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第3章 一元一次不等式 单元测试·压轴卷 试卷分析
一、单选题
1 0.65 不等式的性质
2 0.85 不等式的定义
3 0.65 求一元一次不等式解的最值；分式最值
4 0.65 加减消元法；二元一次方程组的特殊解法；求一元一次不等式的解集
5 0.65 有理数四则混合运算的实际应用；用一元一次不等式解决实际问题
6 0.65 列一元一次不等式
7 0.65 在数轴上表示不等式的解集；求不等式组的解集
8 0.65 三角形的外角的定义及性质；用一元一次不等式解决实际问题
9 0.4 已知字母的值 ，求代数式的值；求一元一次不等式组的整数解
10 0.4 列代数式；用一元一次不等式解决实际问题
二、填空题
11 0.65 不等式的性质
12 0.65 用一元一次不等式解决实际问题
13 0.65 用一元一次不等式解决实际问题；销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
14 0.65 由不等式组解集的情况求参数
15 0.4 解特殊不等式组；求一元一次不等式组的整数解；由一元一次不等式组的解集求参数；不等式组和方程组结合的问题
16 0.4 用一元一次不等式解决实际问题
三、解答题
17 0.65 求一元一次不等式的解集
18 0.65 求一元一次不等式的解集；已知二元一次方程组的解的情况求参数；带有字母的绝对值化简问题
19 0.65 在数轴上表示不等式的解集；求不等式组的解集
20 0.65 用一元一次不等式解决实际问题；销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
21 0.65 不等式的性质；求一元一次不等式的解集
22 0.65 加减消元法；求不等式组的解集；由不等式组解集的情况求参数
23 0.4 销售盈亏(一元一次方程的应用)；不等式组的方案选择问题
24 0.41 用一元一次不等式解决实际问题；销售、利润问题(二元一次方程组的应用)2026—2027学年八年级数学上学期单元测试卷
第3章 一元一次不等式单元测试·压轴卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．已知，为实数，且，，则下列关于的说法正确的是（ ）．
A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为
C．有最大值，且最大值为 D．有最小值，且最小值为
4．已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．根据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一人在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果的个数．已知他一共采集到73个野果，则他在第2根绳子上打结个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素含量及购买这两种原料的价格如表：现配制这种饮料，要求至少含有单位的维生素，若所需甲种原料的质量为，则x应满足的不等式为（ ）
甲种原料 乙种原料
维生素C含量（单位/kg） 600 100
原料价格（元/kg） 8 4
A． B．
C． D．
7．对于实数，定义一种运算“”：，则不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．书架上有本完全一样的书如图所示摆放着，除第本竖着外，从第本起适当倾斜，其平面图形，如图．点、、、、、、，在同一条直线上，，，，，．均为，依次类推，为保证最后一本书的顶点能在前一本书的边上，的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．已知是整数，，且，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．甲杯和乙杯中分别盛有质量均为克的糖水(杯子足够大)．其中甲杯中含有糖a克(克)，乙杯中含有糖克．现从乙杯盛出克糖水，倒入甲杯并搅拌均匀．嘉嘉给出算式：① ；②a；③；④；⑤下列能反映甲杯的糖水变甜的关系式是（ ）(提示：浓度)
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若，则x的取值范围是______．
12．小益同学用100元钱去购买矿泉水和可乐共30瓶，已知矿泉水每瓶2元，可乐每瓶5元，则小益同学最多能买可乐______瓶．
13．某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件需440元；商店准备用不超过1625元购进50件这两种商品，则购进A种商品最多_____件．
14．已知关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围为_________．
15．已知关于的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的个数为________．
16．10名选手进行单循环下棋比赛，胜者记2分，平者记1分，负者记0分，比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第二名选手的分数为后5名选手总分的，则第二名选手得分为_____________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解一元一次不等式．
