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(共5张PPT)
第五章 一元一次方程单元测试·培优卷 试卷分析
一、单选题
1 0.65 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；判断是否是一元一次方程
2 0.65 判断是否是一元一次方程
3 0.65 判断是否是方程的解
4 0.66 一元一次方程解的关系；已知方程的解，求参数
5 0.75 配套问题(一元一次方程的应用)
6 0.65 销售盈亏(一元一次方程的应用)；方案选择(一元一次方程的应用)
7 0.65 解一元一次方程（三）——去分母；已知一元一次方程的解，求参数
8 0.65 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；解一元一次方程（二）——去括号；解一元一次方程（三）——去分母
9 0.64 等式的性质1；等式的性质2
10 0.65 几何问题(一元一次方程的应用)
二、填空题
11 0.65 行程问题(一元一次方程的应用)
12 0.65 判断是否是一元一次方程
13 0.65 已知式子的值，求代数式的值；等式的性质1；等式的性质2
14 0.65 已知式子的值，求代数式的值；已知方程的解，求参数
15 0.65 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；图形类规律探索
16 0.4 动点问题（一元一次方程的应用）
三、解答题
17 0.75 解一元一次方程（二）——去括号；解一元一次方程（三）——去分母
18 0.65 方程的解；一元一次方程的定义
19 0.62 工程问题(一元一次方程的应用)
20 0.66 一元一次方程解的关系；已知一元一次方程的解，求参数
21 0.65 一元一次方程解的关系；已知一元一次方程的解，求参数；解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；解一元一次方程（三）——去分母
22 0.65 几何问题(一元一次方程的应用)
23 0.65 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；整式的加减运算；整式的加减中的化简求值
24 0.47 数轴上两点之间的距离；动点问题（一元一次方程的应用）2026—2027学年七年级数学上学期单元测试卷
第五章 一元一次方程单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如果方程是关于的一元一次方程，那么该方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程为一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．解为的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是（ ）
A．21 B． C．16 D．24
5．七年级手工社27名同学一起做某种规格的圆柱体，一个圆柱由一个长方形和两个圆形组成，每名学生每节课做长方形16个或圆形22个，若分配x名同学做长方形，其他同学做圆形，恰好使每节课做的长方形和圆形配套，则下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠．
小敏在该超市两次购物分别付了85元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（　　）
A．445元 B．405元 C．356元 D．324元
7．在解关于的方程时，小颖在去分母的过程中，等号右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（　　）
A． B． C． D．
8．下列方程的解法中，正确的个数是（ ）
①方程移项，得；
②方程去括号，得；
③方程 去分母，得；
④将方程 的分母化为整数，得
A．1 B．2 C．3 D．4
9．下列解方程过程中，变形正确的是（ ）
A．由得
B．由得
C．由得
D．由得
10．将图1中周长为的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，按图2方式放入周长为的长方形中．已知：①1号正方形边长比2号小m；②3号正方形边长比4号小m．若，且图2中未覆盖阴影部分的周长为36，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．1 D．3
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15千米，可早到10分钟；每小时骑12千米，就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少千米？设他家到学校的路程为x千米，则根据题意列出的方程是______．
12．已知是关于x的一元一次方程，则m的值为________．
13．已知，，则________．
14．若关于的一元一次方程的解为，则代数式的值为________．
15．如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：第1个图案由4颗棋子摆成，第2个图案由9颗棋子摆成，第3个图案由14颗棋子摆成，第4个图案由19颗棋子摆成，…，第n个图案由799颗棋子摆成，则n的值为__________．
