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四川省内江市第一中学 2026-2027 学年九年级上学期第一次月考数学试卷
A（共 100分）
一、单选题（共 12 题，共 36 分）
1．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． + = B． =2 C． = D． ÷ =2
3．下列各二次根式中，可以与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
4．用配方法解方程 ，配方后所得的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为 32和 2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B．
C．6 D．8
6．实数 、 在轴上的位置如图所示，且 ，则化简 的结果为( )
A． B． C． D．
7．如图，在一块长为 22米，宽为 17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路
各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为 300平方米．若设道路宽为 米，则根据题意
可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．对于实数 、 ，定义运算“☆”如下： ，例如： ，则方程 1☆x=6
的解为（ ）
9．若关于 x的方程 有实数根，则 m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D．
试卷第 3页（共 4页）
10．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了 次手．若设这次会议到会
的人数为 x人，依题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
11．若 ， 是方程 的两个实数根，则 的值是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
12．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们
也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设
，易知 ，故 ，由
，解得 ，即
．根据以上方法，化简 后的结果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共 4题，共 16 分）
13．函数 中自变量 的取值范围是______．
14．已知 ，则 ______．
15．设 、 是一元二次方程 的两实数根，则 的值为______．
16．观察式子： ， ，
，…，由此得到的规律，请你用含 n（n是大于等于 1的正整数）的式子表
示出来_____．
三、解答题（共 5题，共 48 分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤.）
17．（8分）计算：
(1) ；
(2)
18．（10分）解方程：
(1) (配方法)；
(2) （因式分解法）．
试卷第 4页（共 4页）
19．（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD（围墙
MN最长可利用 25m），现在已备足可以砌 50m长的墙的材料：
（1）如何设计，可使矩形花园的面积为 300 ；
（2）矩形花园的面积可以为 315 吗？若能，如何设计；若不能，请说明理由.
20．（10分）已知关于 x的一元二次方程 ．
（1）若该方程有两个实数根，求 m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为 x1，x2，且 ，求 m的值．
21．（10分）“我运动，我健康，我快乐！”随在人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人
数逐年增多，从 年的 万人增加到 年的 万人．
(1)求该市 2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率．
(2)其网店以每组 30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为 元时， 月份售出了 组，随着市民健
身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从 1月份起采用降价促销的方式．经
调查发现，该哑铃组每组每降价 1元，销售量就增加 组，该网店计划 1月份售卖哑铃组获利 元，
为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？
B（共 60分）
一、填空题（共 4题，共 24 分）
22．已知 ，则代数式 的值为______ ．
23．已知 ，则 的值为 ．
24．已知 为等腰三角形，一边长为 3，它的另两条边的长度分别是方程 的两个根，那
么 m的值是__________．
25．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，且 ，则 的取
值范围是_____．
二、解答题（共 3题，共 36 分）
26．阅读材料：像 ； ； …两个含有二
次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ， 与
， 与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去
试卷第 3页（共 4页）
分母中的根号．例如： ．
小明利用上述材料内容解决了问题：已知 ，求 值．
∴ ，∴ ，∴ 即 ，
∴ ，∴ ，
请你利用上述内容，解答下列问题：
(1) 与____互为有理化因式，将 分母有理化得_______；
(2)根据上面的规律，计算下列式子的值：
．
(3) ，求 的值．
27．如图，在矩形 中， ， ，动点 ， 分别从点 ， 同时出发，点 以
的速度向点 移动，点 以 的速度向 点移动，当点 到达点 时点 随之停止运动，设
运动时间为 秒．
(1) ________ ； ________ ，（用含 的代数式表示）；
(2) 为多少时，四边形 的面积为 ：
(3) 为多少时，点 和点 的距离为 ．
28．阅读材料：
材料 1．若一元二次方程 的两根为 、 ，则 ， ．
材料 2．已知实数 m、n满足 、 ，且 ，求 + 的值．
