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浙江省宁波市海曙储能学校丽园校区2025-2026 学年上学期期中考试九年级数学试卷
1．若，则（　　）
A． B． C． D．
2．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示：
种子个数 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽种子个数 96 282 382 567 945 1912 2850
发芽种子频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.945 0.956 0.950
则种子发芽的概率估计值是（　　）
A．0.960 B．0.950 C．0.945 D．0.940
4．如图，点在以为直径的上，连结．若，则（　　）
A． B． C． D．
5．半径等于6的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　）
A． B． C． D．
6．设二次函数（是常数，），部分对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 …
当时，（　　）
A．5 B． C． D．0
7．数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　）
A． B． C．或 D．
8．如图，为的直径，点为圆上一点，，若将劣弧沿弦翻折交于点，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．已知二次函数的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线，有以下结论：①，②，③抛物线上有两点和，若，且，则，④设是方程的两根，若，则，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
11．若扇形的圆心角为，半径长为，则该扇形的面积为　 　．
12．某单位组织抽奖活动，共准备100张奖券，其中一等奖10张，二等奖30张，其余的奖券都是三等奖，则从中随机抽出一张奖券中三等奖的概率是　 　．
13．在平面直角坐标系中，顶点A的坐标为．若以坐标原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍，则放大后点A的对应点的坐标为　 　．
14．已知抛物线与直线相交于点、，则关于的方程的解为　 　．
15．如图，在矩形中，，，点，在上，点是射线与射线的交点，若，，则的长为　 　．
16．如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，于F．
（1）若，则的度数为　 　；
（2）若的半径为5，，则的长为 　 　．
17．如图，圆形转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角都是，指针绕着圆心自由转动2次．
（1）直接写出第一次转动时指针落在蓝色区域的概率　　　；
（2）求指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率．
18．由小正方形组成的5×5的网格中，的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图．
（1）作边上的中线；
（2）若点E是上一点，使得，则_______，并在图上画出点E．
19．已知二次函数．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）当x满足什么条件时，函数值y随x的增大而减小．
20．如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
21．某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售价格x（元/千克） 50 40
日销售量y（千克） 100 200
（1）试求出y关于x的函数表达式．
（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
22．如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点．
（1）求证：；
（2）求的长．
23．已知二次函数过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当时，求二次函数y值的范围；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求的值．
24．已知：为的直径，弦垂直平分于，连接、．
（1）如图1，求证，为等边三角形．
（2）如图2，为弧上一点，连接、、，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，点为、的交点，为延长线上一点，连接交于，连接，若平分，，，求弦的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据比例性质即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：二次函数的图象与y轴的交点的横坐标为0，即x=0，
把x=0代入二次函数，得：y=-1，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可．
3．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.950左右，
∴估计该作物种子发芽的概率为0.950．
故答案为：B．
【分析】，根据某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.950左右，所以估计该作物种子发芽的概率为0.950．
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠CAB和∠CDB同为的圆周角，∠CAB=25°，
∴∠CDB=∠CAB=25°，
∵AB为的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDA=∠ADB-∠CDB=65°，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠CDB=∠CAB=25°，由AB为的直径可得∠ADB=90°，进而即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，垂直平分，连接，
∵垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，
∴ ，
∴．
故答案为：C．
【分析】由题意和垂径定理得，再根据勾股定理可得，进而得出答案.
6．【答案】D
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：观察表格可知：该函数的对称轴为直线x=1，
∴与对应的函数值相等，
∵当时，，
∴当时，，
故答案为：D．
【分析】观察表格中的数据，根据二次函数的性质可知该函数图象的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性即可得出结论．
7．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵半径为4．若点A在内，
∴，
∵点A所表示的实数为6，
∴，
故选：D．
【分析】
若点在园内，则点到圆心的距离小于圆的半径，已知半径为4，点A在圆内，因此点A到圆心B的距离AB＜4，再根据数轴上两点间的距离为两点对应实数差的绝对值，因此AB=，代入上述条件，最后即可解答.
