资源简介

机密启用前 试卷类型 A
2026 年 10 月高一年级阶段性检测
数 学 试 题
本试卷共 4 页，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，，则
A. B. C. D.
2．命题“，”的否定是
A.， B.，
C.， D.，
3．若 ，，则
A. B.
C. D.
4．不等式 的解集是
A. B.
C. D.
5．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
6．“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为
A.14 B.16 C.18 D.20
8．已知实数 ， 满足 ，，则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．下列说法正确的是
A．命题“若 ，则 ”是真命题
B．命题“，”是真命题
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“ 且 ”是“”的充分不必要条件
10．已知集合 ，，若 ，则实数 的值可以是
A. B. C. D.
11．已知不等式 的解集为 ，则
A.
B.
C.
D．不等式 的解集为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．已知集合 ，则 __________．
13．已知命题 ，，若 ，则 ．能说明 为假命题的一组 ， 的值为 __________，__________．
14．对于任意一个非空有限数集 ，将其元素按从大到小的顺序排列为 ，，…，，定义 的“交错值”为 ．设集合 ，则 的所有非空子集的交错值之和为__________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
（1）已知 ，，证明：；
（2）判断 与 的大小关系，并说明理由．
16．（15 分）
已知集合 ，．
（1）若 ，求 ；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
17．（15 分）
已知函数 ．
（1）设方程 的解分别为 ，，若 ，求实数 的值；
（2）若对 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）当 时， 的最小值为 3，求实数 的值．
18．（17 分）
已知矩形 的周长为 12，设 ．
（1）以 所在直线为轴，将矩形 绕 旋转形成一个圆柱，求该圆柱侧面积的最大值；
（2）如图，若 ，将 沿 折到 的位置，使 交 于点 ．
（ⅰ）用 表示 ，并求出 的取值范围；
（ⅱ）求 面积的最大值及相应 的取值．
19．（17 分）
已知 ，记集合 ．若存在某个不超过 的正整数 ，使得 的子集 中，任意两个元素的差都不等于 ，则称 为 的一个疏差集．
（1）当 时，判断集合 与 是否为 的疏差集，并简述理由；
（2）当 时，若 是 的一个疏差集．
（ⅰ）定义集合 ．求证： 是 的疏差集；
（ⅱ）求集合 中元素个数的最大值．
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2026年10高一阶段性检测
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C C D B B A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 ABD AB BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ；13. ，(答案不唯一)；14. ．
8.【答案】A
【详解】设 ，则 ，解得 ，．
所以 ．
由 ，得 ；由 ，得 ．
两式相加，得 ，故选 A．
11.【答案】BCD
【详解】由 的解集为 ，知 ，
且方程 的两根为 ．
由韦达定理 ，得 ；，得 ．
A. 与 矛盾，错误．
B. ，正确．
C. ，正确．
D. 即 ，
因 ，得 ，即 ，解得 或 ，正确．
故选 BCD．
13.【答案】，(答案不唯一)
【详解】由均值不等式 ，当且仅当 时取等号，故 的最小值为4，
凡是满足 且 的正整数对，均为有效反例．
14.【答案】
【详解】将 的非空子集分为不含 2026 和含 2026 两类．
对任意不含 2026 的非空子集 ，设其交错值为 ，则 中 2026 为最大元素即 ，
