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湖南省永州市零陵区八校 2025-2026学年八年级上学期11月期中联考数学试题
一、选择题 （共10个小题，每小题3分，共30分，请将正确选项填涂到答题卡上）
1．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式：中，是分式的共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．2025年5月15日，天府绛溪实验室发布全球首个氮化镓量子光源芯片，输出波长范围从纳米扩展至纳米．已知1纳米米，则纳米用科学记数法可表示为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
4．下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（　　）
A． B． C． D．
5．若多项式在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解，则的值不可能是（　　）
A．1 B．5 C．9 D．16
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若是多项式因式分解的结果，则的值是（　　）
A．2 B． C．8 D．
8．若 ，则 （ ）
A．9 B．12 C．27 D．81
9．已知，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作：第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）
第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）
将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①；
②当时，；
③在第（为正整数）次操作的结果中：，．
以上结论正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卷的答案栏内）
11．若代数式的值等于，则　 　．
12．若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是　 　．
13．与的公因式是　 　．
14．形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简：　 　．
15．已知：， 则　 　
16．已知，若，则M与N的大小关系是M　 　N．
17．计算∶　 　
18．规定表示不超过的最大整数，如，结合上述知识点，解决问题：某校师生在校运会期间喝了瓶水，经销商提出，每个空瓶可以换1瓶水，那么最多可以换　 　瓶水．
三、解答题 （本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．计算∶
（1）
（2）
20．因式分解：
（1）
（2）
21．当x取3时，先化简，再求分式 的值．
22．已知关于的分式方程．
（1）当时，求方程的解；
（2）如果关于的分式方程的解为正数，求的取值范围；
23．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到．
（1）请把表示图2面积的多项式因式分解： ；（直接写出等式即可）
（2）若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值；
（3）如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形．
24．某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表：
单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个
（1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；
（2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量．
25．小亮自学湘教版八年级上册数学教材第14页的“多知道一点”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式 的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式 因式分解，这个式子的二次项系数是1， 常数项，一次项系数，可用十字相乘为 则 ，仿照上述解决下列问题：
（1）因式分解：
（2）若二次三项式 可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值．
（3）阅读并解答：若多项式 中有因式，我们把代入多项式 发现能使多项式 的值为0，
①已知：二次三项式 有一个因式是 ，求m 的值．
②已知：二次三项式 有一个因式是，求另一个因式及k的值．
26．阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则解得 又因为 所以关于x的方程 的解为
（1）理解应用：方程 的解为：
（2）知识迁移：若关于x的方程 的解为 求 的值；
（3）拓展提升：若关于x 的方程 的解为 求 的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵因式分解需满足右边为整式的积，
A：，是乘法展开，不是分解；
B：，含分式 ，不是整式；
C：，是和的形式，不是积；
D：，是整式的积；
∴故选：D.
【分析】根据因式分解的定义：因式分解的核心是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式，按照这个定义对每个选项逐一判断即可.
2．【答案】A
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解： ∵分式的定义是分母中含有字母，
∴检查每个表达式：
：分母是3，是数字，不是分式；
：分母是，是字母，是分式；
：分母是2，是数字，不是分式；
：分母是，是常数，不是字母，不是分式；
：分母是2，是数字，不是分式；
：分母是，含有字母，是分式；
∴ 是分式的有2个；
故选：A.
【分析】根据分式的定义：分母中含有字母的代数式是分式，逐个判断每个给出的代数式，看它的分母中是否含有字母，就可以得到结果.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意，1纳米米，
纳米米米米，
故选：C．
【分析】本题以量子光源芯片波长为背景，考查了纳米与米的单位换算及科学记数法表示较小数。先将1纳米换算为 1 米，再计算100纳米对应的米数，最后写成 a 的形式，其中 1< 10。
4．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意；
、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意；
、分母为，由于，则，无论取何实数，分母始终大于零，分式恒有意义，符合题意；
、分母为，当或时，分母为零，不符合题意；
故选：．
【分析】根据分式有意义的条件：若一个分式无论x取何值，分母都始终不等于0，这个分式就满足题目要求，按这个标准逐一判断每个选项的分母是否可能为0即可.
