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广东省肇庆市2026届高三第一次模拟考试数学试题及参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知方程的两个复数根分别为，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知点，向量，，点是线段靠近点的三等分点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.设为正项等比数列的前项和，若，，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知，若成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知是等差数列的前项和，，，则（ ）
A. B.
C.当时，取最大值 D.的最小值是0
10.已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.的定义域为
C.在上单调递增
D.若，且，则的最大值为
11.不动点理论是泛函数分析与拓扑学中的重要理论，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ）
.只有1个不动点
.若没有不动点，则没有零点
.若没有不动点，则方程无实根
.有3个不动点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，，且，则 .
13.已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则 .
14.在中，三个内角的对边分别为，是钝角，，则的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为.
（1）求的值；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度后，在纵坐标不变的情况下，再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，求的函数解析式与对称中心.
16.（15分）已知，.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设，若在上有极值，求的取值范围并证明此极值小于.
17.（15分）已知分别为三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）设为边上一点，且，若，的周长为，求的面积.
18.（17分）记与分别是数列与的前项和，已知，，，，.
（1）证明：是等比数列并求；
（2）数列是等差数列吗？若是，求出的通项公式，若不是，说明理由；
（3）设，判断是否存在互不相等的正整数，使得成等差数列，并且成等比数列.
19.（17分）已知函数.
（1）当，时，求证：；
（2）当时，
（ⅰ）求在上的所有极大值点之和；
（ⅱ）若在上有两个实根，比较与的大小关系.
参考答案
一、选择题
1.A 2.D 3.B 4.C 5.C 6.A 7.B 8.D
二、多项选择题
9.BC 10.BCD 11.AC
三、填空题
12. 13. 14.
四、解答题
15.解：（1）由题意得
，
∵的两条相邻对称轴之间的距离为，
∴，∵，∴.
（2）函数的图象向左平移个单位长度后，得的图象，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，可得的图象.
令，解得，
∴的对称中心为.
16.解：（1）由题意知的定义域为，
当时，，
当时，，则在上单调递减，
当时，由，解得；由，解得.
∴在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为.
（2）由题意得，
∴的定义域为，
在上有极值等价于在上有变号零点.
令，即在上有变号零点.
当时，显然在上恒成立，无变号零点，不满足题意；
当时，在上恒成立，∴在上单调递增，
令，解得，
则在上有唯一零点.
设，∵在上单调递增，
∴当时，；当时，，
即当时，单调递减；当时，单调递增，
是的极小值点.
，
∵，∴，即极小值小于.
17.解：（1）由正弦定理得，，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴.
（2）由题意知，，
由余弦定理得，
即，可得，
代入得，
∴， ∴，.
∴.
18.解：（1）∵，∴，
即是公比为2的等比数列，
∵，∴，
即是首项为4，公比为2的等比数列. ∴.
（2）∵，∴，
两式相减得，整理得，
∴，
两式相减，整理可得，∴数列是等差数列，
∵，，∴，∴的通项公式为.
（3）由（1）知，，
∴当时，，经检验，满足上式，∴，
∴，
假设存在这样的三个正整数，则，，即，
∵，∴，即，
∴，∴，即，解得，不满足题意，
∴假设不成立，不存在这样的正整数.
19.解：（1）证明：当，时，，要证，即证.
设，则，
∴在上单调递减，∵，∴，
即，∴得证.
（2）（ⅰ）当时，，则
，
当时，由得或，
解得，，，，或，
当时，，
∴在上单调递增；
当时，，
∴在上单调递减.
∴当时，的极大值点为，
∴极值点的和为.
（ⅱ），证明如下：
∵的定义域为，且，∴为奇函数，
由（ⅰ）知是周期为的周期函数，
∴易知在上单调递减，在上单调递增，
∴是的极小值点.
设，∴，，∴，
要证，只需证，即证，
∵，∴只需证，
令
，其中，
∴
，
∵，∴，，
∴，，∴，∴在上单调递增，
∵，∴，∴，即，
∴，所以得证.

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