8．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，
∴，
∵，
，
．
故选：A．
【分析】
连接，根据“直径所对的圆周角为直角”，得到，进而求出。结合翻折的性质可知，对应的圆周角是，对应的圆周角是；再结合邻补角的性质，可推出，由此即可得到最终答案.
9．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，，
∵，
∴设，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的性质可得，，，，然后根据角平分线得到，即可得到，然后证明，可以得到，再根据得到，然后计算比值即可．
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴的交点在轴正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故结论①正确；
由①知：，
∴，故结论②正确；
∵，
∴二次函数的图象开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小，
∵点和在抛物线上，且，，
∴，即到的距离大于到的距离，
∴，故结论③正确；
∵二次函数的图象与轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为，右边交点的横坐标为，即，如图所示，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
综上所述，，故结论④正确，
∴正确的结论是①②③④．
故答案为：①②③④．
【分析】先根据抛物线和轴交点的位置，判断出系数和的大小关系，再结合对称轴的位置，判断出系数和的大小关系，以此验证结论①；接下来利用抛物线的对称轴公式对结论②进行判断；再结合抛物线的增减性规律验证结论③；最后根据抛物线和轴交点的不同情况分三类讨论，以此判断结论④．
11．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：该扇形的面积为．
故答案为：．
【分析】
直接运用扇形的面积公式进行计算就可以得到结果.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：100张奖券，其中一等奖10张，二等奖30张，则三等奖张，
∴一张奖券中三等奖的概率为．
故答案为：．
【分析】
求解时用三等奖的数量除以奖券的总数量即可得到抽中三等奖的概率.
13．【答案】或
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵A的坐标为，
∴放大后点A的对应点的坐标为或．
∴放大后点A的对应点的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】根据“如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或”进行计算即可．
14．【答案】，
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵ 抛物线与直线相交于点、，
∴，，
∴，，
∴，，
∴关于的方程的解为或．
故答案为：，．
【分析】先求出点A和B的坐标，燃弧根据交点A和B的坐标为方程的解解题即可．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图，在上截取，在上截取，连结、，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴
同理，．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
，
∴，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】先在上截出一段线段满足，再在上截出一段线段满足，之后连接和。 由 ，已知正方形内角，因此等腰直角三角形和的底角满足，。进一步计算可得，等腰直角三角形斜边，。接下来可以证明，根据相似三角形的性质可以得到比例关系，通过这个等式可以解出的长度，最后利用勾股定理就可以计算出最终待求的边长。
16．【答案】；6
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）如图，连接，记，的交点为，
∵，
和都是等腰直角三角形，
∵，
，
故答案为：；
（2）如图，延长交于点，连接，
由，得是的中位线，
，
在中，，
由勾股定理得
，
，
∵是的直径，
∴，
，
∵
∴，
，
故答案为：6．
【分析】（1）连接，由F是AB的中点，OA=OB，可得OF⊥AB，因此∠AFO=90°，又OA=OB，∠AOB=90°，F为AB中点，可得OF=AF=BF，因此△AOF和△BOF都是等腰直角三角形，由此可推得对应结论；
（2）延长交于点，连接，因为O是AG的中点，F是AB的中点，因此是的中位线，结合OF的长度可以推出；接下来根据直径所对圆周角为直角可得∠ABG=90°，结合CD⊥AB，可推得∠GAB=∠DAC，再根据同圆中相等的圆周角所对的弦相等，即可得到．
17．【答案】（1）
（2）解：把黄色区域看作两份，画树状图为：
，
共有16种等可能的结果，其中指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数为4，
所以指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率为．

【知识点】几何概率；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）解：由题意第一次转动时指针落在蓝色区域的概率为，
【分析】
（1）直接利用几何概率公式求解即可；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：由题意第一次转动时指针落在蓝色区域的概率为，
