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第一章 集合与常用逻辑用语
(总分:150分　时间:120分钟)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.命题“ x∈R,2x＋1>2x”的否定是(　　)
A. x∈R,2x＋1>2x B. x∈R,2x＋12x
C. x∈R,2x＋1<2x D. x∈R,2x＋12x
2.已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩( UB)=(　　)
A.{1,3,4} B.{3,4}
C.{2,4,6} D.{2,4}
3.集合M={2,3,4},N={3,6},定义M×N={(a,b)|a∈M,b∈N},则M×N的非空真子集的个数为(　　)
A.62 B.31
C.63 D.30
4.已知集合A={1,2},B={x|mx-1=0},若A∩B=B,则符合条件的实数m的值组成的集合为(　　)
A.
C.
5.已知集合A={x|x=2n＋1,n∈Z},B={x|x=4n＋1,n∈Z},则“x∈A”是“x∈B”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知“ x∈R,a>x2-1”为真命题,则实数a的取值范围为(　　)
A.a>-1 B.a>1
C.a<-1 D.a<1
7.给出下列命题,其中为真命题的是(　　)
A.对任意x∈R,都有x2＋2<0
B.对任意x∈N,都有x21
C.存在x∈Q,使得x2=3
D.存在x∈Z,使x5<0
8.已知全集U为有理数集,将U划分为两个非空的子集M与N,且满足M∪N=U,M∩N= ,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素,则称(M,N)为优分割.对于任一优分割(M,N),下列选项中一定不成立的是(　　)
A.M中没有最大元素,N中有一个最小元素
B.M中没有最大元素,N中也没有最小元素
C.M中有一个最大元素,N中有一个最小元素
D.M中有一个最大元素,N中没有最小元素
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是(　　)
A.集合{1,2,4,8}的真子集有16个
B.若集合P={y|y=x2},Q={x|y=x2},则P Q
C.方程x2＋x＋a=0有两个不相等的负根的充要条件是0D.“a>1”是“<1”的充分不必要条件
10.某高中为了迎接元旦的到来,在元旦前一周举办了主题为“迎元旦,向未来”的趣味运动会,共有20名同学参加拔河、乒乓球、羽毛球三个项目,其中有12人参加拔河,有10人参加乒乓球,有8人参加羽毛球,拔河和乒乓球都参加的有3人,拔河和羽毛球都参加的有4人,乒乓球和羽毛球都参加的有5人,则(　　)
A.三项比赛都参加的有2人 B.只参加拔河的有6人
C.只参加乒乓球的有4人 D.只参加羽毛球的有1人
11.已知A,B {1,2,3},且A,B均不为空集,对于集合A,B,我们把集合记作A÷B.例如,A={1,2},B={2,3},则有A÷B=,B÷A=,A÷A=,B÷B=.当集合A÷B有3个元素,且最大元素不大于2时,称集合A,B为一个集合键.则下列说法中正确的是(　　)
A.若A={1},B={1,2,3},则A÷B中有3个元素
B.若A={2},A÷B=,则B={1,2,3}
C.若A={2,3},B={1,3},则集合A,B为一个集合键
D.集合键共有6个
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.设集合S={x|x<-1,或x>5},T={x|a13.若命题p: x∈R,x2-2x＋a≠0是假命题,则a的取值范围为 .
14.已知2a-b=3,写出使得“m>-a2＋b＋1对任意的实数a,b恒成立”的一个充分不必要条件为 .(用含m的式子表示)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知集合S={x|1(1)A∩B,A∪B;
(2)( SA)∪( SB).
16.(15分)已知集合A={x|-1(1)若U=R,求 UA;
(2)若命题“ x∈A,x∈B”为假命题,求实数p的取值范围.
17.(15分)已知集合A={x|x0,或x4},集合B={x|a-1x2a-1}.
(1)若a=2,求A∩B和( RA)∪B;
(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.
18.(17分)已知集合A=,B=.
