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第七章　随机变量及其分布
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知随机变量X~N(1,σ2),且P(X≤-2)=P(X≥2a-2),则(ax-1)5展开式中各项系数之和为(　　)
A.32　　　　B.64　　　　C.-32　　　　D.-64
2.在某次数学考试中,学生成绩X服从正态分布N(100,σ2).若X在[85,115]内的概率是0.6,则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生,恰有2名学生的成绩不低于85的概率是(　　)
A.
3.已知离散型随机变量X的分布列如下:
X 1 2 3 4
P m 0.3 n 0.2
若E(X)=2.7,则下列结论错误的是(　　)
A.m+n=0.5　　　　B.E(3X-1)=7.1
C.D(X)=0.81　　　　D.P(X>2)=0.5
4.袋中有10个大小相同的球,其中6个黑球,4个白球,现从中任取4个球,记随机变量X为白球的个数,随机变量Y为黑球的个数,若取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分,随机变量Z为取出4个球的总得分,则P(|Z-6|≤1)=(　　)
A.
5.五一期间,某市文旅部门打造了“儒家文化,运河风情,水浒江湖,湖光山色”四大主题文旅产品,甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验,且每个主题都恰有1人体验,记事件A=“甲体验儒家文化”,B=“乙体验湖光山色”,则P(B|A)=(　　)
A.
6.现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子来决定去参加篮球或乒乓球活动,掷出点数为1或2的人去参加篮球活动,掷出点数大于2的人去参加乒乓球活动.用X,Y分别表示这4个人中去参加篮球和乒乓球活动的人数,记ξ=|X-Y|,则随机变量ξ的数学期望E(ξ)为(　　)
A.
7.已知6道试题中有2道选择题,甲无放回地依次从中抽取3道题,乙有放回地依次从中抽取3道题,甲、乙每次均抽取一道试题,抽出的3道题中选择题的道数分别为ξ1,ξ2,期望分别为E(ξ1),E(ξ2),方差分别为D(ξ1),D(ξ2),则(　　)
A.E(ξ1)D(ξ2)　　　　B.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
C.E(ξ1)8.现有一批数量庞大的零件,假设这批零件的某项质量指标ξ(单位:毫米)服从正态分布N(5.40,0.052),从中随机抽取N个,恰有K个的质量指标位于区间[5.35,5.55]内.若K=45,以使得P(K=45)最大的N值作为N的估计值,则N=(　　)
(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
A.45　　　　B.53　　　　C.54　　　　D.90
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列说法正确的是(　　)
A.若离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=1)=7P(X=0),则P(X=0)=
B.若随机变量X~B,则D(X)=
C.随机变量X,Y满足X+2Y=6,若X~B,则E(Y)=2,D(Y)=
D.随机变量X~N(1,σ2),若P(X>0)=,则P(010.西汉刘向编著的《战国策》中记录了一个“三人成虎”的故事:庞葱与太子质于邯郸,谓魏王曰:“今一人言市有虎,王信之乎 ”王曰:“否.”“二人言市有虎,王信之乎 ”王曰:“寡人疑之矣.”“三人言市有虎,王信之乎 ”王曰:“寡人信之矣.”在没有实际调研的情况下,为什么魏王会相信集市上有老虎呢 假设集市上真有老虎的概率为0.05,每个人选择说出实情的概率为0.9,选择说谎的概率为0.1,每个人是否选择说出实情相互独立.用Ai表示事件“第i人说看见一只老虎在集市上”,i=1,2,3,用B表示事件“真有老虎在集市上”.则下列结论正确的是(　　)
A.P(A3|
C.P(A1A2|B)=
11.一个不透明的箱子中装有5个小球,其中白球3个,黑球2个,小球除颜色不同外,材质大小全部相同,现投掷一枚质地均匀的硬币,若硬币正面朝上,则从箱子里抽出一个小球且不再放回;若硬币反面朝上,则不抽取小球.重复该试验,直至小球被全部取出,假设试验开始时,试验者手中没有任何小球,则下列说法正确的有(　　)
A.经过两次试验后,试验者手中恰有1个白球、1个黑球的概率为
B.若第一次试验抽到一个黑球,则第二次试验后,试验者手中有黑、白球各1个的概率为
C.经过7次试验后试验停止的概率为
D.经过7次试验后试验停止的概率最大
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知随机变量X服从正态分布N(5,σ2),且P(X>3)=3P(X≥7),则P(513.已知编号为1,2,3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球,且各箱中的小球总个数之比为5∶6∶9,红球在1,2,3号箱中分别占.从3个箱中的所有球中随机取出一个球,若每个球被取出的概率相等,在取出的球为红球的条件下,该球取自3号箱中的概率为　　　　.
