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广东省深圳市罗湖外语学校2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题
1．如下列各图片所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A选项的几何体的主视图和左视图是一样的，故符合题意；
B、C、D选项的几何体的主视图和左视图是不一样的，故都不符合题意，
故选：A．
【分析】根据从正面和左面看到几何体的图形解答即可．
2．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
射击次数 100 200 300 400 500 800 1000
“射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900
“射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（　　）
A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可知，随着射击次数的增加，该运动员“射中九环以上”的频率逐步稳定在0.90附近，
∴估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.90，
故选：D．
【分析】本题考查用频率估计概率的统计思想，在大量重复的试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个固定的常数附近，这个常数就是该事件发生的概率，观察表格中随着射击次数的不断增加，“射中九环以上”的频率的变化趋势，找到其稳定的数值，该数值即为所求的概率。
3．已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．函数表达式为
B．在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小
C．当时，
D．当时，
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，将代入可得，故A正确，不符合题意；
∵，∴电流I随着电阻R的增大而减小，故B正确，不符合题意；
当时，，故C错误，符合题意；
观察图象得，当时，，故D正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
4．如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，，则的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：，，
四边形为平行四边形，
四边形是菱形，，，
，，，
，，
平行四边形为矩形，
．
故选：C．
【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，根据菱形性质可得，，，再根据勾股定理可得CD，再根据矩形判定定理及性质即可求出答案.
5．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是(　　)
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图象在一次函数图象上方，
即当时，的取值范围是或，
故选：B．
【分析】这道题考查一次函数与反比例函数的图象结合，通过函数图象求解不等式的解集。的几何意义是反比例函数的图象位于一次函数图象上方时对应的x的取值范围。已知两函数交点A的横坐标为1，B的横坐标为-2，结合反比例函数图象分布在一、三象限的特征，分区间观察图像位置：当时，反比例函数图象在一次函数上方；当时，一次函数图象在反比例函数上方；当时，反比例函数图象在一次函数上方；当时，一次函数图象在反比例函数上方。综合即可得到时x的取值范围。
6．某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为，则“福塔”的高度约为（　　）（参考数据： ，，）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作于点C，如图所示：
则，
由题意得，，，
∵在中，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
解得：，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】这道题考查解直角三角形在实际测量问题中的应用，涉及俯角的概念、等腰直角三角形的性质以及锐角三角函数的计算。过点A作于点C，由俯角的定义可知、，在中，因为有一个内角为的直角三角形是等腰直角三角形，所以。设，结合PQ的长度可表示出。在中，根据正切函数的定义，，代入的参考数据建立方程，求解得到x的值后，用无人机的高度142m减去AC的长度，即可得到福塔AB的高度。
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P'．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP'为菱形，则t的值为（　　）
A． B．2 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接PP'交BC于O，
∵若四边形QPCP'为菱形，
∴PP'⊥QC，
∴∠POQ=90°，
∵∠ACB=90°，
∴PO∥AC，
∴
∵设点Q运动的时间为t秒，
∴AP=t，QB=t，
∴QC=6-t，
∴CO=3-，
∵AC=CB=6，∠ACB=90°，
∴AB=6，
∴
解得：t=2，
故选B．
【分析】本题结合动点问题考查菱形的性质、平行线分线段成比例定理以及等腰直角三角形的性质。首先连接与BC交于点O，根据菱形对角线互相垂直的性质，得到垂直于QC；由∠ACB与∠POQ均为直角，可推出PO平行于AC，进而得到平行线分线段成比例的关系。再根据动点的运动速度与时间t，表示出AP、QB的长度，进一步推导得出QC、CO的长度；结合等腰直角三角形ABC的边长算出AB的长度，将各线段长度代入比例式建立方程，求解即可得到t的值。
8．如图，在，相交于点，．过点作的垂线交于点，记长为长为．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
当的值发生变化时，的值不变，
故选：B．
【分析】这道题综合考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。过点D作，交BC的延长线于点F，由平行四边形对边平行且相等可知、，因此；结合、得到的，可依据AAS证明，由此得到、。接下来分别在两个直角三角形中根据勾股定理表示边长的平方：，其中，代入可得；同理，其中，代入可得。由可知二者的平方相等，因此建立等式，展开化简后可推出，即的值不随的变化而改变。
9．已知，那么的值是　 　．
【答案】2
【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：设，
∴，，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据题意，设，将，，用含k的代数式表示出来，然后代入所求代数式计算即可求解．
10．若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为　 　．
【答案】2025
