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第八章　成对数据的统计分析
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.对两个变量x,y的三组数据进行统计,得到以下散点图,关于两个变量样本相关系数的比较,正确的是(　　)
　　
A.r1>r2>r3　　　　B.r2>r3>r1　　　　C.r1>r3>r2　　　　D.r3>r2>r1
2.已知变量x和y有较强的线性相关关系,根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为,则(　　)
x 2 3 4 5
y 4 7 8 13
A.经验回归直线必过点(3.5,7.5)　　　　B.=1.8
C.当x=6时,预测值=14　　　　D.当x=2时,样本点对应的残差为0.2
3.下图为变量x,y的一组成对数据的散点图,去掉D(3,10)后,下列说法错误的是(　　)
A.样本相关系数r变大　　　　B.残差平方和变大
C.决定系数R2变大　　　　D.变量x与y的相关性变强
4.某教育研究小组收集了10名高中生每周用于数学复习的时间x(小时)与其数学测试成绩y(满分:150分)的数据.经计算得=70,sx=2,sy=12,r=0.8,其中sx,sy分别为数学复习的时间与数学测试成绩的标准差,r为样本相关系数.若用经验回归方程预测成绩,则方程应为(　　)
参考公式:样本相关系数r=.
经验回归方程中,.
A.=2.4x+58
C.=4.8x+46
5.某市公交公司统计了二月份到六月份使用支付宝或微信扫码支付乘车的人次,用x表示月份,y表示每月使用扫码支付的人次(单位:千人次).已知变量y与变量x的关系可以用模型(a,b为常数)拟合,设z=ln y,变换后得到一组数据如下:
x 2 3 4 5 6
z 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84
则=(　　)
经验回归方程中,.
A.0.596　　　　B.e0.596　　　　C.-6.92　　　　D.e-6.92
6.为促进学生积极参加体育锻炼,养成良好的锻炼习惯,提高体质健康水平,某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查,统计结果如表所示:
单位:人
性别 体育锻炼 合计
喜欢 不喜欢
男
女 50 80
合计 110
附: χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
下列结论不正确的是(　　)
A.样本中男生所占比例为60%
B.估计该校不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45%
C.样本中喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人
D.没有99.9%的把握认为是否喜欢体育锻炼与性别有关
7.已知由样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,10)组成的一个样本,得到经验回归方程为=2x+0.6,且=3,去除两个样本点(-4,-6)和(4,8)后,新得到的经验回归直线斜率不变,则新得到的经验回归方程为(　　)
A.=2x+0.8
8.某中学为了解高一、高二学生的校园活动偏好,随机抽取两个年级各200名学生,调查他们参与科技类、文艺类活动的情况,并用等高堆积条形图直观地展示调查结果,如图所示,经计算得到χ2=8.651.下表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值,下列说法正确的是(　　)
α 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
A.在调查的高一学生中,若用分层随机抽样的方式抽取20人,则参加科技类活动的学生有8人
B.在调查的高二学生中,选择文艺类的学生比选择科技类的学生多20人
C.依据α=0.01的独立性检验,我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联,此推断犯错误的概率不大于0.01
D.依据α=0.001的独立性检验,我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列选项正确的是(　　)
A.样本相关系数r越大,成对样本数据的线性相关程度越强
B.已知y关于x的经验回归方程为=0.3-0.7x,则样本点(3,-4)的残差为-2.2
C.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关,由最小二乘法求得其经验回归方程为,若其中一个散点坐标为(-,2.5),则=5
D.若经验回归方程为=3x-1,则当变量x增加1个单位时,平均增加3个单位
10.某医学研究团队为探究新型降压药的疗效与患者年龄的关联,将120名高血压患者按年龄分为“中青年组(<60岁)”和“老年组(≥60岁)”,记录用药后的疗效(“有效”或“无效”),得到如下列联表:
单位:人
患者 疗效 总计
有效 无效
中青年组 10 40 50
老年组 40 30 70
总计 50 70 120
则下列说法中正确的有(　　)
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.10 0.05 0.025 0.01
xα 2.706 3.841 5.024 6.635
A.若在“老年组”中按疗效分层抽样抽取7人,再从这7人中随机抽取2人,则至少抽到1名“无效”患者的概率为
B.从所有患者中随机抽取1人,设事件A为“该人在中青年组”,事件B为“该药对此人有效”,则事件A与B相互独立
C.根据小概率值α=0.05的独立性检验,可以认为“新型降压药的疗效与患者年龄有关”,且该推断犯错误的概率不超过5%
D.若将列联表中“中青年组有效”的人数改为15,“中青年组无效”的人数改为35,则所得χ2的值比原χ2的值大
11.某农科所针对耕种深度x(单位:cm)与水稻每公顷产量y(单位:t)的关系进行研究,所得部分数据如下表:
耕种深度x/cm 8 10 12 14 16 18
每公顷产量y/t 6 8 m n 11 12
已知m参考公式:.
