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河南省郑州市2026届高三一模数学试题及参考答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知单调递减的等比数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知圆的直径，动点与的距离是它与的距离的倍，当面积最大时，（ ）
A. B. C. D.
5.已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数在上单调递增，且其图象关于直线 对称，则（ ）
A. B. C. D.
7.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
8.在新型太空仓生命维持系统的储液罐设计中，采用一种胶囊型结构：中间部分为圆柱体，左、右两端均为半球形封头，圆柱底面半径和半球半径均为.已知储液罐外表面积为定值，当储液罐的体积取最大值时（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（ ）
A. B.数列是等比数列
C. D.
10.任意投掷一枚骰子一次，观察它向上一面的点数，得到样本空间为.若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（ ）
A.
B.事件两两独立
C.当事件时，
D.当事件时，事件包含10个样本点
11.已知抛物线的焦点为，若上存在个互不重合的点满足，下列结论中正确的是（ ）
A.若，则的最小值为4
B.若，则
C.若，则
D.若，则的最小值为16
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为 .
13.的展开式中项的系数是 .
14.已知棱长为的正四面体的外接球球心为，，过点作球
的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角的正弦值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程、演算步骤.
15.(13分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：
根据样本数据，画出加工时间与加工零件个数的散点图，如图所示，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，因此可以用一元线性回归模型刻画加工时间与加工零件个数之间的关系.（运算结果保留小数点后两位数字）
（1）请求出加工时间关于零件数的经验回归方程；
（2）该车间实行“按时计件”工资制度：若工人完成一个零件的平均时间低于标准时间，则可获得额外奖励.已知目前每个零件的标准加工时间定为1.2分钟，根据上述回归方程判断：
（ⅰ）对于120个零件的任务，预测加工时间是否低于现行标准加工时间？（标准加工时间为分钟）
（ⅱ）若工人的实际加工能力与回归模型基本一致，车间是否应考虑调整标准时间？若需调整应调整到多少比较合适？
附：参考公式：，，，.
对于一组数据其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，.
16.(15分)已知的三个内角所对边分别为，且，，.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积.
17.（15分）如图，在矩形中，，，分别是的中点，点分别是对角线上得动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求线段的长（用表示）；
（3）当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.
18.（17分）已知椭圆经过点，左、右焦点分别为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上得一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点.
（ⅰ）求证：四边形的面积为定值；
（ⅱ）求面积的最大值.
19.（17分）已知函数.
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围；
（3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
一 选择题
1.B 2.A 3.A 4.D 5.C 6.D 7.B 8.C
二 选择题
9.ABD 10.AC 11.ACD
三、填空题
12.4 13.60 14.
四、解答题
15.解：（1），，
，
.
∴加工时间关于零件个数的经验回归方程是.
（2）（ⅰ）当时，.
∴120个零件任务的回归预测时间，因此低于现行标准时间.
（ⅱ）由于回归预测显示实际所需时间（约135.25分）比标准时间（144分）少9分钟，
说明按照现行标准，工人很容易拿到奖励（实际效率更高）.
如果车间希望控制奖励发放比例或更符合实际效率，应考虑调低标准时间，如调整到接近预测的分/个.使标准更贴近真实加工能力.
16.解：（1）在中，由，得，
∴，又，∴，又，∴.
∵，，∴由正弦定理得.
∵，∴或.
（2）∵为锐角三角形，∴，∴，
∵，∴是的重心，
∴，
∴的面积为.
17.解：（1）∵在矩形中，，，分别是的中点，
∴四边形和是全等的正方形，∴，，
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∵平面，∴，
又∵，，平面，∴平面.
（2）以为原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，则，，
∵，∴，，
∴，
∴.
（3）∵，
∴当时，线段最短，
此时分别为线段的中点，，,
设平面的法向量为，则，
不妨令，则，，∴平面的一个法向量为，
由（1）知，平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，
∴平面与平面夹角的余弦值为.
18.解：（1）由题意可得，又，解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）（ⅰ）由（1）可得：，设，，
且，即，
则，令，则，∴，
则，令，则，∴，
则，，
∴.
故四边形面积为定值2.
（ⅱ）直线，到直线的距离为，且，
，
当且仅当时等号成立.
∴的面积.
∴面积的最大值为.
19.解：（1）由题意得，当时，，，
故函数的图象在点处的切线方程为，即.
（2），
当时，，在上单调递减，最多一个零点，与题意不符；
当时，令，则，
则当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
故，
，，
故有两个零点，即，∴.
（3）∵，∴与的零点个数相同，
依题意共有4个不同的零点，∴有两个零点，
不妨设的两个零点为，的两个零点为，
则有，
由，得，①
∴，②
若四个零点成等差数列，则有两种情况：
①当时，即成等差数列，则有，③
由②③得.
代入①得，，④
又，⑤
将④代入⑤可得，
代入③得，解得，，这与④矛盾，故实数不存在.
②当时，即成等差数列，则有，③
由②③得.
同理得，，④
又，⑥
将④代入⑥可得，
代入③得，解得，，这与④矛盾，故实数不存在.
综上所述，不存在实数，使得4个零点在调整顺序后成等差数列.

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