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浙江省杭州市钱塘区文海实验中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
1．下面是化学实验中的四个实验器材，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断：如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，据此对相关图形逐一分析即可。
2．已知≌，且，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵（、、分别与、、对应），，
∴，
故选：B．
【分析】
根据全等三角形的对应性质就可以求出正确结果.
3．若，则下列式子中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式两边同时减去3，不等号方向不改变，即，选项说法正确，符合题意；
B、不等式两边同时加3，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意；
C、不等式两边同时乘，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意；
D、当，时，满足，此时，，，故选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据不等式的基本性质，逐一判断选项即可得．
4．如果下列各组数分别是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的是(　　)
A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：故选项A的数据不能构成直角三角形；
故选项B中的数据不能构成直角三角形；
故选项C中的数据能构成直角三角形；
故选项D中的数据不能构成直角三角形；
故选： C.
【分析】根据勾股定理的逆定理和各个选项中的数据，可以判断是否构成直角三角形，本题得以解决.
5．等腰三角形的顶角为50°，则它的底角是(　　)
A．50° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：解：∵等腰三角形的顶角为
∴底角为：
故选：B.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可.
6．使用如图所示的两根直铁丝做成一个等腰三角形框架，需要将其中的一根铁丝折成两段，小明认为：可将线段折成，；小亮认为：可将线段折成，，下列说法正确的是（　　）
A．只有小明正确 B．只有小亮正确
C．两人都正确 D．两人都错误
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：小明的折法，将线段折成，，此时三角形三边为，，，
因为，满足三角形三边关系，能构成等腰三角形，
所以小明的折法正确；
小亮的折法，将线段折成，，此时三角形三边为，，，
因为，满足三角形三边关系，能构成等腰三角形，
所以小亮的折法也正确，
综上，两人都正确，
故选：．
【分析】分别对小明和小亮的折叠方案进行分析，再依据三角形三边关系——三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边——判断对应的方案能否构成等腰三角形就能得到结果.
7．如图，，，，要根据“”证明则还需要添加一个条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵，，，
∴∠CDF=∠AEB=90°，
要根据“”证明，
只需再有斜边即可。
故答案为：D．
【分析】本题结合已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“”证明全等，需再有斜边对应相等即可，然后结合选项即可得出答案。
8．如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图可知，，，
∴，
∴，
故选：．
【分析】根据作图过程可以得到对应边的关系：，，三边对应相等，因此可以依据判定两个三角形全等，再由全等三角形对应角相等得到所作角和已知角相等.
9．已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】D
【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】A、等腰三角形三条高线的交点不一定不在三角形的外部，不符合题意；
B、直角三角形的三条高线的交点在直角顶点处，不在三角形的外部，不符合题意；
C、锐角三角形的三条高线的交点在三角形的内部，不符合题意；
D、钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，进行判断即可．
10．如图，在中，为边上两点，且满足．连结．若，则与之间的数量关系为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵
，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】由已知，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得。再通过角的和差关系进行等量代换，可以推导出，最后将已知条件代入推导式，即可完成求解。
11．已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为　 　.
【答案】2
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：设该等腰三角形的底边长为a，
∵该等腰三角形的周长为10，腰长为4，
解得：a=2，
此时该等腰三角形的三边为：4，4，2，
满足构成三角形的条件，
∴该等腰三角形的底边长为2.
故答案为：2.
【分析】设该等腰三角形的底边长为a，依题意得4+4+a=10，此时该等腰三角形的三边为：4，4，2，满足构成三角形的条件，由此即可得出答案.
12．命题“对顶角相等”的逆命题是 　 　命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．
故答案为假．
【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．
13．把一块三角板和直尺如图所示放置，，则　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图
，
直尺的两对边平行，
，
故答案为：．
【分析】首先借助三角形外角的性质可以推导出，再结合平行线的性质两直线平行，内错角相等。可以得到，代入角度即可计算出最终结果。
14．如图，中，是的垂直平分线，，的周长为30，则的周长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，
，，
∵的周长是，即，
，
，
即的周长是，
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，；结合题意可知，将DA=DC代入替换后可得，而AB+BD+DA就是的周长，由此即可得到结果。
15．已知不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】由得，，
∵不等式的正整数解恰是1，2，3，
∴且，
解得，，
故答案为．
【分析】先求解不等式得到x的取值范围，再结合题目给出的“正整数解恰好为1，2，3”这一条件，推导得到a的取值范围。
16．如图，在中，，，，点为的中点，点是边上动点，将沿直线折叠，折叠后点的对应点为，与交于，当为直角三角形时，线段的长为　 　．
【答案】或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
由勾股定理得：，
∵点为的中点，
∴，
由折叠性质得，，，
∴当为直角三角形时，有以下两种情况：
当时，如图所示，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴；
当时，过点作于点，如图所示，
同上理可得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：当为直角三角形时，线段的长为或，
故答案为：或．
【分析】在中，已知，，斜边，根据“直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半”，可得；再结合勾股定理，计算直角边，由折叠的性质可进一步得到；最后分两种情况讨论计算即可：当时；当时.
