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期中重难点特训之易错压轴专项训练（18易错+8压轴）
易错题型一、图形的全等
易错题型二、轴对称图形的识别
易错题型三、三角形的概念
易错题型四、确定第三边的取值范围
易错题型五、根据三角形中线求长度与面积
易错题型六、三角形内角和定理的证明
易错题型七、全等三角形的概念和性质
易错题型八、全等的性质和SSS综合（SSS）
易错题型九、全等的性质和SAS综合（SAS）
易错题型十、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
易错题型十一、全等的性质和HL综合（HL）
易错题型十二、画轴对称图形
易错题型十三、角平分线的性质
易错题型十四、灵活选用判定方法证明三角形全等
易错题型十五、线段垂直平分线的性质与判定
易错题型十六、等边三角形的性质与判定
易错题型十七、等腰三角形的性质和判定
易错题型十八、坐标与图形变化——轴对称
压轴题型一、与三角形的高、中线与角平分线有关的计算
压轴题型二、三角形内角和定理的应用
压轴题型三、角平分线性质的实际应用
压轴题型四、等腰三角形中的存在性问题
压轴题型五、等边三角形的判定与性质综合应用
压轴题型六、全等三角形的模型问题
压轴题型七、最短路径问题
压轴题型八、轴对称综合应用
易错题型一、图形的全等
1．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）下列选项中的图形，与左边的图形是全等形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等形，根据全等形的定义，形状和大小完全相同的两个图形是全等形，进行判断即可．
【详解】解：观察可知，只有选项B的图形与给出的图形的形状和大小完全相同，两个图形是全等形，其它选项的形状和给出的图形的形状不相同，与给定的图形不是全等形；
故选B．
2．（25-26七年级下·全国·课后作业）图中有①～⑤ 5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有___________．（只填序号即可）
【答案】②④⑤
【分析】本题考查全等图形，根据能够完全重合的图形叫做全等图形，进行判断即可．
【详解】由全等形的概念可知，②④⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形能够完全重合，
故答案为：②④⑤．
3．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）请用不同的方法在下面三个图中把它们分割成四个全等的图形.
【答案】
如图所示，沿虚线即可得到四个全等的图形．
【分析】本题考查全等图形，利用对称性作图是解题的关键．
【详解】略
易错题型二、轴对称图形的识别
4．（26-27八年级上·全国·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】轴对称图形定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形，据此逐项判断即可．
【详解】解：A（雪花）：有多条对称轴，是轴对称图形．
B（风车）：无论沿哪条直线对折，两边都无法重合，只有旋转对称性，不是轴对称图形．
C：有3条对称轴，是轴对称图形．
D（太阳图案）：有多条对称轴，是轴对称图形．
5．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）下列图案是轴对称图形的有 ___个．
【答案】2
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：第一幅图，是轴对称图形；第二幅图不是轴对称图形；第三幅图是轴对称图形；第四幅图不是轴对称图形；
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
6．（25-26八年级上·全国·课堂例题）分别观察图（1）～（4）中的两个图形，判断它们是否分别关于某条直线成轴对称，并说明原因．
【答案】
图（1）（4）分别关于某条直线成轴对称；图（2）（3）不成轴对称，
原因如下：
图（1）（4）分别关于某条直线成轴对称，因为沿某一直线对折，每一组的两个图形都可以完全重合（这里的“完全重合”是指必须沿某直线折叠后完全重合，这就要求两个图形必须形状相同、大小相等，同时还对两个图形的位置作了限定）；
图（2）（3）不成轴对称，因为不能找到它们的对称轴．
【分析】本题考查轴对称图形的判定，轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键．
【详解】略
易错题型三、三角形的概念
7．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答．
【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个．
故选：C ．
8．（25-26八年级上·吉林松原·阶段检测）从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则__________．
【答案】
【分析】本题考查三角形个数问题，在找三角形时，要做到不重不漏．根据三角形的定义，得出所有的三角形，进一步确定可以落在三角形内的个数即可．
【详解】解：所有三角形为：共个．
从大小判断，青蛙不能落在中，其它均可，即个．
故答案为：．
9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为D， 是钝角，E是上一点，且是锐角．
(1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
(2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
【答案】(1)
图中有6个三角形：，，，，，．
(2)
锐角三角形：；
直角三角形：，，；
钝角三角形：，．
【分析】本题考查了三角形及其分类．熟练掌握三角形定义，三角形分类定义是解题的关键，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形；三个内角都小于 90 度的三角形是锐角三角形；有一个内角为 90 度的三角形是直角三角形；有一个内角大于 90 度的三角形是钝角三角形．
（1）根据三角形的定义解答；
（2）根据三角形按角分类的定义判断．
【详解】（1）略
（2）略
易错题型四、确定第三边的取值范围
10．（25-26七年级下·福建泉州·期末）要制作三角形相框，已有两根长度和的木条，现需再选一根木条拼接，下列长度中可选用的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再匹配符合条件的选项即可．
【详解】解：已有两根长度为和的木条，设第三根木条长度为，
根据三角形三边关系可得：
∴
观察各选项，只有符合该范围．
11．（25-26八年级上·云南红河·期末）现有长为的三根木条，若用这三根木条钉成一个三角形的木框，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的三边的关系，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
12．（25-26八年级上·吉林·期中）已知三角形的三条边长分别为7、15和x．
(1)x的取值范围为______；
(2)当该三角形为等腰三角形时，求它的周长．
【答案】(1)
(2)37
【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，掌握知识点的应用是解题的关键；
（1）根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和进行计算；
（2）根据x的取值范围即可确定腰长，进而求出周长．
【详解】（1）解：三角形的三条边长分别为7、15和x，
，即，
故答案为：；
（2）解：，该三角形为等腰三角形，
，
三角形的周长．
易错题型五、根据三角形中线求长度与面积
13．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【分析】根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可．
【详解】解：∵为的中线，
∴
∵的面积为24，
∴，
∵为的中点，
∴
∴．
14．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，已知点，，分别为，，的中点，且图中阴影部分，则的面积是___________．
【答案】
【分析】本题考查三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可解决问题．
【详解】解：点，，分别为，，的中点，
∴，，，
∵，∴，∴．
∵，∴．
∵，∴，，
∴．
故答案为：．
15．（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点．
(1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容．
小明是这样证明的：__________．
__________．
，
__________．
(2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________．
(3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明．
【答案】(1)；；；
(2)
(3)
解：，理由如下：
，
，
，
∴．
【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答；
（2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答；
（3）同（1）的方法求解．
【详解】（1）解：；
证明：，
，
，
；
（2）解：点为中点，
∴
，
，
；
，
；
（3）略
易错题型六、三角形内角和定理的证明
16．（2026·陕西西安·模拟预测）某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（ ）
A．过点A作 B．延长BC到点D，过点C作
C． 过点A作于点D D．过BC上一点D作，
【答案】C
【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【详解】解：A、由，则，．由，得，故符合题意．
B、由，则，．由，得，故符合题意．
C、由于，则，无法证得三角形内角和是，故不符合题意．
D、由，得，，则．由，得，，由，得，故符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平行线的性质是解决本题的关键．
17．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了_________．
【答案】三角形内角和等于180°
【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答．
【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向，
∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，
∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C，
∵笔尖方向变为点B到点A的方向，
∴旋转角度之和为180°，
∴这种变化说明三角形内角和等于180°．
故答案为：三角形内角和等于180°．
【点睛】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键．
18．（25-26八年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2．
(1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？
(2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？
(3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)三角形内角和为；
(3)
延长，过点C作，如图所示：
∴，
∵，
∴．
【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键．
（1）根据图形直接写出结果即可；
（2）根据（1）写出猜想即可；
（3）根据题意，延长，过点C作，然后利用平行线的性质即可证明．
【详解】（1）解：通过、、的拼接，发现；
（2）猜想：三角形内角和为；
（3）略
易错题型七、全等三角形的概念和性质
19．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）若，则的对应边是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的表示方法，根据对应点的字母写在对应的位置进行解答即可求解，掌握全等三角形的表示方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴点和点是对应点，点和点是对应点，
∴的对应边是，
故选：．
20．（25-26八年级上·河南漯河·阶段练习）如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是______，的对应角是_______．

【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴的对应边是，的对应角是．
故答案为：，．
21．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，已知线段与相交于点E，且，点F在线段的延长线上，，求证：．
【答案】
解：，
．
，
．
．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是关键；由全等三角形的性质得，结合得，由平行线的判定即可证明．
【详解】略
易错题型八、全等的性质和SSS综合（SSS）
22．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，点D在上，连接，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定是解题的关键．
先证明，再根据全等三角形的性质以及邻补角互补求解即可．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选B．
23．（24-25八年级上·吉林·阶段检测）如图，点在一条直线上，，，．若，，则______．

