,所以an=2n-1,(5分)
当n≥2时,an-an-1=2n-1-(2n-3)=2,故{an}是公差为2的等差数列.(6分)
(2)由(1)得bn=,(8分)
所以Tn==,(10分)
由Tn≥,整理得2n2-3n-1≥0,(11分)
由二次函数的性质可知y=2n2-3n-1(n∈N*)随n的增大而增大,当n=1时,y=2-3-1=-2<0,当n=2时,y=8-6-1=1>0,故使Tn≥成立的n的最小值为2.(13分)
16.解析　(1)由已知得f'(x)=3ax2-b,
由题意得(2分)
所以f(x)=x3-4x+4, f'(x)=x2-4,(4分)
令f'(x)=0,解得x=-2或x=2,
当x变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表,
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 单调递减 - 单调递增
因此当x=2时, f(x)有极小值-,满足题意.(7分)
易得f(1)=, f'(1)=-3,
所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-=-3(x-1),即9x+3y-10=0.(9分)
(2)由(1)可得函数f(x)=x3-4x+4,其大致图象如图,
若f(x)=k有3个不同的实根,则直线y=k与函数f(x)的图象有3个交点,所以-,即实数k的取值范围是.(15分)
17.解析　(1)由已知得即(2分)
整理得又d≠0,所以d=2,a1=3,(4分)
所以数列{an}的通项公式是an=2n+1.(5分)
(2)①因为是首项为1,公比为3的等比数列,所以=1×3n-1=3n-1,
由(1)可得an=2n+1,所以bn=(2n+1)·3n-1,(7分)
所以Tn=3×30+5×31+7×32+…+(2n+1)·3n-1,
3Tn=3×31+5×32+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,
则-2Tn=3+2×(31+32+…+3n-1)-(2n+1)·3n=3+2×-(2n+1)·3n=-2n·3n,(9分)
所以Tn=n·3n.(10分)
②由(1)得Sn==n2+2n,(11分)
所以不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切n∈N*恒成立即λn·3n+n2-2n≤0对一切n∈N*恒成立,所以λ≤对一切n∈N*恒成立.(12分)
令f(n)=(n∈N*),则f(n)min≥λ,易得f(n+1)-f(n)=,
当1≤n≤2时, f(n+1)-f(n)<0,当n≥3时, f(n+1)-f(n)>0,
所以f(1)>f(2)>f(3), f(3)所以f(n)min=f(3)=-,故λ≤-,即实数λ的最大值是-.(15分)
18.解析　(1)证明:由题意得f(x)的定义域为(-1,+∞), f'(x)=2-,(1分)
当x∈时, f'(x)<0, f(x)单调递减;当x∈时, f'(x)>0, f(x)单调递增,(3分)
所以f(x)min=f=-1+ln 2<0,
因为f>0,(5分)
所以f(x)在上有一个零点,又f(0)=0,
所以f(x)的图象与x轴有两个交点.(6分)
(2)①由(1)得g(x)=f'(x)=,则g'(x)=,(7分)
则曲线g(x)在(an,g(an))处的切线的斜率为g'(an)=,
所以曲线g(x)在(an,g(an))处的切线方程为y-(x-an),由已知得该切线过点(an+1,0),
则-(an+1-an),即an+1=an-(2an+1)(an+1)=-2-2an-1,(9分)
所以-(2an+1+1)=(2an+1)2,
因此bn+1=log2|2an+1+1|=2log2|2an+1|=2bn,则b1=2log2|2a0+1|=2log2=-2,
所以{bn}(n∈N*)是首项为-2,公比为2的等比数列,所以bn=-2n.(12分)
②证明:由①得bn=-2n,则cn=),(15分)
则c1+c2+…+cn<2(+…+.(17分)
19.解析　(1)依题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=1-,(1分)
当a≤0时, f'(x)>0, f(x)在(0,+∞)上单调递增;(3分)
当a>0时,令f'(x)=0,得x=a,当x∈(0,a)时, f'(x)<0, f(x)单调递减,当x∈(a,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增.
综上所述,当a≤0时, f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时, f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.(5分)
(2)h(x)=xg(x)=x(x-sin x)=x2-xsin x,
所以h'(x)=2x-(sin x+xcos x)=x-sin x+x(1-cos x),(6分)
由g(x)=x-sin x,得g'(x)=1-cos x≥0,所以g(x)在R上单调递增,
由g(0)=0得,当x>0时,g(x)>0,当x<0时,g(x)<0.(8分)
所以当x>0时,h'(x)>0,h(x)在(0,+∞)上单调递增,
当x<0时,h'(x)<0,h(x)在(-∞,0)上单调递减,
所以当x=0时,h(x)取得唯一的极小值,无极大值,即h(x)的极值点的个数为1.(10分)
(3)证明:依题意得2x1-sin x1-aln x1=2x2-sin x2-aln x2,
即a(ln x2-ln x1)=2(x2-x1)-(sin x2-sin x1),
由(2)知g(x)在(0,+∞)上单调递增,
不妨设x1x2-x1,(12分)
即a>,要证a2>x1x2,即证a>,即证,即证,令t=,由x2>x1>0得t>1,即证>t,即证2ln t-<0,(15分)
令m(t)=2ln t-=2ln t-t+(t>1),则m'(t)=<0,
所以m(t)在(1,+∞)上单调递减,则m(t)

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