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】这道题考查一元二次方程的解的定义以及整体代入法求代数式的值。方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，将代入方程中，可得到，整理得出。观察所求代数式，可变形为，将整体代入式子中，即可计算出结果。
11．如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树高，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯的高度长是　 　米．
【答案】5
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意知，
∴
在和中
解得
故答案为：5．
【分析】本题考查中心投影与相似三角形的实际应用，由光线沿直线传播的原理可知树AB与路灯PO互相平行。根据平行于三角形一边的直线截另外两边，所得三角形与原三角形相似，判定Rt△ABC与Rt△POC相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式，代入已知线段的长度计算，即可求出PO的高度。
12．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，边与x轴交于点C，且，轴，反比例函数的图象经过点A，若，则　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图所示，过点作轴，交轴于点，
，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，
∴矩形的面积为，
，
∵图象位于第二象限，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质以及三角形面积计算。过点A作AE垂直x轴于点E，首先由对顶角相等以及两组直角对应相等，判定△ACE与△BCO相似，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合BC=2AC的条件，算出△ACE的面积。再由AD平行于x轴，判定△OBC与△DBA相似，同理求出△DBA的面积，进而得到四边形ACOD的面积；结合△ACE的面积算出矩形AEOD的面积，最后根据反比例函数中|k|等于过双曲线上一点作坐标轴垂线形成的矩形面积，结合图像所在象限确定k的符号与具体数值。
13．在等腰中，，D是BC上一点，过点D作交延长线于点E，若，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交的延长线于点F，如图所示：
，
在中，，
∴设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵，，
∴，
设，，
，
，
在中，，
在中，，
，，
，，
，
∴，
解得：，
，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形以及勾股定理的综合应用。通过作辅助线构造直角三角形：过A作AP⊥BC于P，过B作BH⊥AC于H，过E作EF⊥BC交BC延长线于F。首先在Rt△ABH中，由tan∠BAC的比值设出BH与AH的长度，用勾股定理求出AB的长，结合AB=AC得到AC、CH的长度，进一步算出BC的长；根据等腰三角形三线合一的性质得到BP、CP的长度，结合BD与AB的比例求出BD、CD、DP的长度，进而算出AP的长度，得到∠ACP的正切值。由对顶角相等推出∠ECF与∠ACP的正切值相等，设出EF与CF的长度，表示出CE与DF的长度。再根据DE⊥AD与AP⊥BC的条件，利用同角的余角相等证出∠EDF=∠DAP，得到二者正切值相等，建立方程求出参数的表达式，最后代入AC与CE的长度比中化简计算。
14．（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】解：（1）
；
（2），
整理得，即，
解得：，．
【知识点】零指数幂；直接开平方法解一元二次方程；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、二次根式化简、零指数幂以及特殊角的三角函数值。先分别计算每一项：根据绝对值的代数意义化简|-1|，将化为最简二次根式后计算乘法，依据零指数幂法则计算，代入cos45°的数值计算乘法，最后按照从左到右的顺序进行加减运算。
（2）本题考查解一元二次方程，先利用平方差公式将方程左边展开，通过移项整理成的标准形式，再用直接开平方法求出方程的两个解。
15．3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独；．魔方；.24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题．
（1）本次调查总人数为______人，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；
（3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）， 补全条形统计图 如下，
（2）解：（人），
答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人；
（3）解：画树状图如下图：
由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查总人数为（人），
选择D类的学生人数为（人），
补全条形统计图如下：
【分析】
（1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可；
（2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解；
（3）由题意画出树状图，根据树状图中的信息可知：共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种，然后用概率公式计算即可求解．
（1）解：本次调查总人数为（人），
选择D类的学生人数为（人），
补全条形统计图如下：
（2）解：（人），
答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人；
（3）解：画树状图如下图：
由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
16．如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=的图像交于点，A（n，3）和点B（1，-6），与y轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数表达式；
（2）请直接写出关于x的不等式kx+b>的解集；
（3）把点C绕着点O逆时针旋转90°，得到点，连接，，求△AB的面积．
【答案】解：（1）把B（1，-6）代入反比例函数y=中，得：，解得：m=-6，
则反比例函数解析式为：，
把A（n，3）代入中，得：，
解得：n=-2，
则A点坐标为（-2，3），
把A（-2，3），B（1，-6）代入次函数y=kx+b中，
，
解得：，
则一次函数解析式为：；
（2）x＜-2或0＜x＜1；
（3）AB与x轴交点记为D，
一次函数解析式为：，
令x=0，则y=-3，令y=0，则x=-3，
∴C点坐标为（0，-3），D点坐标为（-3，0），
点C绕着点O逆时针旋转90°，得到点，
则的坐标为（3，0），
∴.
