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广东茂名市高州市第一中学附属实验中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题
1．下列关于菱形性质的说法，正确的是（　　）
A．对角线相等 B．四个角都是直角
C．对角线互相垂直 D．不是轴对称图形
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形对角线互相垂直平分，不一定相等，∴选项A错误，选项C正确．
∵菱形四个角不一定都是直角，四个角都是直角是矩形的性质，∴选项B错误．
∵菱形的两条对角线所在直线是它的对称轴，菱形是轴对称图形，∴选项D错误．
故选答案：C.
【分析】
根据菱形的性质： 菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，逐一分析即可.
2．如图，在菱形中，对角线、相交于点，是的中点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵菱形中，对角线、相交于点，
∴，
∵是的中点，
∴．
故答案为：D.
【分析】
根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，因此可以推出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，即可得到.
3．如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，若，，则该矩形的周长（ ）
A．32 B．24 C．48 D．50
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接，
由作图知，垂直平分，
，
在矩形中，，
，
，
，
则该矩形的周长．
故答案为：C。
【分析】
通过连接，根据垂直平分线的性质可以证得，再借助勾股定理计算得到，据此就可以推出题目要求的结论.
4．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．矩形的四条边都相等
C．菱形的四个内角都相等
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：A．平行四边形不是轴对称图形，故A错误；
B．矩形仅对边相等，四条边不一定都相等，故B错误；
C．菱形仅对角相等，四个内角不一定都相等，故C错误；
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等，故D正确．
故答案为：D.
【分析】
分别利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，对每个选项逐一分析判断，即可得出结论.
5．下列说法不正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：根据菱形、矩形、正方形的判定规则，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，故A、B、C说法均正确，不符合题意；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故D说法错误，符合题意．
故答案为：D。
【分析】
通过举反例排除错误选项，再结合特殊四边形的判定定理对剩余选项进行验证，从而得到正确结论.
6．已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：由题意可得：将 代入方程，得 .
解得 ，
故答案为：A.
【分析】将 代入方程 即可求解.
7．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
移项得，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得，
整理得．
故答案为：B.
【分析】
按照配方法解一元二次方程的标准步骤进行操作：先将常数项移到等号的右侧，之后在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再将等式左侧整理为完全平方式，即可得到对应的结果.
8．菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程的一个根，则菱形的边长是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解方程得，
或（舍去），
即另一条对角线长是6，
菱形的一条对角线长为8，
菱形的边长．
故选：D．
【分析】
先解给定的一元二次方程，得到菱形两条对角线的长，再结合菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理计算所求内容即可.
9．若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设原方程的另一个实数根为，
由一元二次方程根与系数的关系可得，
∴，
∴原方程的另一个实数根为．
故选答案：B.
【分析】
设这个一元二次方程的另一个实数根是，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于常数项与二次项系数的比，因此可以得到，求解该式就能得到原方程另一个根，从而得出答案.
10．如图，在菱形中，，，点是线段上一动点，点是线段上一动点，则的最小值（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH=∠CBH=45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴
∴Rt△BHC中，BH=CH= ，
∴HG=HC-GC=3-2=1，
∴Rt△BHG中，BG= ，
∵当点F与点B重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短），
∴PE+PF的最小值是．
故选：D．
【分析】
先作点E关于AC的对称点G，接着连接BG，再过点B作BH垂直CD交CD于点H，先利用勾股定理分别算出BH与GH的长度，最后在Rt△BHG中，再次利用勾股定理计算出BG的长度，得到的BG长度就是PE+PF的最小值.
11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解： ，
，
解得 .
故选： .
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式 ，建立关于 不等式，求出 的取值范围。
12．我市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，
根据题意得
解得或（舍去），
．
故答案为：
【分析】
设平均每次下调的百分率为x，之后通过题目中的条件列方程就可以解答这个问题.
