资源简介

广东汕头市潮阳区国庆联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（　　）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
3．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．一元二次方程的根是（　　）
A． B．
C．， D．，
7．将抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
8．潮阳区某特产店销售一种果脯，当每盒利润为40元时，每天可售出20盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出2盒．要使每天的利润达到1200元，设每盒降价x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知 x1、x2 是一元二次方程的两个实数根，则与 的值分别为（ ）
A．5，6 B．，6 C．5， D．，
10．如图，二次函数的图象开口向下，与x轴交于两点，与y轴交于点．则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．方程的根为　 　．
12．关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为　 　．
13．抛物线与轴的交点的坐标为　 　．
14．二次函数y＝2x2﹣4x+1的最小值是 　 　．
15．已知 是方程 的两个实数根，则　 　．
16．潮阳区金灶镇某果园2024年水果产量为100吨，2026年产量达到144吨．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则可列方程　 　，解得年平均增长率为　 　．
17．解方程：
18．已知关于x的方程．
（1）求证：无论m取何实数，该方程总有实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求m的值及方程的另一个根．
19．如图是二次函数的图象．
（1）求该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）求该抛物线与x轴的交点坐标；
（3）结合图象，直接写出当时x的取值范围．
20．潮阳区某中学英歌队在一次汇演后，全体队员每两人之间互赠一张合影照．已知全队共赠送了240张照片，求该英歌队共有多少名队员．
21．某商店销售潮阳特产，进价为每盒30元．调查发现：当售价为每盒50元时，每天可售出40盒；每涨价1元，每天就少售出1盒。设每盒涨价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每盒涨价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22．如图，某农户要用长的篱笆，在练江边靠墙（墙长）围一块长方形苗圃（靠墙的一边不围），苗圃的一边垂直于墙．
（1）设垂直于墙的一边长为，求苗圃面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为多少时，苗圃的面积最大？最大面积是多少平方米？
23．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求顶点D的坐标；
（3）求的面积；
（4）在抛物线上是否存在点P（点P不与点D重合），使得的面积等于的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．在如图的抛物线上，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q．
（1）求直线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段的长；
（3）当m为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意；
B、含分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、未注明，当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、含两个未知数，是二元方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故答案为：A.
【分析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数是2即可解答.
2．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4x+3=0，
分解因式得：（x-1）（x-3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
故答案为：C．
【分析】对于一般式的一元二次方程，先考虑能否运用因式分解解答。
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得.
故答案为：A.
【分析】
根据一元二次方程的跟的判别式即可解答.
4．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标是.
故答案为：A.
【分析】
根据题目中给出的抛物线解析式与顶点式对比即可得出h和k的值，进而得出结论.
5．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：，开口向下，
则当时y有最大值4
故答案为：B.
【分析】
先把这个二次函数整理成顶点式，可以得到函数图象开口向下，进而就能求出函数的最大值.
6．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴或，
解得，
故选C．
【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】由函数的平移规律：左加右减，上加下减．向左平移2个单位得到： ，再向下平移3个单位得到： ，
故答案为：A．
【分析】二次函数顶点式y=a(x-h)2+k，利用函数的平移规律：左加右减变h，上加下减变k，据此判断即可.
8．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】每盒降价x元，每盒利润为元，
每天售出盒，
列方程．
故答案为：A。
【分析】
原本每盒的利润是40元，现在每盒降价x元，因此降价之后每盒的利润为元。已知每降价1元就会多售出2盒，那么降价x元后，每天就会比原来多售出盒；原本每天可以售出20盒，所以降价后每天的销售量为盒。题目要求总利润达到1200元，把降价后每盒的利润和降价后的销售量代入“总利润=每盒利润×销售量”这个核心等量关系，就可以列出对应的方程.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由根与系数的关系得：
故答案为：A.
【分析】
对于一元二次方程的一般形式，若方程的两个实数根为x1x2，则两根之积与两根之和满足x1x2=，x1+x2=，根据题目给出的方程，可得a，b，c的值，最后代入即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、二次函数的图象开口向下，，故A错误；
B、二次函数的对称轴为直线，，，故 B正确；
C、二次函数与y轴交点，，故C错误；
D、抛物线与x轴有两个交点，，故D错误．
故答案为：B.