14.甲、乙、丙三人进行远程射击,命中目标的概率分别为.现按甲、乙、丙的顺序循环,由甲先射击,规则如下:若当次射击命中,则下一次由接下来的第1个人进行射击;若当次射击未命中,则跳过1个人,下一次由接下来的第2个人进行射击.前3次射击结束,丙未进行射击的概率为　　　　.若前n次射击中,设丙射击的次数为Xn,则Xn的数学期望为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知一批产品是甲、乙、丙三名工人生产的,三人生产的产品分别占总产量的30%,40%,30%,三人生产的产品的次品率分别为5%,4%,3%.
(1)现从这批产品中按等比例分层随机抽样取出10件产品,再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测,记事件M=“第一次取出的产品是乙生产的”,N=“第二次取出的产品是甲生产的”,分别求P(N|M),P(M|N);
(2)现从这批产品中任取一件产品,已知这件产品是次品,求它是丙生产的概率.
16.(15分)某区域为了更好地了解某行业一线工作人员工作强度,以便为岗位调优或社会招员提供参考,特从该行业一线工作人员中随机抽取了100名,记这100名一线工作人员工作强度指数为X,并以此为样本得到了如下表格:
工作强度指数X X≤10 10人数 10 81 9
名称 无压力工作者 轻压力工作者 重压力工作者
(1)称为在事件A发生的条件下事件B发生的似然比.现从样本中随机抽取1名工作人员,记事件A为“该工作人员为有压力工作者(轻压力工作者和重压力工作者统称为有压力工作者)”,事件B为“该工作人员为重压力工作者”,求事件A发生的条件下事件B发生的似然比;
(2)若该区域所有该行业一线工作人员工作强度指数X近似服从正态分布N(μ,σ2),且P(X≥90)=.
①若X落在(0,40)和落在(60,100)内的概率相等,求μ的值;
②若从该区域该行业一线工作人员中随机抽取3名,设这3名工作人员中轻压力工作者人数为Y,求Y的分布列及数学期望.
17.(15分)某实践活动小组在调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系时,得到如下数据:该学校有的学生平均每月坚持跑步的次数超过30次,这些学生中体测成绩“及格”的概率为;平均每月跑步的次数不超过30次的学生中,体测成绩“及格”的概率为.
(1)从该校任意抽取一名学生,求该学生体测成绩“及格”的概率;
(2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”,从这8名学生中随机抽取3名,记X为抽取的3名学生中体测成绩“及格”的人数,求X的分布列和数学期望;
(3)经统计,该校学生体测得分Z近似服从正态分布N(65,144),若得分Z≥77则为“优秀”.现从全校抽取50名学生,记Y为这50名学生中体测成绩“优秀”的人数,求Y的数学期望及方差(结果四舍五入保留整数).
参考数据:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.
18.(17分)某中学食堂每天都会提供A,B两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种),经过统计分析发现:学生第一天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率为,而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率为;前一天选择了B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率也是,如此往复.记同学甲第n天选择B套餐的概率为Pn.
(1)求同学甲第二天选择B套餐的概率;
(2)证明:数列为等比数列;
(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生,记X为这100名学生中第二天选择A套餐的人数,用P(X=k)表示这100名学生中恰有k名学生选择A套餐的概率,求P(X=k)取得最大值时对应的k的值.