5．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
B、时，，不可以用平方差公式分解因式，故该选项符合题意；
C、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
D、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据平方差公式的结构特征，逐一分析每个选项就能得出结论.
6．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；分式的乘除法；负整数指数幂
【解析】【解答】解：A、，故A正确．
B、，故B错误．
C、，故C错误．
D、，故D错误．
故选：A．
【分析】结合幂的乘方法则、负整数指数幂的运算法则以及分式乘除的运算法则，逐一判断每个选项的计算结果是否正确.
7．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵，
由题意得，，
，
．
故选：C．
【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再结合题目给出的等式，根据多项式相等对应项系数相等，可以得到关系，根据这个关系就能求出的值.
8．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；求代数式的值-整体代入求值；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，
∴
又∵
∴
∴故选：D.
【分析】先根据已知等式得到，再把要求的式子整理变形为同底数幂的形式，最后代入计算即可.
9．【答案】C
【知识点】分式的加减法；加减消元法解二元一次方程组
10．【答案】C
【知识点】分式的加减法；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：，，
，，
，
，
，，
……
当为奇数时（1除外），
，，
当为偶数时，
，，
∵，故①正确；
当时，，故②正确；
由规律知，故③错误；
故选：C．
【分析】利用第一次、第二次、第三次操作找出规律，然后逐项判断即可．
11．【答案】3
【知识点】分式的值为零的条件
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵多项式能用完全平方公式因式分解，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式的结构特征直接将原多项式化为，据此即可求出的值.
13．【答案】
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：与的公因式是，
故答案为：．
【分析】
先确定公因式的系数，公因式的系数是各个单项式系数的最大公约数；再确定公因式的字母和对应字母的指数，取各个单项式都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的；最后将求得的系数、各相同字母最低次幂相乘，即可得到公因式，本题按照这个方法求解即可.
14．【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】先按照二阶行列式的运算规则列出对应的算式，再根据分式混合运算的计算步骤计算出最终结果即可.
15．【答案】
【知识点】因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：∵，
∴
代入已知数值：
故答案为 ：.
【分析】将所求式子分解因式后，整理为可以直接代入已知数值的形式，再代入条件计算即可得到结果.
16．【答案】
【知识点】整式的大小比较
【解析】【解答】解：由
∵
∴，即
∴
故答案为：.
【分析】通过作差法对代数式进行大小比较，先对作差得到的结果进行因式分解，再结合题目给出的已知条件进行判断分析，即可得到结论.
17．【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】通过观察原式可以发现，从第二项开始，每一项的分母都是两个连续整数的乘积，根据分式混合运算的法则对原式进行计算求解.
18．【答案】
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设额外换到瓶水，
总瓶数为，
产生的空瓶数也为，
每次换水消耗个空瓶得到1瓶水，
，
代入，得，即，
，
考虑到换水后可能剩余空瓶不足个，实际最大为，
最多可以换瓶水．
故答案为：．
【分析】先明确规则：每兑换1瓶水需要消耗y个空瓶。计算总共能喝到的水的总瓶数时，总瓶数由两部分组成：一开始购买得到的x瓶，加上后续通过空瓶兑换额外得到的水的瓶数；其中额外兑换得到的瓶数E满足不等关系，利用这个关系就能求出最多可以兑换得到的瓶数.
19．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）分别运用乘方、绝对值、负整数指数幂以及零指数幂的对应运算法则，逐步计算得到最终结果；
（2）先运用积的乘方法则化简，再结合同底数幂的除法法则计算即可得到结果.
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】（1）解∶ 原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式，得到可以因式分解的多项式后，再利用完全平方公式分解即可得到最终结果
（2）先提取公因式，提取后剩余的部分可以用平方差公式继续分解，最终完成因式分解.