13．如图所示，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是　 　；要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是　 　（只填序号）．备选答案：①AB∥CD；②AC=BD；③AC⊥BD；④AB=DC．
【答案】③；②
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，
连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是CD、DA、AB、BC的中点，
∴EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
要使四边形EFGH为矩形，
根据矩形的判定：有一个角为直角的平行四边形是矩形，
故当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90°时，四边形EFGH为矩形；
要使四边形EFGH为菱形，
根据矩形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即EF=EH，
而EH=BD，
∴AC=BD．
故当AC=BD时，平行四边形EFGH为菱形
故答案为：③；②．
【分析】
先证明四边形EFGH是平行四边形，若要使得四边形EFGH成为矩形，需要满足∠EFG=90°，对应条件为对角线AC⊥BD；而当满足AC=BD时，可以判定四边形EFGH为菱形.
14．已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根分别为m，n
∴ ，
∴
故答案为： .
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ， ，将原式变形为，然后整体代入计算即可.
15．如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，，
∴，．
∵，
∴．
∵沿对折至，
∴，，．
∴，．
在和中，，
∴．
∴．
设，则，，．
在中，由勾股定理得：，
即．
解得．
∴的长是．
故答案为：
【分析】
通过作辅助线，连接，根据正方形的性质可得到AD=CD=BC，，再根据折叠的性质，利用全等三角形的判定定理HL证明，由此推出，设，最后在中，根据勾股定理列出方程就能得到答案.
16．用公式法解一元二次方程：．
【答案】解：一元二次方程为．其中，，，
则，
∴，
解得， ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式，对比题目中的方程，可得到a，b，c的值，利用判别式公式将已知数代入计算，因此可知方程有两个不相等的实数根，然后代入求根公式计算根即可.
17．某商场销售一批名牌衬衫，当销售价为299元时，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫定价应多少元？
【答案】解：设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的定价为（299﹣x）元，每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵尽快减少库存，
∴x＝20，
∴299﹣x＝279.
答：每件衬衫定价应为279元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的定价为（299﹣x）元，每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件， 根据平均每天盈利=单价利润×平均每天的销量，据此列出方程，解之并检验即可.
18．已知关于x的一元二次方程．
（1）当时，求方程的解；
（2）求证：无论m取何值，方程总有实数根．
【答案】（1）解：当时，原方程为，∴
∴，；
（2），，
，
∵，
∴，
∴不论m取任何值，该方程总有实数根．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】
（1）当时，先整理得到原方程为，再通过因式分解法求解该方程即可；
（2）直接计算根的判别式，结合判别式的符号完成证明即可.
19．阅读范例，解答问题：
范例：解方程：
解：（1）当时，即，
原式可变为，解得：，，
（2）当时，即
原式可变为，解得：，，
∵，∴，均舍去，
∴原方程的解为，．
依照上例解法，解方程：．
【答案】解：（1）当时，即，则原式可变为，
解得：，，
∵，∴（舍去），
∴；
（2）当时，，
原式可变为，解得：，，
∵，∴（舍去），
∴，
综上所述，原方程的解为：或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；绝对值的概念与意义；分类讨论
【解析】【分析】
根据绝对值的性质，分两种不同情况进行讨论：第一种情况为，第二种情况为，接下来可以依据绝对值的定义去掉绝对值符号，将原方程转化为普通方程后，再计算得到方程的解.