、
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；旋转的性质
【解析】【解答】（2）∵A（-2，3），B（1，-6），
由图知，kx+b>的解集x＜-2或0＜x＜1；
【分析】（1）这一问考查一次函数与反比例函数解析式的求解，先将点代入反比例函数中，求出m的值，即可确定反比例函数的解析式；再将点代入已求出的反比例函数解析式，解出n的值，得到点A的坐标；最后将A、B两点的坐标代入一次函数中，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k和b的值，即可确定一次函数的解析式；
（2）这一问考查利用函数图象解不等式，的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围，结合A、B两点的横坐标以及反比例函数的图象分布，分区间观察图像位置即可写出不等式的解集；
（3）这一问考查坐标旋转的性质与三角形面积的计算。先求出一次函数与y轴交点C的坐标，根据点绕原点逆时针旋转的坐标变化规律，得到点的坐标；再求出一次函数与x轴交点D的坐标，将的面积拆分为和的面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加，即可得到的总面积。
17．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米．
（1）长为______米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
（2）若苗圃的面积为，求x的值；
（3）苗圃的面积可以为吗？若可以，求出x的值，若不可以，说明理由．
【答案】（1）
（2）解：根据题意得，
即，
化简得，
解得，，
当时，，
（舍去），
（3）解：设面积为，
即，
当时，，
化简得，
，
方程无解，
故苗圃的面积不可以为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：依据题意，，
解得，
故答案为：；
【分析】（1） 利用BC的长=木栏总长+2个门的长-3×CD的长，即可用含x的代数式表示出BC的长；
（2）根据苗圃ABCD的面积为96m2，可列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，再结合墙最大可用长度为14米，即可求解；
（3）假设苗圃ABCD的面积为，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=-16＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立.
（1）解：依据题意，，
解得，
故答案为：；
（2）解：根据题意得，
即，
化简得，
解得，，
当时，，
（舍去），
；
（3）解：设面积为，
即，
当时，，
化简得，
，
方程无解，
故苗圃的面积不可以为．
18．如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）证明（1）中得到的四边形是菱形
【答案】（1）
（2）证明：由（1）得，=，∴CF∥AB，又∵BE∥DC，∴四边形CDBF是平行四边形，∵CD是直角三角形ABC斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴四边形CDBF是菱形.
