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2026—2027学年八年级数学上学期单元测试卷
第二章 特殊三角形单元测试·真题重组卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）中国传统服饰被誉为中国国粹之代表，下列服饰中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知为等边三角形，D是上一点，E是的延长线上一点，且．若的面积为8，则的面积为（ ）
A．28 B．30 C．32 D．34
4．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧相交于点，连接交于点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）在中，，，点D在线段上，连结，点B关于直线的对称点为，射线与的延长线相交于点E，当时，线段的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．（25-26八年级上·浙江·期中）下列命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．等边三角形是锐角三角形
B．如果两个角是直角，那么它们相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
D．对顶角相等
8．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，点D是的中点，过点C作的垂线，与边分别交于点E，F．设，有以下三个结论：①；②；③，其中一定正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
9．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线交的平分线于点D，过点D作，交的延长线于点E．若，，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图正方形的边长为，，连接，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．（25-26八年级上·浙江台州·期末）写出命题“如果，那么”的逆命题：_____．
12．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点在的垂直平分线上，，若，则的度数为_____．
13．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰直角中，，，是上一点，连接，，点关于直线的对称点恰好落在上，则的度数为_____；连接交于点．若，则的长为_____．
14．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在等腰三角形中，，，D为边上一点，满足，点E，B位于直线的同侧．若是等边三角形，连结，则的长为_____．
15．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，在四边形中，，，M，N分别是对角线的中点，，则________．
16．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，等边中，是边上的中线，点E是线段上一动点，连结，在右侧作等边，连结．若，则周长的最小值为____．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，，，于，于，，求证：点是的中点．
18．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，中，的垂直平分线分别交、于点E、F，且，作交于点D．
(1)若，求∠的度数．
(2)若，的周长为，求的长．
19．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，把线段进行以下操作：
①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②以点为圆心，长为半径画弧交直线于点，连；
③在上取点，过点作分别交于点E，F．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)若，求的长．
20．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，，，垂足是点D．E是上一点，连接，过点B作于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
21．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，交边于点，点是边的中点，连接．
(1)若，求的度数；
(2)猜想与的数量关系，并说明理由．
22．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知和，，，，点关于直线的对称点为，线段交边于点，交的平分线于点，连结．
(1)求证：．
(2)求的度数．
(3)探究与的数量关系，并说明理由．
23．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在和中，，，点，，在一条直线上，，连结交于点．
(1)求证：是的中点；
(2)若，求的长．
24．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践
【问题背景】
（1）如图1，在和中，，点为边的中点，连结，，．求证：为等腰三角形．
【特例研究】
（2）在（1）的条件下，若，求证：平分．
【拓展延伸】
（3）如图2，在中，，点在边上，，，，点，分别为线段，的中点，连结，．若，，求线段的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B C D C C A D B
1．C
轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
2．D
本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，分腰长为和腰长为两种情况讨论，利用三角形三边关系验证是否构成三角形，再计算周长即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
解：当腰长为，底边长为时，三边长为，
∵，
∴能构成三角形，
此时三角形的周长为；
当腰长为，底边长为时，三边长为，
∵，
∴能构成三角形，
此时三角形的周长为；
综上，三角形的周长为或，
故选：．
3．B
本题主要考查等边三角形的性质，三角形的面积；根据等边三角形的性质得到，，进而得到，得到，再结合，得到，即可求出结果．
解：是等边三角形，
，
，
，，
边上的高与边上的高相同，
，
的面积为，
，
边上的高与的边上的高相同，
，
，
．
故选：B．
4．C
本题考查尺规作图—作线段，作垂线，等腰三角形的性质，根据作图可知，三线合一，得到，判断即可．
解：由作图可知：，
∴；
故选项C正确；其它选项均条件不足，都不能成立；
故选C．
5．D
本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键；
在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可．
解：当车长为底时，
，
是等腰三角形是；
当车长为腰时，
，，，，
，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个．