20．如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求矩形的周长．
【答案】（1）证明：∵点E是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
点D为等腰的底边的中点，
，即，
四边形是矩形
（2）解：∵是等腰三角形，，，是等边三角形，
，
点D是的中点，
，
，
，
矩形的周长．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先根据题目中的条件，利用对角线互相平分证明为平行四边形，再根据等腰三角形的性质三线合一得到，即可证明为矩形；
（2）根据题目给出的已知条件，先证明是等边三角形，可得到AB=AC，然后利用勾股定理求解，即可求解周长．
（1）略
（2）解：∵是等腰三角形，，，
是等边三角形，
，
点D是的中点，
，
，
，
矩形的周长．
21．阅读与思考
下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务．
形如是常数，的多项式叫做关于x的二次三项式．我们已经学习了利用因式分解求解一些一元二次方程．反过来，是否可以利用求一元二次方程的根的方法，把一些二次三项式分解因式呢？根据下面的代数推理，可以得出结果： 设一元二次方程的两个实数根为，，计算： 解： 即 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成的形式，即通过解一元二次方程可以将一些二次三项式分解因式．
任务：
（1）已知p，q是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，，则二次三项式分解因式的结果是______；
（2）已知是多项式的一个因式，则______；
（3）请用阅读内容中的方法，在实数范围内分解因式：注：实数范围内分解因式是指因式中的系数和常数项是实数
【答案】（1）
（2）
（3）解：，
，
，
，
，，
．
从而得到：
【知识点】因式分解的应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）一元二次方程的两个实数根为，，
根据题意可得，；
则 二次三项式分解因式的结果是，
故答案为：；
（2）是多项式的一个因式，
则设多项式的另一个因式为，
，
即，
，，
解得，；
故答案为：；
【分析】（1）根据题意可得，直接求解；
（2）设多项式的另一个因式为，可得，化简得到，，然后解方程即可；
先公式法解方程得到，，然后利用求解．
（1）解：一元二次方程的两个实数根为，，
；
故答案为：；
（2）设多项式的另一个因式为，
，
即，
，，
解得，；
故答案为：；
（3）解方程，
，
，
，，
．
22．如图1，在RtABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线，D为AB边上一动点（点D不与点A、B重合），过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为点F，连接CD，BE．
观察猜想：
（1）在点D的运动过程中，CE与AD是否相等？请说明你的理由．
探究说理：
（2）如图2，当D运动到AB中点时，请探究下列问题：
①四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
②当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【答案】解：（1）CE＝AD，∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE＝AD．
（2）①四边形BECD是菱形，
理由：∵D为AB中点，∠ACB=90°，
∴AD＝BD＝CD=AB．
∵CE＝AD，
∴BD＝CE．
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD＝CD
∴四边形BECD是菱形；
②当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC．
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形；
∴四边形BECD是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）先由已知条件可证出ACllDE，又因为ADllCE，根据平行四边形的定义即可判定四边形ADEC是平行四边形，再结合平行四边形对边相等的性质，即可证得CE=AD；
（2）①先结合已知条件推导可得BD=CE，又BDllCE，因此可判定四边形BECD是平行四边形，再结合直角三角形斜边上中线的性质，可得CD=AB=BD，根据“邻边相等的平行四边形是菱形”，即可证明四边形BECD是菱形；
② 当∠A＝45° 时， △ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形三线合一的性质，可得CD⊥AB，由此可证得BECD是正方形．
23．如图1，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F．
（1）求证：PA＝PF；
（2）如图2，过点F作FQ⊥BD于Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律．
（3）请写出线段AB、BF、BP之间满足的数量关系，不必说明理由．
【答案】解：（1）证明：连接PC，如图所示：
∵ABCD为正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴；
（2）略
（3）如图所示：过点P作，，垂足分别为M，N．
∵四边形ABCD为正方形，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵BD平分，，，
∴．
在RT和RT中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】
（1）连接PC，根据正方形的性质可得，，再根据全等三角形的判定定理即可证明；结合全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，可得，。接下来利用四边形内角和为360°，即可推导出，根据等角对等边可得，因此最终可证得。
（2）连接AC交BD于点O，根据正方形的性质可知是等腰直角三角形，由此可求出AO的长度。接下来证明，再根据全等三角形对应边相等的性质，即可得到；
（3）过点P作，，垂足分别为M，N。首先可证得是等腰直角三角形，由此推导出；再根据角平分线的性质可得，接下来利用直角三角形全等的判定定理证明，即可得到，，因此可以将转化为进行计算．
1 / 1广东茂名市高州市第一中学附属实验中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题
1．下列关于菱形性质的说法，正确的是（　　）
A．对角线相等 B．四个角都是直角
C．对角线互相垂直 D．不是轴对称图形
2．如图，在菱形中，对角线、相交于点，是的中点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，若，，则该矩形的周长（ ）
A．32 B．24 C．48 D．50
4．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．矩形的四条边都相等
C．菱形的四个内角都相等
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
5．下列说法不正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
6．已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（　　）
A．1 B．2 C． D．
7．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程的一个根，则菱形的边长是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．5
9．若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在菱形中，，，点是线段上一动点，点是线段上一动点，则的最小值（　　）
A． B． C． D．
11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　 　．
12．我市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是　 　．
13．如图所示，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是　 　；要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是　 　（只填序号）．备选答案：①AB∥CD；②AC=BD；③AC⊥BD；④AB=DC．
14．已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的值为　 　.