17．下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并解答．
解：．第①步
．第②步
．第③步
．第④步
．第⑤步
（1）第______步开始出现错误．
（2）请给出正确解答．
【答案】（1）⑤
（2）解：去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化成1，得
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】（1）解：第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变，
故答案为：⑤；
【分析】（1）在整个解题过程中，第⑤步出现了错误，出错的原因是：给不等式两边同时乘（或同时除以）同一个负数时，不等号的方向没有改变，违反了不等式的基本性质。
（2）先求出这个不等式正确的解集，再完成对应要求即可。
（1）解：第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变，
故答案为：⑤；
（2）解：去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化成1，得．
18．如图，在中，，，，分别是的角平分线和高线，则的度数．
【答案】解：∵，，∴在中，，
∵是的角平分线，
∴ ，
又∵是的高线，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】
先结合三角形内角和定理与角平分线的性质计算出的度数，再通过三角形内角和定理求出的度数，最终根据关系得到结果.
19．图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均落在格点上，在图1、图2给定的网格中按要求作图．
（1）在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰．
（2）在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰．
【答案】（1）解：如图1，点P即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2，点P即为所求（答案不唯一）．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作三角形；等腰三角形的概念
【解析】【分析】
（1）根据等腰三角形两腰相等的性质，只需要找到点P，使得，就可以得到符合要求的等腰三角形。
（2）根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知只要点P落在线段的垂直平分线上，就能满足PA=PB，得到以AB为底边的等腰三角形，据此即可作图求解.
（1）解：如图1，点P即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2，点P即为所求（答案不唯一）．
20．如图，已知．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：在和中，
，
，
（2）解：由（1）知，，
，
是的一个外角，
，
则
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）先根据全等三角形的边边边判定定理，即SSS判定，再结合全等三角形的对应角相等的性质，就可以完成证明；
（2）先根据全等三角形对应角相等，得到，再结合三角形外角的性质推导出，整理即可得到最终结果。
（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，
是的一个外角，
，
则．
21．如图，油纸伞题中国传统工艺品之一，如图，伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的，点固定不动，且到点的距离满足．
（1）当点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图，当油纸伞撑开时，伞的边缘，与点在同一直线上且伞圈到的距离，伞面宽，若当点恰好是的中点，求伞骨的长．
【答案】（1）解：处于同一平面的两条伞骨和相等，理由如下：∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴，
在，中，
，
∴，
∴；
即处于同一平面的两条伞骨和相等
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，点恰好是的中点，
∴，
答：伞骨的长为
【知识点】全等三角形的实际应用；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（）结合题干条件可以得到，再利用边角边判定定理，即，证明，根据全等三角形对应边相等的性质，即可推出；
（）由可得，已知，根据等腰三角形三线合一的性质可得，进而推出，再通过勾股定理计算得到，最后结合直角三角形的相关性质就可以求出最终结果。
（1）解：处于同一平面的两条伞骨和相等，理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴，
在，中，
，
∴，
∴；
即处于同一平面的两条伞骨和相等；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，点恰好是的中点，
∴，
答：伞骨的长为．
22．某班计划采购A，B两种型号的羽毛球拍，已知购买2副 A型羽毛球拍和3副 B型羽毛球拍共需426元，购买4副A 型羽毛球拍和1副 B型羽毛球拍共需442元.
（1）求A、B两种型号羽毛球拍的单价.
（2）该班准备采购A、B两种型号的羽毛球拍共20副，且A 型羽毛球拍的数量不少于B 型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由.