（2）解：把黄色区域看作两份，画树状图为：
，
共有16种等可能的结果，其中指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数为4，
所以指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率为．
4
18．【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）如图，点E即为所求，
连接，
由网格可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先得到的中点D，再连接解题；
（2）先取格点G，F，使得，即可得到，可得，即解题．
（1）解：如图，即为所求，
（2）如图，点E即为所求，
连接，
由网格可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
19．【答案】（1）解：∵二次函数，化成顶点式为：，
故抛物线的顶点坐标为：
（2）解：∵抛物线的开口向上，顶点坐标为，∴在抛物线的左侧函数值 随 的增大而减小，
∴当 时，函数值 随 的增大而减小
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）先将题目给出的二次函数解析式整理为顶点式，就可以得到对应的结果；
（2）结合二次函数的开口方向，再利用函数对称轴的性质，就可以求解对应问题。
（1）解：∵二次函数，
化成顶点式为：，
故抛物线的顶点坐标为：；
（2）解：∵抛物线的开口向上，顶点坐标为，
∴在抛物线的左侧函数值 随 的增大而减小，
∴当 时，函数值 随 的增大而减小．
20．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）解：设的半径为，∵，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴的半径为
【知识点】垂径定理；同位角相等，两直线平行；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）因为AB是圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，两个角为同位角且度数相等，根据“同位角相等，两直线平行”，即可证明OD和AC平行；
（2）OD垂直BC，根据垂径定理，可得，同时。设的半径为，那么，在中，根据勾股定理可以列出方程，求解这个方程就能得到圆的直径.
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设的半径为，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴的半径为．
21．【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为．将和分别代入，得：
，
解得：，
∴y关于x的函数表达式是：；
（2）解：，∵，
∴当时，在的范围内，
W取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一次函数、二次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式.（1）设y与x之间的函数关系式为，将和分别代入函数解析式可列出方程组，解方程组可求出k和b的值，据此可求出y关于x的函数表达式.
（2）根据每日总利润=每千克利润×销售量可列出函数解析式为：
，再利用二次函数的性质可求出 W的最大值，据此可求出最大的日销售利润．
22．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴
∵
∴
∴
∴
∴；
（2）解：∵，是的中点，
∴
∴
∵在矩形中，，，
∴
∵
∴，即
∴．

【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和垂直的定义得到：，然后证明出，即可得到；
（2）首先根据线段中点的定义求出BE的长度，然后根据勾股定理求出AE的长度，然后由得到，然后代数求解即可．
（1）∵四边形是矩形
∴
∵
∴
∴
∴
∴；
（2）∵，是的中点，
∴
∴
∵在矩形中，，，
∴
∵
∴，即
∴．
23．【答案】（1）解：∵二次函数过点．
∴．
∴．
∴二次函数的解析式为
（2）解：∵二次函数为，∴当时，y取最大值为8．
又∵当时，；当时，，
∴时，
（3）解：∵二次函数为，
∴抛物线的顶点为．
∴当时，；当时，．
∵，
∴当对称轴直线在范围内时，二次函数的最大值与最小值的和必大于6．
∴范围在直线的一边．
∴当、时，函数有最大值或最小值
∴．
∴，，
∴t的值为2或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据题意，点在抛物线的图象上，将点坐标代入解析式可得方程，解方程求得，即可进一步求解问题；
（2）根据题意，得到二次函数解析式为，配方可得。该抛物线开口向下，因此当时，y取得最大值8。分别计算区间端点的函数值：当时，；当时，。由此可得，当时，y的取值范围为；
（3）根据题意，已知二次函数的解析式为，这是顶点式，因此可以得到抛物线的顶点坐标为，也就是说当时，二次函数可以取得最大值；还可以计算得到，当时，代入解析式可得，此时最大值8加上这个y值6，结果满足。由此可以得出：只要对称轴落在区间内部，那么这个区间上二次函数的最大值与最小值的和就一定大于6。因此要满足“最大值与最小值的和等于6”的条件，区间必须整体落在对称轴的某一侧，此时区间的两个端点和恰好分别对应区间上的最大值和最小值，因此可以列出等式：两个端点处的函数值相加等于6，也就是，求解这个方程得到t的值后，即可得到最终结论。
（1）解：∵二次函数过点．
∴．
∴．
∴二次函数的解析式为．
（2）解：∵二次函数为，
∴当时，y取最大值为8．