（1）解∶ 原式
；
（2）解：原式
.
21．【答案】解：
当时， 原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算括号内的异分母分式减法，再对原式的分子、分母分别因式分解，接着把除法运算转化为乘法运算，将分式化为最简形式后代入数值计算即可得到结果.
22．【答案】（1）解：把代入得：
，
方程两边同乘得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴原方程的解．
（2）解：，
方程两边乘得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：，
∵分式方程的解为正数，
∴，
解得：，
∵，即，
∴，
解得：，
∴的取值范围是：且．
【知识点】分式有无意义的条件；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）掌握分式方程的求解过程，去分母、去括号、移项合并同类项、系数化1，特别注意解分式方程还有一步，必须要验根；
（2）根据题意先正常求解分式方程，得到的根是关于a的代数式，这个式子既要保证能使根大于0，还要保证分式方程有意义，故可确定a的取值范围。
23．【答案】（1）
（2）解：，．
．
，
（3）解：如图所示．
．
故答案为：
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解：图2面积表示为：，
或表示为：，
所以有：．
故答案为：．
【分析】（1）通过两种不同的方式表示图2的总面积，整理后即可得到恒等式。
（2）首先对已知条件左右两边同时除以2，可得到 ；再结合（1）中得到的完全平方公式变形可得，最后将已知数值代入该式就可以计算出结果。
（3）先根据因式分解的式子画出对应拼接图形，再结合图形面积关系完成因式分解即可.
（1）解：图2面积表示为：，
或表示为：，
所以有：．
故答案为：．
（2），
．
．
，
．
（3）如图所示．
．
故答案为：．
24．【答案】（1）解：根据题意可列方程，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
（元/个）．
答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个
（2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个），双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个），
设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元．
∵此次加购小区预备支出不超过25000元，
，解得，
的最小值为8，
∴小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）结合表格给出的信息，以及“本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个”这一条件，列出分式方程求解就能得到结果；
（2）先分别计算出两种充电桩价格调整后的单价，设再次购买单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据“此次加购的预备支出不超过25000元”列出不等式求解，最后取最小整数解即可.
（1）解：根据题意可列方程，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
（元/个）．
答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个．
（2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个），
双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个），
设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元．
∵此次加购小区预备支出不超过25000元，
，解得，
的最小值为8，
∴小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个．
25．【答案】（1）解： 一次项为∶， 则常数项为，
则
（2）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数a的所有可能的值是：
，
即整数a的所有可能的值是：
（3）解：根据题意：①当时，二次三项式的值为0，即解得：；
②根据题意：当时，二次三项式的值为0，
即解得：；
则原二次三项式为
∴另一个因式为
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）通过十字相乘法完成对多项式的分解因式；
（2）找出满足两个数乘积为，且和为的所有整数组合，以此得到整数a的所有可能值；
（3）①根据因式分解后多项式的性质可知，当时，的值为0，代入该值即可求出m；②同理，当时，二次三项式的值为0，将x=5代入即可求出k.
（1）解： 一次项为∶， 则常数项为，
则
（2）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数a的所有可能的值是：
，
即整数a的所有可能的值是：．
（3）解：根据题意：①当时，二次三项式的值为0，
即解得：；
②根据题意：当时，二次三项式的值为0，
即解得：；
则原二次三项式为
∴另一个因式为.
26．【答案】（1）3；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：可化为，
∵方程的解为，
则有或，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值为零的条件；解分式方程；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵关于x的方程的解为，
∴的解为或，
故答案为：3，；
【分析】（1）由题意可得或；
（2） 根据已知列式， 再利用完全平方公式推导，代入计算即可；
（3）方程变形为，解得或，则有， 据此列式整理可得， 最后对目标代数式进行转化.