16．如图，在长方形中，厘米，厘米．两动点、同时从点出发，沿长方形的边按如图所示的方向，分别以厘米/秒的速度匀速绕行，当运动一周回到点位置时，两动点同时停止．则运动时间为______秒时，、两点的连线恰好平分长方形的面积．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解下列方程．
(1)；
(2)．
18．已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同．
(1)求、的值；
(2)在（1）的条件下，若关于的方程有无数解，求，的值．
19．某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天．
(1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？
(2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？
20．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值．
21．定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“互补方程”，例如：和为“互补方程”．
(1)方程与方程_____“互补方程”．(请填入“是”或“不是”)
(2)若关于的方程与方程是“互补方程”，求的值．
(3)若关于的方程与是“互补方程”，求的值，及关于的方程的解．
22．“苏超”赛事热度飙升，足球迷小明萌生了动手制作足球场模型的想法，他准备用一根木棒搭建长方形的足球门框（靠地面的一边无需制作，只需搭建另外三边），他给出了下面两种方法：
方法：门框的长比宽的倍少； 方法：门框的长比宽的倍多．
(1)若这两种方法设计的门框宽度相同，且所需木棒长度一致，求这根木棒的长度；
(2)若木棒长度为，已知标准足球门框的长宽比为，你觉得这两种方法中，哪种方法设计的门框更贴近这一标准？请说明理由．
23．阅读材料并完成下列各题：
如果整式A与整式B的和为实数a，那么称为a的“友好整式”．例如：因为与的和为1，所以与是1的“友好整式”；因为与的和为5，所以与是5的“友好整式”．
(1)与______（填“是”或“不是”）2的“友好整式”；
(2)写出一组是6的“友好整式”的整式；
(3)若关于x的整式与是n的“友好整式”，求n的值．
24．对于数轴上的A，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．
例如：数轴上点A，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点A，的“联盟点”．
(1)若点A表示数，点表示数2，则下列各数，0，4，6所对应的点分别为，，，，其中是点A，的“联盟点”的是________；
(2)点A表示数，点表示数30，点为数轴上的一个动点，
①若点在点的左侧，且点是点A，的“联盟点”，求此时点所表示的数；
②若点在点的右侧，点，A，中有一个点恰好是其他两个点的“联盟点”，请直接写出此时点所表示的数为________．
参考答案
1．D
本题考查一元一次方程的定义，需根据定义确定的值，再代入方程求解． 一元一次方程需满足：只含一个未知数，未知数次数为，且一次项系数不为．
解：方程是关于的一元一次方程
且
∴，又
将代入原方程得：，即
解得
该方程的解是，
故选：D．
2．A
本题考查了一元一次方程，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元一次方程，据此判断即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
解：、方程是一元一次方程，该选项符合题意；
、方程含有个未知数，不是一元一次方程，该选项不合题意；
、方程中未知数的最高次数是，不是一元一次方程，该选项不合题意；
、方程不是整式方程，不是一元一次方程，该选项不合题意；
故选：．
3．D
能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果．
解：将依次代入各选项：
代入选项A，左边右边，∴A不符合题意；
代入选项B，左边右边，∴B不符合题意；
代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意；
代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意．
4．C
本题考查一元一次方程解的应用，运用整体代换思想是解题关键，将关于y的方程中的看作整体，与已知方程中的x建立对应关系，进而求解y的值．
解：∵关于x的一元一次方程的解是，
设，则关于y的方程可化为，
∴，
又，
∴，
∴，
故选：C．
5．D
先根据题意确定做长方形和做圆形的人数，进而表示出两类部件的总个数，再结合配套要求列出方程即可．
解：∵分配名同学做长方形，总共有27名同学，
∴做圆形的同学人数为 名，
∴每节课做长方形的总个数为，做圆形的总个数为，
∵一个圆柱需要1个长方形搭配2个圆形，恰好配套时圆形总数是长方形总数的2倍，
∴可得方程 ．
6．D