【分析】
首先可以根据二次函数的图象开口向下，得到；再结合题目给出的对称轴是直线，利用对称轴公式可以判断出；根据函数图象和y轴的交点坐标为，可以直接得到；最后根据函数图象和轴有两个交点，即可推出判别式满足．
11．【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】因为，所以 ，所以 .
故答案是.
【分析】 考查解一元二次方程.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】
若一元二次方程有两个相等的实数根，则该方程根的判别式的值等于0，即，利用这个关系列等式计算即可得到结果.
13．【答案】，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴令，则，
解得：，
∴抛物线与轴的交点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据轴上的点的坐标特点：纵坐标等于0，然后令得到方程并解之即可.
14．【答案】﹣1
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，
∴对称轴为x＝1，
∴x＝﹣1时，有最小值，y最小值＝﹣1；
故答案为：﹣1．
【分析】已知二次函数y＝2x2﹣4x+1，用公式法或配方法将标准形式化为定点形式即可。
15．【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】∵是方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：11.
【分析】
利用一元二次方程根与系数的关系，得到，再借助完全平方公式对所求式子变形，可得，最后整体代入数值计算即可.
16．【答案】；20
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：从2024年到2026年，一共经过2次增长，增长次数为．
根据产量增长规律，可列方程：
两边同时除以，得
开平方，得
解得，．
∵增长率为正数
∴舍去不符合题意的负根
因此，即年平均增长率为．
故填：；20.
【分析】
设年平均增长率为，只需要按照增长率的变化规律列出对应方程，最后舍去不符合题目要求的负根，就可以得到最终结果.
17．【答案】解：由 得
，
解得： ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
18．【答案】（1）证明：，
∵，即，
∴无论m取何实数，该方程总有实数根；
（2）解：把代入方程，得：，即，
解得：，
此时方程为，
即，
∴或，
解得：，，
∴另一个根为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）直接通过一元二次方程的根的判别式完成证明；
（2）首先将代入原方程，计算得到，再将代回原方程，求解这个方程即可得到结果.
（1）略
（2）解：把代入方程，得：，
即，
解得：，
此时方程为，
即，
∴或，
解得：，，
∴另一个根为．
19．【答案】（1）解：将该二次函数化为顶点式为：，∴该二次函数图象的对称轴为直线，可得该抛物线顶点为．
（2）解：令，则，因式分解得，解得，，
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为和
（3）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】
（3）解：根据图象可直接确定时，．
【分析】
（1）直接将二次函数化为顶点式，然后确定顶点坐标和对称轴即可；
（2）求与x轴的交点坐标，令y=0即可求解；
（3）根据二次函数的性质，当y＜0时，函数图象位于x轴的下方，即可求解.
（1）解：将该二次函数化为顶点式为：，
∴该二次函数图象的对称轴为直线，可得该抛物线顶点为．
（2）解：令，则，因式分解得，
解得，，
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为和．
（3）解：根据图象可直接确定时，．
20．【答案】解：设该英歌队共有x名队员，
依题意，每名队员要送出张照片，全队共送张，
列方程：，
解得（不合题意，舍去），
答：该英歌队共有16名队员．
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】
设英歌队共有x人，每名队员需要给除自己外的其余队员赠送1张照片，因此每名队员赠送（x-1）张照片，全队赠送照片总张数为x（x-1）张，根据总赠送数为240列方程求解即可.
21．【答案】（1）解：
，
根据题意得：且，
解得：；

（2）解：∵，且，
∴当时，y有最大值900，
答：每盒涨价10元（即售价为60元）时，每天利润最大，最大利润为900元．
【知识点】二次函数的最值；列二次函数关系式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）按照题目给定条件，直接列出对应的二次函数解析式。
（2）利用二次函数的性质，就可以求出该二次函数的最大值，完成解答.