15．如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是　 　．
16．用公式法解一元二次方程：．
17．某商场销售一批名牌衬衫，当销售价为299元时，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫定价应多少元？
18．已知关于x的一元二次方程．
（1）当时，求方程的解；
（2）求证：无论m取何值，方程总有实数根．
19．阅读范例，解答问题：
范例：解方程：
解：（1）当时，即，
原式可变为，解得：，，
（2）当时，即
原式可变为，解得：，，
∵，∴，均舍去，
∴原方程的解为，．
依照上例解法，解方程：．
20．如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求矩形的周长．
21．阅读与思考
下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务．
形如是常数，的多项式叫做关于x的二次三项式．我们已经学习了利用因式分解求解一些一元二次方程．反过来，是否可以利用求一元二次方程的根的方法，把一些二次三项式分解因式呢？根据下面的代数推理，可以得出结果： 设一元二次方程的两个实数根为，，计算： 解： 即 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成的形式，即通过解一元二次方程可以将一些二次三项式分解因式．
任务：
（1）已知p，q是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，，则二次三项式分解因式的结果是______；
（2）已知是多项式的一个因式，则______；
（3）请用阅读内容中的方法，在实数范围内分解因式：注：实数范围内分解因式是指因式中的系数和常数项是实数
22．如图1，在RtABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线，D为AB边上一动点（点D不与点A、B重合），过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为点F，连接CD，BE．
观察猜想：
（1）在点D的运动过程中，CE与AD是否相等？请说明你的理由．
探究说理：
（2）如图2，当D运动到AB中点时，请探究下列问题：
①四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
②当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
23．如图1，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F．
（1）求证：PA＝PF；
（2）如图2，过点F作FQ⊥BD于Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律．
（3）请写出线段AB、BF、BP之间满足的数量关系，不必说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形对角线互相垂直平分，不一定相等，∴选项A错误，选项C正确．
∵菱形四个角不一定都是直角，四个角都是直角是矩形的性质，∴选项B错误．
∵菱形的两条对角线所在直线是它的对称轴，菱形是轴对称图形，∴选项D错误．
故选答案：C.
【分析】
根据菱形的性质： 菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，逐一分析即可.
2．【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵菱形中，对角线、相交于点，
∴，
∵是的中点，
∴．
故答案为：D.
【分析】
根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，因此可以推出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，即可得到.
3．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接，
由作图知，垂直平分，
，
在矩形中，，
，
，
，
则该矩形的周长．
故答案为：C。
【分析】
通过连接，根据垂直平分线的性质可以证得，再借助勾股定理计算得到，据此就可以推出题目要求的结论.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：A．平行四边形不是轴对称图形，故A错误；
B．矩形仅对边相等，四条边不一定都相等，故B错误；
C．菱形仅对角相等，四个内角不一定都相等，故C错误；
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等，故D正确．
故答案为：D.
【分析】
分别利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，对每个选项逐一分析判断，即可得出结论.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：根据菱形、矩形、正方形的判定规则，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，故A、B、C说法均正确，不符合题意；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故D说法错误，符合题意．
故答案为：D。
【分析】
通过举反例排除错误选项，再结合特殊四边形的判定定理对剩余选项进行验证，从而得到正确结论.