【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，先由得出，证明，然后，运用三角形内角和180度进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
24．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，，，和相交于点．求证：．
【答案】证明：连接，
在和中，
，
∴，
∴．
【分析】连接，根据“”证明，即可得出结论．
【详解】略
易错题型九、全等的性质和SAS综合（SAS）
25．（25-26八年级上·山西临汾·期中）如图，，的延长线经过点，交于，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识，证明，根据全等三角形的性质求出，，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
又，
，
，
故选：C．
26．（25-26八年级上·甘肃定西·期中）如图，在中，，，若，则______．
【答案】6
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，首先根据“”证明，由全等三角形的性质可得，然后由求解即可．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：6．
27．（25-26八年级上·广西北海·期末）综合与实践：
【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？
【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离．
【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由．
【答案】
解：此方案可行，理由如下：
在和中，
，
所以，
所以，
所以的长即是的距离．
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用．根据证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】略
易错题型十、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
28．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图所示，点，，，在直线上（点，之间不能直接测量，为池塘的长度），点，在的异侧，且，，测得．若，，则池塘的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．由可得，证明得到，推出，即可求解．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
，
，即，
，
，
故选：B．
29．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，点D，E分别在边上，连接，已知，，则_____________．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明可得的长，再根据线段的和差关系可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
30．（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，已知，，，垂足分别为．与交于点，连接．求证：是等腰三角形．
【答案】
证明：如图，
，，
，
，，
，
，
是等腰三角形．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，先证明，得到即可证明是等腰三角形．
【详解】略
易错题型十一、全等的性质和HL综合（HL）
31．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，于点D，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，
先根据“斜边直角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出答案即可．
【详解】解：∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴
则A，B，D正确；C不一定正确．
故选：C．
32．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，于点，，，射线于点，点在线段上移动，点在射线上随着点移动，且始终保持，当________时，才能使与全等．
【答案】2或4
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，正确分类、熟练掌握利用证明直角三角形全等的方法是关键．
分当时和当时两种情况解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
①∴当时，
∵，，
∴；
②当时，
∵，，
∴；
故答案为：2或4．
33．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，在中，点D 在 边上，于点E，， 交
于点 F，．求证：．补全下面的证明过程．
证明：∵（已知），
∴（ ）．
在与中，
∴（ ），
∴ （全等的性质）．
∵ （ ），
∴．
【答案】垂直的意义；；；；；邻补角的意义
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
根据证明，则，再由邻补角互补得到，然后等量代换即可求证．
【详解】证明：∵（已知），
∴（垂直的意义）．
在与中，
∴（），
∴（全等的性质）．
∵（邻补角的意义），
∴．
故答案为：垂直的意义；；；；；邻补角的意义．
易错题型十二、画轴对称图形
34．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为轴对称图形．满足这样条件的白色小方格个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．

故选：D．
【点睛】此题考查轴对称图案，解题关键在于利用对称轴找出对称图案即可．
35．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，在6×6的正方形网格中，选取13个格点，以其中的三个格点A、B、C为顶点画．若在图中以选取的格点为顶点再画出一个，使与成轴对称，这样的点P有________个．
【答案】2
【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解题意，画出图形解决问题．
根据轴对称图形的性质画出图形即可．
【详解】如答图，满足条件的点P有2个．
故答案为：2．
36．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图是一个轴对称图形的一半，直线是这个轴对称图形的对称轴，请画出这个图形的另一半．
【答案】
【详解】解：略
易错题型十三、角平分线的性质
37．（25-26八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在中，平分，交于点，垂足为点E，若，则的长为（）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两条边的距离相等．”求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，，
∴．
38．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知的周长是22，，分别平分和，于点，且，则的面积是_______．
【答案】33
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握这一定理是关键．连接，过点P分别作，垂足分别为E，F，则，利用面积关系即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点P分别作，垂足分别为E，F，
∵，分别平分和，，，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：33．
39．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，平分，交于点D，于点E，且，求的长．
【答案】7
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其性质是关键．
根据角平分线的性质得出，再代入求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
易错题型十四、灵活选用判定方法证明三角形全等
40．（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，图1是一个平分角的仪器，其中．如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，连接作一条射线，交于点P，则是的平分线，其中的依据是（ ）
A． B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形全等的判定；根据判定三角形全等即可．
【详解】解：在和中，
，
∴，
故选：A．
41．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，小周书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是__________（从“SSS、SAS、ASA、ASA”中选填一个）
【答案】ASA
【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】根据图形，可知最下面的边和两个角是完整的，
所以他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，
即为ASA．
故答案为：ASA．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法是解题关键．
42．（25-26七年级下·上海·期末）如图，AC与BD相交于E，且AC＝BD

(1)请添加一个条件能说明BC＝AD，这个条件可以是：　 　或　 　；
(2)请你选择（1）中你所添加的一个条件，说明BC＝AD的理由．
【答案】（1）∠A＝∠B或∠FCA＝∠FDB 或∠BCA＝∠ADB 或CE＝DE或BE＝AE
（2）方法一：选∠A＝∠B
在△FCA和△FDB中，
，
∴△FCA≌△FDB，
∴FC＝FD，FA＝FB，
∴FB﹣FC＝FA﹣FD ，
即BC＝AD，
方法二：选CE＝DE，
∵AC＝BD，
又∵CE＝DE，
∴AC﹣CE＝BD﹣DE，即AE＝BE，
在△BCE和△ADE中，
，
∴△BCE≌△ADE，
∴BC＝AD．
【分析】（1）根据全等三角形判定条件添加一个满足题意的条件即可；
（2）选CE＝DE或者∠A＝∠B均可，利用SAS或AAS证明三角形全等，即可得出结论．
【详解】（1）解：∠A＝∠B或∠FCA＝∠FDB 或∠BCA＝∠ADB 或CE＝DE或BE＝AE，
（2）略
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，是开放型题目，答案不唯一，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
易错题型十五、线段垂直平分线的性质与判定
43．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（ ）
A．17 B．18 C．16 D．12
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
的周长为20，
，
，
，
的周长．
44．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，，，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：