19.(17分)某市为提升中学生的环境保护意识,举办了一次“环境保护知识竞赛”,分预赛和复赛两个环节,预赛成绩排名前300名的学生参加复赛.已知共有12 000名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩(单位:分)作为样本,得到如下频率分布直方图:
(1)规定预赛成绩不低于80分为优良,若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人,求至少有1人预赛成绩优良的概率,并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望;
(2)由频率分布直方图可认为参加预赛的全体学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),且σ2=362,已知小明的预赛成绩高于91分,利用该正态分布,估计小明是否有资格参加复赛;
(3)复赛规则如下:①每人的复赛初始分均为100分;②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n,每一题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格,规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k=1,2,…,n);③每答对一题加2分,答错既不加分也不减分;④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩.已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8,且每题答对与否都相互独立.若学生甲期望获得最佳的复赛成绩,则他的答题数量n应为多少
附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3;≈19.
答案全解全析
1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D
7.D 8.B 9.ABC 10.ABC 11.AB
1.A　因为P(X≤-2)=P(X≥2a-2),所以=1,解得a=3,
则(ax-1)5=(3x-1)5,令x=1,得(3x-1)5的展开式中各项系数之和为(3-1)5=32.
2.B　由题意得P(X≥85)=1-P(X<85)=1-.
记“任意选取3名学生,恰有2名学生的成绩不低于85”为事件A,则P(A)=.
3.D　由分布列的性质得m+n+0.5=1,则m+n=0.5,A中结论正确;
由E(X)=m+0.6+3n+0.8=2.7,得m+3n=1.3,又m+n=0.5,
所以m=0.1,n=0.4,则P(X>2)=P(X=3)+P(X=4)=0.4+0.2=0.6,D中结论错误;
E(3X-1)=3E(X)-1=3×2.7-1=7.1,B中结论正确;
D(X)=(1-2.7)2×0.1+(2-2.7)2×0.3+(3-2.7)2×0.4+(4-2.7)2×0.2=0.81,C中结论正确.
4.B　由题知X,Y均服从超几何分布,且X+Y=4,Z=2X+Y,
由|Z-6|≤1,得5≤Z≤7,所以Z=5,6,7,
P(Z=5)=P(X=1,Y=3)=,
P(Z=6)=P(X=2,Y=2)=,
P(Z=7)=P(X=3,Y=1)=,
所以P(|Z-6|≤1)=P(Z=5)+P(Z=6)+P(Z=7)=.
5.C　若甲体验儒家文化,则
当甲只选择一个主题体验时,不同的选法种数为=6;
当甲选择两个主题体验时,不同的选法种数为=6.
因此不同的选法种数为6+6=12,即n(A)=12.
若甲体验儒家文化且乙体验湖光山色,则
当甲、乙均只选择一个主题体验时,不同的选法种数为1;
当甲选择两个主题体验,乙只选择一个主题体验时,不同的选法种数为=2;
当甲只选择一个主题体验,乙选择两个主题体验时,不同的选法种数为=2.
因此不同的选法种数为1+2+2=5,即n(AB)=5.
所以P(B|A)=.
6.D　依题意,这4个人中,每个人去参加篮球活动的概率均为,去参加乒乓球活动的概率均为,
设“这4个人中恰有i人去参加篮球活动”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),
则P(Ai)=(i=0,1,2,3,4).
ξ的所有可能取值为0,2,4,
P(ξ=0)=P(A2)=,
P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=,
所以ξ的分布列为
ξ 0 2 4
P
所以E(ξ)=0×.
7.D　由题意知,ξ1的可能取值为0,1,2,ξ2的可能取值为0,1,2,3,
P(ξ1=0)=,
P(ξ1=2)=,
所以E(ξ1)=0×=1,
D(ξ1)=(0-1)2×.
乙每次抽到选择题的概率为,则ξ2~B,
故E(ξ2)=3×,
所以E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)8.B　因为P(5.35≤ξ≤5.55)=P(5.40-0.05≤ξ≤5.40+3×0.05)=P(μ-σ≤ξ≤μ+3σ),
P(μ-σ≤ξ≤μ+3σ)=
≈=0.84,
所以K~B(N,0.84),故P(K=45)=·0.8445·0.16N-45.
设f(x)=·0.8445·0.16x-45,
则=0.16·=0.16·>1,所以x<≈52.6,所以f(53)>f(52).