又∵当时，；当时，，
∴时，．
（3）解：∵二次函数为，
∴抛物线的顶点为．
∴当时，；当时，．
∵，
∴当对称轴直线在范围内时，二次函数的最大值与最小值的和必大于6．
∴范围在直线的一边．
∴当、时，函数有最大值或最小值
∴．
∴，，
∴t的值为2或．
24．【答案】解：（1）证明：如图1中，连接，
在中，，
，，
，
，
又弦垂直平分于，
，
，
，
，
，
等腰为等边三角形．
（2）证明：如图2中，在上取一点使得，
又，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
，即，
，
，
．
（3）如图3中，在上取一点，使得，连接，
设，则，
又平分，
，
，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
设，则，，
作交延长线于点，则，，，
由勾股定理得：，
，
，，
，
，
，
，，过作交的延长线于点，
设，，，
则在中，，
，，
由勾股定理可得，
解得，
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）证明得到，且，就可以解决这个问题。
（2）如图2所示，在边上取一点，使得，接下来证明，结合这个全等结论可以推出，最终得到要证明的结论。
（3）在图3的BC边上取一点Q，令BQ = AP，之后连接AQ。首先可以通过SAS判定定理证明 ，由此可以得到对应角相等，，接下来结合已知角度关系，可以得到，， 因此推出 ，根据等角对等边，可以得到AG = QG。设CQ = a，那么就可以得到QG = AG = a + 6，同时AC = BC = a + 2，之后利用勾股定理建立方程就可以解出a的值。接下来证明 ，根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得 ，结合已知线段关系可以推得 ，由此进一步得到AB = BC = 10，BP = 8。接下来过点B作BKAE，交AE的延长线于点K，设AE = x，那么BE = 4x，最后再次利用勾股定理建立方程，就可以求出对应未知量的值。
1 / 1浙江省宁波市海曙储能学校丽园校区2025-2026 学年上学期期中考试九年级数学试卷
1．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据比例性质即可求出答案.
2．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：二次函数的图象与y轴的交点的横坐标为0，即x=0，
把x=0代入二次函数，得：y=-1，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可．
3．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示：
种子个数 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽种子个数 96 282 382 567 945 1912 2850
发芽种子频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.945 0.956 0.950
则种子发芽的概率估计值是（　　）
A．0.960 B．0.950 C．0.945 D．0.940
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.950左右，
∴估计该作物种子发芽的概率为0.950．
故答案为：B．
【分析】，根据某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.950左右，所以估计该作物种子发芽的概率为0.950．
4．如图，点在以为直径的上，连结．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠CAB和∠CDB同为的圆周角，∠CAB=25°，
∴∠CDB=∠CAB=25°，
∵AB为的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDA=∠ADB-∠CDB=65°，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠CDB=∠CAB=25°，由AB为的直径可得∠ADB=90°，进而即可得出答案.
5．半径等于6的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，垂直平分，连接，
∵垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，
∴ ，
∴．
故答案为：C．
【分析】由题意和垂径定理得，再根据勾股定理可得，进而得出答案.
6．设二次函数（是常数，），部分对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 …
当时，（　　）
A．5 B． C． D．0
【答案】D
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：观察表格可知：该函数的对称轴为直线x=1，
∴与对应的函数值相等，
∵当时，，
∴当时，，
故答案为：D．
【分析】观察表格中的数据，根据二次函数的性质可知该函数图象的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性即可得出结论．
7．数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵半径为4．若点A在内，
∴，
∵点A所表示的实数为6，
∴，
故选：D．
【分析】
若点在园内，则点到圆心的距离小于圆的半径，已知半径为4，点A在圆内，因此点A到圆心B的距离AB＜4，再根据数轴上两点间的距离为两点对应实数差的绝对值，因此AB=，代入上述条件，最后即可解答.