①；②；③；④.其中正确结论的序号是______.
【答案】①②③
【分析】先通过“”判定两三角形全等，再利用线段垂直平分线的判定和性质即可得到正确结论．
【详解】解：在和中，
，
∴，故①正确；
∵，
∴垂直平分，
∴，，
故②③正确；
由已知和图形无法判断，
故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】该题考查了 全等三角形的判定和线段的垂直平分线的判定与性质，解决本题的关键是牢记相关概念，该题较基础，考查了学生对教材基础知识的理解与应用，以及学生的推理分析的能力．
45．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段检测）老师布置了如下尺规作图的作业：
已知：如图．
求作：边上的高．
下面是小红设计的尺规作图过程：
作法：①延长线段 ；
②以点A为圆心，长为半径作弧交的延长线于点D；
③分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在下方交于点E；
④连接，交于点M．
如图所示，所以线段就是所求作的高线．
根据小红设计的尺规作图过程和图形，完成问题：
将该作图证明过程补充完整：
由②可得： ．
由③可得： ．
∴ （ ）．（填推理的依据）
即是边上的 线．
【答案】；；；是的垂直平分线；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；垂
【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定，基本作图，理解题意，熟练掌握作图方法是解题关键．根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明即可．
【详解】解：如图，根据题中作法作图即可得；
由②可得：，（均为圆的半径）
由③可得：，（相同圆的半径）
∴是的垂直平分线（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
即是边上的垂线．
易错题型十六、等边三角形的性质与判定
46．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，为等边三角形的高，在的延长线上取一点E，使，连接．若的周长为12，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质．先利用等边三角形的性质可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵等边的周长为12，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
47．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________．
【答案】/15度
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明为等边三角形，可得，可得的度数，再由等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵等腰，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
48．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，将等边和的一边重合放置，其中为中点．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)如图1，过点作于点．
(2)如图2，过点作的平分线交于点．
【答案】(1)
如图，为所求作，
(2)
如图，为所求作，
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形的角平分线，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）延长交于点，连接，即为所求作，可以通过证明是等边三角形，证明点为中点，再利用三线合一即可证明；
（2）在（1）的基础上，连接，交于点，连接并延长，交于点，则即为所求，可以通过证明平分，平分，得出是三条角平分线的交点，即可证明．
【详解】（1）解：延长交于点，连接，即为所求作，
理由：∵和是等边三角形，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵为中点，，
∴，
即点为中点，
∴；
（2）解：在（1）的基础上，连接，交于点，连接并延长，交于点，则即为所求作，
理由：由（1）可得，
又∵是等边三角形，
∴平分，
∵为中点，
∴平分，
∴是三条角平分线的交点，
∴是的角平分线．
易错题型十七、等腰三角形的性质和判定
49．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在中，，，，则（ ）
A．45 B．65 C．67.5 D．68.5
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，先根据等腰直角三角形的性质求出的度数，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：∵，
∴为等腰三角形，即，
又∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：C．
50．（25-26八年级上·山东青岛·单元测试）如图，在中，，是中线，交的延长线于点E，请判断的形状，并说明理由．
结论：是___________三角形．
解：因为，（已知），
所以____________ ．
因为（已知），
所以___________ ．
___________ ．
所以______________________ ．
所以______________________ ___________ ．
即是___________ 角形．
【答案】 等腰 / / E / / 等角对等边 等腰
【分析】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，利用平行线的性质和等腰三角形的性质是解答此题的关键．
首先由等腰三角形的性质得，由平行线的性质得，等量代换可得，由等腰三角形的判定定理可得，即得结论．
【详解】解：，，
，
，
，，
，
（等角对等边），
即是等腰三角形．
故答案为：等腰、、、、、、、、等角对等边、等腰．
51．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角．
(1)求端点到底座的距离；
(2)如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了含30°角直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
（1）过点C作于点F，根据等腰直角三角形的性质求解即可；
（2）过点C作于点F，利用直角三角形的性质求出旋转后点C离底座的距离，即可求出降低了多少．
【详解】（1）解：过点C作于点F，如图所示：
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴点C到底座的距离为：．
（2）解：过点C作于点F，如图所示：
旋转后，
∵，
∴，
∴点C到底座的距离为：．
∴端点到底座的距离减少了．
易错题型十八、坐标与图形变化——轴对称
52．（25-26八年级上·辽宁盘锦·阶段检测）在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵点 和点关于轴对称，
∴根据关于轴对称的点的坐标特征，点的横坐标为的相反数，纵坐标与点相同为，
∴点的坐标为．
53．（2026·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点是______．
【答案】
【分析】根据在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点是，据此解答即可．
【详解】解：点关于x轴对称的点是．
54．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
(1)在图中画出关于轴对称的图形，点、、的对应点分别为点、、；
(2)在（1）的条件下，写出点、的坐标．
【答案】(1)
如图所示，即为所求；
(2)点的坐标为，点的坐标为．
【分析】本题考查了作轴对称图形，写出平面直角坐标系中点的坐标．
（1）根据轴对称的性质找出点、、关于轴的对应点、、，再连线即可；
（2）直接根据平面直角坐标系作答即可．
【详解】（1）略
（2）解：由平面直角坐标系可知，点的坐标为，点的坐标为．
压轴题型一、与三角形的高、中线与角平分线有关的计算
1．（26-27八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，为的中线，为的中线，．若的面积为40，，求的长度．
【答案】
【分析】由，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：．
2．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，是的角平分线，点E在边上（不与点A，C重合），连接，交于点O．
(1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为 ．
(2)如图2，若，BE是的高，则的度数为 ．
(3)如图3，若，BE是的角平分线，求的度数．
【答案】(1)3
(2)
(3)
【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和．
（1）由中线的定义得，然后利用周长公式求解即可；
（2）先求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形内角和定理即可求解；
（3）先由三角形内角和定理求出，再根据求解即可．
【详解】（1）∵是的中线，
∴，
∴与的周长差为：
．
故答案为：3；
（2）∵是的高，
∴．
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
故答案为：；
（3）∵，
∴，
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，
∴
．
3．（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）【发现与探究】
三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．关于三角形的重心有哪些性质呢 希望你经过下面的探索过程能得到答案．
(1)【尝试探究】如图1，点为的重心，则，，．若设，，，则，，之间的数量关系为：________；根据你得到的，，之间的关系可推出重心的一个重要性质：________；
(2)【类比延伸】如图2，中，点是上一点，且，点是上一点且．连接、，交于点，求的值；
(3)如图2，在（2）的条件下，，，，求四边形的面积．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角形的重心可得，，，，，则得到，，即可求解，，之间的关系；然后根据共高三角形面积比等于底之比求解；
（2）连接，根据共高三角形面积比等于底之比可得，则，，设，同理可得，那么，则，再由求解即可；
（3）先得到，求出，则可求，那么由已知可得，再由三角形面积公式求解，即可求解四边形的面积．
【详解】（1）解：∵点为的重心
∴是的中线
∴，，，，
∴，
∴，
∴；
∵以为底边的高相同，
∴
∴；
（2）解：连接
设
∵
∴
∵以为底边的高相同，
∴
∴
同理可得，
设，同理可得
∴
∴
∴；
（3）解：由（2）得，，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵，，
∴，
∵
∴
∴．
4．（26-27八年级上·全国·课后作业）综合与实践：悬挂法确定匀质薄板的重心．
材料准备：厚度均匀的三角形薄板、细线、笔、直尺、量角器等．
实践操作：如图①，用一根细线从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平．数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究，请你帮助他们解决问题．
(1)我们学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验可再次验证这一事实．如图②，在中，，，分别是的三条中线，点是的重心，可以得到________．
(2)小景通过测量发现三角形重心到顶点的距离和到对边中点的距离存在特殊的数量关系，结合（1）中的结论，试猜想线段和的数量关系，并用你所学的数学知识进行证明．
【答案】(1)
(2)．证明如下：
由（1）已得：，，
∴，
∵的边上的高与的边上的高相同，
∴．
【分析】（1）根据三角形的中线性质得出，由此即可得；
（2）得出，由此即可得．
【详解】（1）解：∵，，分别是的三条中线，
∴，，，，
∴，即，
∴，
设，则，
同理可得：，
∴，
∴．
（2）略．
5．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）阅读理解
三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ．
任务：
(1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____；
(2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程；
(3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____．
【答案】(1)15；
(2)．
证明：如图，过点A作于点E，
∵，
∴，
∵，，
∴．
(3)5
【分析】（1）根据点是边上的中点，可得，再代入已知数据求解即可；
（2）过点A作于点E，根据推出，再通过面积公式求证即可；
（3）根据是的中线，可得，再利用三角形面积公式，代入已知数据求解的长度．
【详解】（1）解：∵点是边上的中点，
∴．
（2）略
（3）解：∵是的中线，
∴，
∵是的高线，
∴，
又∵，
∴．
压轴题型二、三角形内角和定理的应用
1．（26-27八年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点、、．
(1)若，，则________．
(2)猜想与的关系，并说明理由
【答案】(1)
(2)
，
理由：∵，
∴，
∵
∴
，
∵，
∴．
【分析】（1）在中利用三角形内角和求出，再在中利用三角形内角和即可得出答案；
（2）在中利用三角形内角和表示出，再在中利用三角形内角和即可得出答案.
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）略
2．（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）若一个三角形的两个锐角分别为与，如果，那么我们称这个三角形是差余三角形，叫作三角形的差余角．
(1)若一个三角形的三个内角分别为，和，则这个三角形_____（填“是”或“不是”）差余三角形
(2)如图，在中，，，点是边上一点，若是差余三角形，求的度数．
【答案】(1)是
(2)
【分析】（1）根据新定义进行判断即可；
（2）根据新定义结合三角形的内角和定理，进行求解即可.
【详解】（1）解：∵，
∴这个三角形是差余三角形；
（2）解：，
在中，和是锐角．
，
．
是差余三角形，
，
即，
，
．
3．（25-26七年级下·西藏林芝·期末）完成下面的证明．
已知，如图，是直线，，．求证：．
证明：∵（已知）
（ ）
∴（ ）
∵（已知）
在中，
同理，在中， ；
∴ （等量代换）
∵（已知）
∴ （两直线平行，同位角相等）
∴ （等量代换）
∴（ ）
【答案】；对顶角相等；等量代换；；；；；内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的性质与判定定理，三角形内角和定理和已给证明过程求解即可．
【详解】略
4．（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）取一副三角尺按图拼接，固定三角尺，将三角尺绕点按顺时针方向旋转得到，如图所示设 ．
(1)当时，求证：；
(2)连接，当时， 的度数是否变化，若变化，求出变化范围；若不变，求出其度数．
【答案】(1)证明： ，，
，
；
(2)不变，为
【分析】（1）求出，得出，即可证出；
（2）连接，设，交于点，由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，进而在中利用三角形内角和定理等量代换即可得出结论．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接，设，交于点，
在和中，，
，
，
即当时， 的度数不变，为．
5．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图①，已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)试说明：；
(2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与，相交于点，．若，，求的度数．
【答案】(1)证明：∵，，，
∴；
(2)
【分析】（1）利用三角形内角和即可得答案；
（2）根据角平分线的定义得到，，再由“8字型”得到，，两等式相减得到，即，最后把，代入计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：以M为交点“8字型”中，有，
以N为交点“8字型”中，有,
∴，
∵分别平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴．
压轴题型三、角平分线性质的实际应用
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线a，b分别代表铁路和公路，点M，N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O，使中转站到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等，则中转站应建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点O的位置（不写作法，保留作图痕迹）．

