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1.1　第1课时　集合的概念
1.(5分)下列四组对象,能构成集合的是(　　)
A.某中学所有的高个子学生
B.倒数等于它自身的实数
C.一切较大的数
D.我国著名的艺术家
2.(5分)设不等式3-2x<0的解集为M,则下列关系中正确的是(　　)
A.0∈M,2∈M B.0 M,2∈M
C.0∈M,2 M D.0 M,2 M
3.(5分)由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素,则集合A中的元素个数为(　　)
A.3 B.5
C.6 D.7
4.(5分)已知集合A中有且仅有5和a2＋2a＋4这两个元素,且7∈A,则a3的值为(　　)
A.0 B.1或-27
C.1 D.-27
5.(5分)下列结论正确的是(　　)
A.∈N B.-3 Z
C.0∈R D.∈Q
6.(6分,多选)下列说法正确的是(　　)
A.某单位的年轻人组成一个集合
B.不大于3的正整数组成的集合中有3个元素
C.1,2,3,4,5组成的集合与5,4,3,2,1组成的集合是相等的
D.数1,0,5,组成的集合中有7个元素
7.(6分,多选)已知x,y,z为非零实数,代数式的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是(　　)
A.0 M B.2∈M
C.-4∈M D.4∈M
8.(5分)已知集合A中的元素x满足2x＋a>0,a∈R.若1 A,2∈A,则实数a的取值范围为 .
9.(6分)设函数y=2x＋3图象上的点组成的集合为P,则点(1,5)与集合P的关系是 ,点(2,6)与集合P的关系是 .
10.(10分)设集合A仅含有3个元素1,x,2x,集合B仅含有3个元素1,y,y2,若集合A与集合B是相等的,求实数x和y的值.
11.(6分,多选)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值不可能是(　　)
A.1 B.-2
C.-1 D.2
12.(5分)已知集合A是由-1,a3组成的双元素集合,且a∈A,则实数a的值为 .
13.(5分)设集合A是由1,a组成的双元素集合,集合B是由a,a2组成的双元素集合,若集合A与集合B是相等的,则a= .
14.(12分)以某些整数为元素的集合P具有以下两个性质:①P中的元素有正整数,也有负整数;②若x,y∈P,则x＋y∈P.
(1)若x∈P,求证:3x∈P;
(2)求证:0∈P;
(3)判断集合P是有限集还是无限集,请说明理由.
15.(14分)已知一些实数构成的集合C满足:1 C;若实数m是集合C中的一个元素,则一定也是集合C中的一个元素.求证:
(1)若2∈C,则集合C中还有其他两个元素;
(2)集合C不可能是单元素集合.
1.1　第1课时　集合的概念
1.(5分)下列四组对象,能构成集合的是(　B　)
A.某中学所有的高个子学生
B.倒数等于它自身的实数
C.一切较大的数
D.我国著名的艺术家
解析:“高个子”“较大”“著名”标准不确定,元素不明确;倒数等于它自身的实数只有1和-1,符合集合中元素的确定性和互异性.故选B.
2.(5分)设不等式3-2x<0的解集为M,则下列关系中正确的是(　B　)
A.0∈M,2∈M B.0 M,2∈M
C.0∈M,2 M D.0 M,2 M
解析:当x=0时,3-2x=3>0,所以0 M;当x=2时,3-2x=-1<0,所以2∈M.故选B.
3.(5分)由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素,则集合A中的元素个数为(　C　)
A.3 B.5
C.6 D.7
解析:根据集合中元素的互异性,两个“e”在写集合时只能算一个元素,所以集合A中的元素个数为6.故选C.
4.(5分)已知集合A中有且仅有5和a2＋2a＋4这两个元素,且7∈A,则a3的值为(　B　)
A.0 B.1或-27
C.1 D.-27
解析:根据题意得a2＋2a＋4=7,整理得(a＋3)(a-1)=0,解得a=1或a=-3,则a3=1或a3=-27.故选B.
5.(5分)下列结论正确的是(　C　)
A.∈N B.-3 Z
C.0∈R D.∈Q
解析: N,故A错误;-3∈Z,故B错误;0∈R,故C正确; Q,故D错误.故选C.