=0.16·=0.16·<1,所以x>≈53.6,所以f(53)>f(54).
综上,N=53.
9.ABC　对于A,由X服从两点分布,得P(X=1)+P(X=0)=1,又P(X=1)=7P(X=0),所以1-P(X=0)=7P(X=0),得P(X=0)=,A正确;
对于B,X~B,则D(X)=10×,B正确;
对于C,X~B,则E(X)=4×=1,因为X+2Y=6,所以Y=3-,所以E(Y)=3-,C正确;
对于D,X~N(1,σ2),因为P(X>0)=,所以P(X≤0)=P(X≥2)=1-,故P(010.ABC　由题知P(B)=0.05,则P()=0.95,
且事件Ai为“第i人说看见一只老虎在集市上”,i=1,2,3,
则P(Ai|B)=0.9,P(Ai|)=0.1.
对于A,P(A3|,A正确;
对于B,由全概率公式得P(A1)=0.9×0.05+0.1×0.95=0.14=,B正确;
对于C,P(A1A2|B)=0.9×0.9=0.81=,C正确;
对于D,P(A1A2A3|B)=0.93=0.729,P(A1A2A3|)=0.13=0.001,P(A1A2A3)=0.729×0.05+0.001×0.95=0.037 4,
则P(B|A1A2A3)=≠,D错误.
11.AB　记事件E=“一次试验硬币正面朝上”,则=“一次试验硬币反面朝上”,则P(E)=P(,
从箱子中不放回地抽球,记Ai=“第i次抽到白球”,Bi=“第i次抽到黑球”,Ci=“第i次硬币正面朝上且抽到白球”,Di=“第i次硬币正面朝上且抽到黑球”.
对于A,P(C1)=P(A1E)=P(E)P(A1|E)=,
经过两次试验后,试验者手中恰有1个白球、1个黑球的概率为P(C1D2+D1C2)=P(C1D2)+P(D1C2)=P(C1)P(D2|C1)+P(D1)P(C2|D1)=,A正确;
对于B,第一次抽到黑球后,第二次抽到白球的概率为P(C2|D1)=,B正确;
对于C,试验7次结束,则前6次有4次硬币正面朝上,且第7次硬币正面朝上,则其概率为,C错误;
对于D,设n次试验后试验停止的概率为Pn,n≥5,
则Pn=·,
不妨设Pn最大,则即
解得8≤n≤9,又n∈N*,n≥5,所以n=8或n=9,
所以经过8次或9次试验后试验停止的概率最大,D错误.
12.答案　
解析　设P(53)=+x,P(X≥7)=-x,
所以,解得x=,即P(513.答案　
解析　设事件Ai为“取出的球在i号箱中”,事件B为“取出的球为红球”,则A1,A2,A3组成了完整的样本空间,且A1,A2,A3两两互斥.
由题意得P(A1)=,
P(A3)=,
由全概率公式得P(B)=,
则在取出的球为红球的条件下,该球取自3号箱中的概率为P(A3|B)=.
14.答案　
解析　若第1次甲射击未命中,则跳过乙,下一次由丙射击,不符合“丙未射击”的条件,所以只能是第1次甲射击命中,第2次由乙射击,
若第2次乙射击命中,则第3次由丙射击,不符合“丙未射击”的条件,所以只能是第2次乙射击未命中,则第3次由甲射击,此时符合“丙未射击”的条件,
所以前3次射击结束,丙未进行射击的概率为.
设第n次由甲、乙、丙射击的概率分别为Pn,Qn,Rn,
由题意得Rn=Qn-1,且Pn-1+Qn-1+Rn-1=1,
所以Rn=(1-Rn-1),整理可得Rn-,
又R1=0,所以数列是首项为R1-,公比为-的等比数列,
所以Rn-,则Rn=.
设变量Yk为第k次丙射击,
则Yk=Yk,
所以E(Xn)=.