(1)若4∈A,求实数m的取值范围;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
(3)若集合A∩( RB)中只含有两个整数元素且这两个元素非负,求实数m的取值范围.
19.(17分)设集合A由全体二元有序实数组组成,在A上定义一个运算,记为☉,对于A中的任意两个元素α=(a,b),β=(c,d),规定:α☉β=(ad＋bc,bd-ac).
(1)计算:(2,3)☉(-1,4);
(2)请用数学符号语言表述运算☉满足交换律,并给出证明;
(3)若“A中的元素I=(x,y)”是“对 α∈A,都有α☉I=I☉α=α成立”的充要条件,试求出元素I.
第一章 集合与常用逻辑用语
(总分:150分　时间:120分钟)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.命题“ x∈R,2x＋1>2x”的否定是(　B　)
A. x∈R,2x＋1>2x B. x∈R,2x＋12x
C. x∈R,2x＋1<2x D. x∈R,2x＋12x
解析:由题意知,命题“ x∈R,2x＋1>2x”的否定是“ x∈R,2x＋12x”.故选B.
2.已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩( UB)=(　D　)
A.{1,3,4} B.{3,4}
C.{2,4,6} D.{2,4}
解析:因为U={1,2,3,4,5,6,7},B={1,3,5,7},所以 UB={2,4,6},又A={2,4,5},所以A∩( UB)={2,4}.故选D.
3.集合M={2,3,4},N={3,6},定义M×N={(a,b)|a∈M,b∈N},则M×N的非空真子集的个数为(　A　)
A.62 B.31
C.63 D.30
解析:由新定义知,M×N={(2,3),(2,6),(3,3),(3,6),(4,3),(4,6)},所以M×N的非空真子集的个数为26-1-1=62.故选A.
4.已知集合A={1,2},B={x|mx-1=0},若A∩B=B,则符合条件的实数m的值组成的集合为(　C　)
A.
C.
解析:当m=0时,B= ,A∩B=B;当m≠0时,B=,由A∩B=B,得B A,则=2,解得m=1或m=,所以实数m的值组成的集合为.故选C.
5.已知集合A={x|x=2n＋1,n∈Z},B={x|x=4n＋1,n∈Z},则“x∈A”是“x∈B”的(　B　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:由集合A={x|x=2n＋1,n∈Z},可得集合A是全体奇数组成的集合,由B={x|x=4n＋1,n∈Z},可得集合B是全体被4除余1的整数组成的集合,因为4n＋1=2×2n＋1,n∈Z,所以B A,所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.故选B.
6.已知“ x∈R,a>x2-1”为真命题,则实数a的取值范围为(　A　)
A.a>-1 B.a>1
C.a<-1 D.a<1
解析:由题意得a>(x2-1)min,又(x2-1)min=-1,此时x=0,故a>-1.故选A.
7.给出下列命题,其中为真命题的是(　D　)
A.对任意x∈R,都有x2＋2<0
B.对任意x∈N,都有x21
C.存在x∈Q,使得x2=3
D.存在x∈Z,使x5<0
解析: x∈R,x20,则x2＋22>0,A是假命题;0∈N,当x=0时,x2<1,B是假命题;使x2=3成立的实数只有±,而± Q,C是假命题;-1∈Z,且(-1)5<0,D是真命题.故选D.