【答案】
如图，，即为所求；
【分析】如图，作直线a，b的角平分线，连接，作线段的垂直平分线，角平分线与垂直平分线的交点，即可为所求．
【详解】略
【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，作角平分线，作垂线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
2．（25-26八年级下·山西运城·期中）已知：如图，中，．

(1)【实践操作】
尺规作图：①作的平分线，交于点D；
②过点D作的垂线，交于点E；
③在线段上求作一点F，使．
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)【灵活运用】
在（1）条件下，若，，则的长为_________．
【答案】(1)
如图所示，即为所求．
(2)12
【分析】（1）根据作法利用尺规作图即可．
（2）由（1）得：是的角平分线，，，
利用角平分线的性质可得，，再利用三角形全等的判定及性质即可求解．
【详解】（1）略
（2）由（1）得：是的角平分线，，，
，，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了作图——尺规作图、全等三角形的判定及性质、角平分线的性质，熟练掌握尺规作图及全等三角形的判定及性质是解题的关键．
3．（25-26八年级下·全国·周测）在中，是边上的点（不与点，重合），连接．
(1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）．
(2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）过点作于点，于点，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可；
（2）根据已知和（1）的结论求出和的面积，即可求出的面积．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点．
是的平分线，，，
．
，，
．
（2）解：，
．
，
．
，，平分，
∴由（1）知，，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题．
4．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H．
平分
，
即．
新知应用：
(1)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(2)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系．
（1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出．
（2）根据探索新知中，结合已知，直接得．
（3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出
由，代入计算得结果．
【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H
由探索新知，是的角平分线时，
，
∵，，
∴．
设，，
∴，
∴．
（2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H
由探索新知可知，对于，是角平分线时：
，
，
∵
∴．
∵，
∴．
故答案为；
（3）∵平分，
∴点D到，的距离相等，
∴，
∵，
∴，，
同理平分，
∴，
∴，，
连接，过点F作,，分别垂直于，，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
∴平分，
∴点F到，，三边的距离相等，
∴，
∵
∴，，，
∴
．
故答案为．
5．（24-25八年级上·福建南平·期中）【综合与实践】
星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．