【知识点】菱形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）考查尺规作图中作一个角等于已知角的方法，要作，可利用尺规作等角的基本操作，以点C为顶点，CE为一边，通过画弧、截取等步骤作出与相等的角，使射线CM交BE于点F，保留作图痕迹即可；
（2）考查菱形的判定、平行线的判定以及直角三角形斜边中线的性质。首先由，根据同位角相等两直线平行，可推出，即；结合已知，即，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形CDBF是平行四边形。再根据直角三角形斜边中线的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此，即平行四边形有一组邻边相等，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得结论。
（1）解：如图，
；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴平行四边形是菱形．
19．综合与实践：
利用正方形硬纸板设计制作带盖长方体盒子
四边形是边长为的正方形硬纸片，“创新小组”设计出不同方式的带盖长方体包装盒，并画出了示意图（图①，图③）及折合成的带盖长方体盒子（图②，图④），其中，实线表示剪切线，虚线表示折痕（设计，折合及计算过程中，纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计），请你观察，操作，验证并思考完成该小组提出的问题．
设计方案一：如图①，将正方形硬纸片的四个角分别剪去大小相同的两个正方形和两个长方形（阴影部分所示），再沿虚线折合得到一个底面为长方形的包装盒（如图②所示）．
（1）设，________，（用含a的代数式表示）；若底面积为，则MG的长为________．
设计方案二：如图③，将正方形硬纸板切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示），其中点E，F在上；再沿虚线折起，点A，B，C，D恰好重合于点O处（如图④所示），形成有一个底面为正方形的包装盒，设．
（2）请直接写出线段的长________（用含x的代数式表示）；
（3）求长方体盒子的侧面积的最大值．
【答案】（1），6；
（2）；
（3）由题意可知为等腰直角三角形，长方体盒子的侧面为4个全等的矩形，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴当时，S有最大值450．
答：长方体盒子的侧面积的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）设，
则，．
∵底面积为，
∴．
解得：，．
∵，
∴，
∴，．
故答案为：，6．
（2）∵将正方形硬纸板切去四个全等的等腰直角三角形，，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】（1）本题考查正方形折叠与一元二次方程的应用，根据设计方案一的折叠方式，分析底面长方形的边长与MG长度的关系：MN为正方形边长减去两个MG的长度，MP为剩余长度的一半，用含a的代数式表示出MP；再根据长方形面积公式，结合底面积为162cm2列出方程，解方程后根据边长为正的条件舍去不合理解，得到MG的长度。
（2）本题考查等腰直角三角形的性质与代数式表示，根据设计方案二切去四个全等等腰直角三角形的条件，可知△GEF为等腰直角三角形，由GF=x得到EF的长度；再结合正方形边长，用边长减去EF的长度再除以2，即可得到BF的长度表达式。
（3）本题考查二次函数的实际应用，求侧面积的最大值。先由等腰直角三角形的性质求出侧面矩形的另一条边长PF，进而得到一个侧面矩形的面积，乘以4得到总侧面积S关于x的二次函数表达式；将二次函数化为顶点式，结合自变量的取值范围，根据二次函数的开口方向，求出侧面积的最大值。
20．综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）操作判断
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）．
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．
写出图中相等的角 ，并说明理由；
若，，，求的长（用含，，的式子表示）．
【答案】（1）；
（2）；；
过作于，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：观察图知，图和图中不存在对角互补，图和图中存在对角互补且邻边相等，故图和图中四边形是邻等对补四边形，
故答案为：；
【分析】（1）这一问考查对新定义"邻等对补四边形"的理解，需要根据"至少有一组邻边相等且对角互补"的定义，逐一判断4个四边形是否同时满足邻边相等、对角互补两个条件，符合的即为答案；
（2）①这一问考查全等三角形的判定与性质、补角的性质。延长CB至点E，使，连接AE，根据邻等对补四边形的定义可知，结合邻补角，可推出；再结合、，根据SAS可判定，由此得到、；由，根据等边对等角可得，通过等量代换即可得到；
②这一问考查等腰三角形的性质、解直角三角形以及余弦的定义。过A作于F，由，根据等腰三角形三线合一的性质，可得F是EC中点，因此。由①的结论可知，结合，可得。在中，根据余弦的定义，变形后即可用m、n、表示出AC的长度。
（1）解：观察图知，图和图中不存在对角互补，图和图中存在对角互补且邻边相等，故图和图中四边形是邻等对补四边形，
故答案为：；
（2）解：，
理由：延长至点，使，连接，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：，；
过作于，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故的长为．
1 / 1广东省深圳市罗湖外语学校2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题
1．如下列各图片所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（　　）
A． B．
C． D．
2．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
射击次数 100 200 300 400 500 800 1000
