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期中重难点特训之易错压轴专项训练（19易错+8压轴）
易错题型一、无理数的大小估算
易错题型二、实数的运算
易错题型三、平方根的易错计算问题
易错题型四、立方根的易错计算问题
易错题型五、同类二次根式
易错题型六、分母有理化
易错题型七、二次根式的混合运算
易错题型八、勾股树（数）问题
易错题型九、用勾股定理解三角形
易错题型十、勾股定理的逆定理
易错题型十一、用有序数对表示位置与路线
易错题型十二、写出直角坐标系中点的坐标
易错题型十三、由平移方式确定点的坐标
易错题型十四、坐标与图形变化——轴对称
易错题型十五、求自变量的值或函数值
易错题型十六、正比例函数的图象与性质
易错题型十七、根据一次函数增减性求参数
易错题型十八、比较一次函数值的大小
易错题型十九、一次函数的综合应用
压轴题型一、平方根和立方根的综合应用
压轴题型二、平面直角坐标系中动点问题
压轴题型三、坐标变换循环规律压轴题
压轴题型四、勾股定理最短路径问题
压轴题型五、勾股定理的综合应用压轴题
压轴题型六、动点问题的函数图象
压轴题型七、一次函数应用之几何问题
压轴题型八、一次函数与方程问题
易错题型一、无理数的大小估算
1．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）我们可以用有理数估计一个无理数的大致范围，请估计67的立方根的大小在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】B
【分析】由，且，由此得到67在4的立方和5的立方之间，从而求得答案．
【详解】解：∵，且，
∴，即67的立方根的大小在4和5之间．
2．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）若m是无理数，且，请写出一个符合条件的m：______．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：∵
∴
∵是无理数
∴符合条件的可以为．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列各实数在哪两个相邻的整数之间：
，，，．
【答案】在1和2之间；在3和4之间；在和之间；在7和8之间．
【分析】本题考查了无理数的估算．
逐一估算即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，，，，
∴，
即在1和2之间；在3和4之间；在和之间；在7和8之间．
易错题型二、实数的运算
4．（25-26七年级下·广西崇左·期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根的定义和绝对值的定义可得：原式，再根据有理数的加法法则计算．
【详解】解：．
5．（2026·浙江丽水·模拟预测）______．
【答案】1
【详解】解：
6．（25-26七年级下·新疆阿克苏·期末）按要求完成下列各题：
(1)计算：；
(2)求下列式子中x的值：．
【答案】(1)4
(2)或
【分析】（1）先计算立方根、算术平方根，再计算加减法即可；
（2）平方根的性质：若，则，据此解方程即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：，
，
或．
易错题型三、平方根的易错计算问题
7．（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）若有平方根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平方根的基本性质，只有非负数才有平方根，列不等式即可求解的取值范围．
【详解】解：∵ 只有非负数才有平方根，且有平方根 ，
∴ ，
解得：．
8．（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）如果是1024的两个平方根，那么_____．
【答案】
【详解】解：∵是1024的两个平方根，
∴，
∵1024的平方根是，
∴，
∴．
9．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，求这个数的立方根．
【答案】
这个数的立方根为
【分析】由正数的两个平方根互为相反数列方程求，再计算该正数的立方根.．
【详解】解： ∵ 一个正数的两个不同平方根分别是和，且正数的两个平方根互为相反数
∴
解得
∴
∴ 这个正数为
∴ 这个数的立方根为 ．
易错题型四、立方根的易错计算问题
10．（25-26七年级下·云南曲靖·期中）若，则x的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【详解】解：∵
∴．
11．（24-25七年级下·全国·单元复习）小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为______．
【答案】
【分析】本题考查实数运算与流程图，涉及立方根、平方根、有理数的乘方、倒数等内容，看懂流程图并根据相关运算的逆运算求解是解答的关键．根据流程图和实数运算法则求解即可．
【详解】解：∵输出的数是，
∴根据流程图，的平方是，的倒数是4，4的立方是，64的平方根是，
故x的值为，
故答案为：．
12．（25-26八年级上·山东淄博·期末）阅读材料：因为，，
所以，，即，，
所以，的整数部分是2，小数部分为．
解答问题：
(1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分；
(2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值．
【答案】(1)的整数部分是3，小数部分为
(2)6
【分析】本题考查了估算无理数的大小估算，立方根，平方根的含义，求代数式的值．
（1）根据题干中的方法即可求出结果；
（2）根据题意可得，，，再进一步计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即，
∴的整数部分是3，小数部分为．
（2）解：∵a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分，
∴，，，
∴.
易错题型五、同类二次根式
13．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）下列根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将各选项化为最简二次根式，判断被开方数是否和的被开方数相同．
【详解】解：∵能与合并的二次根式是化简后被开方数为的同类二次根式
分别化简各选项得：
A选项 = ，被开方数为，可以合并；
B选项 = ，被开方数为，可以合并；
C选项 = ，被开方数为，不可以合并；
D选项 = ，被开方数为，可以合并；
∴不能与合并的是选项C．
14．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）若最简二次根式与可以合并，则m的值为__________．
【答案】
【分析】可合并的最简二次根式是同类二次根式，先化简，再根据同类二次根式被开方数相等列方程求解．
【详解】解： ∵ 是最简二次根式，且可以和合并，，
∴，解得 ．
15．（25-26八年级上·北京·单元复习）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？
(1)和；
(2)和．
【答案】(1)不是；
(2)不是．
【分析】本题主要考查二次根式的性质及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键．
（1）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案．
（2）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案．
【详解】（1）解：；
．
∴和不是同类二次根式；
（2）解：；
．
∴和不是同类二次根式．
易错题型六、分母有理化
16．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的两个判定条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可．
【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、 满足最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
17．（25-26八年级上·上海·期末）为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______．
【答案】
【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．
根据有理化因式的定义，两个根式的积不含有根号时互为有理化因式．
【详解】解：∵，为有理数，
∴为有理数，的有理化因式是．
故答案为：．
18．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）若m，n是实数，且，求的算术平方根；
（2）已知，，求代数式的值．
【答案】（1）；（2）11
【分析】本题主要考查了求代数式的值，分母有理化，二次根式有意义的条件，正确计算是解题的关键：
（1）先根据二次根式有意义可得m，n的值，再根据算术平方根的定义解答；
（2）先分母有理化求出x，y，再求出，然后根据完全平方公式解答．
【详解】解：（1）∵m，n是实数，且，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴的算术平方根是．
（2）∵，
，
∴，
∴．
易错题型七、二次根式的混合运算
19．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）已知，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可对已知条件变形，结合完全平方公式先求出的值，再代入所求代数式计算，简化运算过程．
【详解】解：，
，
两边同时平方得：
展开得：
整理得：
将代入得
原式．
20．（2026·天津西青·模拟预测）计算：的结果等于______；的结果等于______．
【答案】
【分析】利用平方差公式展开，然后结合二次根式的性质计算； 利用完全平方公式展开，分别计算各项后合并，得到最简结果．
【详解】解：：；
：．
21．（25-26八年级下·山东淄博·期中）阅读材料：已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
∵，
又∵，
∴．
这种方法称为“构造对偶式”．
解答问题：
(1)已知，试证明为定值．
(2)已知，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意“构造对偶式”，解得其值为，结合题目所给条件即可证明；
（2）由题意构造“构造对偶式”，解得其值为8，结合题目所给条件得，和联立即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
，
即为定值；
（2）解：，
，
，
，
得，，即：，
两边平方得，，解得：，
经检验，是原方程的解．
易错题型八、勾股树（数）问题
22．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．3，4，6 B．6，9，10 C．5，13，12 D．10，8，7
【答案】C
【分析】勾股数的定义为：满足的三个正整数称为勾股数，据此对各选项依次验证即可．
【详解】解：选项A：，，，则A不是勾股数；
选项B：，，，则B不是勾股数；
选项C：，，三个数均为正整数，满足，则C是勾股数；
选项D：，，，则D不是勾股数．
23．（25-26八年级下·山东临沂·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：
6 8 10 12 14 …
8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
则当时，的值为_____．
【答案】6560
【分析】先观察表格中勾股数的规律，得到与的关系，再结合勾股定理求出和的值，进而计算的值．
【详解】解：观察表格中数据可得，表格中的勾股数均满足．
已知，由勾股定理，代入得：
展开得：
整理得：
解得，则．
因此．
24．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）观察下列勾股数：3 ，4 ，5 ；5 ，12 ，13；7 ，24 ，25；9 ，40 ，41； … ，a ，b ，c 根据你发现的规律，请写出
(1)当时，则 ， ；
(2)当时，求的值；（ 用字母 n 表示）
(3)用（2）的结论判断 19 ，188 ，189 是否为一组勾股数，并说明理由．
【答案】(1)60,61
(2)，
(3)
解：不是一组勾股数，理由如下：
由（2）得，，，
依题意，令，则，
，
，
∴19，188，189不是一组勾股数．
【分析】本题考查了勾股数，数字规律，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）观察题干的数据，发现，结合勾股数的定义进行列式化简，即可作答．
（2）同理得，再结合以及勾股数的定义得， 得，，即可作答．
（3）由（2）得，，，令，则，
，，即可作答．
【详解】（1）解：观察题干的数据，发现，
∵a ，b ，c是勾股数，
即，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：60,61．
（2）解：观察题干的数据，发现，
∵a ，b ，c是勾股数，
即，
∵，，
∴，
∴，
故，
（3）略
易错题型九、用勾股定理解三角形
25．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）在中，，若，则等于（　　）
A．32 B．16 C．20 D．25
【答案】A
【分析】根据勾股定理得到两条直角边的平方和等于斜边的平方，整体代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵在中，，且为斜边，
∴，
∴．
26．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）水杉是一种非常著名且独特的树种，被誉为植物界的“活化石”．如图，一棵水杉在离地5米（点）处折断，水杉的顶端（点）落在离水杉底端（点）12米处，则这棵水杉折断之前的高度为___________米．
【答案】18
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际生活中的运用能力，是解题的关键．
由题意得，在直角三角形中，已知两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，进而可得这棵水杉折断之前的高度．
【详解】解：∵，
∴折断的部分长为（m），
∴折断前高度为（m）．
故答案为：18．
27．（25-26八年级上·上海·期中）如图，已知，
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)12
(2)150
【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的面积，
对于（1），先设，则，根据勾股定理求出答案；
对于（2），根据勾股定理求出，再根据可得答案．
【详解】（1）解：设，则，根据勾股定理，得
，
即，
解得，
∴；
（2）解：根据勾股定理，得
，
即，
解得，
∴．
易错题型十、勾股定理的逆定理
28．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解．
【详解】解：，，
为两个直角三角形的斜边，
故选：B．
29．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】/
【分析】根据勾股定理和，，，可以先求出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积．
【详解】解：，，，
，
，，
，
是直角三角形，，
阴影，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解题的关键是求出的长．
30．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，现测得m，m，m，且m．
(1)试说明；
(2)求四边形展区（阴影部分）的面积．
【答案】(1)
证明：∵中，m，m，mm，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且；
(2)
【分析】（1）在中，根据勾股定理逆定理可求证；
（2）作的高，用勾股定理，求出高，可求出的面积，减去的面积，即可求出阴影部分面积．
【详解】（1）略
（2）解：过点A作于点，则，
∵，
∴m，
在中，m，
∴，
∴，
∵
∴
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
易错题型十一、用有序数对表示位置与路线
31．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段检测）根据下列描述，能确定具体位置的是（ ）
A．北纬，东经 B．石家庄裕华区
C．狮城公园北偏东方向 D．七年级（1）班第5排
【答案】A
【分析】本题考查了位置确定的条件，关键在于理解确定位置需要精准、唯一的信息．要确定一个具体位置，需要有足够精确的信息，能明确唯一的点，根据此即可判断．
【详解】解：A：地球上的经纬度是一组精确的坐标，北纬，东经能在地球表面确定唯一的一个点，可精准定位；
B：石家庄裕华区是一个较大的区域范围，不能确定裕华区内的具体位置，范围太宽泛；
C：狮城公园北偏东方向，只说明了方向，没有距离等信息，无法确定在北偏东方向上的哪个具体点，不能精准定位；
D：七年级（1）班第 5 排，没有说明是第几列，在第 5 排上有多个座位，不能确定唯一位置．
故选：A．
32．（25-26七年级下·全国·课后作业）我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________．
【答案】 ； 向西走2米，再向南走6米
【分析】由规定向东和向北方向为正，可得向西，向南方向为负，同时可得向东与向西写在有序数对的第一个，从而可得答案.