【答案】（1）解：设A型羽毛球拍的单价为x元，B型羽毛球拍的单价为y元，
由题意得：
解得
答：A型羽毛球拍的单价为90元，B型羽毛球拍的单价为82元.
（2）解：最省钱的购买方案是采购14副A型羽毛球拍，6副B型羽毛球拍；最少费用为1752元，理由：
设该班采购A型羽毛球拍m副，购买的费用为W元，则采购B型羽毛球拍((20-m)副，
由(1)的结论得：W=90m+82(20-m)=8m+1640，
∵A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，
解得
在 内，W随m的增大而增大，
又m是整数
则当m=14时，W取得最小值，最小值为88×14+1640=1752，
此时20-m=20-14=6，
答：最省钱的购买方案是采购14副A型羽毛球拍，6副B型羽毛球拍；最少费用为1752元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设A型羽毛球拍的单价为x元，B型羽毛球拍的单价为y元，根据“购买2副A型羽毛球拍和3副B型羽毛球拍共需426元，购买4副A型羽毛球拍和1副B型羽毛球拍共需442元”建立方程组，解方程组即可得；
(2)设该班采购A型羽毛球拍m副，购买的费用为W元，则采购B型羽毛球拍((20-m)副，结合(1)的结论可得W=8m+1640，再根据“A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍”求出m的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可得.
23．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且，连结延长线交于．
（1）求证：；
（2）判断与的位置关系并说明理由；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
（2）解：，
理由如下：
由（1）知，，
，
在中，，
在中，，则，
（3）解：在中，，则由勾股定理可得，
在中，，则由勾股定理可得，
设，
在中，，则由勾股定理可得，
，，
，，
在中，，，则由勾股定理可得，
即，
解得，
【知识点】勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-SAS；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的SAS判定定理，直接推出；
（2）根据（1）中得到的，可得对应角相等，即。在中，直角三角形两锐角互余，因此，通过等量代换可得，由此可推出三角形内角和为180°，所以，即可判定和的位置关系；
（3）先分别在和中，利用勾股定理算出和的长度。设，先在中，由勾股定理得到关于x的表达式，再在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到，最后结合图形得到，计算即可得到最终结果．
（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
理由如下：
由（1）知，，
，
在中，，
在中，，则，
；
（3）解：在中，，则由勾股定理可得，
在中，，则由勾股定理可得，
设，
在中，，则由勾股定理可得，
，，
，，
在中，，，则由勾股定理可得，
即，
解得，
．
24．如图1，与均是以为直角的等腰直角三角形，在内部．
（1）连接：
①求证：．
②如图2，当平分时，求的长．
（2）如图3，连接，连接与交于，当时，判断与的数量关系并给出证明．
【答案】（1）①证明：∵与均是以为直角的等腰直角三角形，∴，
∴，
在和中，
，
∴；
②如图：延长交于K，
∵是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
由①可知，，
∴，
∴的长为
（2）解：，证明如下：如图：延长到G，使，连接，
∵是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴ ∠DAG = ∠CAB，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴ DG = 2AF，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）①已知△ABD和△ACE都是以∠A为直角的等腰直角三角形，因此可得∠DAB=∠CAE=90°，AD=AB，AC=AE，等式两边同时加上∠BAC，可推出∠DAC=∠BAE，根据边角边（SAS）判定定理即可证明△DAC≌△BAE；②如下图，延长AC交BD于点K，因为AC平分∠DAB，结合∠DAB=90°，AD=AB，可判定△ADK是等腰直角三角形，计算得，因此CK=AK-AC=4-3=1在Rt△DKC中由勾股定理可得；再结合①中△DAC≌△BAE的结论，对应边相等，因 的长为；
（2）延长至点G，使得，连接。首先通过SAS判定定理可证明，由全等三角形的性质可得，且。结合已知条件，可推出，由此可知是的中位线，根据三角形中位线的性质可得，等量代换后即可得到.