6.(6分,多选)下列说法正确的是(　BC　)
A.某单位的年轻人组成一个集合
B.不大于3的正整数组成的集合中有3个元素
C.1,2,3,4,5组成的集合与5,4,3,2,1组成的集合是相等的
D.数1,0,5,组成的集合中有7个元素
解析:某单位的年轻人不能组成一个集合,故A错误;不大于3的正整数组成的集合中有3个元素,即1,2,3,故B正确;1,2,3,4,5组成的集合与5,4,3,2,1组成的集合是相等的,故C正确;因为,所以数1,0,5,组成的集合中有5个元素,故D错误.故选BC.
7.(6分,多选)已知x,y,z为非零实数,代数式的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是(　CD　)
A.0 M B.2∈M
C.-4∈M D.4∈M
解析:当x,y,z均为负数时,=-4;当x,y,z两负一正时,=0;当x,y,z两正一负时,=0;当x,y,z均为正数时,=4.∴集合M中含有-4,0,4三个元素,故A,B错误,C,D正确.故选CD.
8.(5分)已知集合A中的元素x满足2x＋a>0,a∈R.若1 A,2∈A,则实数a的取值范围为-4解析:因为1 A,2∈A,所以解得-49.(6分)设函数y=2x＋3图象上的点组成的集合为P,则点(1,5)与集合P的关系是(1,5)∈P,点(2,6)与集合P的关系是(2,6) P.
解析:点(1,5)在y=2x＋3的图象上,即(1,5)∈P;点(2,6)不在y=2x＋3的图象上,即(2,6) P.
10.(10分)设集合A仅含有3个元素1,x,2x,集合B仅含有3个元素1,y,y2,若集合A与集合B是相等的,求实数x和y的值.
解:由集合相等的概念可知,
因为当时,集合A中x=2x=0,集合B中y=y2=0,不满足集合中元素的互异性,当时,均满足集合中元素的互异性,所以
11.(6分,多选)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值不可能是(　ABD　)
A.1 B.-2
C.-1 D.2
解析:由题意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a,解得a≠±2,且a≠1,即a的取值不可能是1,±2.故选ABD.
12.(5分)已知集合A是由-1,a3组成的双元素集合,且a∈A,则实数a的值为0或1.
解析:当a=-1时,a3=-1,不满足集合中元素的互异性,舍去.当a=a3时,a(a-1)(a＋1)=0,解得a=1或a=0或a=-1(舍去).当a=1时,a3=1,满足集合中元素的互异性;当a=0时,a3=0,满足集合中元素的互异性.故实数a的值为0或1.
13.(5分)设集合A是由1,a组成的双元素集合,集合B是由a,a2组成的双元素集合,若集合A与集合B是相等的,则a=-1.
解析:因为集合A与集合B是相等的,所以解得a=-1.
14.(12分)以某些整数为元素的集合P具有以下两个性质:①P中的元素有正整数,也有负整数;②若x,y∈P,则x＋y∈P.
(1)若x∈P,求证:3x∈P;
(2)求证:0∈P;
(3)判断集合P是有限集还是无限集,请说明理由.
解:(1)证明:由②可得若x∈P,则x＋x=2x∈P,则x＋2x=3x∈P.
(2)证明:设x,y∈P且x>0,y<0,则x为正整数,-y为正整数,
由②可知,x个y相加的结果属于集合P,即xy∈P,同理,-y个x相加的结果属于集合P,即-yx∈P,所以-yx＋xy=0∈P.
(3)集合P是无限集.理由如下:
假设集合P是有限集,则集合P中元素必有最大值,且最大值为正整数,不妨设最大值为m,由②可得2m∈P,与集合P中元素的最大值为m矛盾,假设不成立,所以集合P是无限集.
15.(14分)已知一些实数构成的集合C满足:1 C;若实数m是集合C中的一个元素,则一定也是集合C中的一个元素.求证:
(1)若2∈C,则集合C中还有其他两个元素;
(2)集合C不可能是单元素集合.
证明:(1)若2∈C,则=-1∈C,则∈C,则=2∈C,
∴当2∈C时,集合C中必含有另两个元素-1,.
(2)假设集合C中只有一个元素n(n∈R且n≠1),由题意可知∈C,
∵集合C为单元素集合,
∴n=,即n2-n＋1=0,而此方程无实数解,
∴假设不成立,
∴集合C不可能是单元素集合.

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