【详解】解：由题意得：向西走5米，再向北走3米记作：
数对表示向西走2米，再向南走6米，
故答案为：；向西走2米，再向南走6米.
【点睛】本题考查的是利用有序数对表示行进路线，正确的理解题意是解题的关键.
33．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）根据指令（，单位：，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度，再面向旋转后角度的方向，沿直线行走s个单位，如表示机器人由点运动到点（如图1）．
(1)如图2，若机器人从运动到，则机器人收到一个什么指令？
(2)若机器人接到指令运动到点处，请你在图3中画出机器人从到的运动路径．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据图示求解即可；
（2）由指令得到先原地逆时针旋转，再面向旋转后的方向，沿直线行走，然后画图即可．
【详解】（1）解：根据题意得，机器人从运动到，收到的指令为；
（2）解：如图，即为所求．
易错题型十二、写出直角坐标系中点的坐标
34．（25-26七年级下·天津南开·期末）如图，有A，B，C三点，如果A点用来表示，B点用表示，则C点的坐标的位置可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点位置，进而确定点的坐标．
【详解】解：点坐标为，
原点在点的左侧个单位，下方个单位处，
则建立坐标系如下：
由图可知，点的坐标为．
35．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在正方形网格中，建立平面直角坐标系后，点和点的坐标分别为，，则点的坐标为________．
【答案】
【分析】先建立坐标系，再根据坐标系作答即可.
【详解】解：由、可知原点的位置，
建立平面直角坐标系，如图，
∴．
36．（25-26七年级下·北京·期中）为更好的开展古树名木的保护工作，某公园对园内的棵百年古树利用坐标确定了位置，并且定期巡视．
(1)请你在如图所示的正方形（每个小正方形的边长都是）网格中建立平面直角坐标系，使得古树，的位置分别表示为，；
(2)在（1）建立的平面直角坐标系中，
①古树的位置对应的点的坐标为_______；
②标出另外三棵古树，，的位置．
【答案】(1)
解：如图所示，坐标系即为所求．
(2)①；
②点，，的位置如（1）中图所示．
【分析】（1）根据，建立坐标系即可；
（2）①根据（1）中坐标系，结合点位置解答即可；
②根据坐标系，结合三点坐标，标出各点位置即可．
【详解】（1）略
（2）解：①略
②略
易错题型十三、由平移方式确定点的坐标
37．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）将向右平移3个单位后得到，若点A的坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标，平移的性质，结合将向右平移3个单位后得到，点A的坐标是，得，即点的坐标是．
【详解】解：∵将向右平移3个单位后得到，点A的坐标是，
∴，
∴点的坐标是，
故选：A．
38．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，三架飞机P，M，N保持编队飞行，某时刻在直角坐标系中的坐标分别为，30秒后，飞机P飞到的位置，则飞机M，N飞到的位置为_____________，为_____________．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，根据点和点的坐标可以确定平移方式，再根据平移方式即可得到对应点坐标．
【详解】解：∵飞机P飞到的位置，
∴平移方式为向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
∴点的坐标为，即，点的坐标为，即．
故答案为：，．
39．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别是，，．
(1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形（A，B，C的对应点分别是，，，），使与的相似比为；
(2)若四边形是矩形，请直接写出点P的坐标P（______，______）．
【答案】(1)
如图，即为所求；
(2)1；3
【分析】本题考查的是在坐标系内画位似图形，位似图形的性质，矩形的性质，熟练的掌握位似图形的性质并进行画图是解本题的关键．
（1）分别找到A，B，C的位似对应点，，，再顺次连接即可；
（2）先根据位似图形的性质求出，再结合四边形是矩形与平移的性质，可得答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵，，与的相似比为
∴，
∵四边形是矩形，
由平移的性质得：点P的坐标为．
故答案为：1；3
易错题型十四、坐标与图形变化——轴对称
40．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】关于对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，点的坐标为，
∴点的坐标为，
∵点与点关于轴对称，
∴点的坐标为．
41．（25-26八年级下·上海金山·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点为关于轴对称，则__________．
【答案】
【分析】根据题意得：，，求解即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：，，
解得：，，
∴，
∴．
42．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上．已知，的坐标分别为，．
(1)请在网格内画出平面直角坐标系；
(2)画出关于轴对称的，并写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)，点的坐标为
【分析】（1）根据已知点A、B的坐标确定坐标原点的位置，即可画出平面直角坐标系；
（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征，即纵坐标不变，横坐标互为相反数，找到三个顶点的对称点，顺次连接即可得到，再根据位置写出的坐标．
【详解】（1）略；
（2）略．
易错题型十五、求自变量的值或函数值
43．（24-25八年级上·安徽宣城·阶段练习）对于自变量为的函数，我们把使函数值等于零的实数叫做函数的零点．如果函数在上的图象是一条连续不断的曲线，并且在和时的函数值乘积为非正值，则该函数在范围内至少有一个零点，那么对于函数在下列范围内一定有零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是函数零点存在性定理的应用，解题关键是理解题意．
根据题意，若函数在闭区间上连续且端点函数值乘积非正，则区间内至少有一个零点，计算各选项端点函数值即可得解．
【详解】函数 在实数范围内连续，
只需验证各选项区间端点函数值乘积是否非正，
选项，时，，
时，，
在和时的函数值乘积为正值，不符合题意；
选项，时，，
时，，
在和时的函数值乘积为非正值，符合题意；
选项，时，，
时，，
在和时的函数值乘积为正值，不符合题意；
选项，时，，
时，，
在和时的函数值乘积为正值，不符合题意．
故选：．
44．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）已知函数，当时，函数值，则_________．
（只填最后结果）
【答案】2
【分析】本题主要考查了求函数值，直接把代入到函数表达式中进行计算即可．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：2．
45．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）探究小组的同学利用同一块木板做“测量小车从不同高度下滑的时间”的实验时，得到如下数据：
支撑物高度 10 20 30 40 50 60 70
小车下滑时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59
(1)在此题中，自变量是__________，因变量是__________．
(2)随支撑物高度的变化，小车下滑时间如何变化？
(3)当支撑物高度为时，小车下滑时间为__________；估计当时，__________．
【答案】(1)支撑物高度h，小车下滑时间t
(2)随支撑物高度的增加，小车下滑时间缩短
(3)1.71 ；1.50（答案不唯一，在1.48~1.58之间均可）
【分析】本题主要考查了函数的概念，用表格表示变量之间的关系，正确理解题意是解题的关键。
（1）根据题意可得，小车下滑时间随着支撑物高度的变化而变化，据此可得答案；
（2）由表格可知，随支撑物高度的增加，小车下滑时间缩短；
（3）由表格可得第一空答案；根据（2）所求可得，时间的变化量要小于高度从60厘米变为70厘米时时间的变化量，且时间要小于1.59，据此可得答案．
【详解】（1）解：由题意得，自变量是支撑物高度，因变量是小车下滑时间；
（2）解：由表格可知，随支撑物高度的增加，小车下滑时间缩短；
（3）解：由表格可知当支撑物高度为时，小车下滑时间为，
估计当时，．
易错题型十六、正比例函数的图象与性质
46．（25-26八年级下·陕西安康·期末）若点，都在正比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵正比例函数中，，
∴随的增大而减小，
又∵点，都在正比例函数的图象上，且，
∴．
47．（25-26八年级下·吉林延边·期中）如图，已知正比例函数经过点P，若，则y的取值范围是_________．
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数的性质已经函数增减性的判断，属于基础题．
先根据正比例函数的性质求出函数表达式，再结合的取值范围求出的取值范围．
【详解】解：正比例函数的表达式为，
因为正比例函数经过点，
将点代入中，可得：，
解得，
所以，正比例函数的表达式为，
已知，因为，
所以随的增大而减小．
当时，；
当时，．
所以当时，．
故答案为：．
48．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法解决下面问题．
(1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象；
(2)结合所画函数图象，写出两条不同类型的性质．
【答案】(1)
如图所示：
(2)①的图象位于第一、二象限，在第一象限随的增大而增大，在第二象限随的增大而减小；②函数有最小值，最小值为0．
【分析】本题主要考查了画函数图象，函数的性质，掌握作图方法和相关知识是解题的关键．
（1）列表，然后根据描点法作图即可；
（2）根据函数图象归纳函数性质即可．
【详解】（1）解：填表如下：
0 1 2 3
3 2 1 0 1 2 3
（2）解：①的图象位于第一、二象限，在第一象限随的增大而增大，在第二象限随的增大而减小；
②函数有最小值，最小值为0．
易错题型十七、根据一次函数增减性求参数
49．（2026·甘肃兰州·模拟预测）在式子中，每增加1，增加，没变，因此也增加．在一次函数中，当由2增加到3时，函数值由5增加到7，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【分析】先求出的增加量和的增加量，根据题意每增加1，也增加即可求出．
【详解】解：∵由2增加到3，由5增加到7，
∴的增加量为，的增加量为，
∵每增加1，的增加量等于，
∴．