8．如图，为的直径，点为圆上一点，，若将劣弧沿弦翻折交于点，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，
∴，
∵，
，
．
故选：A．
【分析】
连接，根据“直径所对的圆周角为直角”，得到，进而求出。结合翻折的性质可知，对应的圆周角是，对应的圆周角是；再结合邻补角的性质，可推出，由此即可得到最终答案.
9．如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，，
∵，
∴设，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的性质可得，，，，然后根据角平分线得到，即可得到，然后证明，可以得到，再根据得到，然后计算比值即可．
10．已知二次函数的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线，有以下结论：①，②，③抛物线上有两点和，若，且，则，④设是方程的两根，若，则，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴的交点在轴正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故结论①正确；
由①知：，
∴，故结论②正确；
∵，
∴二次函数的图象开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小，
∵点和在抛物线上，且，，
∴，即到的距离大于到的距离，
∴，故结论③正确；
∵二次函数的图象与轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为，右边交点的横坐标为，即，如图所示，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
综上所述，，故结论④正确，
∴正确的结论是①②③④．
故答案为：①②③④．
【分析】先根据抛物线和轴交点的位置，判断出系数和的大小关系，再结合对称轴的位置，判断出系数和的大小关系，以此验证结论①；接下来利用抛物线的对称轴公式对结论②进行判断；再结合抛物线的增减性规律验证结论③；最后根据抛物线和轴交点的不同情况分三类讨论，以此判断结论④．
11．若扇形的圆心角为，半径长为，则该扇形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：该扇形的面积为．
故答案为：．
【分析】
直接运用扇形的面积公式进行计算就可以得到结果.
12．某单位组织抽奖活动，共准备100张奖券，其中一等奖10张，二等奖30张，其余的奖券都是三等奖，则从中随机抽出一张奖券中三等奖的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：100张奖券，其中一等奖10张，二等奖30张，则三等奖张，
∴一张奖券中三等奖的概率为．
故答案为：．
【分析】
求解时用三等奖的数量除以奖券的总数量即可得到抽中三等奖的概率.
13．在平面直角坐标系中，顶点A的坐标为．若以坐标原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍，则放大后点A的对应点的坐标为　 　．
【答案】或
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵A的坐标为，
∴放大后点A的对应点的坐标为或．
∴放大后点A的对应点的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】根据“如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或”进行计算即可．
14．已知抛物线与直线相交于点、，则关于的方程的解为　 　．
【答案】，
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵ 抛物线与直线相交于点、，
∴，，
∴，，
∴，，
∴关于的方程的解为或．
故答案为：，．
【分析】先求出点A和B的坐标，燃弧根据交点A和B的坐标为方程的解解题即可．
15．如图，在矩形中，，，点，在上，点是射线与射线的交点，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图，在上截取，在上截取，连结、，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴
同理，．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
，
∴，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】先在上截出一段线段满足，再在上截出一段线段满足，之后连接和。 由 ，已知正方形内角，因此等腰直角三角形和的底角满足，。进一步计算可得，等腰直角三角形斜边，。接下来可以证明，根据相似三角形的性质可以得到比例关系，通过这个等式可以解出的长度，最后利用勾股定理就可以计算出最终待求的边长。
16．如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，于F．
（1）若，则的度数为　 　；
（2）若的半径为5，，则的长为 　 　．
【答案】；6
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）如图，连接，记，的交点为，
∵，
和都是等腰直角三角形，
∵，
，
故答案为：；
（2）如图，延长交于点，连接，
由，得是的中位线，
，
在中，，
由勾股定理得
，
，
∵是的直径，
∴，
，
∵
∴，
，
故答案为：6．