6．【答案】A
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：由题意可得：将 代入方程，得 .
解得 ，
故答案为：A.
【分析】将 代入方程 即可求解.
7．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
移项得，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得，
整理得．
故答案为：B.
【分析】
按照配方法解一元二次方程的标准步骤进行操作：先将常数项移到等号的右侧，之后在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再将等式左侧整理为完全平方式，即可得到对应的结果.
8．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解方程得，
或（舍去），
即另一条对角线长是6，
菱形的一条对角线长为8，
菱形的边长．
故选：D．
【分析】
先解给定的一元二次方程，得到菱形两条对角线的长，再结合菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理计算所求内容即可.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设原方程的另一个实数根为，
由一元二次方程根与系数的关系可得，
∴，
∴原方程的另一个实数根为．
故选答案：B.
【分析】
设这个一元二次方程的另一个实数根是，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于常数项与二次项系数的比，因此可以得到，求解该式就能得到原方程另一个根，从而得出答案.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH=∠CBH=45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴
∴Rt△BHC中，BH=CH= ，
∴HG=HC-GC=3-2=1，
∴Rt△BHG中，BG= ，
∵当点F与点B重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短），
∴PE+PF的最小值是．
故选：D．
【分析】
先作点E关于AC的对称点G，接着连接BG，再过点B作BH垂直CD交CD于点H，先利用勾股定理分别算出BH与GH的长度，最后在Rt△BHG中，再次利用勾股定理计算出BG的长度，得到的BG长度就是PE+PF的最小值.
11．【答案】
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解： ，
，
解得 .
故选： .
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式 ，建立关于 不等式，求出 的取值范围。
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，
根据题意得
解得或（舍去），
．
故答案为：
【分析】
设平均每次下调的百分率为x，之后通过题目中的条件列方程就可以解答这个问题.
13．【答案】③；②
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，
连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是CD、DA、AB、BC的中点，
∴EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
要使四边形EFGH为矩形，
根据矩形的判定：有一个角为直角的平行四边形是矩形，
故当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90°时，四边形EFGH为矩形；
要使四边形EFGH为菱形，
根据矩形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即EF=EH，
而EH=BD，
∴AC=BD．
故当AC=BD时，平行四边形EFGH为菱形
故答案为：③；②．
【分析】
先证明四边形EFGH是平行四边形，若要使得四边形EFGH成为矩形，需要满足∠EFG=90°，对应条件为对角线AC⊥BD；而当满足AC=BD时，可以判定四边形EFGH为菱形.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根分别为m，n
∴ ，
∴
故答案为： .
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ， ，将原式变形为，然后整体代入计算即可.
15．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，，
∴，．
∵，
∴．
∵沿对折至，
∴，，．
∴，．
在和中，，
∴．
∴．
设，则，，．
在中，由勾股定理得：，
即．
解得．
∴的长是．
故答案为：
【分析】
通过作辅助线，连接，根据正方形的性质可得到AD=CD=BC，，再根据折叠的性质，利用全等三角形的判定定理HL证明，由此推出，设，最后在中，根据勾股定理列出方程就能得到答案.
16．【答案】解：一元二次方程为．其中，，，
则，
∴，
解得， ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式，对比题目中的方程，可得到a，b，c的值，利用判别式公式将已知数代入计算，因此可知方程有两个不相等的实数根，然后代入求根公式计算根即可.
17．【答案】解：设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的定价为（299﹣x）元，每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵尽快减少库存，
∴x＝20，
∴299﹣x＝279.
答：每件衬衫定价应为279元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的定价为（299﹣x）元，每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件， 根据平均每天盈利=单价利润×平均每天的销量，据此列出方程，解之并检验即可.
18．【答案】（1）解：当时，原方程为，∴
∴，；
（2），，
，
∵，
∴，
∴不论m取任何值，该方程总有实数根．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】
（1）当时，先整理得到原方程为，再通过因式分解法求解该方程即可；
（2）直接计算根的判别式，结合判别式的符号完成证明即可.