50．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知函数（m是常数），当y随x的增大而增大时，m的取值范围是___________．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数图象与系数的关系解答即可．
【详解】解：函数（m是常数），y随x的增大而增大，
，
，
故答案为：
51．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数中，随的增大而减小．
(1)________．（任取一个满足条件的值）
(2)在平面直角坐标系中画出（1）中一次函数图象．
【答案】(1)
(2)图象如图：
【分析】本题是一道关于一次函数的问题，熟练掌握一次函数的性质是关键．
（1）一次函数当y随x的增大而减小时，，据此写出一个满足题意的k值；
（2）分别求出一次函数与x、y轴的交点，进而画出函数图象．
【详解】（1）一次函数中随的增大而减小，
，即可．
故答案为：；
（2）略
易错题型十八、比较一次函数值的大小
52．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）点，，都在直线上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较大小
【答案】A
【分析】先根据一次函数的一次项系数判断函数增减性，再根据两点纵坐标的大小关系，比较横坐标和的大小
【详解】解：∵在直线中，，
∴随的增大而增大，
∵点，都在该直线上，且，即，
∴
53．（25-26八年级上·山东东营·期末）如果点和都在直线上，则与的大小关系是_____．
【答案】/
【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，比较一次函数的函数值，根据一次项系数判断函数图象的增减性，再比较横坐标即可．
【详解】解：中，，
y随x的增大而减小，
，
，
故答案为：．
54．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知一次函数，并完成下列问题
(1)画出这个函数的图象；
(2)观察图象，当时，y的取值范围是 ．
【答案】(1)
画出函数图象如下：
(2)
【分析】（1）求出直线与轴，轴的交点坐标，画出函数图象即可；
（2）根据图象，写出y的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴直线与坐标轴的交点坐标为．
（2）解：由图象可知，当时，y的取值范围是．
易错题型十九、一次函数的综合应用
55．（25-26八年级下·山西阳泉·期末）学校组织寄递爱心包裹，两家快递公司给出了不同的计费方案．甲公司的方案是：按包裹重量计费，每千克 元，无起步价；乙公司的方案是：收取 元基础服务费，之后每千克元．若设包裹重量为千克，总费用为 元，两家公司的费用分别用一次函数 和 表示．当包裹重量为多少千克时，选择这两家公司的费用恰好相同？（ ）
A． 千克 B． 千克 C． 千克 D． 千克
【答案】C
【详解】解：当两家费用相等时，，
移项得，
解得，
即包裹重量为千克时费用相同．
56．（26-27八年级上·陕西延安·阶段练习）语文老师要求同学们在暑假阅读一本名著，共计260页．凡凡同学计划每天读10页，则剩余未读页数y（页）与所读天数x（天）之间的函数关系式为________．
【答案】
【分析】剩余未读页数等于总页数减去已读页数，已读页数为每天读的页数乘所读天数，据此推导关系式．
【详解】解：∵每天读10页，所读天数为天，
∴已读的页数为页，
∵总页数为260页，剩余未读页数为页，
∴剩余页数满足关系式．
57．（26-27八年级下·全国·课后作业）某种银行存款的年利率为，投入元本金．如果存款期间每年产生的利息不计入本金重复计算利息，求本息和y（本金与利息的和，单位：元）关于所存年数x的函数解析式，并计算存期为4年时的本息和．
【答案】函数解析式为（且为整数），存期为4年时的本息和为10800元
【分析】先求出年的利息，再根据本息和为本金与利息的和，计算即可得出结果．
【详解】解：∵银行存款的年利率为，投入元本金，
∴年的利息为（元），
∴，
当时，（元），
故函数解析式为（且为整数），存期为4年时的本息和为10800元．
压轴题型一、平方根和立方根的综合应用
1．（26-27八年级上·全国·课后作业）我国早在东汉时期就掌握了开方术，是世界上最早掌握开方术的国家．如《九章算术》中有一个问题：“今有积五万五千二百二十五步．问：为方几何？”题目大意：一个正方形的面积为55225平方步，这个正方形的边长是多少？也就是求的值．我国古代数学家刘徽结合图形求出了结果．请你查阅资料，了解刘徽的求解过程．
【答案】这个正方形的边长为235步，．
刘徽的求解过程：
先估算边长范围：，，确定边长在200到300之间；
再逐步缩小范围，，，确定边长在230到240之间；
继续计算得，刚好和题目给出的面积相等，因此边长为235步，
他还通过拆分正方形的图形方法验证了结果的正确性．
【分析】通过平方数的大小估算算术平方根的位数，结合正方形面积分割的几何思路求解．
【详解】解：略.
2．（26-27八年级上·全国·课后作业）空间飞行器绕地球飞行的速度ν（单位：）与飞行高度h（单位：m）之间的关系为，其中（单位：m）为地球的半径．已知中国空间站绕地球飞行的轨道可以近似看成一个圆，地球半径约为，中国空间站飞行高度约为．
(1)求中国空间站的飞行速度（结果精确到）．
(2)中国空间站绕地球飞行一周大约需要多长时间（取3.14，结果精确到）？
【答案】(1)中国空间站的飞行速度约为
(2)绕地球飞行一周大约需要
【分析】（1）先求出，再代入计算即可得出结果；
（2）先求出路程，再根据时间路程速度，计算即可得出结果．
【详解】（1）解：，，
∴，
∴，
∴中国空间站的飞行速度约为；
（2）解：，
故，
故绕地球飞行一周大约需要．
3．（25-26七年级下·广西崇左·期中）为宣传某地旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美 的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形封皮．
课题 某景点卡片及封皮制作
图示
相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比 为，面积为．
结果判断 请通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中
(1)长方形封皮的长和宽分别是多少？
(2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由．
【答案】(1)长为 ，宽为
(2)
解：正方形卡片能装进长方形封皮内，理由如下：
∵正方形卡片的面积为，
∴正方形卡片的边长为，
∵，
∴正方形卡片能装进长方形封皮内．
【分析】（）设长方形封皮的长为，则宽为，根据题意列出方程求出的值即可求解；
（）求出正方形的边长，再与长方形封皮的宽比较即可判断求解；
本题考查算术平方根的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：设长方形封皮的长为，则宽为，
由题意得， ，
解得，
∴，
答：长方形封皮的长为 ，宽为；
（2）略
4．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，木工从一个大正方形的木板上裁出两个小正方形和，面积分别为和的木料．
(1)求剩余木料（空白部分）的总面积；
(2)若木工想利用剩余的两块木料裁出长，宽的矩形木条（沿着平行于木料边的方向裁剪），则剩余的两块木料最多可以裁出几块这样的木条？
【答案】(1)
(2)一共最多可以裁出4块这样的木条
【分析】（1）设面积分别为和的两个小正方形木料的边长分别为x，y，根据题意，则剩余木料的面积为，据此求解即可．
（2）由，故一个长方形木料最多可以裁出2块这样的木条，求解即可．
【详解】（1）解：设面积分别为和的两个小正方形木料的边长分别为x，y，
根据题意，得，，
，，，(负值都已舍去)，
，
故剩余木料的总面积为；
（2）解：根据题意，得，，
由，
故一个长方形木料最多可以裁出2块这样的木条，
故一共最多可以裁出4块这样的木条．
5．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图1，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形．
(1)求拼成的大正方形纸片的边长；
(2)如图2，小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长，宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？
【答案】(1)；
(2)
我不同意小明的观点，小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片，理由如下：
∵长方形纸片的长，宽之比为，
∴设宽为，长为，
∵长方形纸片的面积为，
∴，解得：或（舍），
∴，
∵，
∴，
∴小明的观点不对，小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．
【分析】（1）先求出大正方形的面积，即可求出大正方形的边长；
（2）先根据长方形的长宽比，设宽为，长为，再根据长方形纸片的面积为，列出方程，用平方根解方程的方法解出的值，求出，将跟作比较，即可得出结论．
【详解】（1）∵，
∴大正方形的边长（）
（2）略
压轴题型二、平面直角坐标系中动点问题
1．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图．在边长为1的正方形网格中，三角形（点均在格点上），已知，点，点．
(1)请根据图中B，C两点的坐标，画出平面直角坐标系，并写出点A的坐标___________，
(2)的面积为___________；
(3)已知点是平面直角坐标系内一动点，若的面积为8，求的值．
【答案】(1)
解：平面直角坐标系如图所示：
则点A的坐标为．
(2)10
(3)或．
【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，掌握三角形面积计算公式是解题的关键．
（1）根据点B、C的坐标确定平面直角坐标系即可；
（2）利用割补法求解即可；
（3）根据三角形面积公式列关于m的绝对值方程并求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：，
∴的面积为10．
故答案为：10；
（3）解：点在直线上，
根据题意，得，
解得或．
2．（25-26八年级下·湖南郴州·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义：
若，则点与点的“识别距离”为；
若，则点与点的“识别距离”为．
例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4．
【初步理解】
(1)已知点，，则点与点的“识别距离”为___________．
【深入应用】
(2)已知点，点为轴上的一个动点，
①若点与点的“识别距离”为3，求出满足条件的点的坐标：
②点与点的“识别距离”的最小值为___________．
【答案】(1)3
(2)①；②2
【分析】（1）根据新定义，进行求解即可；
（2）①根据“识别距离”的定义列方程，再解出即可；②根据“识别距离”的定义分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴点与点的“识别距离”为；
（2）解：①∵点B为y轴上的一个动点，
∴设，
∵点，
∴，
∵点与点的“识别距离”为3，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
当，则点与点的“识别距离”为2，
当，则点与点的“识别距离”为，
故点与点的“识别距离”的最小值为2.
