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1.2　集合间的基本关系
1.(5分)下列关系中正确的是(　　)
A.{0}= B.{(a,b)}={(b,a)}
C.{0,1} {(0,1)} D. {0}
2.(5分)设M={x|x=6k-2,k∈Z},N={x|x=3k＋1,k∈Z},则(　　)
A.M N B.N M
C.M=N D.M与N间的关系不确定
3.(5分)已知集合A={0,1},集合B={0,1,2,3,4},则满足条件A C B的集合C的个数为(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
4.(5分)若集合A={x|x2＋ax＋1=0}有且只有一个子集,则实数a的取值集合为(　　)
A.{2} B.{2,-2}
C.{a|-25.(5分)定义集合A和B的运算:A○B={(x,y)|x∈A,y∈B}.若集合A={1,2,3},B={2,3},则A○B的真子集的个数为(　　)
A.31 B.32
C.62 D.63
6.(6分,多选)集合A={x|x<-1,或x1},B={x|ax＋20},若B A,则整数a的值可能为(　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
7.(6分,多选)已知非空集合M满足对任意x∈M,总有x2 M且 M.若M {0,1,2,3,4,5},则满足条件的集合M可能是(　　)
A.{2,3,5} B.{2,3,4}
C.{3,4,5} D.{1,2,5}
8.(5分)已知m,n∈R,若集合={m2,m＋n,0},则m3＋n3的值为 .
9.(5分)已知非空集合S {x|x∈N,x1},且若x∈S,则∈S.满足条件的集合S共有15个.
10.(12分)已知A={x|x2＋4x=0},B={x|x2＋2(a＋1)x＋a2-1=0}.
(1)若A B,求实数a的值;
(2)若B A,求实数a的取值范围.
11.(5分)已知集合S=,T=,则(　　)
A.S T B.S=T
C.S T D.S与T间的关系不确定
12.(6分,多选)已知集合A满足{1,2} A {1,2,3,4,5},且A={1,a2-2a＋2,a2＋1},则a的可能取值为(　　)
A.2 B.0
C.-1 D.1
13.(5分)当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时,称这两个集合之间构成“全食”,当两个集合有公共元素但互不为对方子集时,称这两个集合之间构成“偏食”.对于集合A=,B={x|ax2＋1=0,a0},若A与B构成“全食”,或构成“偏食”,则a的取值集合为 .
14.(15分)已知集合A={x|x2-4x＋3=0},B={x|x2＋2(a＋1)x＋a2-7=0}.
(1)写出集合A的所有子集;
(2)若B={x1,x2},且满足=-14,求实数a的值;
(3)若B A,求实数a的取值范围.
15.(5分)若集合U的三个子集A,B,C满足A B C,则称(A,B,C)为集合U的一组“亲密子集”,已知集合U={1,2,3},则U的所有“亲密子集”的组数为(　　)
A.12 B.15
C.18 D.24
16.(5分)已知集合A={a1,a2,a3,a4,a5},集合B={M,N},M A,N A,且满足M N,或N M,则符合条件的集合B有 个.
1.2　集合间的基本关系
1.(5分)下列关系中正确的是(　D　)
A.{0}= B.{(a,b)}={(b,a)}
C.{0,1} {(0,1)} D. {0}
解析:{0}是单元素集合,而 是空集,二者不相等,故A错误;当a≠b时,(a,b),(b,a)表示不同的点,故{(a,b)},{(b,a)}在a≠b时不相等,故B错误;{0,1}中的元素为0,1,而{(0,1)}中的元素为(0,1),两个集合间没有包含关系,故C错误;空集为任何集合的子集,故D正确.故选D.
2.(5分)设M={x|x=6k-2,k∈Z},N={x|x=3k＋1,k∈Z},则(　A　)
A.M N B.N M
C.M=N D.M与N间的关系不确定
解析:由题意得M={x|x=3(2k-1)＋1,k∈Z},其中2k-1表示奇数,而N={x|x=3k＋1,k∈Z}中k∈Z,故M N.故选A.