(1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °；
(2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由；
(3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)，，理由如下：
①
证明如下：如图2
，
即
在和中
②
证明如下：如图2
（已证）
在四边形中，
又，
，
．
(3)
【分析】本题考查了三角形有关的内容，利用全等三角形性质解题．
（1）可证，得，由对顶角相等得，可得．
（2）可证，得，，在四边形中，
，又因为，得出
，可得．
（3）可证，得，易证，则，过点作，由，可知全等三角形面积相等则对应高相等，可得，由角平分线的判定定理，知点在的角平分线上，则，所以．
【详解】（1）解：，设与交于点O．
．
，
即．
在和中
，
．
，
．
（2）解：略；
（3）解：．
如图3，过点作．设与交于，
则．
，
．
即
在和中
，．
又，
，
，
，．
又
．
．
，
平分．
．
压轴题型四、等腰三角形中的存在性问题
1．（25-26七年级下·山东威海·期末）已知：在中，．
(1)如图1，，分别为两腰上的中线．求证：；
(2)如图2，若点为上任意一点，试问，在上是否存在点，使？若存在，请添加一个条件（不再添加其它字母），并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明：，、分别是两腰上的中线，
，，
．
在和中：
，
，
．
(2)解：存在，添加条件：．
证明：，
又，
在和中：
，
，
．
【分析】（1）已知，、为两腰中线，可得，结合公共角，通过证得．
（2）已知，添加后，结合公共顶角，可证，由全等对应边相等得．
【详解】（1）略
（2）略
2．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，，，点为边上的中点，连接；点从点出发，以每秒2个单位长度向点运动，同时点从点出发，以同样的速度向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接，，，设运动时间为．
(1)求的大小；
(2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值．
(3)在点的运动过程中，的面积是否存在最小值，若存在最小值，请求出运动时间的值；若不存在最小值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂线段最短；
（1）根据等腰三角形的性质可得平分，即可得出结论；
（2）先根据等腰三角形的性质求得，再根据①当时，②当时，分类讨论即可求解；
（3）证明得出进而证明是等腰直角三角形，根据可得，当有最小值时，的面积是否存在最小值，进而根据，有最小值时，的面积有最小值．求得的值，即可求解．
【详解】（1）解：，
是等腰三角形
又点为边上的中点
平分
（2）解：由题意可知：
点为边上的中点，，
①当时，则，
解得：；
②当时，则，
，，
，，
，
点为的中点，
，
当是以为腰的等腰三角形时，或
（3）由题意可知：，，
，，
，
由（1）可知：，
在和中，
，
，
是等腰三角形
，点为边上的中点
，
是等腰直角三角形
当有最小值时，的面积是否存在最小值
是等腰三角形
当为的中点时，，有最小值时，的面积有最小值．
，；
当时，的面积有最小值：．
3．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，，将一个足够大的直角三角尺（，）按如图方式放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，且与边的夹角，斜边交边于点D．
(1)当时，判断的形状，并加以说明；
(2)当时，求此时的长；
(3)当点P在滑动时，是否存在是等腰三角形的情形？若存在，请求出夹角的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
是直角三角形，其理由是：
，
，
，
．
是直角三角形．
(2)
(3)存在是等腰三角形，的值为或或．
【分析】此题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握平行线的性质、等边对等角和所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．
（1）由得到，求出为直角，即可得出是直角三角形；
（2）先求出，再求出，然后根据三线合一和30°所对的直角边是斜边的一半即可得出结论；
（3）根据等腰三角形腰的情况分类讨论：①当时，②当时，③当时．
【详解】（1）略
（2），
，
，，
，
．
，
．
在中，．
（3）存在是等腰三角形，其理由是：
①当时，则，
此时．
②当时，则．
．此时．
③当时，则．
此时．
综上所述，的值为或或．
4．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）综合与探究：如图，在中，，，点D是边上一动点．将点D以点B为旋转中心逆时针旋转，旋转后的对应点为E；再将点D以点C为旋转中心顺时针旋转，旋转后的对应点为F．连接，，分别交，于点G，H，连接．
(1)【操作判断】请根据题意在图1中补全图形，判断与的位置关系______．
(2)【问题探究】当点D的位置发生变化时，点A与存在不同的位置关系．当点A在内部时，判断的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，试说明理由．
(3)【拓展延伸】直接写出点D运动过程中、、之间的数量关系．
【答案】(1)，
如图所示：
(2)的值不发生变化，
(3)或
【分析】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的性质和判定及30度角直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，由旋转证明是等边三角形，再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论；
（2）延长，交于P，证明中，再利用线段和差及等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论；
（3）根据题意分两种情况讨论，然后分别利用勾股定理和等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：连接，
由题意可知：，，
是等边三角形，
，，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：延长，交于P，
是等边三角形，
，
，
同理可得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
；
（3）解：由（2）可知：当点D的位置发生变化时，点A与存在不同的位置关系．
①当点A在内部或边上时，
，
．
②当点A在外部时，
在中，，
，
，
，
同理可得，中，，
，
中，，
即
，
，
综上所述，点D运动过程中、、之间的数量关系为或．
5．（25-26八年级上·山东东营·阶段检测）如图1，在中，，点D为直线上的一个动点（D与A，B不重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，连接．
（1）当点D在线段上时，与的数量关系是___________；位置关系是___________；三条线段之间的关系是___________．
类比再探：（2）如图2，当点D运动到的延长线上时，与还存在（1）中的关系吗？若存在，请说明理由．同时探索三条线段之间的数量关系，并说明理由．
能力提升：（3）如图3，当点D运动到的延长线上时，若，，则___________
【答案】（1）相等；垂直；．
（2）存在，，理由如下：
三角形为等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，，
，，
；
即与的数量关系是相等；位置关系是垂直；三条线段之间的关系是；
（3）
【分析】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形性质和判定，垂直判定，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定．
（1）根据等腰直角三角形性质证明，再结合全等三角形性质进行分析求解，即可解题；
（2）类比（1）的解题过程求解即可；
（3）类比（1）证明，再结合全等三角形性质求解，即可解题．
【详解】解：（1）三角形为等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，，
，，
；
即与的数量关系是相等；位置关系是垂直；三条线段之间的关系是，
故答案为：相等；垂直；．
（2）略
（3）三角形为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，
；
故答案为：．
压轴题型五、等边三角形的判定与性质综合应用
1．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明：∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
(2)4
【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，推出，即可得证；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可得出结果．
【详解】（1）略
（2）解：∵，，，
∴，
由（1）知：，
∴．
2．（26-27八年级上·辽宁辽阳·阶段检测）如图，是等边三角形内一点，是外一点，，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形？（直接写出答案）
【答案】(1)证明：是等边三角形，
，
，
，，
，
即，
是等边三角形．
(2)是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
(3)当或或时，是等腰三角形
【分析】（1）根据全等三角形的性质，有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，结合（1）中的结论可得为，得到所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及的度数可得的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
为等腰三角形，分三种情况：
①当，则，
∴，
∴；
②当，则，
∴，
∴；
③当，则，
∴，
∴，
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
3．（25-26八年级下·山东枣庄·期末）“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，，．
(1)若“表”，，求的长；
(2)若，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)解：是等边三角形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知：，
是等边三角形．
【分析】（1）根据角平分线的性质可得，再证明，可得，在中利用勾股定理可得，从而得到，，在中，根据勾股定理，即可求解；
（2）根据角平分线的定义以及等腰三角形的性质可得，从而得到，由（1）知：，即可解答．
【详解】（1）解：，平分， ，
；
在和中，，
，
，
在中，，，
，
，，
在中，根据勾股定理得：，
，
；
（2）略
4．（26-27八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）法国数学家皮埃尔·德·费马曾提出了一个极具趣味性的几何难题．如图1，已知，求作一点P，使得点P到三个顶点的距离之和最短（即的值最小）．后来人们将位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点称为“费马点”．确定费马点位置的方法是：如图2，分别以中的和为边，作等边和等边．连接、，记与的交点为P，点P即为费马点．
阅读上述文字后请解决下列问题：
(1)证明：．
(2)如图3，在（1）的基础上连接，以为边，在上取一点Q，使得．试判断的形状．
(3)由（2）不难推断出，综上所述：若，，时，则点P到三角形三个顶点的距离之和最短为___________．
【答案】(1)证明：∵等边和等边，
∴，，，
∴，即，
∴．
(2)是等边三角形
(3)
【分析】（1）利用等边三角形的性质可得，，，证明即可得到结论；
（2）如图，连接，以为边，在上取一点Q，使得，过作于，过作于，证明平分，，进一步可得结论．
（3）证明，可得，可得，进一步可得答案．
【详解】（1）略
（2）解：是等边三角形，理由如下：
如图，连接，以为边，在上取一点Q，使得，过作于，过作于，
∵，
∴的面积相等，，，
∴，
∴，
∴平分，
∵结合对顶角相等与三角形的内角和可得：，
∴，
∴，，
∵，
∴是等边三角形．
（3）解：∵是等边三角形，是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
此时点P到三角形三个顶点的距离之和最短，最短为．
5．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）【问题情境】折纸，常常能为证明提供思路和方法，我们曾用正方形纸片折叠过等边三角形，用直角三角形纸片能折出等边三角形吗？
【复习回顾】课本第57页，第22题：
(1)如图1中的（1），把正方形纸片对折后再展开．折痕为：如（2）．将点A翻折到上的点处，且使折痕过点B：如（3），沿折叠，得（如图1（4））．阅读上述材料，是等边三角形的判定依据是______；
(2)【小叶的思考】小叶做完了这题后进行了思考：尝试用直角三角形折出等边三角形，她先从特殊的直角三角形进行研究（见图2）：如图2中的①是一张直角三角形纸片（，）．如②，将此三角形纸片折叠，使得点B与点A重合，再展开，折痕为，连接；如③，将点C翻折到上的点处，连接，得到．请你帮小叶证明是等边三角形．
(3)【你的思考】请你以图3的直角三角形纸片（，），能否只折两次折出一个等边三角形（与小叶的方法不同），画出示意图并模仿前两问写出你的折法．
【答案】(1)三边相等的三角形是等边三角形；
(2)证明：由折叠可知：，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵由折叠可知：，
∵在上，
∴
∴是等边三角形，
(3)解：方法1，如图，将点A翻折到上的点处，再展开，将点A翻折到上的点处，连接，得到．即是等边三角形．
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
方法2， 将点翻折到上的点处，再展开．折痕为；再将点翻折到上的点处，连接，得到．即是等边三角形．
∵是的垂直平分线，
∴，
又∵，
∴是等边三角形．
【分析】（1）由折叠可知，是的垂直平分线，进而可得，由此得出结论；
（2）由折叠可知：，，进而求出，由，根据有一个角等于的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；
（3）利用折叠，构造出、和，进而利用折叠构造含的等腰三角形，或利用折叠构造线段的垂直平分线，再在垂直平分线上利用折叠得出相等的线段，即可构造等边三角形．
【详解】（1）解：是等边三角形的判定依据是三边相等的三角形是等边三角形，
理由：由折叠可知：，是的垂直平分线，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
（2）略
（3）略
压轴题型六、全等三角形的模型问题
1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）唐朝王湾的《次北固山下》颔联：“潮平两岸阔，风正一帆悬”，强调了一个人生信念：只有秉持正气，坚定信念，才能在人生的海洋中乘风破浪．如图是小江同学作的一个帆船模型的几何图形，点、点在线段上，，，且．求证：．
【答案】证明：，
，
∵，，
，
即，
在和中，
，
，
．
【分析】根据平行线的性质得到，根据线段的和差得到，证明，即可证明．
【详解】略．
2．（2025·甘肃金昌·模拟预测）【模型建立】
（1）如图1，是的中线，求的取值范围；
【模型应用】
（2）如图2，是的中线，点E在边上，连接交于点F，且．求证：；
【模型迁移】
（3）如图3，在四边形中，，点E是的中点，连接，，且，用等式写出线段的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）证明：延长到点使，连接，
由（1）知，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
（3），
延长到，使，连接，
，
，
，
，
，
点在一条直线上，
，
∴，
∴在和中，
，，，
∴
，
∵，
．
【分析】（1）延长到点，使，连接，即可证明，则可得，在中，根据三角形三边关系即可得到的取值范围，进而得到中线的取值范围；
（2）延长到点使，连接，由（1）知，则可得，由可知，，由角度关系即可推出，故，即可得到；
（3）延长到，使，连接，即可证明，则可得由，以及角度关系即可证明点在一条直线上，通过证明，即可得到，进而通过线段的和差关系得到．
【详解】（1）延长到点，使，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，即，
∴；
（2）略
（3）略
【点睛】本题考查了三角形中线、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键．
3．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）（1）发现：如图1，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到进而得到____________，_______________．我们把这个数学模型称为“字模型”或“一线三等角”模型；
（2）应用：如图2，在中，是上一点，，，，请求出的面积．
【答案】（1）；；（2）9
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质即可得到答案；
（2）过点C作交延长线于E，过点D作于F，同理证明，得到；由三线合一定理可得，据此可得答案．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）如图所示，过点C作交延长线于E，过点D作于F，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
4．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）（1）如图1，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，可证明________；在此基础上，我们把如图2的画斜线部分称为“蝴蝶型”，可通过证明得到________；
（2）如图3，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．求的度数；
（3）如图4，在和中，，，，，连接，．则直线与直线的夹角为________度．
【答案】（1），；（2）60度；（3）40
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质等知识，能够在图中找到全等三角形并证明是解题关键；
（1）先通过证得，进而通过全等三角形性质可得到；
（2）先证明，再证明可得，再根据三角形内角和定理可得；
（3）方法同（2），需要先证，然后再根据全等三角形性质即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，即，
∵和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
如图，与交点为，与交点为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
（2）∵和是等边三角形，
，
，即，
，
，
设与相交于点，则，
；
（3）延长交于点F，设交于点G，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
即直线与直线的夹角为；
故答案为：．
5．（25-26八年级上·河南安阳·期末）【建立模型】
（1）填空：如图①，点是的平分线上一点，点在上，用圆规在上截取，连接、，可得，依据是（ ）
A． B． C． D．
【运用模型】
（2）如图②，在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系，并写出证明过程．（提示：在上截取）
【拓展延伸】
（3）如图③，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，若，，请直接写出的长．
【答案】（1）B；（2），证明见解析；（3）．
【分析】（1）直接利用证明即可；
（2）在上截取，连接，如图①．证明得到，．求出，利用三角形外角的性质求出，则，即可证明，由此即可推出；
（3）如图②，在上截取，先证明，再证明，得到，由此即可得到答案．
【详解】解：（1）∵点是的平分线上一点，
∴，
在和，
，
∴，
故选B．
（2），证明如下：
在上截取，连接，如图①．
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴
∴，．
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图②，在上截取，
∵是平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵、分别是、的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
压轴题型七、最短路径问题
1．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值．
【答案】10
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边关系的应用，如图，连接，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接．
∵是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，
∴，
∴，
∴的最小值即为的长，
∵，
∴的最小值为10．
2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点均在格点处，请利用网格作图．
(1)画出关于直线对称的；（不需要写出结论，但要标清字母）
(2)在直线上找一个点，使最短．（标出点，作图要体现出确定点的过程）
【答案】(1)如图，即为所求．
(2)如图，点即为所求．
【分析】（1）根据轴对称的性质及网格特征，找出点、、的对应点、、，顺次连接即可；
（2）连接，交直线于，连接，根据轴对称的性质得出，根据两点之间，线段最短即可得出的最小值为，可得点即为所求．
【详解】（1）解：略
（2）解：略
3．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流．
(1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）．
(2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）．
【答案】(1)点的位置即为所求：
(2)点的位置即为所求：
【分析】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作图是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据平移的性质作图即可．
【详解】（1）解：如图1，作关于河边（直线）的对称点，连接交直线于点，连接，
由轴对称的性质得，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，
∴如图所示，点的位置即为所求；
（2）解：设河流宽度（直线与直线之间的距离）为，
将点向下平移至，连接交直线于点，作直线交直线于点，连接，如图2：
则，
由平移的性质得，，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，即铺设管道的总长最小，
∴如图所示，点的位置即为所求．
4．（25-26八年级下·全国·课后作业）解决问题
(1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）．
(2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置．
【答案】(1)
点即为所求．
(2)
点、、、即为所求．
【分析】（1）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求；
（2）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求．
【详解】（1）解：在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，
（2）解：在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，
5．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？
小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置．
下面是小明根据这一方法写出的证明过程：
证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接
点B与点关于直线l对称
________，_________；
当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置．
(1)解决问题：补全证明过程；
(2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)，
(2)
如图，点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短．
【分析】本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据题意补全即可；
（2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可．
【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，，
，，
，
当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置，
故答案为：，，；
（2）解：作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短．
压轴题型八、轴对称综合应用
1．（24-25八年级上·新疆巴州·期末）如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
(1)作出关于直线对称的；
(2)在直线上作一点P，使得的周长最小．
【答案】(1)
解：如图所示：即为所求；
(2)
如图所示：点P即为所求．
【分析】此题主要考查了作图-轴对称变换．
（1）首先确定A、B、C三点关于轴对称的对称点位置，再连接即可；
（2）连接交直线于点P，则，即可知的周长最小．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴此时最小，的周长最小，
∴点P即为所求．
2．（25-26八年级上·福建福州·期中）在边长为的小正方形网格中，的顶点均在格点上，