3．（25-26七年级下·陕西延安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点．线段与轴交于点，若点是轴正半轴上的一个动点，当三角形的面积是的面积的2倍时，求出点的坐标．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形， 设，根据A、B、M的坐标可求出，进而求出，然后三角形面积公式构建关于a的方程求解即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵三角形的面积是的面积的2倍，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
4．（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中有一点，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，直线l过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D．通过研究发现直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解．
例如：若点E在直线上，横坐标，则其纵坐标为；
若点F在直线上，纵坐标，则其横坐标为．
(1)直接写出点B，C，D的坐标：B______，C______，D______；
(2)求；
(3)若点是直线l上的一个动点，当时．求出a的值，并写出P点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)
(3)当时，；当时，
【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）根据平移的性质，得，再根据直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解，分别求出时，y的值和时，x的值即可得到答案；
（2）连接，，根据列式求解即可；
（3）依题意，点，分点P在线段上、点P在点B的左侧、点P在点A的右侧三种情况，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：点向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，
∴，即
∵直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解，
∴当时，，即，
当时，，即，
故答案为：，，；
（2）解：如图，连接，，
由（1）得，，，
∴，
∵
∴；
（3）解： 如图，当点P在线段上时，
由（2）得
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点
当点P在点B的左侧时，
∵，且
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点
当点P在点A的右侧时，得
∴点P在点A的右侧不符合题意；
综上所述， 当时，；当时，．
5．（24-25七年级下·北京海淀·期末）对于平面直角坐标系中的四个点，，，，如果可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，则称，，，是“坐标相合”的．已知，，，．
例如，如图，对于点，，，，可作长方形，因此，，，是“坐标相合”的．
(1)下列四个点中，与，，是“坐标相合”的点是___________；（填出所有满足要求的点的序号）
① ② ③ ④
(2)设是坐标平面上的动点，且，，，，是“坐标相合”的，求的取值范围；
(3)从下列①，②两问中选择一个解答
①在坐标平面内，是否存在点，使得，，，，，中任意四点都是“坐标相合”的？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
②在坐标平面内，是否存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的？若存在，直接写出这五个点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)①②③
(2)
(3)选择①，不存在．选择②，不存在．
选择①，不存在．理由如下：
假设存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的，
所以，，，和，，，均是“坐标相合”的，
同（2）的分析可知，必须恰好落在某长方形的左右两条边上，
所以在，，，中需要落在长方形的上边界上，即在直线上方；在，，，中需要落在长方形的下边界上，即在直线下方，相互矛盾．
所以不存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的．
选择②，不存在．理由如下：
假设存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的．设这五点为，根据“坐标相合”的定义可知：中的最小数和最大数不等，不妨设最小数为，最大数为，且．
（i）考察．若中至少有一点在某长方形的水平边上，不妨设为，因为是“坐标相合”的，所以位于该长方形左侧竖直边的点的横坐标小于，与是最小数矛盾．类似的，若在某长方形的水平边上，则位于该长方形右侧竖直边的点的横坐标大于，与是最大数矛盾．所以分别在长方形的左、右侧竖直边上，在两条水平边上，不妨设在下水平边上，在上水平边上，如图所示，即；
（ii）考察．同（i）可知：
；
（iii）考察．同（i）可知：
，与矛盾．
综上所述，不存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的．
【分析】本题考查直角坐标系中点的坐标特征，理解“坐标相合”的点的定义是解题的关键；
（1）根据“坐标相合”的点的定义逐个判断即可；
（2）根据“坐标相合”的定义得到，必须恰好落在某长方形的左右两条边上，点在该长方形的上边界上，点在该长方形的下边界上，据此列不等式求解即可；
（3）选择①，利用假设法证明不存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的；
选择②，利用假设法证明不存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的．
【详解】（1）解：①与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点；
②与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点；
③与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点；
④与，，作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，由于轴，则，必定在长方形一条边上，与，，，分别落在该长方形的四条边上矛盾，与，，不是“坐标相合”的点；
故答案为：①②③；
（2）解：∵，两点的纵坐标相同，且，，，是“坐标相合”的，
∴，必须恰好落在某长方形的左右两条边上，
∴点在该长方形的上边界上，点在该长方形的下边界上，
∴
解得；
（3）略
压轴题型三、坐标变换循环规律压轴题
1．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点B，C的坐标分别为（﹣2，1），（﹣1，3）．
（1）请你在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系并标出原点；
（2）写出点A的坐标，并作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，然后写出A′，B′，C′的坐标；
（3）小芳在（2）中的操作时来了灵感，并发现了其中的规律：若将（2）中作轴对称图记作第1次操作（变换），那么从△ABC开始顺次沿y轴、x轴进行循环往复的轴对称变换，则原来的点A经过第2021次变换后所得的坐标是_______（请直接写出坐标）．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；A（﹣4，5），A′（4，5），B′（2，1），C′（1，3）；（3）（4，5）．
【分析】（1）根据B，C两点坐标作出平面直角坐标系即可；
（2）作出平面直角坐标系，写出点A的坐标，即可分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（3）先求出变换前4次的对应点的坐标，得到4次一个循环，从而2021次变换后所得的坐标与A′相同，即可求解．
【详解】解：（1）平面直角坐标系如图所示：
（2）由（1）得：A（﹣4，5）；
如图，△A′B′C′即为所求作；
然后写出A′（4，5），B′（2，1），C′（1，3）．
（3）第一次变换后得到点A的对应点为A′（4，5）；
第二次变换后得到点A的对应点为（4，-5）；
第三次变换后得到点A的对应点为（-4，-5）；
第四次变换后得到点A的对应点为（-4，5）；
由此发现，变换4次为一个循环，
∵2021÷4＝505…1，
∴2021次变换后所得的坐标与A′相同，即（4，5）．
【点睛】本题主要考查了图形的变换——轴对称，平面直角坐标系内点的坐标的特征及规律性，解题的关键是熟练掌握画轴对称图形的步骤，对于图象的变换关键看点的变换．
2．（25-26七年级下·河北承德·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长都为1个单位长度．
(1)描出点，，画直线；
(2)若点C为直线上的任意一点，则点C的坐标有什么规律？
(3)在y轴上是否存在点P，使得．若存在，求出满足条件点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)点C的横坐标为2
(3)存在，点P的坐标为或
【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点的坐标符号特点和平行于坐标轴的直线上点的坐标特点．
（1）在坐标系中描出A、B两点，再连接即可；
（2）由平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等可得答案；
（3）设点，则，根据，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求；
（2）解：若点C为直线上任意一点，所以点C的横坐标为2．
（3）解：存在．
如图2，设点，则，
∵，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为或．
3．（2025·安徽宿州·一模）【观察思考】
如图，学校的围墙由三种图案围成，一种是正方形，另外两种是大小不等的等腰直角三角形．将围墙的图案放在平面直角坐标系中，已知正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为，设大等腰直角三角形图案在轴上的直角顶点分别为，，，…，．
【规律发现】
（1）填空：点的横坐标为______，点的横坐标为______．
（2）直接写出点的横坐标（用含的式子表示）．
【规律应用】
（3）已知学校的围墙总共有201个正方形图案（最右边以正方形结束），结合图案中的排列方式及上述规律（不考虑其他因素），求围墙的总长．
【答案】（1）11；16（2）（3）
【分析】本题主要考查了关于图形的规律问题，点的坐标，代数式的表示，图形的周期性等，解题的关键是找到图形排列的规律．
（1）先根据条件求出，再确定两个在轴上的大等腰直角三角形顶点间的长度，即可求解；
（2）利用规律推出公式即可；
（3）按照图形规律，求出两个正方形之间的长度，根据周期性即可求出答案．
【详解】解：（1）根据题意可知，正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为，
,,,,
∴点的横坐标为11，点的横坐标为16，
故答案为：11，16；
（2）点的横坐标为；
（3）按照图形规律，可得第1个正方形出现的围墙长度为3m，后面则每5m长的围墙为1组，不断循环，每组只有1个正方形图案，
∴
故围墙的总长为1003m．
4．（25-26八年级上·全国·单元测试）综合与实践
(1)问题背景：
已知，，，．在图中所示的平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和的中点，，然后写出它们的坐标，则______________，_______________．
(2)探究发现：
结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为_________________．
(3)拓展应用：
利用上述规律解决下列问题：已知三点，，，第四个点与点E，点F，点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了坐标与图形，通过此题，要熟记平面直角坐标系中线段中点的横坐标为对应线段的两个端点的横坐标的平均数，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标的平均数，掌握这点是解本题的关键．
（1）根据坐标的确定方法直接描点，分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标；
（2）根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律；
（3）利用（2）中的规律进行分类讨论即可答题．
【详解】（1）解：描点如图所示，P1，P2的坐标分别为，．
故答案为：；
（2）两个端点的坐标分别为，，
线段的中点坐标为．
故答案为：；
（3）因为，，，所以，，的中点坐标分别为，，．
①当过的中点时，，，解得，，故；
②当过的中点时，，，解得，，故；
③当过的中点时，，，解得，，故．
所以点H的坐标为，或．
5．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）【观察思考】在平面直角坐标系中，若直线上的所有点的横坐标均为，则直线称为直线．如图，直线上的横坐标均为3，记为直线．探索关于直线对称的点的坐标规律如下：
已知点 对称轴 对称点 横坐标之间的数量关系
直线
直线
直线
(1)【特例感知】根据以上图表，可知关于直线对称的点的坐标为______．
(2)【规律应用】结合以上规律完成下列问题：
①点关于直线对称的点的坐标为______．
②若点关于直线对称的点的坐标为，则的值为______．
(3)【深入拓展】若点与点关于直线对称，求点的坐标．（用含有，，的代数式表示）
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【分析】本题考查与点坐标有关的轴对称问题，根据表格总结规律是解题的关键；
（1）根据表格规律解题即可；
（2）根据表格规律解题即可；
（3）根据表格规律解题即可．
【详解】（1）解：根据表格可以发现：关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，
∴关于直线对称的点的坐标为，即，
故答案为：；
（2）解：结合表格规律发现：关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，
①点关于直线对称的点的坐标为，即，
故答案为：．
②∵点关于直线对称的点的坐标为，
∴，
解得
故答案为：．
（3）解：∵关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，
∴点关于直线对称的点的坐标．
压轴题型四、勾股定理最短路径问题
1．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在一条东西走向的公路一侧有一个村庄D，公路边原有两个站点M，N，其中．由于道路施工，道路被阻断，现决定在公路边新建一个站点P（M、N、P在同一直线上），并新建一条道路．测得千米，千米，千米．
(1)请判断道路是不是从村庄到公路的最短路径？并说明理由；
(2)新道路比原道路短多少千米？
【答案】(1)道路是从村庄到公路的最短路径；理由如下：
千米，千米，千米，
，
，
，
是从村庄到公路的最短路径；
(2)新道路比原道路短千米
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得，即可得到答案；
（2）设（千米），根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：设（千米），则（千米），
（千米），
，
，
，
，
解得，
（千米），
（千米），
新道路比原道路短千米．
2．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题：
(1)试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由；
(2)求观景台与观景台之间距离的长．
【答案】(1)是，理由如下：
在中，∵，，
∴
∴，即
根据垂线段最短，
∴是露营区到湖边的最短路径；
(2)观景台与观景台之间距离的长为．
【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理．
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）略
（2）∵
∴
∴在中，由勾股定理得
解得：
答：观景台与观景台之间距离的长为．
3．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在笔直的河边的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边饮马，然后前往草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为D）为12米，B处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为E）为28米，且两处相距30米．
(1)在图中画出从A到再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）；
(2)C是河边上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？