3.(5分)已知集合A={0,1},集合B={0,1,2,3,4},则满足条件A C B的集合C的个数为(　C　)
A.6 B.7
C.8 D.9
解析:由题意得,集合C的个数为集合{2,3,4}的子集的个数,其子集共有23=8(个).故选C.
4.(5分)若集合A={x|x2＋ax＋1=0}有且只有一个子集,则实数a的取值集合为(　C　)
A.{2} B.{2,-2}
C.{a|-2解析:由题意得A= ,故关于x的方程x2＋ax＋1=0无实数根,故Δ=a2-4<0,解得-25.(5分)定义集合A和B的运算:A○B={(x,y)|x∈A,y∈B}.若集合A={1,2,3},B={2,3},则A○B的真子集的个数为(　D　)
A.31 B.32
C.62 D.63
解析:由新定义知,A○B={(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)},共含6个元素,所以A○B的真子集的个数为26-1=63.故选D.
6.(6分,多选)集合A={x|x<-1,或x1},B={x|ax＋20},若B A,则整数a的值可能为(　ABC　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
解析:∵B A,∴分B= 和B≠ 两种情况讨论:①若B= ,则ax＋20无解,此时a=0,满足题意.②若B≠ ,则ax＋20有解.当a>0时,可得x,要使B A,需解得07.(6分,多选)已知非空集合M满足对任意x∈M,总有x2 M且 M.若M {0,1,2,3,4,5},则满足条件的集合M可能是(　AC　)
A.{2,3,5} B.{2,3,4}
C.{3,4,5} D.{1,2,5}
解析:由题意得集合M是集合{2,3,4,5}的非空子集,且2和4不都是集合M中的元素,所以结合选项可知,满足条件的集合M可能是{2,3,5}和{3,4,5}.故选AC.
8.(5分)已知m,n∈R,若集合={m2,m＋n,0},则m3＋n3的值为-1.
解析:∵={m2,m＋n,0},∴0∈.易知m≠0,因此n=0,∴{m,0,1}={m2,m,0}.由集合中元素的互异性可知,m≠1,故m2=1,∴m=-1.因此,m3＋n3=-1.
9.(5分)已知非空集合S {x|x∈N,x1},且若x∈S,则∈S.满足条件的集合S共有15个.
解析:依题意得,1和64同时属于或不属于集合S,2和32同时属于或不属于集合S,4和16同时属于或不属于集合S,又8也可以属于或不属于集合S,因此满足条件的集合S的个数为24-1=15.
10.(12分)已知A={x|x2＋4x=0},B={x|x2＋2(a＋1)x＋a2-1=0}.
(1)若A B,求实数a的值;
(2)若B A,求实数a的取值范围.
解:(1)由x2＋4x=x(x＋4)=0,解得x=0或x=-4,所以A={0,-4}.
因为A B,B中最多有两个元素,所以B=A={0,-4},
所以-4和0是关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2-1=0的两个根,
所以解得a=1,所以实数a的值是1.
(2)若B A,则B= 或B={-4}或B={0}或B={-4,0}.
当B= 时,Δ=4(a＋1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1;
当B={-4}时,此方程组无解;
当B={0}时,
解得a=-1;
当B={-4,0}时,由(1)知a=1.
综上,实数a的取值范围是{a|a-1,或a=1}.
11.(5分)已知集合S=,T=,则(　A　)
A.S T B.S=T
C.S T D.S与T间的关系不确定
解析:S=,T=,因为2t＋1(t∈Z)表示奇数,t＋2(t∈Z)表示整数,所以S T.故选A.
12.(6分,多选)已知集合A满足{1,2} A {1,2,3,4,5},且A={1,a2-2a＋2,a2＋1},则a的可能取值为(　AC　)
A.2 B.0
C.-1 D.1
解析:由题意可知,1∈A,2∈A.若a2-2a＋2=2,则a=0或a=2.当a=0时,a2＋1=1,不满足集合中元素的互异性,舍去;当a=2时,A={1,2,5},满足题意.若a2＋1=2,则a=-1或a=1.当a=-1时,A={1,2,5},满足题意;当a=1时,a2-2a＋2=1,不满足集合中元素的互异性,舍去.综上,a=2或a=-1.故选AC.