“射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900
“射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（　　）
A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90
3．已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．函数表达式为
B．在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小
C．当时，
D．当时，
4．如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，，则的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是(　　)
A．或 B．或
C．或 D．或
6．某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为，则“福塔”的高度约为（　　）（参考数据： ，，）
A． B． C． D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P'．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP'为菱形，则t的值为（　　）
A． B．2 C．2 D．3
8．如图，在，相交于点，．过点作的垂线交于点，记长为长为．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
9．已知，那么的值是　 　．
10．若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为　 　．
11．如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树高，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯的高度长是　 　米．
12．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，边与x轴交于点C，且，轴，反比例函数的图象经过点A，若，则　 　．
13．在等腰中，，D是BC上一点，过点D作交延长线于点E，若，，则的值为　 　．
14．（1）计算：；
（2）解方程：．
15．3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独；．魔方；.24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题．
（1）本次调查总人数为______人，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；
（3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
16．如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=的图像交于点，A（n，3）和点B（1，-6），与y轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数表达式；
（2）请直接写出关于x的不等式kx+b>的解集；
（3）把点C绕着点O逆时针旋转90°，得到点，连接，，求△AB的面积．
17．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米．
（1）长为______米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
（2）若苗圃的面积为，求x的值；
（3）苗圃的面积可以为吗？若可以，求出x的值，若不可以，说明理由．
18．如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）证明（1）中得到的四边形是菱形
19．综合与实践：
利用正方形硬纸板设计制作带盖长方体盒子
四边形是边长为的正方形硬纸片，“创新小组”设计出不同方式的带盖长方体包装盒，并画出了示意图（图①，图③）及折合成的带盖长方体盒子（图②，图④），其中，实线表示剪切线，虚线表示折痕（设计，折合及计算过程中，纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计），请你观察，操作，验证并思考完成该小组提出的问题．
设计方案一：如图①，将正方形硬纸片的四个角分别剪去大小相同的两个正方形和两个长方形（阴影部分所示），再沿虚线折合得到一个底面为长方形的包装盒（如图②所示）．
（1）设，________，（用含a的代数式表示）；若底面积为，则MG的长为________．
设计方案二：如图③，将正方形硬纸板切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示），其中点E，F在上；再沿虚线折起，点A，B，C，D恰好重合于点O处（如图④所示），形成有一个底面为正方形的包装盒，设．
（2）请直接写出线段的长________（用含x的代数式表示）；
（3）求长方体盒子的侧面积的最大值．
20．综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）操作判断
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）．
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．
写出图中相等的角 ，并说明理由；
若，，，求的长（用含，，的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A选项的几何体的主视图和左视图是一样的，故符合题意；
B、C、D选项的几何体的主视图和左视图是不一样的，故都不符合题意，
故选：A．
【分析】根据从正面和左面看到几何体的图形解答即可．
2．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可知，随着射击次数的增加，该运动员“射中九环以上”的频率逐步稳定在0.90附近，
∴估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.90，