【分析】（1）连接，由F是AB的中点，OA=OB，可得OF⊥AB，因此∠AFO=90°，又OA=OB，∠AOB=90°，F为AB中点，可得OF=AF=BF，因此△AOF和△BOF都是等腰直角三角形，由此可推得对应结论；
（2）延长交于点，连接，因为O是AG的中点，F是AB的中点，因此是的中位线，结合OF的长度可以推出；接下来根据直径所对圆周角为直角可得∠ABG=90°，结合CD⊥AB，可推得∠GAB=∠DAC，再根据同圆中相等的圆周角所对的弦相等，即可得到．
17．如图，圆形转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角都是，指针绕着圆心自由转动2次．
（1）直接写出第一次转动时指针落在蓝色区域的概率　　　；
（2）求指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率．
【答案】（1）
（2）解：把黄色区域看作两份，画树状图为：
，
共有16种等可能的结果，其中指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数为4，
所以指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率为．

【知识点】几何概率；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）解：由题意第一次转动时指针落在蓝色区域的概率为，
【分析】
（1）直接利用几何概率公式求解即可；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：由题意第一次转动时指针落在蓝色区域的概率为，
（2）解：把黄色区域看作两份，画树状图为：
，
共有16种等可能的结果，其中指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数为4，
所以指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率为．
4
18．由小正方形组成的5×5的网格中，的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图．
（1）作边上的中线；
（2）若点E是上一点，使得，则_______，并在图上画出点E．
【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）如图，点E即为所求，
连接，
由网格可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先得到的中点D，再连接解题；
（2）先取格点G，F，使得，即可得到，可得，即解题．
（1）解：如图，即为所求，
（2）如图，点E即为所求，
连接，
由网格可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
19．已知二次函数．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）当x满足什么条件时，函数值y随x的增大而减小．
【答案】（1）解：∵二次函数，化成顶点式为：，
故抛物线的顶点坐标为：
（2）解：∵抛物线的开口向上，顶点坐标为，∴在抛物线的左侧函数值 随 的增大而减小，
∴当 时，函数值 随 的增大而减小
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）先将题目给出的二次函数解析式整理为顶点式，就可以得到对应的结果；
（2）结合二次函数的开口方向，再利用函数对称轴的性质，就可以求解对应问题。
（1）解：∵二次函数，
化成顶点式为：，
故抛物线的顶点坐标为：；
（2）解：∵抛物线的开口向上，顶点坐标为，
∴在抛物线的左侧函数值 随 的增大而减小，
∴当 时，函数值 随 的增大而减小．
20．如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）解：设的半径为，∵，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴的半径为
【知识点】垂径定理；同位角相等，两直线平行；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）因为AB是圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，两个角为同位角且度数相等，根据“同位角相等，两直线平行”，即可证明OD和AC平行；
（2）OD垂直BC，根据垂径定理，可得，同时。设的半径为，那么，在中，根据勾股定理可以列出方程，求解这个方程就能得到圆的直径.
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设的半径为，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴的半径为．
21．某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售价格x（元/千克） 50 40
日销售量y（千克） 100 200
（1）试求出y关于x的函数表达式．
（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为．将和分别代入，得：
，
解得：，
∴y关于x的函数表达式是：；
（2）解：，∵，
∴当时，在的范围内，
W取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一次函数、二次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式.（1）设y与x之间的函数关系式为，将和分别代入函数解析式可列出方程组，解方程组可求出k和b的值，据此可求出y关于x的函数表达式.