15.解析　(1)由题意可得取出的10件产品中,甲、乙、丙三名工人分别生产了3件,4件,3件,(1分)
则P(MN)=,(3分)
所以P(N|M)=,(5分)
P(M|N)=.(7分)
(2)记事件A,B,C分别表示抽取的一件产品是甲、乙、丙生产的,事件E表示抽取的产品为次品,
则P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(C)=0.3,P(E|A)=0.05,P(E|B)=0.04,P(E|C)=0.03,(9分)
由全概率公式得P(E)=P(A)P(E|A)+P(B)P(E|B)+P(C)P(E|C)=0.3×0.05+0.4×0.04+0.3×0.03=0.04,(11分)
所以P(C|E)=,
故已知这件产品是次品,它是丙生产的概率为.(13分)
16.解析　(1)由题意得P(A)=,(2分)
故P(B|A)=,
P(,(4分)
所以.
所以事件A发生的条件下事件B发生的似然比为.(6分)
(2)①已知X~N(μ,σ2),且X落在(0,40)和(60,100)内的概率相等,由正态曲线的对称性知μ==50.(8分)
②由题意及①得P(X≤10)=P(X≥90)=,
所以P(10因此Y~B,
P(Y=0)=,
P(Y=2)=.
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
(14分)
E(Y)=3×.(15分)
17.解析　(1)设事件A=“抽取1名学生,该学生平均每月坚持跑步的次数超过30次”,则=“抽取1名学生,该学生平均每月跑步的次数不超过30次”,
设事件B=“抽取1名学生,该学生体测成绩‘及格’”,
则P(A)=.(2分)
由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(,
所以从该校任意抽取一名学生,该学生体测成绩“及格”的概率为.(4分)
(2)X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=,
P(X=2)=,(8分)
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(9分)
随机变量X服从超几何分布,且N=8,M=5,n=3,所以E(X)=.(10分)
(3)由题意得μ=65,σ=12,
P(Z≥77)=P(Z≥μ+σ)≈×(1-0.682 7)=0.158 65,(12分)
由题意知Y~B(50,0.158 65),则E(Y)=50×0.158 65=7.932 5≈8,D(Y)=50×0.158 65×0.841 35≈7,
所以Y的数学期望为8,方差为7.(15分)
18.解析　(1)设B1=“第1天选择B套餐”,B2=“第2天选择B套餐”,则=“第1天选择A套餐”,
则P(B1)=,(2分)
由全概率公式得P(B2)=P(B1)P(B2|B1)+P(,
即同学甲第二天选择B套餐的概率为.(5分)
(2)证明:设Bn=“第n天选择B套餐”,
则Pn=P(Bn),P()=1-Pn,
根据题意得P(Bn+1|Bn)=,(7分)
由全概率公式得Pn+1=P(Bn+1)=P(Bn)P(Bn+1|Bn)+P(, (9分)
因此Pn+1-,(11分)
又因为P1-≠0,
所以是以-为首项,-为公比的等比数列.(12分)
(3)第二天选择A套餐的概率PA=,(13分)
易知X~B,故P(X=k)=,k=0,1,2,…,100,(14分)
当P(X=k)取得最大值时,有
即(16分)
解得≤k≤,又k∈N,所以k=33.(17分)
19.解析　(1)预赛成绩在[60,80)内的有0.012 5×20×100=25人,在[80,100]内的有0.007 5×20×100=15人,
则P(X≥1)=,(3分)
X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=,
P(X=2)=,(6分)
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×.(8分)
(2)根据题意,得μ=(10×0.005+30×0.01+50×0.015+70×0.012 5+90×0.007 5)×20=53,
又σ2=362,所以Z~N(53,362),(10分)
所以P(Z>91)=P(Z>μ+2σ)=×[1-P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)]≈×(1-0.954 5)=0.022 75,
故参加预赛的全体学生中,成绩高于91分的有12 000×0.022 75=273人,
因为273<300,所以估计小明有资格参加复赛.(12分)
(3)设学生甲答对的题数为ξ,复赛成绩为Y分,
则ξ~B(n,0.8),故E(ξ)=0.8n,
Y=100-0.2(1+2+3+…+n)+2ξ,(14分)
故E(Y)=100-0.2(1+2+3+…+n)+2E(ξ)=-,(16分)
因为n∈N,所以当答题数量n为7或8时,学生甲可获得最佳的复赛成绩.(17分)

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