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4.5.1相似三角形的性质—浙教版数学九年级上册同步练习
一、选择题
1．如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（　　）
A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点
C．三角形三条高线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点
2．已知，且，则边与边上的高之比为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，G是的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P，Q分别是和的重心，BC长为12，则PQ的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
4． 如图， 在△ABC中， ∠ACB=90°， G是△ABC的重心， 点D在边 BC上， DG⊥GC，如果 ，则 值是(　　)
A． B．23 C． D．
5．如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（　　）
A．12 B．8 C．6 D．4
6． 如图， 在 中， 为 的中点， 若点 为直线 下方一点，且 与 相似， 则下列结论：
①若 与 相交于点 ， 则点 不一定是 的重心；
②若 ， 则 的最大值为 ；
③若 ， 则 的长为 ；
④若 ， 则当 时， 取得最大值．
其中正确的为（　　）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题
7．如果两个相似三角形对应角平分线的比为，其中小三角形的面积为4，那么大三角形的面积为　 　．
8．如图，分别在三角形纸板 的顶点 处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线 和 ，相交于点， ． 则 的长度是　 　
9．如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，则表示三条中线的交点是　 　．
10．如图，点G为△ABC的重心，GE∥AC，若DE＝2，则DC＝　 　．
三、解答题
11．如图，在的网格中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图．
（1）在图中作格点C，使得．
（2）连结，，在图中作出的重心点G．（保留作图痕迹）
12． 如图，在△ABC 中，D，E 分别是AB，AC 上 的 点， ∠ADE = ∠C， AF 平 分∠BAC，交 DE 于点G，交 BC 于点 F.
（1）求证：
（2）若点G 是△ABC 的重心，AE=6，求AB的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是三角形的重心，即三角形三条中线的交点，
故选：．
【分析】根据三角形的重心性质即可求出答案.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵，且，
∴边与边上的高之比为；
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形对应边上的高之比等于对应边之比可得答案.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，取BC的中点I连接EI、DI
∵P、Q为△BCE和△BCD的重心
∴P在线段EI上，Q在线段DI上，且
∴
∵G为△ABC的重心
∴DE为△ABC的中位线
∴DE=
∴PQ=
故答案为：A.
【分析】取BC的中点I并连接EI、DI，由重心的性质知P、Q在EI和DI上，同时PQ=DE，由中位线定理知PQ=BC，由此可得PQ的长.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示，连接并延长交于点F，延长交于点E，连接，
∵G是的重心，
∴都是的中线，
∴为的中位线，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴可设，则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故选：D．
【分析】连接并延长交于点F，延长交于点E，连接，根据重心的定义可得都是的中线，则由三角形中位线定理可得，得到，即可得到，设，设，根据求出a与b的关系即可得到答案．
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵G是重心，
∴DG：DA＝1：3，
∵GE∥AC，
∴DE：DC＝DG：DA＝1：3，
∵DE＝2，
∴CD＝6，
∴BC＝2CD＝12，
故答案为：A.
【分析】根据重心定义可得DG：DA＝1：3，根据平行线分线段成比例定理得DE：DC＝DG：DA，进而代入数据即可算出CD，最后根据中点定义可得BC的长.
6．【答案】A
【解析】【解答]解：①有3种情况，如图，和都是中线，点是重心；
如图，四边形是平行四边形，是AD中点，点是重心；
如图，点不是AD中点，所以点不是重心；
①正确
②当，如图时AD最大，，
，，，
，
，
②错误；
③如图5，若，，
∴，，，，，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴③错误；
④如图6，，
∴，
即，
在中，，
∴，
∴，
当时，最大为5，
∴④正确．
故答案为：A
【分析】本题考查三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质.①有3种情况：和都是中线；四边形是平行四边形，是AD中点；点不是AD中点，分别画出图形， 可推出的重心，据此可判断说法 ① ；当，时，取得最大值，利用直角三角形的性质可得，，，利用勾股定理可求出的长，据此可判断说法 ② ；③如图5，若，，利用相似三角形的性质可得：，，，利用勾股定理可求出，据此可判断说法③；④如图6，根据，利用相似三角形的性质可推出，在中，利用勾股定理可得：，据此可得：，利用二次函数的性质，可求出取得最大值时，，据此可判断说法④．
7．【答案】8
【解析】【解答】解：设大三角形的面积是，
∵两个相似三角形对应角平分线的比为，且小三角形的面积为4，
∴，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
∴大三角形的面积是8，
故答案为：8．
【分析】设大三角形的面积是，根据相似三角形的三线比等于相似比，面积比等于相似比的平方可列出方程，然后求解即可．
8．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，连接并延长交于点，
∵
∴
∴是直角三角形，
依题意，为的重心
∴
在中，
∴
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，即可得到为的重心，连接并延长交于点，根据勾股定理求得长，根据重心定理解题即可．
9．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，设的中点是点M，的中点为点N，则均是的中线，中线与中线的交点D即为三条中线的交点．
故答案为：D．
【分析】分别确定边与边的中点，然后连接中线，其交点D就是三条中线的交点．
10．【答案】6
【解析】【解答】∵点G为△ABC的重心，
∴AG：DG＝2：1，
∵GE∥AC，
∴＝＝2，
∴CE＝2DE＝2×2＝4，
∴CD＝DE+CE＝2+4＝6．
故答案为：6．
【分析】本题考查重心的性质，平行线分线段成比例定理.根据重心的性质可得AG：DG＝2：1，再根据GE∥AC，利用平行线分线段成比例定理可得：＝＝2，代入数据进行计算可求出CE，利用线段的运算可求出CD的长，进而可求出答案.
11．【答案】（1）解：如图所示，C为所求；
（2）解：如图所示，G为所求；
【解析】【分析】本题考查无刻度直尺作图和重心的概念。
（1）通过观察网格可以发现边AC与边BC长度相等，即，由此可得出结论。
（2）三角形的重心是三条中线的交点，结合网格特点即可确定位置。
（1）解：如图，C为所求；
（2）解：如图，G为所求；
12．【答案】（1）证明：
平分
（2）解：点G是 △ABC 的重心
【解析】【分析】（1）先由两角对应相等可得，再由相似三角形对应角平分线的比等于相似比即可；
（2）先由重心的性质可得，再由线段的和差关系可得，再由相似三角形对应平分线的比等于相似比即可.

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