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高二年级 10 月学情检测
数学试题
本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．若直线与直线互相垂直，则实数的值是（）
A．1 B． C．4 D．
2．已知数列满足，，对于，，是数列的前项和，
则（　）
A．5100 B．4999 C．5202 D．5000
3．设函数在上可导，且，则等于（　）
A． B． C． D．
4．已知函数有两个极值点，则的取值范围是（　）
A． B． C． D．
5．已知函数在上可导，导函数为，满足，，则不等式的解
集为（　）
A． B．
C． D．
6．已知函数，其中为自然对数的底数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的零点个数为（　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线交于点，并与的右支交于点，，过点作与双曲线有相同焦点的椭圆，则该椭圆的离心率为（　）
A． B． C． D．
8．已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（　）
A． B．
C．是数列中的最大项 D．若，则的最小值为 4051
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（　）
A．的最大值为
B．的最小值为 4
C．的取值范围为
D．的最大值为
10．已知双曲线的右焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（　）
A．的取值范围为 B．若满足的直线恰有 3 条，则
C．恒成立 D．的取值范围为
11．数列前项的和为，则下列说法正确的是（　）
A．若，且则数列的通项公式为
B．设是等差数列的前项和，若，则
C．“数列为正项等比数列”是“数列为等差数列”的充要条件
D．若，，则
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知等差数列 2,6,10，…，190，…，和等差数列 2,8,14，…，200，…，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则数列的通项公式________.
13．若，恒成立，则的取值范围是________．
14．如图，在圆锥中，，是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点．已知平面与圆锥侧面的交线是抛物线的一部分，设该抛物线的焦点为．若，则__________
．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．的三个顶点分别是、、．
(1)求边上的中线所在直线的方程；
(2)求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程；
(3)求的外接圆方程．
16．党的十八大以来，我国防沙治沙工作取得显著成效，《全国防沙治沙规划（20212030 年）》的提出明确了今后一个阶段防沙治沙工作的总体思路、工作重点和目标任务.某地区政府顺势提出了沙漠治理的十年计划.已知第年该地区有土地万平方千米，其中 70% 是沙漠，30% 是绿洲.从第年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的 16% 改造成绿洲，而原有绿洲的 4% 被沙漠所侵蚀后又变成沙漠.设第年的绿洲面积为万平方千米，其中，.
(1)证明：为等比数列；
(2)假设把沙漠改造成绿洲的改造费为每万平方千米亿元，请计算该地区政府完成沙漠治理计划总共需要拨款的费用.
17．数列的前项和满足，等差数列中，，.
(1)求，的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
18．已知椭圆的离心率，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点，设直线和的斜率分别为.
（i）求证：为定值；
（ii）求面积的最大值.
19．设函数，，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)当时，设，，且轴，求、两点间的最短距离；
(3)若时，函数的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围．
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A A B D D D AC BCD
题号 11
答案 BCD
12．
13．
14．/0.25
15．【解】（1）边的中点．中线过与，斜率，
故：，即．
（2）的中点为，的斜率为，故的垂直平分线方程为．
圆心在直线上，联立
解得．半径，故圆的标准方程为．
（3）由（2）得圆心，又，
，，
故三点均在圆上，所以的外接圆就是圆，方程为．
16．(1)由题意，当时，
，
变形为，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
(2)约为 1.27 亿元
17．【解】（1）由数列满足，
当时，，
两式相减得，
，是等比数列，公比为 2.
当时，，，
数列的通项公式为.
，，
设公差为，则，
，，数列的通项公式为.
（2）由(1)得，
①
②
①－②得
，
.
18．【解】（1）由离心率，得，
所以，即，
将点代入椭圆方程，得，
将代入上式，得，
从而，
所以椭圆的标准方程为.
（2）（i）略；
（ii）由于在轴上，，直线过点，如图所示，
的面积为
，
，
令，则，，，
由基本不等式，当且仅当（即）时取等号，
此时，
所以面积的最大值为.
19．【解】（1）当时，
所以，故切点为，
又，得切线斜率，
所以切线方程为，化简得；
（2）当时，，，
由轴，可知两点的纵坐标相等，即，
所以，即，
因为，两点间的距离，
由于，，
令（），则，求导得，
令，则，
因为时，所以（仅在时等号成立），即在上单调递增，
因此，即在上单调递增，
所以的最小值为，
所以两点间最短距离为 1；
（3）已知时，恒成立，
且，，
所以，整理得对任意恒成立，
令（），则问题转化为对任意恒成立，
注意到，要使在时恒成立，则在右侧必须单调递增，
求导，且，
若要满足条件，必有，即，
当时，，
令，求导得，
令，求导得，
所以在上单调递增，且，
因此，在上单调递增，且，
所以，从而，
综上，当时在上单调递增，
因此对任意恒成立，
所以实数的取值范围是.

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