其余元素依次后移一位，符号全部反转，故其交错值为 ，两者之和恒为 2026．
这样的配对共有 组．此外，单元素集 的交错值为 2026．
故所有非空子集的交错值之和为 ．
四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.【解析】（1）方法1：
因为 2分
， 4分
因为 ，所以 ；又 ，所以 ， 6分
所以 ． 7分
方法2：
由三元均值不等式，对正数 ， 有:， 2分
同理 ， 4分
将以上两式相加，得 ，
两边同除以3，即得 ， 6分
当且仅当 且 ，即 时取等号． 7分
（2）因为 ，， 10分
所以 ，
所以 ． 13分
16.【解析】（1）由 知 ，所以 ， 2分
当 时，， 4分
故 ， 6分
所以 ． 8分
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，
所以 是 的真子集， 10分
所以 ，
且等号不能同时取得， 13分
解得 ，
综上， 的取值范围是 ． 15分
17.【解析】（1）因为 ，， 2分
所以 ，解得 ， 4分
符合 ． 5分
所以 ．
（2）因为 恒成立，所以 ， 7分
解得 ． 8分
（3）方法1：
函数 的图象开口向上，对称轴为 ，按对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论．
①当 ，即 时，函数在上单调递增，所以当 时， 取得最小值，
矛盾，故此时无解； 10分
②当 ，即 时，函数在 处取得最小值，
令 ，整理得 ，解得 或 ，
其中 不满足 ，舍去，
满足条件； 12分
③当 ，即 时，函数在上单调递减，所以当 时， 取得最小值，
，
令 ，解得 ，但 不满足 ，舍去． 14分
综上，实数 的值为4． 15分
方法2：
因为 的最小值为3，所以当时，．
当 时，不等式显然成立，所以 ； 10分
当 时，由 ，可得 在时恒成立， 11分
设 ，则 ，
所以 ， 12分
当且仅当 时，等号成立， 13分
所以 ；
因为 的最小值为3，所以当且仅当 时等号成立，故 ． 14分
综上，实数 的值为4． 15分
18.【解析】（1）因为矩形的周长为12，，所以 ，．
而旋转形成的圆柱的侧面积为 2分
． 4分
当且仅当 ，即 时等号成立． 5分
所以圆柱侧面积的最大值为． 6分
（2）（ⅰ）方法1：
因为 ，所以 ，所以 ． 7分
设 ，则 ．
因为 ，，，
所以 ， 9分
所以 ．
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，解得 ， 11分
所以 ，．
方法2：
因为 ，所以 ，所以 ． 7分
折叠后 ，
因为 ，所以 ，
因此 ，所以 为等腰三角形， 9分
设 ，由 得 ，故 ，
在 中，由勾股定理得 ，即 ，
解得 ， 11分
所以 ，．
（ⅱ）方法1：
的面积 ，， 13分
因为 ，所以 ， 15分
当且仅当 ，即 时，等号成立． 16分
即当 时， 面积的最大值为 ． 17分
方法2：
的面积 ，， 13分
设 ，由对勾函数图象知：
当 时，单调递减，当 时，单调递增． 15分
故 在 处取得最小值 ， 16分
因此 ， 16分
即当 时， 的面积取得最大值 ． 17分
19.【解析】（1）当 时，．
因为 ，，
若 ，；若 ，；若 ，；若 ，；
不合题意． 2分
因为 ，，
如 ，，，，符合题意． 4分
综上，集合 不是 的疏差集，集合 是 的疏差集．
（2）（ⅰ）当 时，．
设 为集合 中的任意一个元素，则存在 ，满足 ，
因为 ，所以 ，所以 ． 6分
设 ， 为集合 中的任意两个元素，则 ，，其中 ，，
因为 是 的一个疏差集，所以存在 ，使得 ，
因为 ，
所以存在 ，使得 ，
所以 是 的疏差集． 10分
（ⅱ）由（ⅰ）知：若集合 是 的疏差集，那么集合 也是 的疏差集．
设集合 中有 个元素，不超过 7 的元素个数为 个，则 中有 个元素，不超过 7 的元素个数为 个；
因为 ，所以 与 中至少有一个数不小于 ，不妨设 ，记集合 中不超过 7 的 个数分别为 ，，，…，．
因为集合 是 的疏差集，所以存在 ，使得 ，
所以 ，．
因为 ，，所以 ，．
所以集合 中至少有 个元素不在 中，所以 ，所以 ． 14分
当 时，取 ，则集合 中任意两个元素的差都不等于 5，
故集合 是 的疏差集．
因此集合 中元素个数的最大值是 9． 17分

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