A.m+n=17　　　　B.　　　　D.ε1+ε2=-1
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.某单位为了调查对工作的满意程度与性别是否具有相关性,随机抽取了若干名员工,所得数据统计如表所示,其中x∈N*,且x<16,若有90%的把握可以认为对工作的满意程度与性别具有相关性,则x的值是　　　　.
单位:人
对工作满意 对工作不满意
男性 5x 5x
女性 4x 6x
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
13.已知变量x和变量y的一组成对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),…,(x8,y8),其中,其经验回归方程为,当增加两个样本数据(-1,3)和(2,11)后,经重新计算,得到新的经验回归直线的斜率为3,则在新的经验回归方程的估计下,样本数据所对应的残差为　　　.(残差=观测值-预测值)
14.对于变量x和变量y,经过随机抽样获得成对样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5),且)2=9.2,若y关于x的经验回归方程为,其样本相关系数为r=,则=　　　　.
参考公式:.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)智能驾驶辅助系统是指利用车载传感器、控制器等装置,实现环境感知、规划决策与运动控制,辅助驾驶员完成部分驾驶操作,提升行车安全性与舒适性的系统,驾驶员仍需全程监管车辆并随时接管驾驶,为研究智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄(驾龄是指初次领取机动车驾驶证至今的时间长度)的关系,随机调查了200名私家车车主,得到如下列联表:
单位:人
经常使用智能 驾驶辅助系统 不经常使用智能 驾驶辅助系统 合计
驾龄≤5年 58 42 100
驾龄>5年 36 64 100
合计 94 106 200
(1)从这200名车主中随机抽取1人,已知该车主驾龄不超过5年,求该车主经常使用智能驾驶辅助系统的概率;
(2)根据小概率值α=0.010的独立性检验,分析智能驾驶辅助系统使用情况是否与驾龄有关.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
16.(15分)中国消费者信息研究报告显示,超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物,某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数y和时间第x天的数据,列表如下:
x 1 2 3 4 5
y 75 84 93 98 100
(1)由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数y和时间第x天之间的关系,若可以,求出y关于x的经验回归方程,并估计1月10日到该专营店购物的人数;若不可以,请说明理由(人数用四舍五入法取整数,若|r|>0.75,则线性相关程度很高,可以用线性回归模型拟合,r精确到0.01);
(2)该专营店为了吸引顾客,推出两种促销方案,方案一:购物金额每满100元可减5元;方案二:一次性购物金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率均为,且每次抽奖互不影响,中奖一次打9折,中奖两次打8折,中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店购买1 000元的商品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.
参考数据:≈65.88.
附:样本相关系数r=.
17.(15分)飞机与高铁是人们远距离出行的两种方式,交通大学某班学生为了调查人们选择的远距离出行方式是否与年龄相关,随机抽取某市1 000名市民进行调查,得到如下2×2列联表:
单位:人
低于40岁 不低于40岁 总计
选择飞机出行 100
选择高铁出行 300
总计 500 1 000
(1)补全表中数据,依据小概率值α=0.001的独立性检验,能否认为市民选择的远距离出行方式与年龄有关联
(2)调查小组统计一高铁站某处某天的客流量(单位:千人),从7:00开始,每小时作为一个时间段(7:00~8:00为第1个时间段,8:00~9:00为第2个时间段,……),得到如下数据:
时间段x 1 2 3 4 5
客流量y/千人 1 1.5 2.5 3 3.5
若y与x线性相关,建立每个时间段客流量y与时间段x的经验回归方程,并预测12:00~13:00的客流量.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.010 0.001
xα 6.635 10.828
对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其经验回归方程中,.