(1)作出关于轴对称的图形；
(2)请直接写出点和点的坐标分别为 ；
(3)求出的面积．
【答案】(1)
如图，

(2)，；
(3)．
【分析】（1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据作图后即可得出点的坐标；
（3）直接利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】（1）略
（2）由上图可知：
故答案为：，，
（3），
，
，
．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
3．（25-26八年级上·北京东城·期末）已知：在中，．点与点关于直线对称，连接交直线于点．
(1)当时，如图1．用等式表示，与的数量关系是： ，与的数量关系是： ；
(2)当是锐角()时，如图2；当是钝角时，如图3．在图2，图3中任选一种情况，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)①；见解析；②，证明见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质，得出，，根据含30度角的直角三角形的性质，得出，，进而得出；
（2）在图2，图3中任选一种情况，补全图形，根据等腰三角形的性质，分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：，点与点关于直线对称，
，，，
则
，，
，，
∴．
故答案为：；．
（2）选择图2时．
①补全图形如图2，
图2
②数量关系：．
证明：在上取点，使，连接．
点与点关于直线对称，
，．
，．．
， ．
，
．
，
．
．
．
，
．
选择图3时．
①补全图形如图3，
图3-
②数量关系：．
证明：在的延长线上取点，使，连接．
点与点关于直线对称，
，．
，．
， ．
，
．
，
．
，
．
．
．
，
．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（25-26八年级上·河北承德·期末）如图，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请作出关于轴对称的，并写出三个顶点坐标，即______，______，______；
(2)计算的面积．
(3)若为轴上一点，求作点，使的周长最小（保留作图痕迹），并直接写出点的坐标．
【答案】(1)作图见详解，，，
(2)
(3)作图见详解，
【分析】（1）图形关于轴对称，则原图形与对称图形上的点到轴的距离都相等，由此即可求解；
（2）运用“割补法”，如图所示（见详解），把补成矩形，由此即可求解；
（3）作点关于轴的对称点，连接与轴的交点，即为所求点．
【详解】（1）解：关于轴对称，则与上的点到轴的距离都相等，如图所示，
∴即为所求图形，
∴，，，
故答案为：，，．
（2）解：如图所示，
∴，即，
∴．
（3）解：要使的周长最小，则的值最小，
∴如图所示，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点，即为点，
∵，，
∴，设经过直线的方程为，把，代入得，
，解方程得，，
∴经过直线的解析式为，令，则，
∴点的坐标为．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握对称的性质，不规则图形的面积计算方法，对称中线段最短是解题的关键．
5．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在等腰直角中，，，作点关于直线的对称点，连接，，，其中交直线于点，连接．设过点的直线和的夹角

(1)设，，的周长分别为，，，求的长；（用，，表示）
(2)试探究的大小是否会随着的改变而改变？如果改变，请用含的式子表示其大小；如果不变，请求出的大小．
(3)若，试说明的面积和的面积满足．
【答案】(1)
(2)
(3)
证明：过点作于点，设与交点为，

则，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
设，则，
．
【分析】（1）根据周长定义，将三角形周长表示出来，对等式变形即可；
（2）由对称性可得，由可得，，，即可得；
（3）过点作于点，设与交点为，证明，可得是等腰直角三角形，，设，则，
计算求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，，，
∴
，
∴；
（2）解：当发生改变时，的大小不变，始终为
∵点A、点D关于直线对称，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，

∴，，
，
∴，
∴当发生改变时，的大小不变，始终为；
（3）略
【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟练运用轴对称的知识，得到相等线段，相等角是解题的关键．
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期中重难点特训之易错压轴专项训练（18易错+8压轴）
易错题型一、图形的全等
易错题型二、轴对称图形的识别
易错题型三、三角形的概念
易错题型四、确定第三边的取值范围
易错题型五、根据三角形中线求长度与面积
易错题型六、三角形内角和定理的证明
易错题型七、全等三角形的概念和性质
易错题型八、全等的性质和SSS综合（SSS）
易错题型九、全等的性质和SAS综合（SAS）
易错题型十、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
易错题型十一、全等的性质和HL综合（HL）
易错题型十二、画轴对称图形
易错题型十三、角平分线的性质
易错题型十四、灵活选用判定方法证明三角形全等
易错题型十五、线段垂直平分线的性质与判定
易错题型十六、等边三角形的性质与判定
易错题型十七、等腰三角形的性质和判定
易错题型十八、坐标与图形变化——轴对称
压轴题型一、与三角形的高、中线与角平分线有关的计算
压轴题型二、三角形内角和定理的应用
压轴题型三、角平分线性质的实际应用
压轴题型四、等腰三角形中的存在性问题
压轴题型五、等边三角形的判定与性质综合应用
压轴题型六、全等三角形的模型问题
压轴题型七、最短路径问题
压轴题型八、轴对称综合应用
易错题型一、图形的全等
1．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）下列选项中的图形，与左边的图形是全等形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级下·全国·课后作业）图中有①～⑤ 5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有___________．（只填序号即可）
3．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）请用不同的方法在下面三个图中把它们分割成四个全等的图形.
易错题型二、轴对称图形的识别
4．（26-27八年级上·全国·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）下列图案是轴对称图形的有 ___个．
6．（25-26八年级上·全国·课堂例题）分别观察图（1）～（4）中的两个图形，判断它们是否分别关于某条直线成轴对称，并说明原因．
易错题型三、三角形的概念
7．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（25-26八年级上·吉林松原·阶段检测）从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则__________．
9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为D， 是钝角，E是上一点，且是锐角．
(1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
(2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
易错题型四、确定第三边的取值范围
10．（25-26七年级下·福建泉州·期末）要制作三角形相框，已有两根长度和的木条，现需再选一根木条拼接，下列长度中可选用的是（ ）
A． B． C． D．
11．（25-26八年级上·云南红河·期末）现有长为的三根木条，若用这三根木条钉成一个三角形的木框，则的取值范围是__________．
12．（25-26八年级上·吉林·期中）已知三角形的三条边长分别为7、15和x．
(1)x的取值范围为______；
(2)当该三角形为等腰三角形时，求它的周长．
易错题型五、根据三角形中线求长度与面积
13．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
14．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，已知点，，分别为，，的中点，且图中阴影部分，则的面积是___________．
15．（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点．
(1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容．
小明是这样证明的：__________．
__________．
，
__________．
(2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________．
(3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明．
易错题型六、三角形内角和定理的证明
16．（2026·陕西西安·模拟预测）某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（ ）
A．过点A作 B．延长BC到点D，过点C作
C． 过点A作于点D D．过BC上一点D作，
17．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了_________．
18．（25-26八年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2．
(1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？
(2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？
(3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想．
易错题型七、全等三角形的概念和性质
19．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）若，则的对应边是（ ）
A． B． C． D．
20．（25-26八年级上·河南漯河·阶段练习）如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是______，的对应角是_______．