解：由题知 m、n是方程 的两个不相等的实数根，
根据材料 1得 ， ．
∴ ．
根据上述材料解决下面问题：
(1)一元二次方程 的两根为 、 ，则 ， ．
试卷第 4页（共 4页）
(2)已知实数 m、n满足 、 ，且 ，求 的值．
(3)已知实数 p、q满足 、 ，且 ，求 的值
试卷第 3页（共 4页）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D C B C A A A
题号 11 12
答案 C D
1．C
【详解】A. 属于二元二次方程，故错误；
B. 属于二元一次方程，故错误；
C. 属于一元二次方程，正确；
D. 属于分式方程，故错误；
故选 C．
2．D
【详解】解：A. 与 不能合并，所以 A选项错误，不符合题意；
B.原式=3 ，所以 B选项错误，不符合题意；
C.原式= = ，所以 C选项错误，不符合题意；
D.原式= =2，所以 D选项正确，符合题意．
故选 D．
3．B
【详解】A. ∵ =2，∴与 不能合并；
B. ∵ = ，∴与 能合并；
C. ∵ = ，∴与 不能合并；
D. ∵ = ，∴与 不能合并；
故选 B．
4．D
【详解】方程移项得： ，
配方得： ，即 ．
故选：D．
5．C
【详解】解：由题意可得，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，
答案第 7页（共 9页）
∴题图中阴影部分的面积为 ．
故选：C．
6．B
【详解】∵由数轴可知， ，且 ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
7．C
【详解】解：设道路的宽应为 米，由题意得，
，
故选：C．
8．A
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴原方程有两个不相等的实数根．
9．A
【详解】解：①当 时，方程为 ，是一元一次方程，
解得 ，符合题意；
②当 时，方程是一元二次方程，
∵于 x的方程 有实数根，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴方程为一元二次方程时，m的取值范围是 且 ，
综上所述：m的取值范围是 ．
答案第 6页（共 9页）
故选：A．
10．A
【详解】解：设这次会议到会的人数为 x人，
依题意得， ，
故选：A．
11．C
【详解】∵ 是方程 的根，
∴ ，即 ．
∵ ， 是方程的两个实数根，
∴ ．
∴ ．
故选 ：C
12．D
【详解】设 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴原式 ，
故选 D．
13．x≥2且 x≠3
【详解】解：由题意得： ，
解得：x≥2且 x≠3．
故答案为：x≥2且 x≠3．
14．
答案第 7页（共 9页）
【详解】解： ，
，
解得： ，
，
，
故答案为： ．
15．
【详解】解：∵ 、 是一元二次方程 的两实数根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
16．
【详解】解：第 1个等式： ，
第 2个等式： ，
第 3个等式： ，
…，
以此类推，第 n个等式： ．
17．(1)
(2)
18．(1) ，
(2) ，
19
答案第 6页（共 9页）
解：（1）设 AB=x米，则 BC=（50-2x）米 ,
根据题意可得，x（50-2x）=300, 解得：x1=10，x2=15
当 x=10，BC=50-2×10=30＞25，故 x1=10不合题意舍去，
所以只取 x=15
答：可以围成 AB的长为 15米，BC长为 20米，可使矩形花园的面积为 300 ．
（2）假设能围成矩形花园的面积为 315 ，根据题意得
x（50-2x）=315
-2x2+50x-315=0
因为△=b2-4ac=502-4×(-2)×(-315)=-20＜0.
所以不能围成 315㎡的矩形花园.
20．（1） ；（2） ．
【详解】解：（1）由题意可知：△ ，
，
∴ ；
（2）由题意可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
解得： ，或 ；
∵ ，
∴ 不符合题意，舍去，
答案第 7页（共 9页）
∴ ，
21．(1) ；
(2)降价 元
【详解】（1）解：设该市 ， 这两年参加健身运动人数的年均增长率 ，
由题意得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
答：该市 2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为 ；
（2）解：设该哑铃组每组应降价 m元，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
答：为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价 元，
22.1
23．-1
24．3或 4
【详解】解：设方程 的两个根为 和 ，则 ， ．
由于 是等腰三角形且一边长为 3，
①若 3为底边，则两腰 和 相等，即 ，此时 ，三边分别为 2、2、3，满足三角形三边
关系（两短边之和大于第三边）．
②若 3为腰，则另一腰也为 3，底边为方程的另一根，设 ，则 ，此时 ，三边分别为 3、
3、1，满足三角形三边关系．
故 的值为 3或 4，
故答案为：3或 4．
25． ≤ ．
【详解】解： ， 是关于 的一元二次方程 的两根
方程的根的判别式
即
解得 ，
答案第 6页（共 9页）
由根与系数的关系可得：
，
代入得：
移项，系数化为 1得：
≤ ．
26．(1)
(2)
(3)
（2）
（3）将 进行分母有理化得，
两边平方得，
，
答案第 7页（共 9页）
，
，
则 ，
∴
27．(1) ，
(2)
(3)当 为 或 时，点 和点 的距离为 ．
【详解】（1）解：当运动时间为 时， ， ，
∴ ，．
故答案为： ， ．
（2）依题意得： ，
整理得： ，
解得： ．
答：当 为 时，四边形 的面积为 ．
（3）过点 作 于点 ，则 ，如图所示．
依题意得： ，
即 ，
解得 ， ．
答：当 为 或 时，点 和点 的距离为 ．
答案第 6页（共 9页）
28．(1) ，
(2)
(3)43
【详解】（1）解： 的两根为 、 ，
， ，
故答案为： ， ；
（2）解： 实数 、 满足 、 ，且 ，
、 是一元二次方程 的两个相等的实数根，
， ，
则原式
；
（3）解： ，
，即 ．
又 ，即 ，
、 是方程 的两个不相等的实数根，
， ，
．
答案第 7页（共 9页）

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