（1）解：
，
根据题意得：且，
解得：；
（2）解：
∵，且，
∴当时，y有最大值900，
答：每盒涨价10元（即售价为60元）时，每天利润最大，最大利润为900元．
22．【答案】（1）解：垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，由题意得，
由且，得，
∴函数关系式为，自变量x的取值范围为；
（2）解：∵，且在自变量取值范围内，
∴当时，S最大
答：当垂直于墙的一边长为时，苗圃面积最大，最大面积为450平方米
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）已知篱笆总长为60m，设垂直于墙的一边长度为，那么平行于墙的一边长度就为，之后根据长方形的面积公式即可得到对应函数关系式，再结合边长为正、平行于墙的一边不超过墙的长度，列出不等式组且，解不等式组即可得到自变量x的取值范围；
（2）对得到的函数解析式进行配方变形，再结合二次函数的性质即可求出对应结果.
（1）解：垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，
由题意得，
由且，得，
∴函数关系式为，自变量x的取值范围为；
（2）解：
∵，且在自变量取值范围内，
∴当时，S最大
答：当垂直于墙的一边长为时，苗圃面积最大，最大面积为450平方米
23．【答案】（1）解：把代入：，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：，∴顶点D的坐标为；
（3）解：，而点D到x轴的距离为4，∴；
（4）解：存在，设点P的纵坐标为，则
∴
解得，即或，
当时为顶点D，不合题意；
令，
得，
解得，
∴点P的坐标为或．
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线与x轴交于两点，将两点坐标通过待定系数法求出解析式；
（2）把抛物线的一般式配方整理为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标；
（3）直接利用三角形的面积公式计算即可得到的面积；
（4）设点P的纵坐标为，根据三角形面积公式可得，结合的面积求出的值，再将纵坐标代回抛物线解析式，即可算出点P的横坐标，得到点P的坐标.
（1）解：把代入：
，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：，
∴顶点D的坐标为；
（3）解：，而点D到x轴的距离为4，
∴；
（4）解：存在，
设点P的纵坐标为，则
∴
解得，即或，
当时为顶点D，不合题意；
令，
得，
解得，
∴点P的坐标为或．
24．【答案】（1）解：设直线的解析式为，把代入得，解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：设（），则，∴；
（3）解：
，
∵，，
∴当时，最大，最大值为．
【知识点】函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）从给出的图象中可以得到点和的坐标，通过待定系数法就可以求出函数解析式；
（2）先设出点P的坐标为，限定P的横坐标范围为，由于Q和P横坐标相同，且Q在直线BC上，因此可以得到点Q的坐标为，再结合坐标和图形的性质就能得到对应结论；
（3）最后结合三角形面积公式，再利用二次函数的性质，就可以求出对应的结果.
（1）解：设直线的解析式为，
把代入得，解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：设（），则，
∴；
（3）解：
，
∵，，
∴当时，最大，最大值为．
1 / 1广东汕头市潮阳区国庆联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意；
B、含分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、未注明，当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、含两个未知数，是二元方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故答案为：A.
【分析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数是2即可解答.
2．关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（　　）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4x+3=0，
分解因式得：（x-1）（x-3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
故答案为：C．
【分析】对于一般式的一元二次方程，先考虑能否运用因式分解解答。
3．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得.
故答案为：A.
【分析】
根据一元二次方程的跟的判别式即可解答.
4．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标是.
故答案为：A.
【分析】
根据题目中给出的抛物线解析式与顶点式对比即可得出h和k的值，进而得出结论.
5．二次函数的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：，开口向下，
则当时y有最大值4
故答案为：B.
【分析】
先把这个二次函数整理成顶点式，可以得到函数图象开口向下，进而就能求出函数的最大值.
6．一元二次方程的根是（　　）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴或，
解得，
故选C．
【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
7．将抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】由函数的平移规律：左加右减，上加下减．向左平移2个单位得到： ，再向下平移3个单位得到： ，
故答案为：A．
【分析】二次函数顶点式y=a(x-h)2+k，利用函数的平移规律：左加右减变h，上加下减变k，据此判断即可.