21．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，已知线段与相交于点E，且，点F在线段的延长线上，，求证：．
易错题型八、全等的性质和SSS综合（SSS）
22．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，点D在上，连接，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
23．（24-25八年级上·吉林·阶段检测）如图，点在一条直线上，，，．若，，则______．

24．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，，，和相交于点．求证：．
易错题型九、全等的性质和SAS综合（SAS）
25．（25-26八年级上·山西临汾·期中）如图，，的延长线经过点，交于，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
26．（25-26八年级上·甘肃定西·期中）如图，在中，，，若，则______．
27．（25-26八年级上·广西北海·期末）综合与实践：
【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？
【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离．
【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由．
易错题型十、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
28．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图所示，点，，，在直线上（点，之间不能直接测量，为池塘的长度），点，在的异侧，且，，测得．若，，则池塘的长度为（ ）
A． B． C． D．
29．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，点D，E分别在边上，连接，已知，，则_____________．
30．（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，已知，，，垂足分别为．与交于点，连接．求证：是等腰三角形．
易错题型十一、全等的性质和HL综合（HL）
31．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，于点D，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
32．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，于点，，，射线于点，点在线段上移动，点在射线上随着点移动，且始终保持，当________时，才能使与全等．
33．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，在中，点D 在 边上，于点E，， 交
于点 F，．求证：．补全下面的证明过程．
证明：∵（已知），
∴（ ）．
在与中，
∴（ ），
∴ （全等的性质）．
∵ （ ），
∴．
易错题型十二、画轴对称图形
34．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为轴对称图形．满足这样条件的白色小方格个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
35．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，在6×6的正方形网格中，选取13个格点，以其中的三个格点A、B、C为顶点画．若在图中以选取的格点为顶点再画出一个，使与成轴对称，这样的点P有________个．
36．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图是一个轴对称图形的一半，直线是这个轴对称图形的对称轴，请画出这个图形的另一半．
易错题型十三、角平分线的性质
37．（25-26八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在中，平分，交于点，垂足为点E，若，则的长为（）
A．4 B．6 C．8 D．10
38．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知的周长是22，，分别平分和，于点，且，则的面积是_______．
39．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，平分，交于点D，于点E，且，求的长．
易错题型十四、灵活选用判定方法证明三角形全等
40．（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，图1是一个平分角的仪器，其中．如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，连接作一条射线，交于点P，则是的平分线，其中的依据是（ ）
A． B．SAS C．ASA D．AAS
41．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，小周书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是__________（从“SSS、SAS、ASA、ASA”中选填一个）
42．（25-26七年级下·上海·期末）如图，AC与BD相交于E，且AC＝BD

(1)请添加一个条件能说明BC＝AD，这个条件可以是：　 　或　 　；
(2)请你选择（1）中你所添加的一个条件，说明BC＝AD的理由．
易错题型十五、线段垂直平分线的性质与判定
43．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（ ）
A．17 B．18 C．16 D．12
44．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，，，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：

①；②；③；④.其中正确结论的序号是______.
45．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段检测）老师布置了如下尺规作图的作业：
已知：如图．
求作：边上的高．
下面是小红设计的尺规作图过程：
作法：①延长线段 ；
②以点A为圆心，长为半径作弧交的延长线于点D；
③分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在下方交于点E；
④连接，交于点M．
如图所示，所以线段就是所求作的高线．
根据小红设计的尺规作图过程和图形，完成问题：
将该作图证明过程补充完整：
由②可得： ．
由③可得： ．
∴ （ ）．（填推理的依据）
即是边上的 线．
易错题型十六、等边三角形的性质与判定
46．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，为等边三角形的高，在的延长线上取一点E，使，连接．若的周长为12，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
47．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________．
48．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，将等边和的一边重合放置，其中为中点．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)如图1，过点作于点．
(2)如图2，过点作的平分线交于点．
易错题型十七、等腰三角形的性质和判定
49．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在中，，，，则（ ）
A．45 B．65 C．67.5 D．68.5
50．（25-26八年级上·山东青岛·单元测试）如图，在中，，是中线，交的延长线于点E，请判断的形状，并说明理由．
结论：是___________三角形．
解：因为，（已知），
所以____________ ．
因为（已知），
所以___________ ．
___________ ．
所以______________________ ．
所以______________________ ___________ ．
即是___________ 角形．
51．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角．
(1)求端点到底座的距离；
(2)如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？
易错题型十八、坐标与图形变化——轴对称
52．（25-26八年级上·辽宁盘锦·阶段检测）在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
53．（2026·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点是______．
54．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
(1)在图中画出关于轴对称的图形，点、、的对应点分别为点、、；
(2)在（1）的条件下，写出点、的坐标．
压轴题型一、与三角形的高、中线与角平分线有关的计算
1．（26-27八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，为的中线，为的中线，．若的面积为40，，求的长度．
2．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，是的角平分线，点E在边上（不与点A，C重合），连接，交于点O．
(1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为 ．
(2)如图2，若，BE是的高，则的度数为 ．
(3)如图3，若，BE是的角平分线，求的度数．
3．（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）【发现与探究】
三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．关于三角形的重心有哪些性质呢 希望你经过下面的探索过程能得到答案．
(1)【尝试探究】如图1，点为的重心，则，，．若设，，，则，，之间的数量关系为：________；根据你得到的，，之间的关系可推出重心的一个重要性质：________；
(2)【类比延伸】如图2，中，点是上一点，且，点是上一点且．连接、，交于点，求的值；
(3)如图2，在（2）的条件下，，，，求四边形的面积．
4．（26-27八年级上·全国·课后作业）综合与实践：悬挂法确定匀质薄板的重心．
材料准备：厚度均匀的三角形薄板、细线、笔、直尺、量角器等．
实践操作：如图①，用一根细线从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平．数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究，请你帮助他们解决问题．
(1)我们学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验可再次验证这一事实．如图②，在中，，，分别是的三条中线，点是的重心，可以得到________．
(2)小景通过测量发现三角形重心到顶点的距离和到对边中点的距离存在特殊的数量关系，结合（1）中的结论，试猜想线段和的数量关系，并用你所学的数学知识进行证明．
5．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）阅读理解
三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ．
任务：
(1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____；
(2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程；
(3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____．
压轴题型二、三角形内角和定理的应用
1．（26-27八年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点、、．
(1)若，，则________．
(2)猜想与的关系，并说明理由
2．（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）若一个三角形的两个锐角分别为与，如果，那么我们称这个三角形是差余三角形，叫作三角形的差余角．
(1)若一个三角形的三个内角分别为，和，则这个三角形_____（填“是”或“不是”）差余三角形
(2)如图，在中，，，点是边上一点，若是差余三角形，求的度数．
3．（25-26七年级下·西藏林芝·期末）完成下面的证明．
已知，如图，是直线，，．求证：．
证明：∵（已知）
（ ）
∴（ ）
∵（已知）
在中，
同理，在中， ；
∴ （等量代换）
∵（已知）
∴ （两直线平行，同位角相等）
∴ （等量代换）
∴（ ）
4．（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）取一副三角尺按图拼接，固定三角尺，将三角尺绕点按顺时针方向旋转得到，如图所示设 ．
(1)当时，求证：；
(2)连接，当时， 的度数是否变化，若变化，求出变化范围；若不变，求出其度数．
5．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图①，已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)试说明：；
(2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与，相交于点，．若，，求的度数．
压轴题型三、角平分线性质的实际应用
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线a，b分别代表铁路和公路，点M，N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O，使中转站到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等，则中转站应建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点O的位置（不写作法，保留作图痕迹）．