(1)
(2)
18．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：；
(3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为．
19．解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上．
20．围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A，B两种材质的围棋，每套进价分别为210元、180元，如表是近两个月的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种材质 B种材质
第一个月 3套 5套 1800元
第二个月 4套 10套 3100元
(1)求A，B两种材质的围棋每套的售价；
(2)若商家再采购A，B两种材质的围棋共30套，购买金额不超过5780元，求A种材质的围棋最多能采购多少套？
21．下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并解答．
解：．第①步
．第②步
．第③步
．第④步
．第⑤步
(1)第______步开始出现错误．
(2)请给出正确解答．
22．已知关于、的方程组中，为负数，为非正数．
(1)求的取值范围；
(2)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为．
23．重庆豌杂面以其劲道的面条、软糯的豌豆和香浓的杂酱，成为重庆小吃中极具代表性的美食．某超市计划试销两种包装规格的预包装重庆豌杂面（简装版、精装版），已知精装版豌杂面每箱售价比简装版贵45元，购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元．
(1)求精装版和简装版豌杂面每箱的售价分别是多少元？
(2)经了解，精装版每箱进价为165元，简装版豌杂面每箱进价为135元，超市计划购进两种包装共28箱，且进货总资金不超过4020元，同时要求试销总利润不低于790元．
①求超市可行的进货方案有哪些？
②哪种进货方案能让超市获得最大利润？最大利润是多少元？
24．某化工厂从A地购买原料运回工厂制成产品运到B地销售．已知产品的销售款比原料的进货款多20000元，产品的销售款比原料的进货款多15000元．
(1)求每吨原料的进货款和产品的销售款分别多少元？
(2)工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共．若要增加的产品，就要再购买的原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于66000元，同时满足原料总重量是产品总重量的2倍，求至少需要再购买多少吨的原料？
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D B C D D B D D
1．D
本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质逐项分析判断，即可求解．
解：∵，则，
∴，，，故A，B，C，选项一定成立，
若，则，
，即，
故D选项不成立，符合题意，
故选：D．
2．C
解： ①，② ，⑤，⑥都含有不等号，是用不等号连接表示不等关系的式子，属于不等式；③是等式，④是代数式，都不是不等式，所以不等式共有4个．
3．D
本题考查不等式的性质、代数式的消元变形，通过消元将二元问题转化为一元问题，再结合不等式范围推导最值，是解题的关键．
由得，代入得，进而将表示为，分析其取值范围即可．
解：∵，
∴，
代入，得，
即，
整理得，
∴解得，
∵，
又∵，
∴，
∴，
当时，等号成立，即取得最小值，
∴有最小值．
故选：．
4．B
本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键，将方程组的两个方程相加，求得，再根据列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围．
解：，
由得：，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
∴ 的取值范围是 ，
故选：B
5．C
本题考查满七进制的计数方法，有理数的混合运算，不等式，掌握知识点是解题的关键．
将总野果数转换为七进制数，第2根绳子对应七位上的数字即可．
解：∵总野果数为73，满七进一，
设第3根绳子打结数为a，第2根为b，第1根为c，
则，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴时，，符合要求，
∴第2根绳子打结数为3．
故选：C．
6．D
本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，理解表格，会把文字语言转换为数学语言是解决问题的关键．
首先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表格中的数据，根据“至少含有4200单位的维生素C”这一不等关系列不等式．
解：若所需甲种原料的质量为，则需乙种原料．
根据题意，得．
故选：D．
7．D
