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4.7 相似多边形—浙教版数学九年级上册同步练习
一、选择题
1．有一个多边形的边长分别是、、、、，和它相似的一个多边形最长边为，那么这个多边形的周长是（ ）
A．12cm B．18cm C．32cm D．48cm
2．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（　　）
A．70° B．80° C．110° D．120°
3．如图，把一张矩形纸片对折两次得到四个小矩形，如果每个小矩形都与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为(　　)
A．：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为2，则新三角形与原三角形相似．
乙：将矩形按图2的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为2，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是(　　)
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错
5．如图，菱形ABCD∽菱形 EAFC，且相似比为2，则下列说法错误的是（　　）
A．B， E， F， D四点共线 B．E为△ABC的重心
C． D．AE⊥BC
6．如图，，、，分别是矩形四边上的点，连结，相交于点，且，，设矩形、矩形、矩形、矩形的面积分别为、、，，矩形矩形，连接交，于点，．下列一定能求出面积的条件是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，四边形和四边形相似，已知，，，　 　．
8．《周解》记载：“圆出于方，方出于矩．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为2，以其对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的面积是　 　．
9．如果两个相似多边形面积的比为1：4，则它们的相似比为　 　．
10． 如图，将 AEFG 变换得到 ABCD，其中E，G 分别是AB，AD 的中点，有下列结论：①□ABCD∽□AEFG；② 对应边的长扩大到原来的2 倍；③各对应角扩大到原来的2倍；④周长扩大到原来的2倍；⑤面积扩大到原来的4倍.其中，正确的结论为　 　(填序号).
三、解答题
11．如图，在中，，分别为边，上的点，连接．若，，，求的长．
12． 如图，矩形AGFE∽矩形 ABCD，AE，AD 分别为两个矩形的最短边，点F 在 AB 上，且3AE=2AD.
（1） 若矩形 ABCD 的面积为 450 cm2，求矩形AEFG 的面积.
（2） 求证：∠1=∠2.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵一个多边形的边长分别是4cm、5cm、6cm、4cm、5cm，和它相似的一个多边形最长边为8cm，
∴两个相似多边形的形似比为：，
设另一个多边形的周长为xcm，
∴，
解得x=32cm．
故答案为：C
【分析】根据相似多边形性质即可求出答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 四边形 ABCD∽ 四边形 EFGH，∠A=80°，∠C=90°，∠F=70° ，
∴∠E=∠A=80°，∠G=∠C=90°
∴∠H=360° ∠E ∠F ∠G=360° 80° 70° 90°=120°
故答案为：D.
【分析】利用相似多边形的性质可得∠E=∠A=80°，∠G=∠C=90°，再利用多边形的内角和求解即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：设原矩形ABCD的长为x，宽为y，
∴小矩形的长为y，宽为
∵小矩形与原矩形相似，
故答案为：B.
【分析】设原矩形ABCD的长为x，宽为y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得原矩形纸片的长与宽之比.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：甲：如图所示，
∴，，
∴，故甲对；
乙：如图所示，设，
∴，，
∵，
∴原矩形与新矩形不相似，故乙错；
综上所述，甲对，乙错，
故选：A ．
【分析】根据相似三角形的判定可得甲对，根据相似多边形的判定可得乙错，由此即可求解．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分
∴点B、E、F、D在线段AC的垂直平分线上
∴B、E、F、D四点共线，故A选项不符合题意；
连接EF，
∵B、E、F、D四点共线
∴B、D在直线EF上
∵菱形ABCD~菱形EAFC.
∴△AEG~△BAG
∴
设EG=a，则AG=CG=2a，
∴， AC=4a，
∴
∴，故C选项不符合题意；
∵AG=2a，
∴BG=4a，
∴BE=BG-EG=4a-a=3a，
∴BE：EG=3：1，
∴E不是△ABC的重心，故B选项符合题意；
延长AE，交BC于点H，
∵∠AEG=∠BAG=∠BCG，∠EAG=∠CAH
∴△EAG~△CAH
∴∠AHC=∠AGE=90°，
∴AE⊥BC，故D选项不符合题意。
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质，相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质以及重心的定义逐一分析判断即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：矩形矩形，
设矩形与矩形的相似比为，即，
设，，
则在矩形、矩形中，，，
矩形、矩形、矩形的对边互相平行，，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
故选：A．
【分析】
利用矩形的性质和相似多边形的性质，找出各矩形面积之间的关系，进而求出的面积即可.
7．【答案】78
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，
∴∠A＝120°，∠B＝87°，∠C＝∠C1＝75°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝78°，
∴∠D1＝∠D＝78°．
故答案为：78．
【分析】根据四边形的内角和定理可得∠D的度数，再由相似图形的性质解答即可
8．【答案】16
【解析】【解答】解：正方形的边长为2，
正方形的面积为4，
正方形与正方形是位似图形，
正方形正方形，
∵
正方形与正方形的相似比为，
正方形与正方形的面积比为，
正方形的面积为，
故答案为：．
【分析】先求出原正方形 ABCD 的面积，再根据位似图形的相似比等于边长比、面积比等于相似比的平方，计算出位似正方形 A'B'C'D' 的面积。
9．【答案】1：2
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形面积的比为1：4，
∴它们的相似比为1：2．
故答案为：1：2．
【分析】
根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方计算即可解答．
10．【答案】①②④⑤
【解析】【解答】解：∵四边 形ABCD 为平行四边形，
∴ AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC.
∵ 四边形AEFG 为平行四边形，
∴ AE∥FG，AE=FG，AG∥EF，AG=EF.
∴ FG∥CD，EF∥BC.
∴ ∠AGF=∠D，∠AEF=∠B.
∵∠A=∠A，
∴∠F=∠C.
∵ E，G 分别是AB，AD 的中点，
∴ ABCD∽ AEFG，且对应边扩大到原来的2倍，各对应角大小不变，故①②正确，③错误.
根据相似多边形周长的比等于相似比，可知周长扩大到原来的2倍，故④正确.
根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，可知面积扩大到原来的4倍，故⑤正确.
∴ 正确的结论为①②④⑤.
故答案为：①②④⑤.
【分析】通过证明平行四边形AEFG与平行四边形ABCD的对应角相等、对应边成比例来判定相似关系，再依据相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系判断周长和面积的变化情况.
11．【答案】解：，
，
．
，，
，
则．
【解析】【分析】根据相似图形性质可得，代值计算即可求出答案.
12．【答案】（1）解：∵ 3AE=2AD，
∵ 矩形 AGFE∽矩形ABCD，
∵ 矩形ABCD 的面积为450cm2，
∴ 矩形AEFG 的面积为 200(cm2).
（2）证明：∵ 矩形 AGFE∽矩形 ABCD，
∴ AB=ADB，∠DAE+∠EAF =∠BAG+∠EAF.
∴∠DAE=∠BAG.
∴△ADE∽△ABG.
∴∠1=∠2.
【解析】【分析】(1)首先利用相似多边形的对应边的关系得到相似比，从而利用面积的比等于相似比求得结论；(2)利用相似多边形的性质得到AE：AD=AG：AB，从而得到△ADE~△ABG，利用相似三角形的对应角相等求得结论.

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