18.(17分)某大型企业对F产品进行研发与创新,根据市场调研与模拟,得到研发投入x(单位:亿元)与研发创新的直接收益y(单位:亿元)的数据统计如下:
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66
当017时,确定y与x满足的经验回归方程为.
(1)根据下列表格中的数据,比较当0回归模型 模型① 模型②
回归方程 =4.1x+11.8 -14.4
)2 182.4 79.2
(2)为鼓励科技创新,当研发投入不少于20亿元时,国家给予该企业补贴收益10亿元,以回归方程为预测依据,比较研发投入为17亿元与20亿元时该企业实际收益的大小;
(3)研发改造后,该企业F产品的效率X大幅提高,已知X服从正态分布N(0.52,0.012),该企业对研发团队的奖励方案如下:若F产品的效率不超过50%,不予奖励;若F产品的效率超过50%但不超过53%,每件F产品奖励2万元;若F产品的效率超过53%,每件F产品奖励5万元.求每件F产品获得奖励的数学期望(保留两位小数).
附:①决定系数R2=1-,R2越大,说明拟合效果越好;
②中,;
③若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;
④≈4.1.
19.(17分)某校20名学生的数学成绩x(单位:分)和知识竞赛成绩y(单位:分)如下表:
学生编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学成绩xi 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77
知识竞赛成绩yi 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270
学生编号i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
数学成绩xi 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35
知识竞赛成绩yi 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5
计算可得数学成绩xi(单位:分)的平均值是=75,知识竞赛成绩yi(单位:分)的平均值是=90,并且)2=6 464,)2=149 450,)=21 650.
(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数(精确到0.01);
(2)设N∈N*,变量x和变量y的一组样本数据为(xi,yi),i=1,2,…,N,其中xi(i=1,2,…,N)两两不相同,yi(i=1,2,…,N)两两不相同.记xi在{xn|n=1,2,…,N}中的排名是第Ri位,yi在{yn|n=1,2,…,N}中的排名是第Si位,i=1,2,…,N.定义变量x和变量y的“斯皮尔曼相关系数”(记为ρ)为变量x的排名和变量y的排名的样本相关系数.
(i)记di=Ri-Si,i=1,2,…,N,证明:ρ=1-;
(ii)用(i)的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91,简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.
参考公式与参考数据:r=;
≈31 081.
答案全解全析
1.C 2.D 3.B 4.D 5.B 6.D
7.A 8.C 9.BD 10.AC 11.ABD
1.C　由散点图可知图1表示的是正相关,故r1>0;图2和图3表示的是负相关,且图2中的点比图3中的点分布更为集中,因此r2<0,r3<0,且|r2|>|r3|,所以r2r3>r2.
2.D　对于A,因为=8,
所以经验回归直线必过点(3.5,8),A错误;
对于B,由A知8=2.8×3.5+,解得=-1.8,B错误;
对于C,将x=6代入经验回归方程得=2.8×6-1.8=15,C错误;
对于D,当x=2时,观测值y=4,预测值=2.8×2-1.8=3.8,所以残差为4-3.8=0.2,D正确.
3.B　由散点图知,去掉D后,x与y的相关性变强,且为正相关,所以r变大,R2变大,残差平方和变小.
4.D　因为n=10,sx=2,sy=12,
所以)2=10×122=1 440,
故r==0.8,得)=192,
则=4.8,
=70-4.8×5=46,因此经验回归方程为=4.8x+46.
5.B　因为z=ln y,,所以)=ln x,
=1.42,
则=0.206,故ln =1.42-0.206×4=0.596,所以=e0.596.
6.D　补全列联表如下:
单位:人
性别 体育锻炼 合计
喜欢 不喜欢
男 80 40 120
女 30 50 80
合计 110 90 200
对于A,样本中男生所占比例为×100%=60%,故A中结论正确;
对于B,估计该校不喜欢体育锻炼的学生所占比例为×100%=45%,故B中结论正确;
对于C,样本中喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多80-30=50人,故C中结论正确;
对于D,根据表中数据,得χ2=≈16.498>10.828,
所以有99.9%的把握认为是否喜欢体育锻炼与性别有关,故D中结论错误.