（1）①证明：∵与均是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
②如图：延长交于K，
∵是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
由①可知，，
∴，
∴的长为．
（2）解：，证明如下：
如图：延长到G，使，连接，
∵是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴ ∠DAG = ∠CAB，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴ DG = 2AF，
∴．
1 / 1浙江省杭州市钱塘区文海实验中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
1．下面是化学实验中的四个实验器材，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知≌，且，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
3．若，则下列式子中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．如果下列各组数分别是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的是(　　)
A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
5．等腰三角形的顶角为50°，则它的底角是(　　)
A．50° B．65° C．70° D．75°
6．使用如图所示的两根直铁丝做成一个等腰三角形框架，需要将其中的一根铁丝折成两段，小明认为：可将线段折成，；小亮认为：可将线段折成，，下列说法正确的是（　　）
A．只有小明正确 B．只有小亮正确
C．两人都正确 D．两人都错误
7．如图，，，，要根据“”证明则还需要添加一个条件是（　　）
A． B． C． D．
8．如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是（　　）
A． B． C． D．
9．已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
10．如图，在中，为边上两点，且满足．连结．若，则与之间的数量关系为（　　）
A． B．
C． D．
11．已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为　 　.
12．命题“对顶角相等”的逆命题是 　 　命题（填“真”或“假”）．
13．把一块三角板和直尺如图所示放置，，则　 　．
14．如图，中，是的垂直平分线，，的周长为30，则的周长为　 　．
15．已知不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围　 　．
16．如图，在中，，，，点为的中点，点是边上动点，将沿直线折叠，折叠后点的对应点为，与交于，当为直角三角形时，线段的长为　 　．
17．下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并解答．
解：．第①步
．第②步
．第③步
．第④步
．第⑤步
（1）第______步开始出现错误．
（2）请给出正确解答．
18．如图，在中，，，，分别是的角平分线和高线，则的度数．
19．图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均落在格点上，在图1、图2给定的网格中按要求作图．
（1）在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰．
（2）在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰．
20．如图，已知．
（1）求证：；
（2）求的度数．
21．如图，油纸伞题中国传统工艺品之一，如图，伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的，点固定不动，且到点的距离满足．
（1）当点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图，当油纸伞撑开时，伞的边缘，与点在同一直线上且伞圈到的距离，伞面宽，若当点恰好是的中点，求伞骨的长．
22．某班计划采购A，B两种型号的羽毛球拍，已知购买2副 A型羽毛球拍和3副 B型羽毛球拍共需426元，购买4副A 型羽毛球拍和1副 B型羽毛球拍共需442元.
（1）求A、B两种型号羽毛球拍的单价.
（2）该班准备采购A、B两种型号的羽毛球拍共20副，且A 型羽毛球拍的数量不少于B 型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由.
23．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且，连结延长线交于．
（1）求证：；
（2）判断与的位置关系并说明理由；
（3）若，求的长．
24．如图1，与均是以为直角的等腰直角三角形，在内部．
（1）连接：
①求证：．
②如图2，当平分时，求的长．
（2）如图3，连接，连接与交于，当时，判断与的数量关系并给出证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断：如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，据此对相关图形逐一分析即可。
2．【答案】B
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵（、、分别与、、对应），，
∴，
故选：B．
【分析】
根据全等三角形的对应性质就可以求出正确结果.
3．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式两边同时减去3，不等号方向不改变，即，选项说法正确，符合题意；
B、不等式两边同时加3，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意；
C、不等式两边同时乘，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意；
D、当，时，满足，此时，，，故选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据不等式的基本性质，逐一判断选项即可得．
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：故选项A的数据不能构成直角三角形；
故选项B中的数据不能构成直角三角形；
故选项C中的数据能构成直角三角形；
故选项D中的数据不能构成直角三角形；
故选： C.
【分析】根据勾股定理的逆定理和各个选项中的数据，可以判断是否构成直角三角形，本题得以解决.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：解：∵等腰三角形的顶角为
∴底角为：
故选：B.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：小明的折法，将线段折成，，此时三角形三边为，，，
因为，满足三角形三边关系，能构成等腰三角形，
所以小明的折法正确；
小亮的折法，将线段折成，，此时三角形三边为，，，
因为，满足三角形三边关系，能构成等腰三角形，
所以小亮的折法也正确，
综上，两人都正确，
故选：．
【分析】分别对小明和小亮的折叠方案进行分析，再依据三角形三边关系——三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边——判断对应的方案能否构成等腰三角形就能得到结果.
7．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵，，，
∴∠CDF=∠AEB=90°，
要根据“”证明，
只需再有斜边即可。
故答案为：D．
【分析】本题结合已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“”证明全等，需再有斜边对应相等即可，然后结合选项即可得出答案。
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图可知，，，
∴，
∴，
故选：．
【分析】根据作图过程可以得到对应边的关系：，，三边对应相等，因此可以依据判定两个三角形全等，再由全等三角形对应角相等得到所作角和已知角相等.