【答案】(1)
如图，最短路径为A→P→B．
最短路径的长度米
(2)米
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短问题，解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题．
（1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求，利用勾股定理求出可得结论；
（2）利用勾股定理求出，可得结论．
【详解】（1）解：（1）过点作交的延长线于点T，
∵米，米，米，
∴（米），
∴（米），
∴最短路径的长（米）；
（2）∵（米），
（米），
∴行走路程比（1）中的最短路径长：米．
4．（25-26八年级上·山东威海·期中）一只蚂蚁在立方体的表面积爬行．
(1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由．
(2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　
（A）（B） （C） （D）
这样的最短路径有 　　条．
(3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明）
【答案】(1)沿线段爬行；理由见解答过程
(2)D；6
(3)蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由见解答过程
【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
（1）根据线段的性质：两点之间线段最短，求出即可；
（2）根据图形可得出最短路径为，进而得出答案即可；
（3）将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可．
【详解】（1）解：沿线段爬行；理由如下：
如图所示，根据两点之间线段最短，沿线段爬行即可；
（2）解：如图所示：
最短路径的长度为，
，即，
如图所示：
∴路线有6条，
故选：D；6；
（3）解：蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由如下：
如图2.1和图2.2所示作图，分别连接，
图2.1中；
图2.2中；
，
图2.2中的路径最短．
5．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）综合与实践
【项目主题】
几何模型在最短路径问题中的应用
【项目准备】
求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？”
解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长．
(1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①__________；②__________；③__________．
【项目应用】
(2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长．
【答案】(1)①两点之间，线段最短；②；③13
(2)
【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，能够掌握最短路径的解题思路是解题的关键．
（1）根据题意填空即可；
（2）连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，当点A，P，共线时，有最小值，最小值为，据此利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为①两点之间，线段最短，将延长至点F，使得②，连接，则，，易求得③，即的最小值为的长．
（2）解：如图，连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，连接，则，，
当点A，P，共线时，有最小值，最小值为，
过点A作交其延长线于点E，
到的垂直距离为，，，
，
，
从A到B的最短路程是．
压轴题型五、勾股定理的综合应用压轴题
1．（26-27八年级上·全国·课后作业）今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）
题目大意：在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺（如图）．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．这根绳索有多长？
将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长a，弦长与股长的差为d，求弦长c．
(1)试用a，d表示c；
(2)查阅资料，了解《九章算术》解决这类问题的思路与方法．
【答案】(1)
(2)《九章算术》解决这类问题的思路与方法：
《九章算术》采用算术方法，通过勾股定理推导出公式：．
具体步骤为：设绳索长为x尺，则木杆高为（）尺，根据勾股定理得
解得尺
此方法体现了古代数学家将几何问题代数化、公式化的智慧．
【分析】（1）已知勾长a和弦股之差d，需将股长用c和d表示，代入勾股定理公式中，通过代数变形消去b，从而解出c．
（2）探究《九章算术》的解题思想，其核心是将几何问题转化为代数问题（方程思想）．解题时需设未知数（绳索长），根据“绳索长－拖地长=木杆高”表示出股长，再结合勾长，利用勾股定理列方程求解．
【详解】（1）解：设直角三角形的勾长为a，弦长为c，股长为b．
已知弦与股的差为d，即，所以，
根据勾股定理：
（2）略
2．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，它的三边上各有一个正方形．执行下面的操作：分别以两个小正方形的边为斜边，向外作一个锐角为的直角三角形；再分别以所得到的直角三角形的直角边为边，向直角三角形外作正方形．图②是1次操作后得到的图形．
(1)试画出2次操作后得到的图形．
(2)已知最初的直角三角形斜边长c为，写出2次操作后得到的图形中所有正方形的面积和．
(3)如果一直画下去，你能想象出它的样子吗？请借助数学软件进行探索．
(4)重复上述步骤若干次后得到的图形称为“毕达哥拉斯树”．如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，那么此时“毕达哥拉斯树”会是什么形状？
【答案】(1)
(2)
(3)如果一直画下去，它会呈现出具有自相似性的分形结构，整体形态非常像一棵繁茂的大树（或西兰花）．
(4)如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，那么此时得到的“毕达哥拉斯树”会是一个左右完全对称、树冠均匀展开的漂亮大树形状．
【分析】（1）理解操作规则，2次操作后，需要在图②中新生成的4个小正方形上，重复之前的操作，即每个小正方形上再生成两个更小的正方形．
（2）利用勾股定理（）推导出每次操作新增的正方形面积之和等于上一级正方形的面积之和，从而求出总面积．
（3）观察图形的生长趋势，结合“毕达哥拉斯树”的特征进行描述．
（4）当初始三角形为等腰直角三角形时，利用对称性判断最终图形的形状．
【详解】（1）略
（2）解：由勾股定理可知，直角三角形两直角边向外所作正方形的面积之和等于斜边向外所作正方形的面积．
初始图形中所有正方形面积之和为：，
第1次操作新增正方形面积之和为：，
第2次操作新增正方形面积之和为：，
故2次操作后得到的图形中所有正方形的面积和为：
当时，（）．
（3）一直画下去，图形会不断向上分叉，分支越来越细、越来越密，整体呈一棵“树”的形状，它具有自相似性，任意取出它的一部分并放大，会发现这部分与原来的整体形状相同，这正是分形图形的特征．
借助数学软件（如几何画板、分形绘图软件）可以动态地一步步生成图形，直观观察它的生长与自相似规律．
（4）若最初的直角三角形是等腰直角三角形，则两直角边相等，即，于是图形关于过斜边中点的垂线左右对称．
重复操作时，左右两个分支按完全相同的规则生长且互为镜像，因此整棵树始终保持左右对称，最终形成一棵左右对称的树状图形（形似对称的树或羽毛）．
3．（26-27八年级上·辽宁锦州·阶段检测）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．
(1)如图1，物体C静止在直轨道上，滑块B与物体C的水平距离为．绳子的总长度为（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）．求物体C到定滑轮A的垂直距离的长；
(2)如图2，在图1的基础上滑块B向左滑动，若物体C升高（即），求滑块B向左滑动的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）识别直角三角形，利用绳子总长建立两条绳长的数量关系，设未知数，用勾股定理列方程求解竖直距离；
（2）定滑轮离地高度恒定，结合物体上升高度求出滑轮与物体间绳段长度，得到滑块侧斜绳长，再次使用勾股定理求出新水平距离，作差得到滑块滑动距离．
【详解】（1）解：由题意可知，，即为直角三角形，．
已知滑块与物体的水平距离，绳子总长度为，因此斜段绳长满足．
设，则．
在中，由勾股定理可得：
代入数值：
解得：．
．
（2）解：由题意得，点D是定滑轮A在地面轨道上的垂足，
由（1）可知定滑轮距离地面的竖直高度，该高度始终不变，，
∴定滑轮到物体的剩余绳长为：．
由于绳子总长度保持不变，
∴滑块一侧的斜段绳长．
在中，，
∴．
∵，
∴滑块向左滑动的距离：．
4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积．
【答案】(1)
解：梯形的面积为，梯形面积也等于，
∴，
∴，
∵左边：，
∴；
(2)新路比原路少千米
(3)24或84
【分析】本题主要考查勾股定理的计算和运用，理解图示，掌握勾股定理是关键．
（1）根据梯形的面积的表示方法计算即可；
（2）设千米，则，由勾股定理即可求解；
（3）根据题意，作图分析，结合勾股定理即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵，千米，千米，，
∴设千米，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴千米，千米，
∴千米，
∴新路比原路少千米；
（3）解：如图所示，
∵是边上的高，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
如图所示，，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
综上所述，的面积为24或84．
5．（25-26八年级上·广东深圳·阶段练习）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值．
分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
(1)代数式 的最小值为 ；
(2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值；
【答案】(1)13
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形结合思想进行求解问题．
（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；
（2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点G，连接，则，
∴代数式表示，
∵的最小值为的长，
即代数式的最小值为的长，
在中，由勾股定理得：，
即的最小值为13；
故答案为：13
（2）解：设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点H，连接，则，，
∴代数式表示，
∵的最小值为的长，
∴代数式的最小值为的长，
∵，
即代数式的最小值为．
压轴题型六、动点问题的函数图象
1．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图1，在中，D是边上的定点．点P从点A出发，依次沿，两边匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，的长为y，y关于x的变化图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点．结合图形与图象解答：
(1)________，D到的距离为________；
(2)求的长；
(3)直接写出y的最小值．
【答案】(1)，12
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意结合函数图象判断即可；
（2）根据勾股定理求出，，即可求出的长；
（3）作交于点，连接，根据函数图象可知当时，最小，此时恰好是的最小值，当点C与点P重合时，，根据勾股定理逆定理证明，可知，根据等面积法求出的值即可．
【详解】（1）解：由题意可知，当时，；
根据垂线段最短可知，D到的距离为点M的纵坐标，即12；
（2）解：根据图象，得当点B与点P重合时，，
根据勾股定理，得，，
；
（3）解：作交于点，连接，
根据图象，得当时，最小，此时恰好是的最小值，当点C与点P重合时，，
作图如下，
，
，
，
，
根据三角形的面积不变性质，得，
故，
故点的纵坐标是，
即y的最小值是．
2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在长方形中，，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，到点停止；同时动点从点出发，以每秒的速度在间做往复运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点运动的时间是（秒），的面积是．
(1)点共运动________秒；
(2)当点沿折线运动时，用含的代数式表示线段的长；
(3)当且时，用含的代数式表示S；
(4)当两点相遇时，直接写出的值．
【答案】(1)15
(2)当时，；当时，
(3)当时，；当时，；当时，
(4)11或15
【分析】本题考查列代数式，二次函数的应用，一元一次方程的应用，方程思想与分类讨论是解题的关键．
（1）根据点Q运动时间与点P运动时间相同，求出点P运动时间即可得点Q运动时间；
（2）分情况讨论：当时，当时，分别求解即可；
（3）分情况讨论：当时；当时；当时；分别求解即可；
（4）根据P、Q共有两次相遇求解即可．
【详解】（1）解：点Q运动时间为（秒），
故答案为：15；
（2）解：当时，点P在上运动．；
当时，点P在上运动，；
综上，当时，；当时，；
（3）解：当时，点P在上运动，点Q由点B向点C运动，
此时，，，
；
当时，点P在上运动，点Q由点C向点B运动，
此时，，，
；
当时，点P在上运动，点Q由点B向点C运动，
此时，，，
；
综上，当时，；当时，；当时，；
（4）解：当P与Q第一次相遇时，根据题意，得：，
解得：；
当P与Q第二次相遇时，根据题意，得：，
解得：；
综上，当或15时，P、Q两点相遇．
3．（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图①是一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形，已知动点P以的速度沿图①的边框按的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图②所示．若，请回答下列问题：
(1)图①中的长是 ；图②中， ， ；
(2)求图①的面积．
【答案】(1)8；24；17
(2)
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义．
（1）根据题意得：动点P在上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得的长；同（1）可求出的长，又由，可以计算出的面积，计算可得a的值；根据图象求出和、的长，计算的长度，计算可得b的值；
（4）分析图形可得，图形面积等于，代入数据计算可得答案；
【详解】（1）动点P在上运动时，对应的时间为：0～4秒，即，
得：；
故的长是；
由（1）可得，，a的值是当点P运动到点C时的面积，则：
，
即图象中a 的值是24；
由图可得：，，，则：．
根据题意，动点P共运动了，
∵其速度是，则，
∴图象中的b是17．
故答案为：8，24，17；
（2）由（1）可知，，，
又∵由 ，
∴图①的面积为；
4．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图1，，点从出发以每秒的速度沿路线运动，到停止，运动时间为秒．如图2是的面积与（秒）的图像．
(1)当点运动到点时，的值为___________；
(2)图1中的___________，___________，___________．并求图2中的的值：
(3)当时，直接写出的值．
【答案】(1)6
(2)4；6；2；
(3)3
【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）直接从图象获取信息作答即可；
（2）结合图象可知，当时，点与点重合，当时，点与点重合，当时，点与点重合，进行作答即可；
（3）利用勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由图象可知，当点运动到点时，的值为6；
故答案为：6；
（2）由图象可知，当时，点与点重合，当时，点与点重合，当时，点与点重合，
∴，，；
∵，
∴当时，；
故所填答案为：4；6；2；
（3）的值为3，理由如下：
当时，此时点在上，如图：
由题意，可知：，
由勾股定理，得：，
∴，
∴，
解得：；
∴的值为3．
5．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图（1），在长方形中，，，点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→A路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P速度为，点Q的速度为，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P速度变为，点Q速度变为．图（2）是点P出发x秒后的面积与x秒的关系图象；图（3）是点Q出发x秒后的面积与x秒的关系图象．