故选：D．
【分析】本题考查用频率估计概率的统计思想，在大量重复的试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个固定的常数附近，这个常数就是该事件发生的概率，观察表格中随着射击次数的不断增加，“射中九环以上”的频率的变化趋势，找到其稳定的数值，该数值即为所求的概率。
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，将代入可得，故A正确，不符合题意；
∵，∴电流I随着电阻R的增大而减小，故B正确，不符合题意；
当时，，故C错误，符合题意；
观察图象得，当时，，故D正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：，，
四边形为平行四边形，
四边形是菱形，，，
，，，
，，
平行四边形为矩形，
．
故选：C．
【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，根据菱形性质可得，，，再根据勾股定理可得CD，再根据矩形判定定理及性质即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图象在一次函数图象上方，
即当时，的取值范围是或，
故选：B．
【分析】这道题考查一次函数与反比例函数的图象结合，通过函数图象求解不等式的解集。的几何意义是反比例函数的图象位于一次函数图象上方时对应的x的取值范围。已知两函数交点A的横坐标为1，B的横坐标为-2，结合反比例函数图象分布在一、三象限的特征，分区间观察图像位置：当时，反比例函数图象在一次函数上方；当时，一次函数图象在反比例函数上方；当时，反比例函数图象在一次函数上方；当时，一次函数图象在反比例函数上方。综合即可得到时x的取值范围。
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作于点C，如图所示：
则，
由题意得，，，
∵在中，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
解得：，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】这道题考查解直角三角形在实际测量问题中的应用，涉及俯角的概念、等腰直角三角形的性质以及锐角三角函数的计算。过点A作于点C，由俯角的定义可知、，在中，因为有一个内角为的直角三角形是等腰直角三角形，所以。设，结合PQ的长度可表示出。在中，根据正切函数的定义，，代入的参考数据建立方程，求解得到x的值后，用无人机的高度142m减去AC的长度，即可得到福塔AB的高度。
7．【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接PP'交BC于O，
∵若四边形QPCP'为菱形，
∴PP'⊥QC，
∴∠POQ=90°，
∵∠ACB=90°，
∴PO∥AC，
∴
∵设点Q运动的时间为t秒，
∴AP=t，QB=t，
∴QC=6-t，
∴CO=3-，
∵AC=CB=6，∠ACB=90°，
∴AB=6，
∴
解得：t=2，
故选B．
【分析】本题结合动点问题考查菱形的性质、平行线分线段成比例定理以及等腰直角三角形的性质。首先连接与BC交于点O，根据菱形对角线互相垂直的性质，得到垂直于QC；由∠ACB与∠POQ均为直角，可推出PO平行于AC，进而得到平行线分线段成比例的关系。再根据动点的运动速度与时间t，表示出AP、QB的长度，进一步推导得出QC、CO的长度；结合等腰直角三角形ABC的边长算出AB的长度，将各线段长度代入比例式建立方程，求解即可得到t的值。
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
当的值发生变化时，的值不变，
故选：B．
【分析】这道题综合考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。过点D作，交BC的延长线于点F，由平行四边形对边平行且相等可知、，因此；结合、得到的，可依据AAS证明，由此得到、。接下来分别在两个直角三角形中根据勾股定理表示边长的平方：，其中，代入可得；同理，其中，代入可得。由可知二者的平方相等，因此建立等式，展开化简后可推出，即的值不随的变化而改变。
9．【答案】2
【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：设，
∴，，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据题意，设，将，，用含k的代数式表示出来，然后代入所求代数式计算即可求解．
10．【答案】2025
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】这道题考查一元二次方程的解的定义以及整体代入法求代数式的值。方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，将代入方程中，可得到，整理得出。观察所求代数式，可变形为，将整体代入式子中，即可计算出结果。
11．【答案】5
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意知，
∴
在和中
解得
故答案为：5．
【分析】本题考查中心投影与相似三角形的实际应用，由光线沿直线传播的原理可知树AB与路灯PO互相平行。根据平行于三角形一边的直线截另外两边，所得三角形与原三角形相似，判定Rt△ABC与Rt△POC相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式，代入已知线段的长度计算，即可求出PO的高度。
12．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图所示，过点作轴，交轴于点，
，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，
∴矩形的面积为，
，
∵图象位于第二象限，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质以及三角形面积计算。过点A作AE垂直x轴于点E，首先由对顶角相等以及两组直角对应相等，判定△ACE与△BCO相似，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合BC=2AC的条件，算出△ACE的面积。再由AD平行于x轴，判定△OBC与△DBA相似，同理求出△DBA的面积，进而得到四边形ACOD的面积；结合△ACE的面积算出矩形AEOD的面积，最后根据反比例函数中|k|等于过双曲线上一点作坐标轴垂线形成的矩形面积，结合图像所在象限确定k的符号与具体数值。