9．【答案】D
【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】A、等腰三角形三条高线的交点不一定不在三角形的外部，不符合题意；
B、直角三角形的三条高线的交点在直角顶点处，不在三角形的外部，不符合题意；
C、锐角三角形的三条高线的交点在三角形的内部，不符合题意；
D、钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，进行判断即可．
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵
，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】由已知，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得。再通过角的和差关系进行等量代换，可以推导出，最后将已知条件代入推导式，即可完成求解。
11．【答案】2
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：设该等腰三角形的底边长为a，
∵该等腰三角形的周长为10，腰长为4，
解得：a=2，
此时该等腰三角形的三边为：4，4，2，
满足构成三角形的条件，
∴该等腰三角形的底边长为2.
故答案为：2.
【分析】设该等腰三角形的底边长为a，依题意得4+4+a=10，此时该等腰三角形的三边为：4，4，2，满足构成三角形的条件，由此即可得出答案.
12．【答案】假
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．
故答案为假．
【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．
13．【答案】
【知识点】直角三角形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图
，
直尺的两对边平行，
，
故答案为：．
【分析】首先借助三角形外角的性质可以推导出，再结合平行线的性质两直线平行，内错角相等。可以得到，代入角度即可计算出最终结果。
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，
，，
∵的周长是，即，
，
，
即的周长是，
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，；结合题意可知，将DA=DC代入替换后可得，而AB+BD+DA就是的周长，由此即可得到结果。
15．【答案】
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】由得，，
∵不等式的正整数解恰是1，2，3，
∴且，
解得，，
故答案为．
【分析】先求解不等式得到x的取值范围，再结合题目给出的“正整数解恰好为1，2，3”这一条件，推导得到a的取值范围。
16．【答案】或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
由勾股定理得：，
∵点为的中点，
∴，
由折叠性质得，，，
∴当为直角三角形时，有以下两种情况：
当时，如图所示，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴；
当时，过点作于点，如图所示，
同上理可得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：当为直角三角形时，线段的长为或，
故答案为：或．
【分析】在中，已知，，斜边，根据“直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半”，可得；再结合勾股定理，计算直角边，由折叠的性质可进一步得到；最后分两种情况讨论计算即可：当时；当时.
17．【答案】（1）⑤
（2）解：去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化成1，得
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】（1）解：第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变，
故答案为：⑤；
【分析】（1）在整个解题过程中，第⑤步出现了错误，出错的原因是：给不等式两边同时乘（或同时除以）同一个负数时，不等号的方向没有改变，违反了不等式的基本性质。
（2）先求出这个不等式正确的解集，再完成对应要求即可。
（1）解：第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变，
故答案为：⑤；
（2）解：去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化成1，得．
18．【答案】解：∵，，∴在中，，
∵是的角平分线，
∴ ，
又∵是的高线，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】
先结合三角形内角和定理与角平分线的性质计算出的度数，再通过三角形内角和定理求出的度数，最终根据关系得到结果.
19．【答案】（1）解：如图1，点P即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2，点P即为所求（答案不唯一）．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作三角形；等腰三角形的概念
【解析】【分析】
（1）根据等腰三角形两腰相等的性质，只需要找到点P，使得，就可以得到符合要求的等腰三角形。
（2）根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知只要点P落在线段的垂直平分线上，就能满足PA=PB，得到以AB为底边的等腰三角形，据此即可作图求解.
（1）解：如图1，点P即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2，点P即为所求（答案不唯一）．
20．【答案】（1）证明：在和中，
，
，
（2）解：由（1）知，，
，
是的一个外角，
，
则
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）先根据全等三角形的边边边判定定理，即SSS判定，再结合全等三角形的对应角相等的性质，就可以完成证明；
（2）先根据全等三角形对应角相等，得到，再结合三角形外角的性质推导出，整理即可得到最终结果。
（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，
是的一个外角，
，
则．
21．【答案】（1）解：处于同一平面的两条伞骨和相等，理由如下：∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴，
在，中，
，
∴，
∴；
即处于同一平面的两条伞骨和相等
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，点恰好是的中点，
∴，
答：伞骨的长为
【知识点】全等三角形的实际应用；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（）结合题干条件可以得到，再利用边角边判定定理，即，证明，根据全等三角形对应边相等的性质，即可推出；
（）由可得，已知，根据等腰三角形三线合一的性质可得，进而推出，再通过勾股定理计算得到，最后结合直角三角形的相关性质就可以求出最终结果。
（1）解：处于同一平面的两条伞骨和相等，理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴，
在，中，
，
∴，
∴；
即处于同一平面的两条伞骨和相等；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，点恰好是的中点，
∴，
答：伞骨的长为．
22．【答案】（1）解：设A型羽毛球拍的单价为x元，B型羽毛球拍的单价为y元，
由题意得：
解得
答：A型羽毛球拍的单价为90元，B型羽毛球拍的单价为82元.