根据题中的信息，解答下列问题
(1)根据图象得： 秒， ， 秒， ．
(2)连接，当第一次平分长方形的面积时，求x的值；
(3)当点P、点Q在运动路线上相距的路程为时，求x的值．
【答案】(1)8；2；20；1
(2)
(3)的值1或21
【分析】（1）根据题意和，求出，，的值；由题意列出关于的方程，从而解出；
（2）由平分矩形面积，得到梯形面积为矩形面积的一半，列出方程，可求的值；
（3）分两种情况讨论，列出方程可求解．
【详解】（1）观察图②得，
，
，，
由题意可得：，
解得：，
故答案为：8；2；20；1；
（2）由题意可得：，
解得：，
当时，第一次平分长方形的面积；
（3）当点在上时，由题意可得：，
解得：，
当点到达点时，两点在运动路线上相距的路程为，
点到达点后，两点在运动路线上相距的路程才能相距，
，
综上所述：的值1或21时，点、点在运动路线上相距的路程为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形面积求法，动点问题的函数现象，利用了数形结合的思想，弄清题中图象表示的意义是解本题的关键．
压轴题型七、一次函数应用之几何问题
1．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点．
(1)求出的面积；
(2)在直线BC上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)5
(2)或
【分析】本题考查了一次函数的性质等知识．
（1）求出点B坐标为，根据三角形面积公式即可求解；
（2）设点M坐标为，当点M位于射线上时，根据即可得到，求出，得到点M坐标为；当点M位于射线上时，根据即可得到，求出，得到点M坐标为．
【详解】（1）解：当时，，
∴点B坐标为．
∴；
（2）解：∵点M在直线上，
∴设点M坐标为，
如图1，当点M位于射线上时，
∵，
∴，
即，
解得，
此时点M坐标为；
如图2，当点M位于射线上时，
∵
∴，
即，
解得，
此时点M坐标为．
综上所述，满足条件的点M有两个，坐标为或．
2．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）一次函数，的图象如图1所示，其中一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与一次函数的图象交于点C．
(1)求点A、B的坐标．
(2)求的面积．
(3)已知一次函数．
①当时，函数有最大值5，求m的值．
②当时，一次函数的图象如图2所示．设y为，，中的最大值，请直接写出y的最小值．
【答案】(1)，
(2)
(3)①或；②y的最小值为
【分析】（1）在中，求出时的函数值和时的自变量的值即可得到答案；
（2）联立直线，求出交点C的坐标，再由三角形面积公式求解面积即可；
（3）①分类讨论，根据一次函数的性质求解即可；②先求出三条直线的交点坐标，再分类讨论，根据函数图象求解即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，
当时，，
∴，；
（2）解：当时，解得，
此时，
∴，
∴
（3）解：①当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，函数取得最大值，则，解得；
当时，随着的增大而减小，
∵，
∴当时，函数取得最大值，则，解得；
综上，或；
②当时，一次函数解析式为，
联立，得，，
解得，
∴直线，的交点为；
同理可求直线，的交点为；直线，的交点为；
如图：
当时，，
∴，
∵，
∴当时，的最小值为；
当时，最大，
∴，
∵
∴当时，的最小值为；
当时，
∴，
∵，
∴当时，的最小值为；
综上：的最小值为．
3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点．
(1)求出点和点的坐标．
(2)点的坐标是，求证：是直角三角形．
(3)在直线是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出的面积，如果不存在，请说明理由．
(4)点是直线上的点，若面积是10，请你求出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
证明：∵，，，
∴，
，
，
∴，
∴是直角三角形．
(3)存在，的面积为或
(4)点E的坐标为或
【分析】本题考查求一次函数图象与坐标轴的交点坐标，两点间距离公式，勾股定理的逆定理，三角形的面积．
（1）分别令，，即可求出函数图形与坐标轴交点的坐标；
（2）根据两点间距离公式求出，，的长，再根据勾股定理的逆定理判断即可；
（3）当时，是等腰直角三角形．分点D在线段上和当点D在线段的延长线上两种情况求解即可；
（4）根据，得到点E在的延长线上，或在的延长线上，分两种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：对于一次函数，
令，则，解得，
∴，
令，则，
∴．
（2）略
（3）解：由（2）可知是直角三角形，，
∴当时，是等腰直角三角形．
如图，当点D在线段上时，
∵，
，
∴．
如图，当点D在线段的延长线上时，
．
综上所述，直线存在点，使得是等腰直角三角形，的面积为或．
（4）解：∵，，
∴点E在的延长线上，或在的延长线上，
①如图，当点E在的延长线上，过点E作轴于点G，
∵，，
∴，
∵，即，
∴，
∴点E的纵坐标为6，
把代入一次函数，得，
解得，
∴点E的坐标为．
②如图，当点E在的延长线上，过点E作轴于点H，
∵，，
∴，
∵，即，
∴，
∴点E的纵坐标为，
把代入一次函数，得，
解得，
∴点E的坐标为．
综上所述，点E的坐标为或．
4．（25-26八年级上·山西运城·阶段检测）综合与探究
问题情境：
在学习了一次函数后，张老师给同学们补充了一种证明三点共线的方法——表达式法：若A，B，C三点均在直线的图象上，则A，B，C三点共线；若A，B，C三点中有一点不在的图象上，则A，B，C三点不共线．
猜想证明：
（1）已知平面上三点，，，试判断A，B，C三点是否共线．
解：设直线的函数表达式为．
由点，，得直线的函数表达式为_____．
将点代入直线的函数表达式，发现等式成立，
点在直线上，即A，B，C三点共线．
拓展延伸：
（2）已知平面上三点，，．
①A，B，C三点是否共线？若共线，请说明理由；若不共线，请求出的面积．
②为坐标原点，为直线上的一动点，连接，则线段的长是否存在最小值？若存在，求出线段的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①不共线，面积为1；②存在最小值，最小值为．
【分析】本题考查了一次函数的性质．
（1）通过待定系数法求直线的表达式即可；
（2）①同样求直线表达式并验证点C，若不共线则利用割补法求三角形面积；
②先求直线表达式，求出直线过，再根据等面积法计算即可．
【详解】（1）解：设直线的函数表达式为
∵点，
∴，解得，
∴；
故答案为：；
（2）①解：直线的函数表达式为
∵点
∴，解得
∴；
将点代入，当时，
∴点C不在直线上，即A，B，C三点不共线
如图：
∴；
②解：∵点，
设直线的函数表达式为
∴
解得
∴
当时，，即；
当时，；
即直线过点，
如图，作，此时有最小值．
∵，
∴．
5．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到．
模型应用：
(1)如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点、点和点的坐标；
(2)在（1）的条件下，求的面积；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)10
(3)存在，点的坐标为或或
【分析】（1）过点C作轴于点H，根据直线解析式得出A、B坐标，根据直角三角形两锐角互余得出，利用“可证得”，得到，即可求解；
（2）连接，由（1）中A、B、C的坐标可知，再利用 即可求解；
（3）设，分情况计算即可．
【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点H，
直线与轴、轴分别交于、两点，
当时，；当时，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
点C的坐标为；
（2）连接，
由（1）可知，，
，
；
（3）存在，理由如下：
设，
当点P为直角顶点，Q在上方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图：
同（1）可证，
，
，
解得，
；
当点P为直角顶点，Q在下方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图：
可得，
，
，
；
当O为直角顶点，过点P作轴交y轴于点K，过点作于点T，如图：
可得，
，
，
；
综上所述，点Q的坐标为或或
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键
压轴题型八、一次函数与方程问题
1．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数的图象如图所示．
(1)关于x的方程的解是________；
(2)关于x的方程的解是________；
(3)关于x的方程的解是________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案．
（1）一次函数的图象与轴交点横坐标的值即为方程的解；
（2）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解；
（3）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解．
【详解】（1）解： 一次函数的图象与轴相交于点，
关于的方程的解是．
故答案为：；
（2）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点，
因此关于的方程的解，
故答案为：；
（3）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点，
因此关于的方程的解，
故答案为：．
2．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）定义：图像与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x=m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B，
（1）如图:直线l:x＝1,关于直线l的对称函数y＝与该直线交于点C
①直接写出点的坐标：A（ 　 　，0）；B（ 　 　，0）；C（1，　 　）；
②P为关于直线l的对称函数图像上一点（点P不与点C重合），当S△ABP=S△ABC时，求点P的坐标；
（2）当直线y＝x与关于直线x=m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围．
【答案】（1）①﹣2，2，2；②（-，-3）或（﹣，3）或（，﹣3）；（2）﹣2＜m≤．
【分析】（1）①令±2x+4=0，解得x=2或-1，从而求得A、B的坐标分，根据图像点C（1，3）；
②当点P在x轴上方时，根据题意得出点P、C所在的直线与x轴平行，进而求解；当点P在x轴下方时，同理可得：-3=±2x+4，即可求解；
（2）分两种情况讨论；列出关于m的方程，求得m的值，结合图像即可求得m的取值范围．
【详解】解：令±2x+4=0，解得x=2或-1，
故点A、B的坐标分别为（-2，0）、（2，0），
∵函数与x轴负半轴交点为A，与x轴正半轴交点记B，则-2＜m≤2；
（1）①从图像看，x=1时，y=-2x+4=2，故点C（1，2）；
故答案为-2，2，2；
②当点P在x轴上方时，
∵S△ABC=S△ABP，C（1，2），
故点P的纵坐标为3，
当y=2x+4=3时，x=-，故点P（-，3）；
当点P在x轴下方时，
同理可得：-3=±2x+4，解得x=±，
故点P的坐标为（-，-3）或（﹣，3）或（，﹣3）；
（2）当直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点时，
当m≥0时，点C（m，4﹣2m），
将点C的坐标代入y＝x得：4﹣2m＝m，解得m＝；
∴0≤m≤，
当m＜0时，m＝2m+4，
解得m＝﹣4，
∴-4＜m＜0
又∵﹣2＜m≤2，
∴﹣2＜m≤．
【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，一次函数的性质、一次函数图像上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．
3．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）小航结合学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究，下面是小航的探索过程，请补充完整：
(1)列表：
x … 0 1 2 4 …
y … m 2 3 4 3 1 …
表格中________；
(2)根据列表，在给出的平面直角坐标系中描点，画出的函数图象，则的最大值是_________
(3)如图，已知直线l的表达式为，根据图像直接写出解集____________
【答案】(1)1；
(2)
描点连线，函数图象如下：
4；
(3)或
【分析】本题考查了一次函数的额图象和性质，画函数图象，图像法解方程，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
（1）将代入函数，即可求出的值；
（2）根据表格中的数据描点连线，画出函数的图象，再有函数图象，即可得到最大值；
（3）利用函数图象，得到交点坐标，即可得出解集．
【详解】（1）解：当时，，
故答案为：1；
（2）解：由图象可知，的最大值是4，
故答案为：4；
（3）解：由图象可知，函数与函数的交点为和，
解集为或，
故答案为：或．
4．（25-26八年级上·吉林·期末）学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题．
(1)列表：与的部分对应值如表：则______，______．
… 0 1 2 3 …
… 0 1 …
(2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象；
(3)结合图象，写出一条函数的性质：______．
(4)根据函数图象填空：
①方程有______个解；
②若关于的方程无解，则的取值范围是______．
③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
根据表格描点、连线，如图所示：
(3)函数的图中小学教育资源及组卷应用平台
期中重难点特训之易错压轴专项训练（19易错+8压轴）
易错题型一、无理数的大小估算
易错题型二、实数的运算
易错题型三、平方根的易错计算问题
易错题型四、立方根的易错计算问题
易错题型五、同类二次根式
易错题型六、分母有理化
易错题型七、二次根式的混合运算
易错题型八、勾股树（数）问题
易错题型九、用勾股定理解三角形
易错题型十、勾股定理的逆定理
易错题型十一、用有序数对表示位置与路线
易错题型十二、写出直角坐标系中点的坐标
易错题型十三、由平移方式确定点的坐标
易错题型十四、坐标与图形变化——轴对称
易错题型十五、求自变量的值或函数值
易错题型十六、正比例函数的图象与性质
易错题型十七、根据一次函数增减性求参数
易错题型十八、比较一次函数值的大小
易错题型十九、一次函数的综合应用
压轴题型一、平方根和立方根的综合应用
压轴题型二、平面直角坐标系中动点问题
压轴题型三、坐标变换循环规律压轴题
压轴题型四、勾股定理最短路径问题
压轴题型五、勾股定理的综合应用压轴题
压轴题型六、动点问题的函数图象
压轴题型七、一次函数应用之几何问题
压轴题型八、一次函数与方程问题
易错题型一、无理数的大小估算
1．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）我们可以用有理数估计一个无理数的大致范围，请估计67的立方根的大小在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
2．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）若m是无理数，且，请写出一个符合条件的m：______．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列各实数在哪两个相邻的整数之间：
，，，．
易错题型二、实数的运算
4．（25-26七年级下·广西崇左·期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·浙江丽水·模拟预测）______．
6．（25-26七年级下·新疆阿克苏·期末）按要求完成下列各题：
(1)计算：；
(2)求下列式子中x的值：．
易错题型三、平方根的易错计算问题
7．（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）若有平方根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）如果是1024的两个平方根，那么_____．
9．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，求这个数的立方根．
易错题型四、立方根的易错计算问题
10．（25-26七年级下·云南曲靖·期中）若，则x的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．（24-25七年级下·全国·单元复习）小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为______．
12．（25-26八年级上·山东淄博·期末）阅读材料：因为，，
所以，，即，，
所以，的整数部分是2，小数部分为．
解答问题：
(1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分；