7.A　因为原经验回归方程为=3,所以+0.6=6.6.
原样本有10对数据,yi=6.6,
则yi=66.
去除两个样本点(-4,-6),(4,8)后,样本有8对数据,且-4+4=0,8-6=2,所以新样本中=8,
因为新的经验回归直线的斜率不变,所以设新的经验回归方程为=2x+b,将(3.75,8)代入得8=2×3.75+b,故b=0.5,
所以新的经验回归方程为=2x+0.5.
8.C　高一学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为0.6∶0.4=3∶2,
所以用分层随机抽样的方式抽取20人,参加科技类活动的学生有20×=12人,A错误;
高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为0.4∶0.6=2∶3,所以参加科技类活动的有200×=80人,参加文艺类活动的有200×=120人,
所以在调查的高二学生中,选择文艺类的学生比选择科技类的学生多120-80=40人,B错误;
χ2=8.651>6.635=x0.01,依据α=0.01的独立性检验,我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联,此推断犯错误的概率不大于0.01,C正确;
χ2=8.651<10.828=x0.001,依据α=0.001的独立性检验,我们认为年级与校园活动偏好类型的选择无关,D错误.
9.BD　对于A,|r|越接近1,成对样本数据的线性相关程度越强,故A错误;
对于B,当x=3时,=0.3-0.7×3=-1.8,所以残差为-4-(-1.8)=-2.2,故B正确;
对于C,散点不一定在经验回归直线上,故不能直接代入经验回归方程求散点坐标,故C错误;
对于D,经验回归方程为=3x-1,变量x增加1个单位时,平均增加3个单位,故D正确.
10.AC　对于A,老年组中“有效”与“无效”的人数之比为40∶30=4∶3,按疗效分层抽样抽取7人,则抽到4人“有效”,3人“无效”,再从这7人中随机抽取2人,至少抽到1名“无效”患者的概率为1-,A正确.
对于B,由题意知P(A)=.
若事件A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)=,显然≠,所以事件A与B不相互独立,B错误.
对于C,χ2=≈16.555>3.841=x0.05,根据小概率值α=0.05的独立性检验,可以认为“新型降压药的疗效与患者年龄有关”,且该推断犯错误的概率不超过5%,C正确.
对于D,若将“中青年组有效”的人数改为15,“中青年组无效”的人数改为35,
此时χ2=≈8.655.
8.655<16.555,所以所得χ2的值比原χ2的值小,D错误.
11.ABD　∵=9,∴m+n=17,因此A正确;
由题表数据得=13,
∴r=,
∴)=40,
∴,
∴,
则ε1+ε2=m-=m+n-18=17-18=-1,因此B,D正确,C错误.
12.答案　14或15
解析　根据题表中数据可得χ2=,
由已知得≥2.706,解得x≥13.394 7,
因为x∈N*,且x<16,所以x=14或x=15.
13.答案　-
解析　由题意得=7,
x1+x2+…+x8=8×=9,则y1+y2+…+y8=8×7=56,
当增加两个样本数据(-1,3)和(2,11)后,x的平均数为=1,y的平均数为=7,
因为新的经验回归直线的斜率为3,所以可设新的经验回归方程为,将(1,7)代入得=7-3×1=4,则=3x+4,
当x=3时,=3×3+4=13,则样本数据所对应的残差为.
14.答案　3
解析　因为=90,所以=90-5×42=10,
因为r=,所以)=9,
所以=0.9,
所以=6.6-0.9×4=3.
15.解析　(1)设事件A为“车主驾龄不超过5年”,事件B为“车主经常使用智能驾驶辅助系统”.