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交的延长线于点F，如图所示：
，
在中，，
∴设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵，，
∴，
设，，
，
，
在中，，
在中，，
，，
，，
，
∴，
解得：，
，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形以及勾股定理的综合应用。通过作辅助线构造直角三角形：过A作AP⊥BC于P，过B作BH⊥AC于H，过E作EF⊥BC交BC延长线于F。首先在Rt△ABH中，由tan∠BAC的比值设出BH与AH的长度，用勾股定理求出AB的长，结合AB=AC得到AC、CH的长度，进一步算出BC的长；根据等腰三角形三线合一的性质得到BP、CP的长度，结合BD与AB的比例求出BD、CD、DP的长度，进而算出AP的长度，得到∠ACP的正切值。由对顶角相等推出∠ECF与∠ACP的正切值相等，设出EF与CF的长度，表示出CE与DF的长度。再根据DE⊥AD与AP⊥BC的条件，利用同角的余角相等证出∠EDF=∠DAP，得到二者正切值相等，建立方程求出参数的表达式，最后代入AC与CE的长度比中化简计算。
14．【答案】解：（1）
；
（2），
整理得，即，
解得：，．
【知识点】零指数幂；直接开平方法解一元二次方程；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、二次根式化简、零指数幂以及特殊角的三角函数值。先分别计算每一项：根据绝对值的代数意义化简|-1|，将化为最简二次根式后计算乘法，依据零指数幂法则计算，代入cos45°的数值计算乘法，最后按照从左到右的顺序进行加减运算。
（2）本题考查解一元二次方程，先利用平方差公式将方程左边展开，通过移项整理成的标准形式，再用直接开平方法求出方程的两个解。
15．【答案】（1）， 补全条形统计图 如下，
（2）解：（人），
答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人；
（3）解：画树状图如下图：
由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查总人数为（人），
选择D类的学生人数为（人），
补全条形统计图如下：
【分析】
（1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可；
（2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解；
（3）由题意画出树状图，根据树状图中的信息可知：共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种，然后用概率公式计算即可求解．
（1）解：本次调查总人数为（人），
选择D类的学生人数为（人），
补全条形统计图如下：
（2）解：（人），
答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人；
（3）解：画树状图如下图：
由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
16．【答案】解：（1）把B（1，-6）代入反比例函数y=中，得：，解得：m=-6，
则反比例函数解析式为：，
把A（n，3）代入中，得：，
解得：n=-2，
则A点坐标为（-2，3），
把A（-2，3），B（1，-6）代入次函数y=kx+b中，
，
解得：，
则一次函数解析式为：；
（2）x＜-2或0＜x＜1；
（3）AB与x轴交点记为D，
一次函数解析式为：，
令x=0，则y=-3，令y=0，则x=-3，
∴C点坐标为（0，-3），D点坐标为（-3，0），
点C绕着点O逆时针旋转90°，得到点，
则的坐标为（3，0），
∴.
、
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；旋转的性质
【解析】【解答】（2）∵A（-2，3），B（1，-6），
由图知，kx+b>的解集x＜-2或0＜x＜1；
【分析】（1）这一问考查一次函数与反比例函数解析式的求解，先将点代入反比例函数中，求出m的值，即可确定反比例函数的解析式；再将点代入已求出的反比例函数解析式，解出n的值，得到点A的坐标；最后将A、B两点的坐标代入一次函数中，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k和b的值，即可确定一次函数的解析式；
（2）这一问考查利用函数图象解不等式，的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围，结合A、B两点的横坐标以及反比例函数的图象分布，分区间观察图像位置即可写出不等式的解集；
（3）这一问考查坐标旋转的性质与三角形面积的计算。先求出一次函数与y轴交点C的坐标，根据点绕原点逆时针旋转的坐标变化规律，得到点的坐标；再求出一次函数与x轴交点D的坐标，将的面积拆分为和的面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加，即可得到的总面积。
17．【答案】（1）
（2）解：根据题意得，
即，
化简得，
解得，，
当时，，
（舍去），
（3）解：设面积为，
即，
当时，，
化简得，
，
方程无解，
故苗圃的面积不可以为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：依据题意，，
解得，
故答案为：；
【分析】（1） 利用BC的长=木栏总长+2个门的长-3×CD的长，即可用含x的代数式表示出BC的长；
（2）根据苗圃ABCD的面积为96m2，可列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，再结合墙最大可用长度为14米，即可求解；
（3）假设苗圃ABCD的面积为，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=-16＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立.