(2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值．
易错题型五、同类二次根式
13．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）下列根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
14．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）若最简二次根式与可以合并，则m的值为__________．
15．（25-26八年级上·北京·单元复习）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？
(1)和；
(2)和．
易错题型六、分母有理化
16．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
17．（25-26八年级上·上海·期末）为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______．
18．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）若m，n是实数，且，求的算术平方根；
（2）已知，，求代数式的值．
易错题型七、二次根式的混合运算
19．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）已知，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
20．（2026·天津西青·模拟预测）计算：的结果等于______；的结果等于______．
21．（25-26八年级下·山东淄博·期中）阅读材料：已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
∵，
又∵，
∴．
这种方法称为“构造对偶式”．
解答问题：
(1)已知，试证明为定值．
(2)已知，求的值．
易错题型八、勾股树（数）问题
22．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．3，4，6 B．6，9，10 C．5，13，12 D．10，8，7
23．（25-26八年级下·山东临沂·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：
6 8 10 12 14 …
8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
则当时，的值为_____．
24．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）观察下列勾股数：3 ，4 ，5 ；5 ，12 ，13；7 ，24 ，25；9 ，40 ，41； … ，a ，b ，c 根据你发现的规律，请写出
(1)当时，则 ， ；
(2)当时，求的值；（ 用字母 n 表示）
(3)用（2）的结论判断 19 ，188 ，189 是否为一组勾股数，并说明理由．
易错题型九、用勾股定理解三角形
25．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）在中，，若，则等于（　　）
A．32 B．16 C．20 D．25
26．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）水杉是一种非常著名且独特的树种，被誉为植物界的“活化石”．如图，一棵水杉在离地5米（点）处折断，水杉的顶端（点）落在离水杉底端（点）12米处，则这棵水杉折断之前的高度为___________米．
27．（25-26八年级上·上海·期中）如图，已知，
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
易错题型十、勾股定理的逆定理
28．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
29．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，则图中阴影部分的面积为______．
30．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，现测得m，m，m，且m．
(1)试说明；
(2)求四边形展区（阴影部分）的面积．
易错题型十一、用有序数对表示位置与路线
31．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段检测）根据下列描述，能确定具体位置的是（ ）
A．北纬，东经 B．石家庄裕华区
C．狮城公园北偏东方向 D．七年级（1）班第5排
32．（25-26七年级下·全国·课后作业）我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________．
33．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）根据指令（，单位：，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度，再面向旋转后角度的方向，沿直线行走s个单位，如表示机器人由点运动到点（如图1）．
(1)如图2，若机器人从运动到，则机器人收到一个什么指令？
(2)若机器人接到指令运动到点处，请你在图3中画出机器人从到的运动路径．
易错题型十二、写出直角坐标系中点的坐标
34．（25-26七年级下·天津南开·期末）如图，有A，B，C三点，如果A点用来表示，B点用表示，则C点的坐标的位置可以表示为（ ）
A． B． C． D．
35．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在正方形网格中，建立平面直角坐标系后，点和点的坐标分别为，，则点的坐标为________．
36．（25-26七年级下·北京·期中）为更好的开展古树名木的保护工作，某公园对园内的棵百年古树利用坐标确定了位置，并且定期巡视．
(1)请你在如图所示的正方形（每个小正方形的边长都是）网格中建立平面直角坐标系，使得古树，的位置分别表示为，；
(2)在（1）建立的平面直角坐标系中，
①古树的位置对应的点的坐标为_______；
②标出另外三棵古树，，的位置．
易错题型十三、由平移方式确定点的坐标
37．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）将向右平移3个单位后得到，若点A的坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
38．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，三架飞机P，M，N保持编队飞行，某时刻在直角坐标系中的坐标分别为，30秒后，飞机P飞到的位置，则飞机M，N飞到的位置为_____________，为_____________．
39．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别是，，．
(1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形（A，B，C的对应点分别是，，，），使与的相似比为；
(2)若四边形是矩形，请直接写出点P的坐标P（______，______）．
易错题型十四、坐标与图形变化——轴对称
40．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
41．（25-26八年级下·上海金山·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点为关于轴对称，则__________．
42．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上．已知，的坐标分别为，．
(1)请在网格内画出平面直角坐标系；
(2)画出关于轴对称的，并写出点的坐标．
易错题型十五、求自变量的值或函数值
43．（24-25八年级上·安徽宣城·阶段练习）对于自变量为的函数，我们把使函数值等于零的实数叫做函数的零点．如果函数在上的图象是一条连续不断的曲线，并且在和时的函数值乘积为非正值，则该函数在范围内至少有一个零点，那么对于函数在下列范围内一定有零点的是（ ）
A． B． C． D．
44．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）已知函数，当时，函数值，则_________．
（只填最后结果）
45．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）探究小组的同学利用同一块木板做“测量小车从不同高度下滑的时间”的实验时，得到如下数据：
支撑物高度 10 20 30 40 50 60 70
小车下滑时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59
(1)在此题中，自变量是__________，因变量是__________．
(2)随支撑物高度的变化，小车下滑时间如何变化？
(3)当支撑物高度为时，小车下滑时间为__________；估计当时，__________．
易错题型十六、正比例函数的图象与性质
46．（25-26八年级下·陕西安康·期末）若点，都在正比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
47．（25-26八年级下·吉林延边·期中）如图，已知正比例函数经过点P，若，则y的取值范围是_________．
48．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法解决下面问题．
(1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象；
(2)结合所画函数图象，写出两条不同类型的性质．
易错题型十七、根据一次函数增减性求参数
49．（2026·甘肃兰州·模拟预测）在式子中，每增加1，增加，没变，因此也增加．在一次函数中，当由2增加到3时，函数值由5增加到7，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
50．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知函数（m是常数），当y随x的增大而增大时，m的取值范围是___________．
51．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数中，随的增大而减小．
(1)________．（任取一个满足条件的值）
(2)在平面直角坐标系中画出（1）中一次函数图象．
易错题型十八、比较一次函数值的大小
52．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）点，，都在直线上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较大小
53．（25-26八年级上·山东东营·期末）如果点和都在直线上，则与的大小关系是_____．
54．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知一次函数，并完成下列问题
(1)画出这个函数的图象；
(2)观察图象，当时，y的取值范围是 ．
易错题型十九、一次函数的综合应用
55．（25-26八年级下·山西阳泉·期末）学校组织寄递爱心包裹，两家快递公司给出了不同的计费方案．甲公司的方案是：按包裹重量计费，每千克 元，无起步价；乙公司的方案是：收取 元基础服务费，之后每千克元．若设包裹重量为千克，总费用为 元，两家公司的费用分别用一次函数 和 表示．当包裹重量为多少千克时，选择这两家公司的费用恰好相同？（ ）
A． 千克 B． 千克 C． 千克 D． 千克
56．（26-27八年级上·陕西延安·阶段练习）语文老师要求同学们在暑假阅读一本名著，共计260页．凡凡同学计划每天读10页，则剩余未读页数y（页）与所读天数x（天）之间的函数关系式为________．
57．（26-27八年级下·全国·课后作业）某种银行存款的年利率为，投入元本金．如果存款期间每年产生的利息不计入本金重复计算利息，求本息和y（本金与利息的和，单位：元）关于所存年数x的函数解析式，并计算存期为4年时的本息和．
压轴题型一、平方根和立方根的综合应用
1．（26-27八年级上·全国·课后作业）我国早在东汉时期就掌握了开方术，是世界上最早掌握开方术的国家．如《九章算术》中有一个问题：“今有积五万五千二百二十五步．问：为方几何？”题目大意：一个正方形的面积为55225平方步，这个正方形的边长是多少？也就是求的值．我国古代数学家刘徽结合图形求出了结果．请你查阅资料，了解刘徽的求解过程．
2．（26-27八年级上·全国·课后作业）空间飞行器绕地球飞行的速度ν（单位：）与飞行高度h（单位：m）之间的关系为，其中（单位：m）为地球的半径．已知中国空间站绕地球飞行的轨道可以近似看成一个圆，地球半径约为，中国空间站飞行高度约为．
(1)求中国空间站的飞行速度（结果精确到）．
(2)中国空间站绕地球飞行一周大约需要多长时间（取3.14，结果精确到）？
3．（25-26七年级下·广西崇左·期中）为宣传某地旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美 的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形封皮．
课题 某景点卡片及封皮制作
图示
相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比 为，面积为．
结果判断 请通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中
(1)长方形封皮的长和宽分别是多少？
(2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由．
4．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，木工从一个大正方形的木板上裁出两个小正方形和，面积分别为和的木料．
(1)求剩余木料（空白部分）的总面积；
(2)若木工想利用剩余的两块木料裁出长，宽的矩形木条（沿着平行于木料边的方向裁剪），则剩余的两块木料最多可以裁出几块这样的木条？
5．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图1，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形．
(1)求拼成的大正方形纸片的边长；
(2)如图2，小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长，宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？
压轴题型二、平面直角坐标系中动点问题
1．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图．在边长为1的正方形网格中，三角形（点均在格点上），已知，点，点．
(1)请根据图中B，C两点的坐标，画出平面直角坐标系，并写出点A的坐标___________，
(2)的面积为___________；
(3)已知点是平面直角坐标系内一动点，若的面积为8，求的值．
2．（25-26八年级下·湖南郴州·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义：
若，则点与点的“识别距离”为；
若，则点与点的“识别距离”为．
例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4．
【初步理解】
(1)已知点，，则点与点的“识别距离”为___________．
【深入应用】
(2)已知点，点为轴上的一个动点，
①若点与点的“识别距离”为3，求出满足条件的点的坐标：
②点与点的“识别距离”的最小值为___________．
3．（25-26七年级下·陕西延安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点．线段与轴交于点，若点是轴正半轴上的一个动点，当三角形的面积是的面积的2倍时，求出点的坐标．
4．（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中有一点，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，直线l过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D．通过研究发现直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解．
例如：若点E在直线上，横坐标，则其纵坐标为；
若点F在直线上，纵坐标，则其横坐标为．
(1)直接写出点B，C，D的坐标：B______，C______，D______；
(2)求；
(3)若点是直线l上的一个动点，当时．求出a的值，并写出P点的坐标．
5．（24-25七年级下·北京海淀·期末）对于平面直角坐标系中的四个点，，，，如果可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，则称，，，是“坐标相合”的．已知，，，．
例如，如图，对于点，，，，可作长方形，因此，，，是“坐标相合”的．
(1)下列四个点中，与，，是“坐标相合”的点是___________；（填出所有满足要求的点的序号）
① ② ③ ④
(2)设是坐标平面上的动点，且，，，，是“坐标相合”的，求的取值范围；
(3)从下列①，②两问中选择一个解答
①在坐标平面内，是否存在点，使得，，，，，中任意四点都是“坐标相合”的？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
②在坐标平面内，是否存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的？若存在，直接写出这五个点的坐标；若不存在，说明理由．
压轴题型三、坐标变换循环规律压轴题
