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广西壮族自治区柳州市2026届高三一模数学试题及参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
3.若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
4.记等差数列的前项和为，，则（ ）
A. B. C. D.
5.设向量，，则（ ）
A.“”是“”的必要条件 B.“”是“”的必要条件
C.“”是“”的充分条件 D.“”是“”的充分条件
6.甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，则不同排法共有（ ）
A.8种 B.12种 C.16种 D.20种
7.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，以为圆心，为半径的圆与抛物线在第一象限的交点为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.的周长为6 B.的最小值为1
C.面积的最大值为 D.椭圆的离心率为
10.下列结论正确的是（ ）
A.若随机变量，则
B.已知随机变量满足，若，则，
C.这组数据：的第70百分位数为6
D.离散型随机变量服从两点分布，且，则
11.如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，是线段上的动点，则（ ）
.存在点，使四点共面
.不存在点，使平面
.当为中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积为
.经过四点的球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若，则 .
13.如图，已知正四棱台的上下底面边长分别为和4，且，则该棱台的体积为 .
14.已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）不透明的盒中有五个大小形状相同的小球，它们分别标有数字，现从中随机取出2个小球.
（1）求取出的2个小球上的数字不同的概率；
（2）记取出的2个小球上的数字之积为，求的分布列及数学期望.
16.（15分）已知函数，设锐角的内角所对的边分别为，且.
（1）若，，求的值；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求的取值范围.
17.（15分）如图，在中，，，，分别在上，满足，，将沿折起到的位置，使，点在线段上.
（1）求证：平面；
（2）已知与平面所成角的大小为，求.
18.（17分）已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个零点，求的取值范围.
19.（17分）从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另一个焦点，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质也被人们广泛应用.如图，已知双曲线的渐近线方程为，为坐标原点，分别为左、右焦点，分别为左、右顶点，由其光学性质知，由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线过点，连接交双曲线于，也是一个反射点，连接交双曲线于，则也是一个反射点，再连接交双曲线于，则也是一个反射点，……，由各反射点连线得到折线，设第个反射点为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求直线的斜率；
（3）证明：当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值.
参考答案
一、选择题
1.A 2.C 3.B 4.D 5.D 6.B 7.C 8.D
二、多项选择题
9.ACD 10.ABD 11.ACD
三、填空题
12. 13. 14.
四、解答题
15.解：（1）总取法数目，数字相同的情况只有1种，故所求概率.
（2）记取出的2个小球上的数字之积为，的可能取值为
总的情况有种，
故；；；；.
∴的分布列为：
∴数学期望.
16.解：（1），
∵，∴，又，故，
∴,故.
∵，由正弦定理得，又，
由余弦定理得，∴，.
（2）由题意可知，，
，
∵为锐角三角形，∴，，
∴，∴，
∴，∴，
即的取值范围是.
17.解：（1）证明：∵在中，，，，
，∴，且，
∵，∴，，折叠后，，
又，平面，∴平面，
又平面，∴，
又∵，且都在面内，∴平面.
（2）由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
易知，，，故
，
,，
设平面的法向量为，
则，不妨令，则，.
故平面的一个法向量为，
设，，
设与平面所成角的大小为，
则有，
整理得，∴，∴.
18.解：（1）当时，，，
则，则，切点为，
∴在处的切线方程为，即.
（2）由题意知，的定义域为，
，显然恒成立，
①若，则，此时在上单调递减；
②若，令，解得.
当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）若，由（2）知，至多有一个零点；
若，由（2）知，当时，取得最小值为.
设，则，
故在上单调递增，又，
（ⅰ）当时，，此时没有两个零点；
（ⅱ）当时，，
又，
故在上有一个零点；
当，由可得，即，得，
则，
又当时，，，在上单调递增，则，
故，即，
因此在上也有一个零点，
综上，若有两个零点，实数的取值范围为.
19.解：（1）由已知，双曲线的渐近线方程为，
可设双曲线方程为，
又∵点在双曲线上，∴，
故双曲线的标准方程为：.
（2）∵，，直线的方程为.
联立，解得或（舍），则，
易知，则.
（3）当为偶数时，取连续3个反射点，
则直线的方程为，与双曲线交于点，
联立，消去整理得，
由韦达定理得，两式相除，得，
可得，故，
将代入直线的方程，
得，
∴双曲线与直线的另一个交点为，
同理双曲线与直线的另一个交点为，
故，
即，
∴当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值.

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