本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，将不等式组的解集表示在数轴上，先由新定义运算可得不等式组为，再分别求解，表示在数轴上即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：∵对于实数，定义一种运算“”：，
∴不等式组为，
解可得：，
解可得：，
将解集表示在数轴上如图所示：
故选：D．
8．B
本题考查了三角形的外角的性质，一元一次不等式的应用．根据题意可得，解不等式，即可求解．
解：依题意，为保证最后一本书的顶点能在前一本书的边上，
∴
解得：．
∴的最大值为．
9．D
本题主要考查了不等式组的整数解，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
由条件且，，设，则，为整数. 结合为整数，求满足条件的，再求和，最后计算．
解：∵，设，
∴，为整数，即可取至，
∵为整数，，
∴被整除，
∵为整数，，
∴被整除，
检验至：
被整除时，，
被整除时，仅满足（被整除），
∴，
代入：，，，
代入：，，，
∴，
故选：D．
10．D
本题考查列代数式，列不等式，理解题意找到数量关系是解决问题即可．甲杯的糖水变甜，即甲杯混合后的浓度需大于原浓度，分别表示出原浓度和混合后浓度据此解答即可．
解：原甲杯浓度：，
乙杯浓度：，
从乙杯取克糖水倒入甲杯的糖量：，
混合后甲杯总糖量：，
混合后甲杯总质量：克，
混合后浓度： ，
甲杯变甜的条件：混合后浓度>原浓度，
即．
故选：D．
11．
本题考查了不等式的性质．由，推出，由，得到，由此求得，进一步计算说明当，也成立，据此求解即可．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，，即，
∴时，成立，
即时，．
综上，时，．
故答案为：．
12．13
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，设小益买了瓶可乐，则买了瓶矿泉水，根据总价单价购买数量结合总价不超过100元，即可得出关于的一元一次不等式．根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
解：设可乐瓶，矿泉水为瓶，则根据题意得：
根据题意得：．
解得：，
小益同学最多能买可乐瓶
故答案为：13．
13．25
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，列出方程组和不等式是解题关键．
通过已知条件列出二元一次方程组，求解得到A、B两种商品的进价，再根据总费用不超过1625元和总件数为50件列出不等式，求解得到A种商品的最大件数即可．
解：设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，
依题意，得：，
解得：．
设购进A种商品m件，则购进B种商品件，依题意得：
，
化简得：
解得：
故购进A种商品最多25件，
故答案为：25．
14．
本题考查了根据不等式组的解集求参数．
先解不等式组，得到解集为 ，该解集恰有3个整数解，即整数解为 ，因此， 必须大于 1（以确保 被包含），且小于或等于 2（以确保 不被包含）．
解：解不等式 ，得 ；
解不等式 ，得 ；
所以不等式组的解集为 ，
由于解集恰有3个整数解，即整数解为，
因此需满足 ．
故答案为：．
15．7
先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再结合已知条件求出a的范围，最后得出答案即可．
解方程组得：
∵方程组的解满足
∴，解得
解不等式组得：
∵关于的不等式组无解
∴，解得
∴
∴所有符合条件的整数为-2，-1,0,1,2,3,4，共7个
故答案为7
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键．
16．16分
本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意是解决本题的关键．
由题意知每个选手和其他九位各赛一场，因此共45场，总得分90分，且得分互不相等，由于所有选手得分各不相同，且最高分不超过18分，故第二名的得分必然小于18分，又因为第二名选手的得分恰好是最后五名选手的得分之和的，且分数是5的倍数，故据此推算第二名的得分．
解：10名选手进行单循环比赛：每个选手要和其他9名选手各赛1场，
∴10个选手共赛场，但每场比赛被2名选手重复计算了，
∴实际总场次是场，
∵每场比赛无论“胜或负”还是“平局”，总得分都是2分（胜得2分负得0分，平各得1分），
∴比赛总得分为分．
∵后5名选手之间也要互相比赛，
∴每个选手和其他4名后5名选手各赛1场，共赛场，
∴后5名内部比赛的总得分至少为分（每场至少得2分），
∴设后5名选手的总分为，则，
又∵第二名得分是，
∴必须是5的倍数，
∵每名选手得分各不相同，且第一名最多得分（赢了所有9场比赛），
∴第二名得分，即，
结合且是5的倍数，只有符合条件，
∴第二名得分是分．
故答案为：16分．
17．(1)
(2)
本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．
（1）根据移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次不等式，即可求解；
（2）先去括号，然后移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次不等式，即可求解．
（1）解：，
移项得，
合并同类项得，，
化系数为1得，.