设第一次购物购买商品的价格为元，第二次购物购买商品的价格为元，分及两种情况可得出关于的一元一次方程，解之可求出的值，由第二次购物付款金额第二次购物购买商品的价格可得出关于的一元一次方程，解之可求出值，再利用两次购物合并为一次购物需付款金额两次购物购买商品的价格之和，即可求出结论．
解：设第一次购物购买商品的价格为元，第二次购物购买商品的价格为元，
当时，；
当时，，
解得：（不符合题意，舍去）；
∴；
当时，则，
∴，
当时，，
∴；
∴或；
综上所述，小敏两次购物的实质价值为或，均超过了350元，因此均可以按照8折付款：
∴或，
∴至少付款324元．
故选：D．
此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第一次购物的85元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．
7．B
本题考查解一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据题意求出的值是解题关键．
把代入得的值，把的值代入原方程，按照解一元一次方程的步骤求出解．
解：把代入得，
，
解得，
原方程为：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
把系数化为1，得．
故选：B．
8．A
本题考查一元一次方程的解法，包括移项、去括号、去分母和分母整数化等步骤，需逐一判断每个解法的正确性．
解：①方程，移项应得，而原说法中得，错误；
②方程，去括号得，正确；
③方程，去分母应得，即，而原说法中得，错误；
④方程，分母化为整数应得，而解法中右边为，错误；
∴正确的个数是1个，
故选：A．
9．C
根据等式的基本性质，逐项判断变形是否正确即可．
解：对于选项A，∵，移项得，∴A变形错误；
对于选项B，∵，系数化为1得，∴B变形错误；
对于选项C，∵，两边同乘6，得，∴C变形正确；
对于选项D，∵，将分子分母同乘10得，变形得，∴D变形错误．
10．C
本题考查了一元一次方程的应用；根据已知可得号长方形边的宽为m，2号正方形边长为，3号正方形边长为，4号正方形边长为，5号长方形边长为，表示出，，即可求解．
解：3号正方形边长比4号小m，
1号正方形边长为m，
1号正方形边长比2号小m；
号长方形边的宽为m，
2号正方形边长为，
3号正方形边长为，
4号正方形边长为，
5号长方形边长为，
图1中的长方形的宽为，长为
图1中的长方形的周长为，
，
，
由图得
，
，
解得，
故选：C．
11．
根据“每小时骑15千米，可早到10分钟；每小时骑12千米，就会迟到5分钟”结合时间不变列方程即可．
解：∵10分钟小时，5分钟小时，
∴．
12．4
本题主要考查了一元一次方程的定义、绝对值方程的解法，熟练掌握一元一次方程未知数次数为1且系数不为0的双重条件是解题的关键．
根据一元一次方程的定义，列出关于的绝对值方程和系数不为零的不等式，求解后检验系数是否符合条件，确定的值．
解：由题意，得且．
，
或．
当时，，
．
当时，，
．
，
．
．
故答案为：．
13．2015
本题考查代数式求值，等式的性质，将第一个等式的两边分别乘以2，变形后，与第二个等式相加，即可得出结果．
解：∵，
∴，
∵，
∴，即：；
故答案为：2015．
14．6
本题主要考查了一元一次方程的解的定义及代数式求值，熟练掌握方程的解的定义及整体代入的思想方法是解题的关键．将方程的解代入原方程，得到关于、的关系式，再通过整体代入法求出代数式的值．
解：∵是方程的解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．160
先找出棋子数量的规律，第个图形的棋子数为，再令，求解即可．
解：由所给图形可知，
第1个图案中棋子的颗数为：；
第2个图案中棋子的颗数为：；
第3个图案中棋子的颗数为：；
…，
所以第n个图案中棋子的颗数为颗．
令，
解得，
即第160个图案中棋子的颗数为799颗．
16．或
分六种情况讨论：当时，当时，当时，当时，当时，当时，分别进行求解即可．
解：长方形中，厘米，厘米，
设运动时间为t秒，
当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分；
当时，点Q在上，点P在上，根据题意得：
，
解得：；
当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分；
当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分；
当时，点Q在上，点P在上，根据题意得：
，
解得：；
当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分；
综上，运动时间为6秒或18秒时，、两点的连线恰好平分长方形的面积．
17．(1)
(2)
（1）解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
（2）解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
18．(1)，
(2)或，
（1）根据题意利用一元一次方程的定义即可求出a的值，根据两个方程同解可得b的值；
（2）由题意直接把a和b的值代入方程求出方程的解，根据方程有无数解的条件列式可得m ，n的值．
（1）解：∵关于的方程为一元一次方程，
∴，解得：，
当，方程为，解得：，
又∵两个方程同解，
∴，解得：.
（2）解：把，代入，
可得：，变形得：，
∵关于的方程有无数解，即与y的取值无关，
∴，
∴或，.