（1）解：∵关于x的方程的解为，
∴的解为或，
故答案为：3，；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：可化为，
∵方程的解为，
则有或，
∴，
∴，
∴
．
1 / 1湖南省永州市零陵区八校 2025-2026学年八年级上学期11月期中联考数学试题
一、选择题 （共10个小题，每小题3分，共30分，请将正确选项填涂到答题卡上）
1．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵因式分解需满足右边为整式的积，
A：，是乘法展开，不是分解；
B：，含分式 ，不是整式；
C：，是和的形式，不是积；
D：，是整式的积；
∴故选：D.
【分析】根据因式分解的定义：因式分解的核心是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式，按照这个定义对每个选项逐一判断即可.
2．下列各式：中，是分式的共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解： ∵分式的定义是分母中含有字母，
∴检查每个表达式：
：分母是3，是数字，不是分式；
：分母是，是字母，是分式；
：分母是2，是数字，不是分式；
：分母是，是常数，不是字母，不是分式；
：分母是2，是数字，不是分式；
：分母是，含有字母，是分式；
∴ 是分式的有2个；
故选：A.
【分析】根据分式的定义：分母中含有字母的代数式是分式，逐个判断每个给出的代数式，看它的分母中是否含有字母，就可以得到结果.
3．2025年5月15日，天府绛溪实验室发布全球首个氮化镓量子光源芯片，输出波长范围从纳米扩展至纳米．已知1纳米米，则纳米用科学记数法可表示为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意，1纳米米，
纳米米米米，
故选：C．
【分析】本题以量子光源芯片波长为背景，考查了纳米与米的单位换算及科学记数法表示较小数。先将1纳米换算为 1 米，再计算100纳米对应的米数，最后写成 a 的形式，其中 1< 10。
4．下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意；
、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意；
、分母为，由于，则，无论取何实数，分母始终大于零，分式恒有意义，符合题意；
、分母为，当或时，分母为零，不符合题意；
故选：．
【分析】根据分式有意义的条件：若一个分式无论x取何值，分母都始终不等于0，这个分式就满足题目要求，按这个标准逐一判断每个选项的分母是否可能为0即可.
5．若多项式在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解，则的值不可能是（　　）
A．1 B．5 C．9 D．16
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
B、时，，不可以用平方差公式分解因式，故该选项符合题意；
C、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
D、时，，可以用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据平方差公式的结构特征，逐一分析每个选项就能得出结论.
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；分式的乘除法；负整数指数幂
【解析】【解答】解：A、，故A正确．
B、，故B错误．
C、，故C错误．
D、，故D错误．
故选：A．
【分析】结合幂的乘方法则、负整数指数幂的运算法则以及分式乘除的运算法则，逐一判断每个选项的计算结果是否正确.
7．若是多项式因式分解的结果，则的值是（　　）
A．2 B． C．8 D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵，
由题意得，，
，
．
故选：C．
【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再结合题目给出的等式，根据多项式相等对应项系数相等，可以得到关系，根据这个关系就能求出的值.
8．若 ，则 （ ）
A．9 B．12 C．27 D．81
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；求代数式的值-整体代入求值；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，
∴
又∵
∴
∴故选：D.
【分析】先根据已知等式得到，再把要求的式子整理变形为同底数幂的形式，最后代入计算即可.
9．已知，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】分式的加减法；加减消元法解二元一次方程组
10．已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作：第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）
第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）
将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①；
②当时，；
③在第（为正整数）次操作的结果中：，．
以上结论正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】分式的加减法；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：，，
，，
，
，
，，
……
当为奇数时（1除外），
，，
当为偶数时，
，，
∵，故①正确；
当时，，故②正确；
由规律知，故③错误；
故选：C．
【分析】利用第一次、第二次、第三次操作找出规律，然后逐项判断即可．
二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卷的答案栏内）
11．若代数式的值等于，则　 　．
【答案】3
【知识点】分式的值为零的条件
12．若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵多项式能用完全平方公式因式分解，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式的结构特征直接将原多项式化为，据此即可求出的值.