2．（25-26八年级下·山西运城·期中）已知：如图，中，．

(1)【实践操作】
尺规作图：①作的平分线，交于点D；
②过点D作的垂线，交于点E；
③在线段上求作一点F，使．
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)【灵活运用】
在（1）条件下，若，，则的长为_________．
3．（25-26八年级下·全国·周测）在中，是边上的点（不与点，重合），连接．
(1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）．
(2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值．
4．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H．
平分
，
即．
新知应用：
(1)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(2)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）．
5．（24-25八年级上·福建南平·期中）【综合与实践】
星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．

(1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °；
(2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由；
(3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数．
压轴题型四、等腰三角形中的存在性问题
1．（25-26七年级下·山东威海·期末）已知：在中，．
(1)如图1，，分别为两腰上的中线．求证：；
(2)如图2，若点为上任意一点，试问，在上是否存在点，使？若存在，请添加一个条件（不再添加其它字母），并证明；若不存在，请说明理由．
2．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，，，点为边上的中点，连接；点从点出发，以每秒2个单位长度向点运动，同时点从点出发，以同样的速度向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接，，，设运动时间为．
(1)求的大小；
(2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值．
(3)在点的运动过程中，的面积是否存在最小值，若存在最小值，请求出运动时间的值；若不存在最小值，请说明理由．
3．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，，将一个足够大的直角三角尺（，）按如图方式放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，且与边的夹角，斜边交边于点D．
(1)当时，判断的形状，并加以说明；
(2)当时，求此时的长；
(3)当点P在滑动时，是否存在是等腰三角形的情形？若存在，请求出夹角的值；若不存在，请说明理由．
4．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）综合与探究：如图，在中，，，点D是边上一动点．将点D以点B为旋转中心逆时针旋转，旋转后的对应点为E；再将点D以点C为旋转中心顺时针旋转，旋转后的对应点为F．连接，，分别交，于点G，H，连接．
(1)【操作判断】请根据题意在图1中补全图形，判断与的位置关系______．
(2)【问题探究】当点D的位置发生变化时，点A与存在不同的位置关系．当点A在内部时，判断的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，试说明理由．
(3)【拓展延伸】直接写出点D运动过程中、、之间的数量关系．
5．（25-26八年级上·山东东营·阶段检测）如图1，在中，，点D为直线上的一个动点（D与A，B不重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，连接．
（1）当点D在线段上时，与的数量关系是___________；位置关系是___________；三条线段之间的关系是___________．
类比再探：（2）如图2，当点D运动到的延长线上时，与还存在（1）中的关系吗？若存在，请说明理由．同时探索三条线段之间的数量关系，并说明理由．
能力提升：（3）如图3，当点D运动到的延长线上时，若，，则___________
压轴题型五、等边三角形的判定与性质综合应用
1．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的长．
2．（26-27八年级上·辽宁辽阳·阶段检测）如图，是等边三角形内一点，是外一点，，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形？（直接写出答案）
3．（25-26八年级下·山东枣庄·期末）“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，，．
(1)若“表”，，求的长；
(2)若，判断的形状，并说明理由．
4．（26-27八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）法国数学家皮埃尔·德·费马曾提出了一个极具趣味性的几何难题．如图1，已知，求作一点P，使得点P到三个顶点的距离之和最短（即的值最小）．后来人们将位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点称为“费马点”．确定费马点位置的方法是：如图2，分别以中的和为边，作等边和等边．连接、，记与的交点为P，点P即为费马点．
阅读上述文字后请解决下列问题：
(1)证明：．
(2)如图3，在（1）的基础上连接，以为边，在上取一点Q，使得．试判断的形状．
(3)由（2）不难推断出，综上所述：若，，时，则点P到三角形三个顶点的距离之和最短为___________．
5．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）【问题情境】折纸，常常能为证明提供思路和方法，我们曾用正方形纸片折叠过等边三角形，用直角三角形纸片能折出等边三角形吗？
【复习回顾】课本第57页，第22题：
(1)如图1中的（1），把正方形纸片对折后再展开．折痕为：如（2）．将点A翻折到上的点处，且使折痕过点B：如（3），沿折叠，得（如图1（4））．阅读上述材料，是等边三角形的判定依据是______；
(2)【小叶的思考】小叶做完了这题后进行了思考：尝试用直角三角形折出等边三角形，她先从特殊的直角三角形进行研究（见图2）：如图2中的①是一张直角三角形纸片（，）．如②，将此三角形纸片折叠，使得点B与点A重合，再展开，折痕为，连接；如③，将点C翻折到上的点处，连接，得到．请你帮小叶证明是等边三角形．
(3)【你的思考】请你以图3的直角三角形纸片（，），能否只折两次折出一个等边三角形（与小叶的方法不同），画出示意图并模仿前两问写出你的折法．
压轴题型六、全等三角形的模型问题
1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）唐朝王湾的《次北固山下》颔联：“潮平两岸阔，风正一帆悬”，强调了一个人生信念：只有秉持正气，坚定信念，才能在人生的海洋中乘风破浪．如图是小江同学作的一个帆船模型的几何图形，点、点在线段上，，，且．求证：．
2．（2025·甘肃金昌·模拟预测）【模型建立】
（1）如图1，是的中线，求的取值范围；
【模型应用】
（2）如图2，是的中线，点E在边上，连接交于点F，且．求证：；
【模型迁移】
（3）如图3，在四边形中，，点E是的中点，连接，，且，用等式写出线段的数量关系，并说明理由．
3．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）（1）发现：如图1，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到进而得到____________，_______________．我们把这个数学模型称为“字模型”或“一线三等角”模型；
（2）应用：如图2，在中，是上一点，，，，请求出的面积．
4．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）（1）如图1，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，可证明________；在此基础上，我们把如图2的画斜线部分称为“蝴蝶型”，可通过证明得到________；
（2）如图3，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．求的度数；
（3）如图4，在和中，，，，，连接，．则直线与直线的夹角为________度．
5．（25-26八年级上·河南安阳·期末）【建立模型】
（1）填空：如图①，点是的平分线上一点，点在上，用圆规在上截取，连接、，可得，依据是（ ）
A． B． C． D．
【运用模型】
（2）如图②，在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系，并写出证明过程．（提示：在上截取）
【拓展延伸】
（3）如图③，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，若，，请直接写出的长．
压轴题型七、最短路径问题
1．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值．
2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点均在格点处，请利用网格作图．
(1)画出关于直线对称的；（不需要写出结论，但要标清字母）
(2)在直线上找一个点，使最短．（标出点，作图要体现出确定点的过程）
3．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流．
(1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）．
(2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）．
4．（25-26八年级下·全国·课后作业）解决问题
(1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）．
(2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置．
5．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？
小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置．
下面是小明根据这一方法写出的证明过程：
证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接
点B与点关于直线l对称
________，_________；
当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置．
(1)解决问题：补全证明过程；
(2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法）
压轴题型八、轴对称综合应用
1．（24-25八年级上·新疆巴州·期末）如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
(1)作出关于直线对称的；
(2)在直线上作一点P，使得的周长最小．
2．（25-26八年级上·福建福州·期中）在边长为的小正方形网格中，的顶点均在格点上，

(1)作出关于轴对称的图形；
(2)请直接写出点和点的坐标分别为 ；
(3)求出的面积．
3．（25-26八年级上·北京东城·期末）已知：在中，．点与点关于直线对称，连接交直线于点．
(1)当时，如图1．用等式表示，与的数量关系是： ，与的数量关系是： ；
(2)当是锐角()时，如图2；当是钝角时，如图3．在图2，图3中任选一种情况，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
4．（25-26八年级上·河北承德·期末）如图，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请作出关于轴对称的，并写出三个顶点坐标，即______，______，______；
(2)计算的面积．
(3)若为轴上一点，求作点，使的周长最小（保留作图痕迹），并直接写出点的坐标．
5．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在等腰直角中，，，作点关于直线的对称点，连接，，，其中交直线于点，连接．设过点的直线和的夹角

(1)设，，的周长分别为，，，求的长；（用，，表示）
(2)试探究的大小是否会随着的改变而改变？如果改变，请用含的式子表示其大小；如果不变，请求出的大小．
(3)若，试说明的面积和的面积满足．
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