8.已知全集U为有理数集,将U划分为两个非空的子集M与N,且满足M∪N=U,M∩N= ,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素,则称(M,N)为优分割.对于任一优分割(M,N),下列选项中一定不成立的是(　C　)
A.M中没有最大元素,N中有一个最小元素
B.M中没有最大元素,N中也没有最小元素
C.M中有一个最大元素,N中有一个最小元素
D.M中有一个最大元素,N中没有最小元素
解析:由题意,将有理数集划分为两个非空的子集M与N,且满足M∪N=U,M∩N= ,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素.若集合M={x∈Q|x<0},N={x∈Q|x0},则集合M中没有最大元素,N中有一个最小元素0,故A可能成立;若集合M={x∈Q|x<},N={x∈Q|x>},则集合M中没有最大元素,N中也没有最小元素,故B可能成立;若集合M={x∈Q|x0},N={x∈Q|x>0},则集合M中有一个最大元素0,N中没有最小元素,故D可能成立;无论怎样“优分割”,都不可能使得集合M中有最大元素,且N中有最小元素,故C一定不成立.故选C.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是(　BCD　)
A.集合{1,2,4,8}的真子集有16个
B.若集合P={y|y=x2},Q={x|y=x2},则P Q
C.方程x2＋x＋a=0有两个不相等的负根的充要条件是0D.“a>1”是“<1”的充分不必要条件
解析:集合{1,2,4,8}的真子集的个数为24-1=15,故A错误;集合P={y|y=x2}={y|y0},Q={x|y=x2}=R,因此P Q,故B正确;方程x2＋x＋a=0有两个不相等的负根x1,x2,则 ,故C正确;由a>1,得<1,反之,由<1,得a<0或a>1,则“a>1”是“<1”的充分不必要条件,故D正确.故选BCD.
10.某高中为了迎接元旦的到来,在元旦前一周举办了主题为“迎元旦,向未来”的趣味运动会,共有20名同学参加拔河、乒乓球、羽毛球三个项目,其中有12人参加拔河,有10人参加乒乓球,有8人参加羽毛球,拔河和乒乓球都参加的有3人,拔河和羽毛球都参加的有4人,乒乓球和羽毛球都参加的有5人,则(　ACD　)
A.三项比赛都参加的有2人 B.只参加拔河的有6人
C.只参加乒乓球的有4人 D.只参加羽毛球的有1人
解析:设三项比赛都参加的人数为x,根据题意,参加各个项目的人数如图所示(括号中的数表示元素的个数).由12＋(x＋2)＋(5-x)＋(x-1)=20,且1x3,解得x=2,所以三项比赛都参加的有2人,故A正确;只参加拔河的有7人,故B错误;只参加乒乓球的有4人,故C正确;只参加羽毛球的有1人,故D正确.故选ACD.
11.已知A,B {1,2,3},且A,B均不为空集,对于集合A,B,我们把集合记作A÷B.例如,A={1,2},B={2,3},则有A÷B=,B÷A=,A÷A=,B÷B=.当集合A÷B有3个元素,且最大元素不大于2时,称集合A,B为一个集合键.则下列说法中正确的是(　ABD　)
A.若A={1},B={1,2,3},则A÷B中有3个元素
B.若A={2},A÷B=,则B={1,2,3}
C.若A={2,3},B={1,3},则集合A,B为一个集合键
D.集合键共有6个
解析:由集合A={1},B={1,2,3},可得A÷B=,所以A÷B中有3个元素,故A正确.集合A={2},A÷B=,根据A÷B的定义,可得B={1,2,3},故B正确.由集合A={2,3},B={1,3},可得A÷B=,此时A÷B中有4个元素,所以集合A,B不为一个集合键,故C错误.要使得A÷B中有3个元素,且最大元素不大于2,则A={1},B={1,2,3};A={2},B={1,2,3};A={1,2},B={1,2};A={2,3},B={2,3};A={1,2,3},B={2};A={1,2,3},B={3}.共计6个,所以共有6个集合键,故D正确.故选ABD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.设集合S={x|x<-1,或x>5},T={x|a解析:由题意可知解得-313.若命题p: x∈R,x2-2x＋a≠0是假命题,则a的取值范围为{a|a1}.
解析:命题p: x∈R,x2-2x＋a≠0是假命题,则其否定: x∈R,x2-2x＋a=0是真命题,即方程x2-2x＋a=0有实数解,必有Δ=4-4a0,解得a1,即a的取值范围为{a|a1}.