13．与的公因式是　 　．
【答案】
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：与的公因式是，
故答案为：．
【分析】
先确定公因式的系数，公因式的系数是各个单项式系数的最大公约数；再确定公因式的字母和对应字母的指数，取各个单项式都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的；最后将求得的系数、各相同字母最低次幂相乘，即可得到公因式，本题按照这个方法求解即可.
14．形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简：　 　．
【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】先按照二阶行列式的运算规则列出对应的算式，再根据分式混合运算的计算步骤计算出最终结果即可.
15．已知：， 则　 　
【答案】
【知识点】因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：∵，
∴
代入已知数值：
故答案为 ：.
【分析】将所求式子分解因式后，整理为可以直接代入已知数值的形式，再代入条件计算即可得到结果.
16．已知，若，则M与N的大小关系是M　 　N．
【答案】
【知识点】整式的大小比较
【解析】【解答】解：由
∵
∴，即
∴
故答案为：.
【分析】通过作差法对代数式进行大小比较，先对作差得到的结果进行因式分解，再结合题目给出的已知条件进行判断分析，即可得到结论.
17．计算∶　 　
【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】通过观察原式可以发现，从第二项开始，每一项的分母都是两个连续整数的乘积，根据分式混合运算的法则对原式进行计算求解.
18．规定表示不超过的最大整数，如，结合上述知识点，解决问题：某校师生在校运会期间喝了瓶水，经销商提出，每个空瓶可以换1瓶水，那么最多可以换　 　瓶水．
【答案】
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设额外换到瓶水，
总瓶数为，
产生的空瓶数也为，
每次换水消耗个空瓶得到1瓶水，
，
代入，得，即，
，
考虑到换水后可能剩余空瓶不足个，实际最大为，
最多可以换瓶水．
故答案为：．
【分析】先明确规则：每兑换1瓶水需要消耗y个空瓶。计算总共能喝到的水的总瓶数时，总瓶数由两部分组成：一开始购买得到的x瓶，加上后续通过空瓶兑换额外得到的水的瓶数；其中额外兑换得到的瓶数E满足不等关系，利用这个关系就能求出最多可以兑换得到的瓶数.
三、解答题 （本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．计算∶
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）分别运用乘方、绝对值、负整数指数幂以及零指数幂的对应运算法则，逐步计算得到最终结果；
（2）先运用积的乘方法则化简，再结合同底数幂的除法法则计算即可得到结果.
（1）解：
；
（2）解：
．
20．因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）解∶ 原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式，得到可以因式分解的多项式后，再利用完全平方公式分解即可得到最终结果
（2）先提取公因式，提取后剩余的部分可以用平方差公式继续分解，最终完成因式分解.
（1）解∶ 原式
；
（2）解：原式
.
21．当x取3时，先化简，再求分式 的值．
【答案】解：
当时， 原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算括号内的异分母分式减法，再对原式的分子、分母分别因式分解，接着把除法运算转化为乘法运算，将分式化为最简形式后代入数值计算即可得到结果.
22．已知关于的分式方程．
（1）当时，求方程的解；
（2）如果关于的分式方程的解为正数，求的取值范围；
【答案】（1）解：把代入得：
，
方程两边同乘得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴原方程的解．
（2）解：，
方程两边乘得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：，
∵分式方程的解为正数，
∴，
解得：，
∵，即，
∴，
解得：，
∴的取值范围是：且．
【知识点】分式有无意义的条件；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）掌握分式方程的求解过程，去分母、去括号、移项合并同类项、系数化1，特别注意解分式方程还有一步，必须要验根；
（2）根据题意先正常求解分式方程，得到的根是关于a的代数式，这个式子既要保证能使根大于0，还要保证分式方程有意义，故可确定a的取值范围。
23．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到．
（1）请把表示图2面积的多项式因式分解： ；（直接写出等式即可）
（2）若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值；
（3）如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形．
【答案】（1）
（2）解：，．
．
，
（3）解：如图所示．
．
故答案为：
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解：图2面积表示为：，
或表示为：，
所以有：．
故答案为：．
【分析】（1）通过两种不同的方式表示图2的总面积，整理后即可得到恒等式。
（2）首先对已知条件左右两边同时除以2，可得到 ；再结合（1）中得到的完全平方公式变形可得，最后将已知数值代入该式就可以计算出结果。
（3）先根据因式分解的式子画出对应拼接图形，再结合图形面积关系完成因式分解即可.
