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德阳五中高 2025级 2026年秋期第一次自主检测数学试题
考生须知：
1．本卷共 3页满分 150分，考试时间 120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；考试结束后，只需上交答题纸.
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知向量 ， 不共线， ， ， ，则（ ）
A. 与 共线 B. 与 共线
C. A，B，C，D四点不共面 D. A，B，C，D四点共面
4. 已知 ， ， 是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ， ，则
5. 在三棱柱 中， 为棱 的中点．设 ，用基底 表示
向量 ，则 （ ）
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A. B.
C. D.
6. 如图，已知电路中 4个开关每个断开的概率都是 ，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知 为球 球面上的三个点，若 ，球 的表面积为 ，则三棱锥 的
体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜
的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为 p，则（ ）
A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 设 ， 是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是（ ）
A. 如果 ，那么 与 相互对立
B. 若 ， 是互斥事件，则
C. 从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”
是对立事件
D. 已知事件 ， 发生的概率分别为 ， 且 ，则事件 ， 相互独立
10. 在我们发布的各类统计数据中，同比和环比都是反映增长速度的核心数据指标．如图是某专业机构统计
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的 2022年 1-12月中国校车销量走势图，则下列结论正确的是（ ）
A. 8月校车销量的同比增长率与环比增长率都是全年最高
B. 1-12月校车销量的同比增长率的平均数小于环比增长率的平均数
C. 1-12月校车销量的环比增长率的极差大于同比增长率的极差
D. 1-12月校车销量的环比增长率的方差大于同比增长率的方差
11. 如图，在棱长均为 2的正四棱锥 中， 为底面正方形的中心， ， 分别为侧棱 ，
的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 平面
B. 过 ， ， 三点的平面截四棱锥，截面是等腰梯形
C. 为棱 上动点，则 最小值为
D. 三棱锥 与四棱锥 体积之比为
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 已知向量 ，且 ，则实数 ___________．
13. 已知甲、乙、丙 3名运动员击中目标的概率分别为 ， ， ，若他们 3人分别向目标各发 1枪，
则三枪中至少命中 2次的概率为______．
14. 如图，四边形 ABCD和 ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段 PQ上，E、F
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分别为 AB、BC的中点．设异面直线 EM与 AF所成的角为 ，则 的最大值为 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 ， ，设 ．
（1）若 ， ，求 的值．
（2）若 ，求 的最小值，及此时实数 的值．
（3）若 ，求 的取值范围.
16. 近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢
性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有
效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从 2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统
性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高 ，青少年的 BMI理想范
围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对 1000名高中生的体重指
数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为 、 、 、 、 、 、
，调查结果的频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中 的值及高中生 的平均数及中位数；
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（2）在 BMI为 、 、 的三组学生中，用分层抽样的方法抽取 10名学生，则 BMI
在 的学生中应抽取多少名？
（3）在（2）条件下，在 BMI为 和 的两组学生中任取 2名学生，求这 2名学生来自同一
组学生的概率.
17. 如图，在长方体 中， ，点 E在棱 AB上移动.
（1）求证： .
（2）当点 E为棱 AB的中点时，求 CE与平面 所成角的正弦值.
（3）在棱 AB上是否存在点 M，使平面 与平面 AMC所成的角为 ？若存在，求出 AM的值；若不
存在，请说明理由.
18.△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 ．
（1）求 A；
（2）若 ，证明：△ABC是直角三角形．
19. 如图，已知 是边长为 4的等边三角形， ， 分别是 ， 的中点，将 沿着 翻
折，使点 到点 处，得到四棱锥 ．
（1）设平面 平面 ，证明： 平面 ；
（2）当 时，求平面 与平面 夹角的余弦值；
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（3）若点 在平面 的射影在四边形 的内部，四棱锥 的体积 ，
设点 在线段 上运动（不含端点），记直线 与平面 所成的角为 ，四棱锥 的高为
，求 的取值范围．
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德阳五中高 2025级 2026年秋期第一次自主检测数学试题
考生须知：
1．本卷共 3页满分 150分，考试时间 120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；考试结束后，只需上交答题纸.
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】BCD
第 7页/共 10页
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
【12题答案】
【答案】2
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2） 最小值为 ，此时
（3）
【16题答案】
【答案】（1） ；平均数 ；中位数
（2）
（3）
【17题答案】
【答案】（1）
以 D为坐标原点，直线 DA，DC， 分别为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
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设 ， ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ，则 ，
所以 .
（2）
（3）
存在， .
【18题答案】
【答案】（1） ；
（2）因为 ，所以 ，
即 ①，
又 ②， 将②代入①得， ，
即 ，而 ，解得 ，
所以 ，
故 ，
即 是直角三角形．
【19题答案】
【答案】（1）∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴ 又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
又∵平面 平面 ， 平面 ，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
（2）
第 9页/共 10页
（3）
第 10页/共 10页

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