（2）根据每日总利润=每千克利润×销售量可列出函数解析式为：
，再利用二次函数的性质可求出 W的最大值，据此可求出最大的日销售利润．
22．如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴
∵
∴
∴
∴
∴；
（2）解：∵，是的中点，
∴
∴
∵在矩形中，，，
∴
∵
∴，即
∴．

【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和垂直的定义得到：，然后证明出，即可得到；
（2）首先根据线段中点的定义求出BE的长度，然后根据勾股定理求出AE的长度，然后由得到，然后代数求解即可．
（1）∵四边形是矩形
∴
∵
∴
∴
∴
∴；
（2）∵，是的中点，
∴
∴
∵在矩形中，，，
∴
∵
∴，即
∴．
23．已知二次函数过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当时，求二次函数y值的范围；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求的值．
【答案】（1）解：∵二次函数过点．
∴．
∴．
∴二次函数的解析式为
（2）解：∵二次函数为，∴当时，y取最大值为8．
又∵当时，；当时，，
∴时，
（3）解：∵二次函数为，
∴抛物线的顶点为．
∴当时，；当时，．
∵，
∴当对称轴直线在范围内时，二次函数的最大值与最小值的和必大于6．
∴范围在直线的一边．
∴当、时，函数有最大值或最小值
∴．
∴，，
∴t的值为2或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据题意，点在抛物线的图象上，将点坐标代入解析式可得方程，解方程求得，即可进一步求解问题；
（2）根据题意，得到二次函数解析式为，配方可得。该抛物线开口向下，因此当时，y取得最大值8。分别计算区间端点的函数值：当时，；当时，。由此可得，当时，y的取值范围为；
（3）根据题意，已知二次函数的解析式为，这是顶点式，因此可以得到抛物线的顶点坐标为，也就是说当时，二次函数可以取得最大值；还可以计算得到，当时，代入解析式可得，此时最大值8加上这个y值6，结果满足。由此可以得出：只要对称轴落在区间内部，那么这个区间上二次函数的最大值与最小值的和就一定大于6。因此要满足“最大值与最小值的和等于6”的条件，区间必须整体落在对称轴的某一侧，此时区间的两个端点和恰好分别对应区间上的最大值和最小值，因此可以列出等式：两个端点处的函数值相加等于6，也就是，求解这个方程得到t的值后，即可得到最终结论。
（1）解：∵二次函数过点．
∴．
∴．
∴二次函数的解析式为．
（2）解：∵二次函数为，
∴当时，y取最大值为8．
又∵当时，；当时，，
∴时，．
（3）解：∵二次函数为，
∴抛物线的顶点为．
∴当时，；当时，．
∵，
∴当对称轴直线在范围内时，二次函数的最大值与最小值的和必大于6．
∴范围在直线的一边．
∴当、时，函数有最大值或最小值
∴．
∴，，
∴t的值为2或．
24．已知：为的直径，弦垂直平分于，连接、．
（1）如图1，求证，为等边三角形．
（2）如图2，为弧上一点，连接、、，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，点为、的交点，为延长线上一点，连接交于，连接，若平分，，，求弦的长．
【答案】解：（1）证明：如图1中，连接，
在中，，
，，
，
，
又弦垂直平分于，
，
，
，
，
，
等腰为等边三角形．
（2）证明：如图2中，在上取一点使得，
又，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
，即，
，
，
．
（3）如图3中，在上取一点，使得，连接，
设，则，
又平分，
，
，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
设，则，，
作交延长线于点，则，，，
由勾股定理得：，
，
，，
，
，
，
，，过作交的延长线于点，
设，，，
则在中，，
，，
由勾股定理可得，
解得，
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）证明得到，且，就可以解决这个问题。
（2）如图2所示，在边上取一点，使得，接下来证明，结合这个全等结论可以推出，最终得到要证明的结论。
（3）在图3的BC边上取一点Q，令BQ = AP，之后连接AQ。首先可以通过SAS判定定理证明 ，由此可以得到对应角相等，，接下来结合已知角度关系，可以得到，， 因此推出 ，根据等角对等边，可以得到AG = QG。设CQ = a，那么就可以得到QG = AG = a + 6，同时AC = BC = a + 2，之后利用勾股定理建立方程就可以解出a的值。接下来证明 ，根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得 ，结合已知线段关系可以推得 ，由此进一步得到AB = BC = 10，BP = 8。接下来过点B作BKAE，交AE的延长线于点K，设AE = x，那么BE = 4x，最后再次利用勾股定理建立方程，就可以求出对应未知量的值。
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