由题意可知n(A)=100,n(AB)=58,(3分)
由条件概率公式得P(B|A)==0.58,
所以该车主经常使用智能驾驶辅助系统的概率为0.58.(6分)
(2)零假设为H0:智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄无关,(7分)
由表中数据可得χ2=≈9.715>6.635=x0.010,(10分)
根据小概率值α=0.010的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄有关,此推断犯错误的概率不大于0.010.(13分)
16.解析　(1)r=≈0.97>0.75,
所以可以用线性回归模型拟合人数y与时间第x天之间的关系.(3分)
易得=90,(5分)
则=90-6.4×3=70.8,所以=6.4x+70.8,(6分)
当x=6时,=6.4×6+70.8=109.2,
所以1月10日到该专营店购物的人数约为109.(7分)
(2)若选方案一,则付款金额为1 000-50=950元.(8分)
若选方案二,设付款金额为X元,则X的可能取值为600,800,900,1 000,(9分)
P(X=600)=,
P(X=800)=,
P(X=900)=,
P(X=1 000)=,(13分)
所以E(X)=600×+1 000×<950,
因此选择方案二更优惠.(15分)
17.解析　(1)补全2×2列联表如下:
单位:人
低于40岁 不低于40岁 总计
选择飞机出行 100 200 300
选择高铁出行 400 300 700
总计 500 500 1 000
(2分)
零假设为H0:市民选择的远距离出行方式与年龄没有关联.
由表中的数据得χ2=≈47.619>10.828=x0.001.(5分)
依据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为市民选择的远距离出行方式与年龄有关联,此推断犯错误的概率不超过0.001.(6分)
(2)=2.3,(8分)
xiyi=1×1+2×1.5+3×2.5+4×3+5×3.5=41,
=12+22+32+42+52=55,(10分)
所以=0.65,
=2.3-0.65×3=0.35,(12分)
所以每个时间段客流量y与时间段x的经验回归方程为=0.65x+0.35.
12:00~13:00为第6个时间段,
当x=6时,=0.65×6+0.35=4.25,(14分)
所以预测12:00~13:00的客流量为4.25千人.(15分)
18.解析　(1)因为182.4>79.2,即,即1-,所以模型①的决定系数小于模型②的决定系数,所以模型②的拟合精度更高、更可靠.　(3分)
当x=17时,-14.4≈21.3×4.1-14.4=72.93,
所以预测该企业对F产品研发的投入为17亿元时的直接收益为72.93亿元.(5分)
(2)当x>17时,由已知得=3,
=7.2,所以=67.2,
所以=67.2+0.7×23=83.3,(8分)
所以当x>17时,y与x满足的经验回归方程为=-0.7x+83.3.
当x=20时,=-0.7×20+83.3=69.3.
故当x=20时,实际收益的预测值为69.3+10=79.3(亿元),
因为79.3>72.93,
所以研发投入为20亿元时该企业的实际收益更大.(12分)
(3)因为P(0.52-0.02≤X≤0.52+0.02)≈0.954 5,
所以P(X>0.5)=0.5+=0.977 25,
所以P(X≤0.5)=1-P(X>0.5)=0.022 75.
因为P(0.52-0.01≤X≤0.52+0.01)≈0.682 7,
所以P(X>0.53)=0.5-=0.158 65,
所以P(0.5设每件F产品获得的奖励为Y万元,则Y的分布列为
Y 0 2 5
P 0.022 75 0.818 6 0.158 65
所以E(Y)=0×0.022 75+2×0.818 6+5×0.158 65≈2.43.(17分)
19.解析　(1)由题意,这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为r=≈0.70.(4分)
(2)(i)证明:由已知得Si=1+2+…+N=,(5分)
=12+22+…+N2=,(6分)
所以,(7分)
因此
=,(9分)
同理可得,(10分)
由于)
=2·),
因此,(12分)
所以ρ=
=.(14分)
(ii)这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”是0.91,样本相关系数r≈0.7,因为0.91>0.7,所以“斯皮尔曼相关系数”对于异常值不敏感,如果数据中有明显的异常值,那么用“斯皮尔曼相关系数”比用样本相关系数更能刻画某种线性关系.
(或者“斯皮尔曼相关系数”刻画的是样本数据排名的样本相关系数,与具体的数值无关,只与排名有关.若一组数据有异常值,但排名依然符合一定的线性关系,则可以采用“斯皮尔曼相关系数”刻画线性关系)(17分)

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