13.(5分)当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时,称这两个集合之间构成“全食”,当两个集合有公共元素但互不为对方子集时,称这两个集合之间构成“偏食”.对于集合A=,B={x|ax2＋1=0,a0},若A与B构成“全食”,或构成“偏食”,则a的取值集合为{0,-1,-4}.
解析:①当A与B构成“全食”时,B A.若a=0,则B= ,此时B A,满足题意;若a≠0,则B=,又B A,∴,即a=-4.②当A与B构成“偏食”时,B≠ ,则B=,∵A与B有公共元素,但互不为对方子集,∴=1,∴a=-1.故a的取值集合为{0,-1,-4}.
14.(15分)已知集合A={x|x2-4x＋3=0},B={x|x2＋2(a＋1)x＋a2-7=0}.
(1)写出集合A的所有子集;
(2)若B={x1,x2},且满足=-14,求实数a的值;
(3)若B A,求实数a的取值范围.
解:(1)由x2-4x＋3=0,解得x=1或x=3,∴A={1,3},
∴集合A的所有子集为 ,{1},{3},{1,3}.
(2)∵B={x|x2＋2(a＋1)x＋a2-7=0}={x1,x2},
∴x1,x2是关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2-7=0的两个不等实数根,
则Δ=4(a＋1)2-4(a2-7)>0,即a>-4,且x1＋x2=-2(a＋1),x1x2=a2-7,
∴-2=-14,解得a=2或a=-,均满足a>-4.
∴a=2或a=-.
(3)当B= 时,Δ<0,此时a<-4.
当B≠ 时,B中有一个元素或两个元素,
当B中仅有一个元素时,Δ=0,解得a=-4,此时B={3},满足条件;
当B中有两个元素时,A=B,即1,3是关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2-7=0的两个根,
∴无解.
综上,实数a的取值范围是{a|a-4}.
15.(5分)若集合U的三个子集A,B,C满足A B C,则称(A,B,C)为集合U的一组“亲密子集”,已知集合U={1,2,3},则U的所有“亲密子集”的组数为(　C　)
A.12 B.15
C.18 D.24
解析:U={1,2,3}的所有子集有 ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.①若A= ,B为单元素集合,C为双元素集合,则符合要求的有 {1} {1,2}, {1} {1,3}, {2} {1,2}, {2} {2,3}, {3} {1,3}, {3} {2,3},共6组;②若A= ,B为单元素集合,C为三元素集合,则符合要求的有 {1} {1,2,3}, {2} {1,2,3}, {3} {1,2,3},共3组;③若A= ,B为双元素集合,C为三元素集合,则符合要求的有 {1,2} {1,2,3}, {1,3} {1,2,3}, {2,3} {1,2,3},共3组;④若A为单元素集合,B为双元素集合,C为三元素集合,则符合要求的有{1} {1,2} {1,2,3},{1} {1,3} {1,2,3},{2} {1,2} {1,2,3},{2} {2,3} {1,2,3},{3} {1,3} {1,2,3},{3} {2,3} {1,2,3},共6组.综上所述,满足要求的“亲密子集”一共有6＋3＋3＋6=18(组).故选C.
16.(5分)已知集合A={a1,a2,a3,a4,a5},集合B={M,N},M A,N A,且满足M N,或N M,则符合条件的集合B有211个.
解析:由集合中元素的互异性可知,M≠N,因此M N或N M.由集合中元素的无序性可知,只需求出M N的情况即可,此时M N A.根据集合M中元素的个数进行分类讨论,其中n(B)代表符合条件的集合B的数量.①若M为空集,则N是集合A的非空子集,则n(B)=25-1=31;②若M包含集合A中的任意一个元素,将该元素记为q,q∈A,此时集合N的可能情况数可认为是集合A去掉元素q后的新集合的非空子集数,因此n(B)=5×(24-1)=75;③若M包含集合A中的任意两个元素,同②可得n(B)=10×(23-1)=70;④若M包含集合A中的任意三个元素,同②可得n(B)=10×(22-1)=30;⑤若M包含集合A中的任意四个元素,则N=A,因此n(B)=5.综上,符合条件的集合B的个数为31＋75＋70＋30＋5=211.

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