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广西南宁市2026届高三一模数学试题及参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，.若，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，，则（ ）
A. B. C. D.
3.若，，则（ ）
A. B. C. D.
4.设随机变量，，则（ ）
A. B. C. D.
5.某学校组织研学活动，现有自然生态与地质可靠、红色爱国主义教育、历史文化与文物考
古、民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向.学校安排6名教师负责者5个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主题平面图是由两个相同的矩形和狗策划给你的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为（ ）
A. B. C. D.
8.已知点是双曲线的左焦点，过原点的直线与交于（在左支上且异于左顶点）两点，延长与交于点，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.如图，在几何体中，，四边形是边长为2的正方形，是等边三角形，点分别为棱的中点，则（ ）
A.平面
B.平面平面
C.四点共面
D.异面直线与所成的角小于60°
10.已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ）
A.直线过定点
B.直线被圆截得的最短弦长是
C.当点在圆上时，的取值范围是
D.设直线与圆的两个交点为，则线段的中点的轨迹为圆
11.定义在上的函数满足，当时，，则（ ）
A.共有5个零点
B.共有4个极值点
C.
D.当时，方程有且仅有4个实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 某市十景包含扬美古风、青山塔影、明山锦绣、望仙怀古、伊岭神宫、九龙戏珠、南湖情韵、凤江绿野、邕江春泛、龙虎猴趣，每个景点都有其独特的魅力。某游客计划从这10个景点中随机选择2个景点进行游玩，则青山塔影被选中的概率是 .
13. 已知直线经过椭圆的一个焦点，则的离心率为 .
14. 在中，角所对的边分别为，若，且
，则面积的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知数列的前项和为（为常数），且.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
16.(15分)如图，正三棱柱的各棱长均为8，为棱的中点，点在棱上，且.
（1）证明：平面；
（2） 求直线与平面所成角的正切值.
17.（15分）已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点， .
（1）求的标准方程；
（2）已知点，为坐标原点，直线交于，两点，且在轴的两侧.
（ⅰ）求的最小值；
（ⅱ）若，证明：直线过定点.
18.（17分）已知函数.
（1）求在上得最值；
（2）设函数.
（ⅰ）讨论的单调性；
（ⅱ）若为的一个极值点，且，，证明：为定值.
19.（17分）（1）若函数图象的两个相邻对称中心的横坐标相差6，求；
（2）在（1）的条件下，设函数，试判断并证明函数图象的对称性.
（3）已知（2）中的导函数有两个零点，且.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）当时，证明：.
参考答案
一 选择题
1.D 2.D 3.A 4.C 5.B 6.A 7.B 8.C
二 选择题
9.AB 10.AC 11.ABD
三、填空题
12. 13. 14.
四、解答题
15.解：（1）由及得，则，
∵，∴.
（2）证明：由（1）可得，，
∴
.
16.解：（1）证明：取中点，连接，
∵为中点，∴，且，
∵，，
∴，，∴四边形是平行四边形，
∴，又∵为平面外直线，为平面内直线,
∴平面.
（2）取中点，中点，连接.
∵三棱柱是正三棱柱，∴平面，易得，，
∴以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则,
，，，
设平面的法向量为，
则，不妨取，
设直线与平面所成的角为，
则，
∴，∴，
故直线与平面所成角的正切值为.
17.解：（1）根据抛物线的性质可得，解得说0,
∴抛物线的标准方程为.
（2）（ⅰ）由题意得，
，
当时，取得最小值，最小值为.
（ⅱ）证明：设直线的方程为，
联立，整理得，
则，，，∴，
∴，
由，得，即，
解得（舍去）或，
∴直线的方程为，∴直线过定点.
18.解：（1）由题意可得，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减.
∵，，，，
∴在上得最大值为3，最小值为.
（2）（ⅰ），则，
若，则，在上单调递增；
若，当时，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，单调递增，
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（ⅱ）证明：根据题意可得，即，且，
由，得，
即，
∴，
∴，
∵，∴，即，∴为定值.
19.解：（1）由题意可得，解得，∴，∴.
∴.
（2）的图象有对称中心，无对称轴.
证明如下：令，解得，根据对称性的性质可得定义域也具有对称性，
若的图象具有对称性，则2是其对称轴或对称中心的横坐标.
，
∴，且.
∴图象的对称中心为，无对称轴.
（3）（ⅰ）根据题意得在上有两个零点，
由得，设函数，
则在上单调递减，在上单调递增，
∵，，，∴.
（ⅱ）证明：由（2）可知图象的对称中心为，∴，
由（ⅰ）得，
要证，即证在上恒成立，
令，则，
令，则，
设，则在上恒成立.
∴在上单调递增，即在上单调递增，
∵，∴，∴在上单调递减.
∵，，
∴存在唯一的，使得，
又∵，∴在上单调递减，在上单调递增，
∵，，
∴当时，得证.

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