（2）解：最省钱的购买方案是采购14副A型羽毛球拍，6副B型羽毛球拍；最少费用为1752元，理由：
设该班采购A型羽毛球拍m副，购买的费用为W元，则采购B型羽毛球拍((20-m)副，
由(1)的结论得：W=90m+82(20-m)=8m+1640，
∵A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，
解得
在 内，W随m的增大而增大，
又m是整数
则当m=14时，W取得最小值，最小值为88×14+1640=1752，
此时20-m=20-14=6，
答：最省钱的购买方案是采购14副A型羽毛球拍，6副B型羽毛球拍；最少费用为1752元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设A型羽毛球拍的单价为x元，B型羽毛球拍的单价为y元，根据“购买2副A型羽毛球拍和3副B型羽毛球拍共需426元，购买4副A型羽毛球拍和1副B型羽毛球拍共需442元”建立方程组，解方程组即可得；
(2)设该班采购A型羽毛球拍m副，购买的费用为W元，则采购B型羽毛球拍((20-m)副，结合(1)的结论可得W=8m+1640，再根据“A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍”求出m的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可得.
23．【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
（2）解：，
理由如下：
由（1）知，，
，
在中，，
在中，，则，
（3）解：在中，，则由勾股定理可得，
在中，，则由勾股定理可得，
设，
在中，，则由勾股定理可得，
，，
，，
在中，，，则由勾股定理可得，
即，
解得，
【知识点】勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-SAS；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的SAS判定定理，直接推出；
（2）根据（1）中得到的，可得对应角相等，即。在中，直角三角形两锐角互余，因此，通过等量代换可得，由此可推出三角形内角和为180°，所以，即可判定和的位置关系；
（3）先分别在和中，利用勾股定理算出和的长度。设，先在中，由勾股定理得到关于x的表达式，再在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到，最后结合图形得到，计算即可得到最终结果．
（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
理由如下：
由（1）知，，
，
在中，，
在中，，则，
；
（3）解：在中，，则由勾股定理可得，
在中，，则由勾股定理可得，
设，
在中，，则由勾股定理可得，
，，
，，
在中，，，则由勾股定理可得，
即，
解得，
．
24．【答案】（1）①证明：∵与均是以为直角的等腰直角三角形，∴，
∴，
在和中，
，
∴；
②如图：延长交于K，
∵是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
由①可知，，
∴，
∴的长为
（2）解：，证明如下：如图：延长到G，使，连接，
∵是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴ ∠DAG = ∠CAB，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴ DG = 2AF，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）①已知△ABD和△ACE都是以∠A为直角的等腰直角三角形，因此可得∠DAB=∠CAE=90°，AD=AB，AC=AE，等式两边同时加上∠BAC，可推出∠DAC=∠BAE，根据边角边（SAS）判定定理即可证明△DAC≌△BAE；②如下图，延长AC交BD于点K，因为AC平分∠DAB，结合∠DAB=90°，AD=AB，可判定△ADK是等腰直角三角形，计算得，因此CK=AK-AC=4-3=1在Rt△DKC中由勾股定理可得；再结合①中△DAC≌△BAE的结论，对应边相等，因 的长为；
（2）延长至点G，使得，连接。首先通过SAS判定定理可证明，由全等三角形的性质可得，且。结合已知条件，可推出，由此可知是的中位线，根据三角形中位线的性质可得，等量代换后即可得到.
（1）①证明：∵与均是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
②如图：延长交于K，
∵是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
由①可知，，
∴，
∴的长为．
（2）解：，证明如下：
如图：延长到G，使，连接，
∵是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴ ∠DAG = ∠CAB，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴ DG = 2AF，
∴．
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