1．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点B，C的坐标分别为（﹣2，1），（﹣1，3）．
（1）请你在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系并标出原点；
（2）写出点A的坐标，并作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，然后写出A′，B′，C′的坐标；
（3）小芳在（2）中的操作时来了灵感，并发现了其中的规律：若将（2）中作轴对称图记作第1次操作（变换），那么从△ABC开始顺次沿y轴、x轴进行循环往复的轴对称变换，则原来的点A经过第2021次变换后所得的坐标是_______（请直接写出坐标）．
2．（25-26七年级下·河北承德·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长都为1个单位长度．
(1)描出点，，画直线；
(2)若点C为直线上的任意一点，则点C的坐标有什么规律？
(3)在y轴上是否存在点P，使得．若存在，求出满足条件点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2025·安徽宿州·一模）【观察思考】
如图，学校的围墙由三种图案围成，一种是正方形，另外两种是大小不等的等腰直角三角形．将围墙的图案放在平面直角坐标系中，已知正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为，设大等腰直角三角形图案在轴上的直角顶点分别为，，，…，．
【规律发现】
（1）填空：点的横坐标为______，点的横坐标为______．
（2）直接写出点的横坐标（用含的式子表示）．
【规律应用】
（3）已知学校的围墙总共有201个正方形图案（最右边以正方形结束），结合图案中的排列方式及上述规律（不考虑其他因素），求围墙的总长．
4．（25-26八年级上·全国·单元测试）综合与实践
(1)问题背景：
已知，，，．在图中所示的平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和的中点，，然后写出它们的坐标，则______________，_______________．
(2)探究发现：
结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为_________________．
(3)拓展应用：
利用上述规律解决下列问题：已知三点，，，第四个点与点E，点F，点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标．
5．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）【观察思考】在平面直角坐标系中，若直线上的所有点的横坐标均为，则直线称为直线．如图，直线上的横坐标均为3，记为直线．探索关于直线对称的点的坐标规律如下：
已知点 对称轴 对称点 横坐标之间的数量关系
直线
直线
直线
(1)【特例感知】根据以上图表，可知关于直线对称的点的坐标为______．
(2)【规律应用】结合以上规律完成下列问题：
①点关于直线对称的点的坐标为______．
②若点关于直线对称的点的坐标为，则的值为______．
(3)【深入拓展】若点与点关于直线对称，求点的坐标．（用含有，，的代数式表示）
压轴题型四、勾股定理最短路径问题
1．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在一条东西走向的公路一侧有一个村庄D，公路边原有两个站点M，N，其中．由于道路施工，道路被阻断，现决定在公路边新建一个站点P（M、N、P在同一直线上），并新建一条道路．测得千米，千米，千米．
(1)请判断道路是不是从村庄到公路的最短路径？并说明理由；
(2)新道路比原道路短多少千米？
2．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题：
(1)试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由；
(2)求观景台与观景台之间距离的长．
3．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在笔直的河边的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边饮马，然后前往草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为D）为12米，B处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为E）为28米，且两处相距30米．
(1)在图中画出从A到再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）；
(2)C是河边上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？
4．（25-26八年级上·山东威海·期中）一只蚂蚁在立方体的表面积爬行．
(1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由．
(2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　
（A）（B） （C） （D）
这样的最短路径有 　　条．
(3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明）
5．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）综合与实践
【项目主题】
几何模型在最短路径问题中的应用
【项目准备】
求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？”
解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长．
(1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①__________；②__________；③__________．
【项目应用】
(2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长．
压轴题型五、勾股定理的综合应用压轴题
1．（26-27八年级上·全国·课后作业）今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）
题目大意：在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺（如图）．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．这根绳索有多长？
将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长a，弦长与股长的差为d，求弦长c．
(1)试用a，d表示c；
(2)查阅资料，了解《九章算术》解决这类问题的思路与方法．
2．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，它的三边上各有一个正方形．执行下面的操作：分别以两个小正方形的边为斜边，向外作一个锐角为的直角三角形；再分别以所得到的直角三角形的直角边为边，向直角三角形外作正方形．图②是1次操作后得到的图形．
(1)试画出2次操作后得到的图形．
(2)已知最初的直角三角形斜边长c为，写出2次操作后得到的图形中所有正方形的面积和．
(3)如果一直画下去，你能想象出它的样子吗？请借助数学软件进行探索．
(4)重复上述步骤若干次后得到的图形称为“毕达哥拉斯树”．如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，那么此时“毕达哥拉斯树”会是什么形状？
3．（26-27八年级上·辽宁锦州·阶段检测）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．
(1)如图1，物体C静止在直轨道上，滑块B与物体C的水平距离为．绳子的总长度为（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）．求物体C到定滑轮A的垂直距离的长；
(2)如图2，在图1的基础上滑块B向左滑动，若物体C升高（即），求滑块B向左滑动的距离．
4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积．
5．（25-26八年级上·广东深圳·阶段练习）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值．
分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
(1)代数式 的最小值为 ；
(2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值；
压轴题型六、动点问题的函数图象
1．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图1，在中，D是边上的定点．点P从点A出发，依次沿，两边匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，的长为y，y关于x的变化图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点．结合图形与图象解答：
(1)________，D到的距离为________；
(2)求的长；
(3)直接写出y的最小值．
2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在长方形中，，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，到点停止；同时动点从点出发，以每秒的速度在间做往复运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点运动的时间是（秒），的面积是．
(1)点共运动________秒；
(2)当点沿折线运动时，用含的代数式表示线段的长；
(3)当且时，用含的代数式表示S；
(4)当两点相遇时，直接写出的值．
3．（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图①是一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形，已知动点P以的速度沿图①的边框按的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图②所示．若，请回答下列问题：
(1)图①中的长是 ；图②中， ， ；
(2)求图①的面积．
4．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图1，，点从出发以每秒的速度沿路线运动，到停止，运动时间为秒．如图2是的面积与（秒）的图像．
(1)当点运动到点时，的值为___________；
(2)图1中的___________，___________，___________．并求图2中的的值：
(3)当时，直接写出的值．
5．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图（1），在长方形中，，，点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→A路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P速度为，点Q的速度为，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P速度变为，点Q速度变为．图（2）是点P出发x秒后的面积与x秒的关系图象；图（3）是点Q出发x秒后的面积与x秒的关系图象．

根据题中的信息，解答下列问题
(1)根据图象得： 秒， ， 秒， ．
(2)连接，当第一次平分长方形的面积时，求x的值；
(3)当点P、点Q在运动路线上相距的路程为时，求x的值．
压轴题型七、一次函数应用之几何问题
1．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点．
(1)求出的面积；
(2)在直线BC上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
2．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）一次函数，的图象如图1所示，其中一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与一次函数的图象交于点C．
(1)求点A、B的坐标．
(2)求的面积．
(3)已知一次函数．
①当时，函数有最大值5，求m的值．
②当时，一次函数的图象如图2所示．设y为，，中的最大值，请直接写出y的最小值．
3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点．
(1)求出点和点的坐标．
(2)点的坐标是，求证：是直角三角形．
(3)在直线是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出的面积，如果不存在，请说明理由．
(4)点是直线上的点，若面积是10，请你求出点的坐标．
4．（25-26八年级上·山西运城·阶段检测）综合与探究
问题情境：
在学习了一次函数后，张老师给同学们补充了一种证明三点共线的方法——表达式法：若A，B，C三点均在直线的图象上，则A，B，C三点共线；若A，B，C三点中有一点不在的图象上，则A，B，C三点不共线．
猜想证明：
（1）已知平面上三点，，，试判断A，B，C三点是否共线．
解：设直线的函数表达式为．
由点，，得直线的函数表达式为_____．
将点代入直线的函数表达式，发现等式成立，
点在直线上，即A，B，C三点共线．
拓展延伸：
（2）已知平面上三点，，．
①A，B，C三点是否共线？若共线，请说明理由；若不共线，请求出的面积．
②为坐标原点，为直线上的一动点，连接，则线段的长是否存在最小值？若存在，求出线段的最小值；若不存在，请说明理由．
5．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到．
模型应用：
(1)如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点、点和点的坐标；
(2)在（1）的条件下，求的面积；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
压轴题型八、一次函数与方程问题
1．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数的图象如图所示．
(1)关于x的方程的解是________；
(2)关于x的方程的解是________；
(3)关于x的方程的解是________．
2．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）定义：图像与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x=m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B，
（1）如图:直线l:x＝1,关于直线l的对称函数y＝与该直线交于点C
①直接写出点的坐标：A（ 　 　，0）；B（ 　 　，0）；C（1，　 　）；
②P为关于直线l的对称函数图像上一点（点P不与点C重合），当S△ABP=S△ABC时，求点P的坐标；
（2）当直线y＝x与关于直线x=m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围．
3．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）小航结合学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究，下面是小航的探索过程，请补充完整：
(1)列表：
x … 0 1 2 4 …
y … m 2 3 4 3 1 …
表格中________；
(2)根据列表，在给出的平面直角坐标系中描点，画出的函数图象，则的最大值是_________
(3)如图，已知直线l的表达式为，根据图像直接写出解集____________
4．（25-26八年级上·吉林·期末）学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题．
(1)列表：与的部分对应值如表：则______，______．
… 0 1 2 3 …
… 0 1 …
(2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象；
(3)结合图象，写出一条函数的性质：______．
(4)根据函数图象填空：
①方程有______个解；
②若关于的方程无解，则的取值范围是______．
③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围．
5．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）【问题提出】
小明在学习一次函数后，对形如（其中为常数，且）的一次函数产生了兴趣，于是对它的图像和性质进行了探究，过程如下：
【特例探究】
(1)如图所示，小明已经分别画出了函数，，的图像．
请你先完成下侧列表，然后再描点、连线在图中画出函数的图像．
x 0 1
y
【深入探究】
(2)通过对上述几个函数图像的观察、思考，你发现（为常数，且）的图像一定会经过的点的坐标是______．
【总结经验】
(3)类比上述探究结果，推理函数（其中为常数，且）的图像一定会经过的点的坐标是______．
【实践运用】
(4)已知一次函数（为常数，且）的图像一定过点，且与轴相交于点，若的面积为2，求出的值．
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