19．【答案】解：（1）当时，即，则原式可变为，
解得：，，
∵，∴（舍去），
∴；
（2）当时，，
原式可变为，解得：，，
∵，∴（舍去），
∴，
综上所述，原方程的解为：或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；绝对值的概念与意义；分类讨论
【解析】【分析】
根据绝对值的性质，分两种不同情况进行讨论：第一种情况为，第二种情况为，接下来可以依据绝对值的定义去掉绝对值符号，将原方程转化为普通方程后，再计算得到方程的解.
20．【答案】（1）证明：∵点E是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
点D为等腰的底边的中点，
，即，
四边形是矩形
（2）解：∵是等腰三角形，，，是等边三角形，
，
点D是的中点，
，
，
，
矩形的周长．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先根据题目中的条件，利用对角线互相平分证明为平行四边形，再根据等腰三角形的性质三线合一得到，即可证明为矩形；
（2）根据题目给出的已知条件，先证明是等边三角形，可得到AB=AC，然后利用勾股定理求解，即可求解周长．
（1）略
（2）解：∵是等腰三角形，，，
是等边三角形，
，
点D是的中点，
，
，
，
矩形的周长．
21．【答案】（1）
（2）
（3）解：，
，
，
，
，，
．
从而得到：
【知识点】因式分解的应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）一元二次方程的两个实数根为，，
根据题意可得，；
则 二次三项式分解因式的结果是，
故答案为：；
（2）是多项式的一个因式，
则设多项式的另一个因式为，
，
即，
，，
解得，；
故答案为：；
【分析】（1）根据题意可得，直接求解；
（2）设多项式的另一个因式为，可得，化简得到，，然后解方程即可；
先公式法解方程得到，，然后利用求解．
（1）解：一元二次方程的两个实数根为，，
；
故答案为：；
（2）设多项式的另一个因式为，
，
即，
，，
解得，；
故答案为：；
（3）解方程，
，
，
，，
．
22．【答案】解：（1）CE＝AD，∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE＝AD．
（2）①四边形BECD是菱形，
理由：∵D为AB中点，∠ACB=90°，
∴AD＝BD＝CD=AB．
∵CE＝AD，
∴BD＝CE．
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD＝CD
∴四边形BECD是菱形；
②当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC．
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形；
∴四边形BECD是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）先由已知条件可证出ACllDE，又因为ADllCE，根据平行四边形的定义即可判定四边形ADEC是平行四边形，再结合平行四边形对边相等的性质，即可证得CE=AD；
（2）①先结合已知条件推导可得BD=CE，又BDllCE，因此可判定四边形BECD是平行四边形，再结合直角三角形斜边上中线的性质，可得CD=AB=BD，根据“邻边相等的平行四边形是菱形”，即可证明四边形BECD是菱形；
② 当∠A＝45° 时， △ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形三线合一的性质，可得CD⊥AB，由此可证得BECD是正方形．
23．【答案】解：（1）证明：连接PC，如图所示：
∵ABCD为正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴；
（2）略
（3）如图所示：过点P作，，垂足分别为M，N．
∵四边形ABCD为正方形，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵BD平分，，，
∴．
在RT和RT中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】
（1）连接PC，根据正方形的性质可得，，再根据全等三角形的判定定理即可证明；结合全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，可得，。接下来利用四边形内角和为360°，即可推导出，根据等角对等边可得，因此最终可证得。
（2）连接AC交BD于点O，根据正方形的性质可知是等腰直角三角形，由此可求出AO的长度。接下来证明，再根据全等三角形对应边相等的性质，即可得到；
（3）过点P作，，垂足分别为M，N。首先可证得是等腰直角三角形，由此推导出；再根据角平分线的性质可得，接下来利用直角三角形全等的判定定理证明，即可得到，，因此可以将转化为进行计算．
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