（1）解：图2面积表示为：，
或表示为：，
所以有：．
故答案为：．
（2），
．
．
，
．
（3）如图所示．
．
故答案为：．
24．某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表：
单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个
（1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；
（2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量．
【答案】（1）解：根据题意可列方程，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
（元/个）．
答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个
（2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个），双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个），
设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元．
∵此次加购小区预备支出不超过25000元，
，解得，
的最小值为8，
∴小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）结合表格给出的信息，以及“本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个”这一条件，列出分式方程求解就能得到结果；
（2）先分别计算出两种充电桩价格调整后的单价，设再次购买单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据“此次加购的预备支出不超过25000元”列出不等式求解，最后取最小整数解即可.
（1）解：根据题意可列方程，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
（元/个）．
答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个．
（2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个），
双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个），
设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元．
∵此次加购小区预备支出不超过25000元，
，解得，
的最小值为8，
∴小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个．
25．小亮自学湘教版八年级上册数学教材第14页的“多知道一点”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式 的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式 因式分解，这个式子的二次项系数是1， 常数项，一次项系数，可用十字相乘为 则 ，仿照上述解决下列问题：
（1）因式分解：
（2）若二次三项式 可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值．
（3）阅读并解答：若多项式 中有因式，我们把代入多项式 发现能使多项式 的值为0，
①已知：二次三项式 有一个因式是 ，求m 的值．
②已知：二次三项式 有一个因式是，求另一个因式及k的值．
【答案】（1）解： 一次项为∶， 则常数项为，
则
（2）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数a的所有可能的值是：
，
即整数a的所有可能的值是：
（3）解：根据题意：①当时，二次三项式的值为0，即解得：；
②根据题意：当时，二次三项式的值为0，
即解得：；
则原二次三项式为
∴另一个因式为
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）通过十字相乘法完成对多项式的分解因式；
（2）找出满足两个数乘积为，且和为的所有整数组合，以此得到整数a的所有可能值；
（3）①根据因式分解后多项式的性质可知，当时，的值为0，代入该值即可求出m；②同理，当时，二次三项式的值为0，将x=5代入即可求出k.
（1）解： 一次项为∶， 则常数项为，
则
（2）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数a的所有可能的值是：
，
即整数a的所有可能的值是：．
（3）解：根据题意：①当时，二次三项式的值为0，
即解得：；
②根据题意：当时，二次三项式的值为0，
即解得：；
则原二次三项式为
∴另一个因式为.
26．阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则解得 又因为 所以关于x的方程 的解为
（1）理解应用：方程 的解为：
（2）知识迁移：若关于x的方程 的解为 求 的值；
（3）拓展提升：若关于x 的方程 的解为 求 的值．
【答案】（1）3；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：可化为，
∵方程的解为，
则有或，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值为零的条件；解分式方程；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵关于x的方程的解为，
∴的解为或，
故答案为：3，；
【分析】（1）由题意可得或；
（2） 根据已知列式， 再利用完全平方公式推导，代入计算即可；
（3）方程变形为，解得或，则有， 据此列式整理可得， 最后对目标代数式进行转化.
（1）解：∵关于x的方程的解为，
∴的解为或，
故答案为：3，；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：可化为，
∵方程的解为，
则有或，
∴，
∴，
∴
．
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