（2）解：
去括号得，，
移项得，
合并同类项得，，
化系数为1得，．
18．(1)；
(2)；
(3)
本题考查的是解二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）解方程组得出，由x为非正数，y为负数知，解之即可；
（2）根据m的取值范围判断出，，再去绝对值符号、合并同类项即可；
（3）由不等式的解为，知；据此可得，结合以上所求m的范围知，继而可得整数m的值．
（1）解：解方程组得：，
∵x为非正数，y为负数，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，，
则原式．
（3）解：由不等式可得
∵不等式的解为，
∴；
∴，
又∵，
∴，
∵m为整数，
∴．
19．，
把解集表示在数轴上如图：
本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握“一元一次不等式组的解法步骤”是解本题的关键．
分别解不等式组中的两个不等式，即可得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示即可．
解：
由①得：，，
解得；
由②得，，，
解得，
不等式组的解集为
20．(1)A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元；
(2)A种材质的围棋最多能采购12套．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，结合近两个月的销售情况，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A种材质的围棋采购了m套，则B种材质的围棋采购了套，利用进货总价等于进货单价乘以购进数量，结合进货总价不超过5780元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
（1）解：设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元；
（2）解：设A种材质的围棋采购了m套，则B种材质的围棋采购了套，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为非负整数，
∴m的最大值为12．
答：A种材质的围棋最多能采购12套．
21．(1)⑤
(2)
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的求解方法是解题关键．（1）第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变；（2）求出不等式的解集即可．
（1）解：第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变，
故答案为：⑤；
（2）解：去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化成1，得．
22．(1)
(2)或
（1）先求出方程组的解，再根据“为负数，为非正数”列不等式组求解即可；
（2）根据不等式的性质得到，进而求出的取值范围，再求整数解即可．
（1）解：解方程组得
∵为负数，为非正数，
（2）解：∵
∴
∵的解集为
当为或时，不等式的解集为．
23．(1)精装版豌杂面每箱的售价是205元，简装版豌杂面每箱的售价是160元
(2)①超市共有3种进货方案，
方案1：购进6箱精装版豌杂面，22箱简装版豌杂面；
方案2：购进7箱精装版豌杂面，21箱简装版豌杂面；
方案3：购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面．
②当购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面时，超市获得最大利润，最大利润是820元．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设精装版豌杂面每箱的售价是元，则简装版豌杂面每箱的售价是元，利用总价＝单价×数量，结合购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即精装版豌杂面每箱的售价），再将其代入中，即可求出简装版豌杂面每箱的售价；
（2）①设购进箱精装版豌杂面，则购进箱简装版豌杂面，根据“进货总资金不超过4020元，且试销总利润不低于790元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案；
②求出选择各方案超市可获得的总利润，比较后，即可得出结论．
（1）解：设精装版豌杂面每箱的售价是元，则简装版豌杂面每箱的售价是元，
根据题意得：，解得，
则．
答：精装版豌杂面每箱的售价是205元，简装版豌杂面每箱的售价是160元．
（2）①设购进箱精装版豌杂面，则购进箱简装版豌杂面，
根据题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以为6，7，8．
∴超市共有3种进货方案．
方案1：购进6箱精装版豌杂面，22箱简装版豌杂面；
方案2：购进7箱精装版豌杂面，21箱简装版豌杂面；
方案3：购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面．
②选择方案1获得的总利润为：（元）；
选择方案2获得的总利润为：（元）；
选择方案3获得的总利润为（元）；
，
∴当购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面时，超市获得最大利润，最大利润是820元．
24．(1)每吨原料的进货款为1000元，每吨产品的销售款为8000元
(2)至少需要再购买8吨的原料
（1）设每吨原料的进货款为x元，每吨产品的销售款为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设工厂原计划从A地购买的原料为b吨，则送往B地的产品为吨，易得．解得： ．进而得到原料的总重量为：吨，产品的总重量为：吨．再根据题意列关于a的不等式求解即可.
（1）解：设每吨原料的进货款为x元，每吨产品的销售款为y元，依题意得：
，解得：．
答：每吨原料的进货款为1000元，每吨产品的销售款为8000元．
（2）解：设工厂原计划从A地购买的原料为b吨，则送往B地的产品为吨，
∵原料总重量是产品总重量的2倍，
∴．解得： ．
∴原料的总重量为：吨，产品的总重量为：吨．
∵产品的销售款与原料的进货款之差不少于66000元，
∴，解得：．
∴．
答：至少需要再购买8吨的原料．
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