本题考查一元一次方程的解以及一元一次方程的定义，注意掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
19．(1)甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天．
(2)甲、乙还需合作4天才能完成此项工程．
（1）根据甲、乙单独完成工程的天数和倍数关系，设未知数列方程求解得到两队单独完成的天数；再将总工程量看作单位1，根据“总工作量=各部分工作量之和”列方程，
（2）求解得到合作需要的天数，用到工程问题中工作量=工作效率×工作时间的基本关系．
（1）解：设乙工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，根据题意得：
，解得，
甲单独完成需要的天数为（天）
答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天．
（2）设甲、乙还需合作天才能完成此项工程，将总工程量看作单位1，则甲每天工作效率为，乙每天工作效率为，根据题意得：
，解得．
答：甲、乙还需合作4天才能完成此项工程．
20．(1)
(2)或
本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键．
（1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可；
（2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可．
（1）解：解方程得，
解方程，得，
关于x的方程与方程是“美好方程”，
，
解得；
（2）解：由条件可知另一个方程的解为：，
又两个方程解的差为8，
得：
或，
或．
21．(1)是；
(2)；
(3)，
本题考查一元一次方程的解法及“互补方程”的定义，核心是先求解方程的解，再根据“两个方程的解之和为0”的条件进行推导计算．
（1）分别求解两个方程的解，计算解的和是否为0，以此判断是否为互补方程；
（2）先求出已知方程的解，根据互补方程的定义得到另一个方程的解，将解代入方程求解的值；
（3）用含的代数式表示两个方程的解，根据解之和为0列关于的一元一次方程，求出后再代入关于的方程求解．
（1）解：解方程，得；
解方程，得；
，
这两个方程是“互补方程”．
故答案为：是．
（2）解：解方程，得；
方程与是“互补方程”，
方程的解为；
将代入，得，
解得；
（3）解：解方程，得；
解方程，得；
两个方程是“互补方程”，
，
解得；
将代入关于的方程，得，解得；
故的值为0，关于的方程的解为．
22．(1)木棒长为；
(2)方法二设计合理，理由如下：
方法一：设门框的宽为，
由题意得：
，
∴，
此时，长宽比为；
方法二：设门框的宽为，
由题意得：，
，
∴，
此时，长宽比为，
∵方法二的长宽比与标准长宽比一致，
∴方法二设计的门框更贴近标准．
本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键．
（）设门框的宽为，由题意得，然后解方程即可；
（）由方法一：设门框的宽为，由题意得，求出的值，从而得出长宽比，由方法二：设门框的宽为，由题意得，求出的值，从而得出长宽比，从而求解．
（1）解：设门框的宽为，
由题意得：
∴，
答：木棒长为；
（2）略．
23．(1)不是
(2)
(3)
（1）根据定义进行解答即可；
（2）根据定义写出一组答案即可；
（3）先进行整式的加法得到计算结果，根据定义得到，求出，进一步即可得到答案．
（1）解：
∴与不是2的“友好整式”；
（2）解：∵，
∴是6的“友好整式”的整式；
（3）
依题意可知：，
，
∴，
．
24．(1)或；
(2)①当点P在点B的左侧时，点P表示的数为或或；②70或50或110
（1）根据联盟点的定义进行判断即可；
（2）（2）①根据点所处的位置，由不同的线段的倍数关系求出答案即可；
②分三种情况进行解答，即点A是点，点的“联盟点”，点是点A、点的“联盟点”，点是点A、点的“联盟点”进行计算即可．
（1）解：∵，，
∴点是A，的“联盟点”；
∵，，
∴点不是A，的“联盟点”；
∵，，
∴点不是A，的“联盟点”；
∵，，
∴点是A，的“联盟点”；
（2）解：① 设点P表示的数为x，
如图，当点在点A左侧时，，
则，
解得：，
所以点表示的数为；
如图，当点在线段上且时，
则，
解得：，
所以点表示的数为；
如图，当点在线段上且时，
则，
解得，
所以点表示的数为；
综上所述，当点P在点B的左侧时，点P表示的数为或或；
②若点在点的右侧，
当点A是点，点的“联盟点”时，有，即，
解得；
当点是点A、点的“联盟点”时，有或，
即或，解得或；
当点是点A、点的“联盟点”时，有，即，
解得；
故答案为：70或50或110．
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