故选：D．
6．C
本题考查了翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质及等边三角形的判定与性质．连接，利用等腰三角形的性质得出，再由翻折的性质得出垂直平分，推导出是等边三角形，进而证明是等边三角形，再利用三角形内角和定理求得，进而求得的值．
解：如图，连接，
∵，，
∴，
又∵点B关于直线的对称点为点，
∴垂直平分，则，，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
7．C
本题考查判断命题的真假、逆命题，涉及垂直平分线判定定理、等边三角形的定义、对顶角等，熟知相关知识是解答的关键．先写出各选项中命题的逆命题，再根据相关知识可判断选项C的逆命题是线段垂直平分线的判定定理，成立．
解：A、逆命题：锐角三角形是等边三角形，假命题（反例：锐角等腰三角形非等边），故选项A不符合题意；
B、逆命题：相等的角是直角，假命题（反例：角相等非直角），故选项B不符合题意；
C、逆命题：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，真命题（垂直平分线判定定理），故选项C符合题意；
D、逆命题：相等的角是对顶角，假命题（反例：等腰三角形底角相等，非对顶角），故选项D不符合题意；
故选：C．
8．A
本题考查了三角形的外角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质等知识；
根据题意，得到，由等边对等角得，利用外角得到，由此可知①正确；根据直角三角形的两个锐角互余得到和，根据即可推出②正确；再利用外角得到，可推出③不一定正确．
解：∵在中，，点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴①正确；
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴②正确；
∵，
∴，
∴③不一定正确；
∴正确的有①②，
故选：A．
9．D
本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质和作法，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质．
过点作于点，连接，根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，得出相等的线段和直角，证明和，得出相等的边，最后利用线段的和差进行求解即可．
解：如图所示，过点作于点，连接，
∵平分，且，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
由作图可得，垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
10．B
本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用．延长交于点，根据正方形的性质证明，可得、、，由勾股定理可得的长．
解：如图，延长交于点，
，，，
，
和是直角三角形，
在和中，
，
，
，，
，，
又，，
，，
在和中，
，
，
，，，
，
同理可得，
在中， ，
故选：B．
11．如果，那么
本题考查根据原命题写逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可得到逆命题．
解：原命题的条件是“”，结论是“”，因此逆命题是“如果，那么”．
故答案为：如果，那么．
12．
本题考查等腰三角形中等边对等角，垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据，，求出，结合点在的垂直平分线上，以及三角形外角的性质，可求出，最终可得出的度数．
解：∵，，
∴，
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13． /120度 1
此题考查了轴对称性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
首先得到，，由对称得到，，，，证明出，得到；
如图所示，连接，证明出，得到，然后证明出，得到．
∵在等腰直角中，，，
∴，，
∵点关于直线的对称点恰好落在上，
∴，，，
∴，，
∴
∴
∵
∴；
如图所示，连接
∵，
∴
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴．
故答案为：，1．
14．
本题主要考查等边、等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
在上取点，使，连接，先得到，进而说明是等边三角形，再证，继而得到，则，代入长度即可求解．
如图，在上取点，使，连接，
，
，
，
，
，
,
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，即，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15．5
本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质．连接，由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，因此，由直角三角形斜边中线的性质得到．
解：如图，连接，
，M是对角线的中点，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
是对角线的中点，，
，
故答案为：5．
16．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，证明，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可．
解：如图，，都是等边三角形，
，，，
∵
，
，
，
∵是等边三角形
，
则，
，，
作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，
，，
是等边三角形，
，
，
，
周长的最小值．
故答案为：．
17．见解析
先根据“”判定，根据全等三角形的性质得到，再由“”判定，即可得到结论．
证明：，
∴在和中，
，
，
，
于，于，
，
∵在和中，
，
，
，
点是的中点．
18．(1)
(2)
（1）由线段的垂直平分线得到，则，而，则；
（2）由等腰三角形得到，那么的周长，化为，即可求解．
（1）解：∵垂直平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴
∵
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴的周长
，
∵，
∴．
19．(1)是等边三角形，理由见解析
(2)5
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等角对等边，熟知等边三角形的性质及其判定定理是解题的关键．
（1）由作图方法可知垂直平分，，则可证明，即可证明是等边三角形；
（2）由等边三角形的性质得到，由平行线的性质得到，则可证明，是等边三角形，据此求出的长即可得到答案．
（1）解：是等边三角形，理由如下：
由作图方法可知垂直平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：由（1）可知是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，是等边三角形，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)的长为10
本题主要考查了全等三角形的判定和性质．