（1）解：依据题意，，
解得，
故答案为：；
（2）解：根据题意得，
即，
化简得，
解得，，
当时，，
（舍去），
；
（3）解：设面积为，
即，
当时，，
化简得，
，
方程无解，
故苗圃的面积不可以为．
18．【答案】（1）
（2）证明：由（1）得，=，∴CF∥AB，又∵BE∥DC，∴四边形CDBF是平行四边形，∵CD是直角三角形ABC斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴四边形CDBF是菱形.
【知识点】菱形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）考查尺规作图中作一个角等于已知角的方法，要作，可利用尺规作等角的基本操作，以点C为顶点，CE为一边，通过画弧、截取等步骤作出与相等的角，使射线CM交BE于点F，保留作图痕迹即可；
（2）考查菱形的判定、平行线的判定以及直角三角形斜边中线的性质。首先由，根据同位角相等两直线平行，可推出，即；结合已知，即，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形CDBF是平行四边形。再根据直角三角形斜边中线的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此，即平行四边形有一组邻边相等，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得结论。
（1）解：如图，
；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴平行四边形是菱形．
19．【答案】（1），6；
（2）；
（3）由题意可知为等腰直角三角形，长方体盒子的侧面为4个全等的矩形，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴当时，S有最大值450．
答：长方体盒子的侧面积的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）设，
则，．
∵底面积为，
∴．
解得：，．
∵，
∴，
∴，．
故答案为：，6．
（2）∵将正方形硬纸板切去四个全等的等腰直角三角形，，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】（1）本题考查正方形折叠与一元二次方程的应用，根据设计方案一的折叠方式，分析底面长方形的边长与MG长度的关系：MN为正方形边长减去两个MG的长度，MP为剩余长度的一半，用含a的代数式表示出MP；再根据长方形面积公式，结合底面积为162cm2列出方程，解方程后根据边长为正的条件舍去不合理解，得到MG的长度。
（2）本题考查等腰直角三角形的性质与代数式表示，根据设计方案二切去四个全等等腰直角三角形的条件，可知△GEF为等腰直角三角形，由GF=x得到EF的长度；再结合正方形边长，用边长减去EF的长度再除以2，即可得到BF的长度表达式。
（3）本题考查二次函数的实际应用，求侧面积的最大值。先由等腰直角三角形的性质求出侧面矩形的另一条边长PF，进而得到一个侧面矩形的面积，乘以4得到总侧面积S关于x的二次函数表达式；将二次函数化为顶点式，结合自变量的取值范围，根据二次函数的开口方向，求出侧面积的最大值。
20．【答案】（1）；
（2）；；
过作于，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：观察图知，图和图中不存在对角互补，图和图中存在对角互补且邻边相等，故图和图中四边形是邻等对补四边形，
故答案为：；
【分析】（1）这一问考查对新定义"邻等对补四边形"的理解，需要根据"至少有一组邻边相等且对角互补"的定义，逐一判断4个四边形是否同时满足邻边相等、对角互补两个条件，符合的即为答案；
（2）①这一问考查全等三角形的判定与性质、补角的性质。延长CB至点E，使，连接AE，根据邻等对补四边形的定义可知，结合邻补角，可推出；再结合、，根据SAS可判定，由此得到、；由，根据等边对等角可得，通过等量代换即可得到；
②这一问考查等腰三角形的性质、解直角三角形以及余弦的定义。过A作于F，由，根据等腰三角形三线合一的性质，可得F是EC中点，因此。由①的结论可知，结合，可得。在中，根据余弦的定义，变形后即可用m、n、表示出AC的长度。
（1）解：观察图知，图和图中不存在对角互补，图和图中存在对角互补且邻边相等，故图和图中四边形是邻等对补四边形，
故答案为：；
（2）解：，
理由：延长至点，使，连接，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：，；
过作于，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故的长为．
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