14.已知2a-b=3,写出使得“m>-a2＋b＋1对任意的实数a,b恒成立”的一个充分不必要条件为m=1(答案不唯一).(用含m的式子表示)
解析:2a-b=3,则b=2a-3,所以-a2＋b＋1=-a2＋2a-3＋1=-a2＋2a-2=-(a-1)2-1,所以当a=1时,-a2＋b＋1取得最大值-1,因此m>-a2＋b＋1对任意的实数a,b恒成立的充要条件是m>-1,所以使得“m>-a2＋b＋1对任意的实数a,b恒成立”的一个充分不必要条件可以为m=1.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知集合S={x|1(1)A∩B,A∪B;
(2)( SA)∪( SB).
解:(1)由题可得A∩B={x|2x<5}∩{x∣3x<6}={x|3x<5},
A∪B={x|2x<5}∪{x|3x<6}={x|2x<6}.
(2)由题可得 SA={x|1所以( SA)∪( SB)={x|116.(15分)已知集合A={x|-1(1)若U=R,求 UA;
(2)若命题“ x∈A,x∈B”为假命题,求实数p的取值范围.
解:(1)因为A={x|-12}.
(2)由命题“ x∈A,x∈B”为假命题可知,命题“ x∈A,x B”为真命题,
所以A∩B= ,
由题知B≠ ,
所以需满足
.
17.(15分)已知集合A={x|x0,或x4},集合B={x|a-1x2a-1}.
(1)若a=2,求A∩B和( RA)∪B;
(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.
解:(1)若a=2,则B={x|1x3},
因为A={x|x0,或x4},
所以A∩B= , RA={x|0所以( RA)∪B={x|0(2)若A∩B=B,则B A,
①当B= 时,a-1>2a-1,解得a<0.
②当B≠ 时,
解得0a或a5.
综上,实数a的取值范围为.
18.(17分)已知集合A=,B=.
(1)若4∈A,求实数m的取值范围;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
(3)若集合A∩( RB)中只含有两个整数元素且这两个元素非负,求实数m的取值范围.
解:(1)由题意得m-<4故实数m的取值范围为.
(2)根据充分不必要条件的定义可知A是B的真子集,
所以m＋11,解得m,
故实数m的取值范围为.
(3)由题意得 RB=,则集合 RB中含有整数元素-1,0,1,
由集合A∩( RB)中只含有两个整数元素且这两个元素非负可知
,
故实数m的取值范围为.
19.(17分)设集合A由全体二元有序实数组组成,在A上定义一个运算,记为☉,对于A中的任意两个元素α=(a,b),β=(c,d),规定:α☉β=(ad＋bc,bd-ac).
(1)计算:(2,3)☉(-1,4);
(2)请用数学符号语言表述运算☉满足交换律,并给出证明;
(3)若“A中的元素I=(x,y)”是“对 α∈A,都有α☉I=I☉α=α成立”的充要条件,试求出元素I.
解:(1)因为对于A中的任意两个元素α=(a,b),β=(c,d),规定:α☉β=(ad＋bc,bd-ac),
所以(2,3)☉(-1,4)=(2×4-3×1,3×4＋2×1)=(5,14).
(2)交换律:α☉β=β☉α.证明如下:
由题知α☉β=(ad＋bc,bd-ac),
β☉α=(c,d)☉(a,b)=(cb＋da,db-ca)=(ad＋bc,bd-ac),
所以α☉β=β☉α.
(3)若A中的元素I=(x,y),对 α∈A,都有α☉I=I☉α=α成立,
由(2)知只需I☉α=α成立.
故(x,y)☉(a,b)=(a,b),即(bx＋ay,by-ax)=(a,b).
①若α=(0,0),显然有I☉α=α成立,即元素I为A中任意元素;
②若α≠(0,0),则解得
所以当对 α∈A,都有α☉I=I☉α=α成立时,I=(0,1).
易验证当I=(0,1)时,对 α∈A,都有α☉I=I☉α=α成立,
所以I=(0,1).

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