（1）由等腰直角三角形的性质得出，再证明，，进而根据即可证明．
（2）先证明是等腰直角三角形，再利用等腰三角形三线合一，得到，最后结合全等三角形的性质求解即可．
（1）证明：∵，，
∴，
∵于点D，
∴，
∴，
∵于点F，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，于点D，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为10．
21．(1)
(2)
，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，点是边的中点，
∴，
∴，
∴．
（1）先结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，结合等边对等角，以及直角三角形的两个锐角互余，得，运用三角形内角和性质，得，即可得出的度数
（2）结合等边对等角，以及直角三角形的两个锐角互余，得，又因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，，最后运用三角形外角性质，得，即可作答．
（1）解：∵，点是边的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）略
本题考查了三角形外角性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，三角形内角和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
22．(1)
证明：平分，，
，
，，
，
；
(2)
(3)
，理由如下：
作，垂足为．
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
（1）根据证明可得结论；
（2）连接，由对称性得，，，可得出
（3）作，垂足为．证明，再根据勾股定理可得结论．
（1）略
（2）解：连接．
点与点关于直线对称，
，
，
，，
；
（3）略
23．(1)见解析
(2)5
本题考查了全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形，利用勾股定理求线段长度是解题的关键．
（1）过点作交于点，交于点，先利用全等三角形判定定理推出，得到，再利用全等三角形判定定理推出，得到，即可得出结论；
（2）由和求出的长，进而得到、的长，在中利用勾股定理得出的长，即可求出的长．
（1）证明：如图，过点作交于点，交于点，
，
，
，
，
，，
， ，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
，
又，
，
，
是的中点．
（2）解：，，
，
，
解得：，
，
由（1）中的结论得，，，
，，
，
，
，
在中，，
由（1）中的结论得，是的中点，
，
的长为5．
24．【问题背景】证明见解析；【特例研究】证明见解析；【拓展延伸】线段的长为
本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线定理等知识点，综合性较强，熟练掌握相关知识点以及准确添加辅助线是解题的关键．
【问题背景】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出，即可证出结果；【特例研究】根据线段的等量关系，得出，，由等腰直角三角形，易证出，结合三角形内角和，可得出，即可证明出平分；【拓展延伸】连接，，过点作交于点，过点作交于点，先证明，根据角度关系，证明为直角三角形，并结合勾股定理，求出，的长度，即可得出的长度，再证明，根据勾股定理依次求出、、的长度，证明为直角三角形，即可根据勾股定理求出的长度．
解：【问题背景】在中，，点为边的中点，
∴，
同理，可证，
∴，
∴为等腰三角形．
解：【特例研究】∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴平分．
解：【拓展延伸】连接，，过点作交于点，过点作交于点，如下图所示：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，，
令，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
令，则，
在中，，
即，
解得，
即，，
∵点为中点，
∴，
同理，可得，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴，
∵，点为中点，
∴，
故为直角三角形，
∴，
故线段的长为．
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第二章 特殊三角形 单元测试·真题重组卷 试卷分析
一、单选题
1 0.95 轴对称图形的识别
2 0.65 等腰三角形的定义；构成三角形的条件
3 0.65 与三角形的高有关的计算问题；等边三角形的性质
4 0.65 作垂线(尺规作图)；三线合一；作线段(尺规作图)
5 0.65 找出图中的等腰三角形
6 0.65 等腰三角形的性质和判定；三角形内角和定理的应用；等边三角形的判定和性质
7 0.65 线段垂直平分线的判定；判断命题真假；写出命题的逆命题；等边三角形的判定
8 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；等腰三角形的性质和判定；三角形的外角的定义及性质
9 0.65 全等的性质和HL综合（HL）；角平分线的性质定理；线段垂直平分线的性质
10 0.65 全等三角形综合问题；判断三边能否构成直角三角形；用勾股定理解三角形
二、填空题
11 0.85 写出命题的逆命题
12 0.65 线段垂直平分线的性质；等边对等角；三角形的外角的定义及性质；三角形内角和定理的应用
13 0.65 根据成轴对称图形的特征进行求解；等腰三角形的性质和判定；三角形的外角的定义及性质；根据等角对等边求边长
14 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定；等边三角形的性质
15 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；等腰三角形的性质和判定；三角形的外角的定义及性质
16 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；根据成轴对称图形的特征进行求解；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
三、解答题
17 0.72 全等的性质和HL综合（HL）
18 0.65 线段垂直平分线的性质；等边对等角；三线合一
19 0.65 线段垂直平分线的性质；作已知线段的垂直平分线；根据等角对等边求边长；等边三角形的判定；等边三角形的判定和性质
20 0.65 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定；等边对等角；三线合一；全等三角形的性质
21 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；等边对等角；三角形的外角的定义及性质；三角形内角和定理的应用
22 0.65 全等三角形综合问题；利用勾股定理证明线段平方关系；全等的性质和SAS综合（SAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
23 0.65 垂线模型(全等三角形的辅助线问题)；用勾股定理解三角形
24 0.15 斜边的中线等于斜边的一半；全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形

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