8．潮阳区某特产店销售一种果脯，当每盒利润为40元时，每天可售出20盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出2盒．要使每天的利润达到1200元，设每盒降价x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】每盒降价x元，每盒利润为元，
每天售出盒，
列方程．
故答案为：A。
【分析】
原本每盒的利润是40元，现在每盒降价x元，因此降价之后每盒的利润为元。已知每降价1元就会多售出2盒，那么降价x元后，每天就会比原来多售出盒；原本每天可以售出20盒，所以降价后每天的销售量为盒。题目要求总利润达到1200元，把降价后每盒的利润和降价后的销售量代入“总利润=每盒利润×销售量”这个核心等量关系，就可以列出对应的方程.
9．已知 x1、x2 是一元二次方程的两个实数根，则与 的值分别为（ ）
A．5，6 B．，6 C．5， D．，
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由根与系数的关系得：
故答案为：A.
【分析】
对于一元二次方程的一般形式，若方程的两个实数根为x1x2，则两根之积与两根之和满足x1x2=，x1+x2=，根据题目给出的方程，可得a，b，c的值，最后代入即可.
10．如图，二次函数的图象开口向下，与x轴交于两点，与y轴交于点．则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、二次函数的图象开口向下，，故A错误；
B、二次函数的对称轴为直线，，，故 B正确；
C、二次函数与y轴交点，，故C错误；
D、抛物线与x轴有两个交点，，故D错误．
故答案为：B.
【分析】
首先可以根据二次函数的图象开口向下，得到；再结合题目给出的对称轴是直线，利用对称轴公式可以判断出；根据函数图象和y轴的交点坐标为，可以直接得到；最后根据函数图象和轴有两个交点，即可推出判别式满足．
11．方程的根为　 　．
【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】因为，所以 ，所以 .
故答案是.
【分析】 考查解一元二次方程.
12．关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】
若一元二次方程有两个相等的实数根，则该方程根的判别式的值等于0，即，利用这个关系列等式计算即可得到结果.
13．抛物线与轴的交点的坐标为　 　．
【答案】，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴令，则，
解得：，
∴抛物线与轴的交点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据轴上的点的坐标特点：纵坐标等于0，然后令得到方程并解之即可.
14．二次函数y＝2x2﹣4x+1的最小值是 　 　．
【答案】﹣1
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，
∴对称轴为x＝1，
∴x＝﹣1时，有最小值，y最小值＝﹣1；
故答案为：﹣1．
【分析】已知二次函数y＝2x2﹣4x+1，用公式法或配方法将标准形式化为定点形式即可。
15．已知 是方程 的两个实数根，则　 　．
【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】∵是方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：11.
【分析】
利用一元二次方程根与系数的关系，得到，再借助完全平方公式对所求式子变形，可得，最后整体代入数值计算即可.
16．潮阳区金灶镇某果园2024年水果产量为100吨，2026年产量达到144吨．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则可列方程　 　，解得年平均增长率为　 　．
【答案】；20
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：从2024年到2026年，一共经过2次增长，增长次数为．
根据产量增长规律，可列方程：
两边同时除以，得
开平方，得
解得，．
∵增长率为正数
∴舍去不符合题意的负根
因此，即年平均增长率为．
故填：；20.
【分析】
设年平均增长率为，只需要按照增长率的变化规律列出对应方程，最后舍去不符合题目要求的负根，就可以得到最终结果.
17．解方程：
【答案】解：由 得
，
解得： ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
18．已知关于x的方程．
（1）求证：无论m取何实数，该方程总有实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求m的值及方程的另一个根．
【答案】（1）证明：，
∵，即，
∴无论m取何实数，该方程总有实数根；
（2）解：把代入方程，得：，即，
解得：，
此时方程为，
即，
∴或，
解得：，，
∴另一个根为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）直接通过一元二次方程的根的判别式完成证明；
（2）首先将代入原方程，计算得到，再将代回原方程，求解这个方程即可得到结果.
（1）略
（2）解：把代入方程，得：，
即，
解得：，
此时方程为，
即，
∴或，
解得：，，
∴另一个根为．
19．如图是二次函数的图象．
（1）求该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）求该抛物线与x轴的交点坐标；
（3）结合图象，直接写出当时x的取值范围．
【答案】（1）解：将该二次函数化为顶点式为：，∴该二次函数图象的对称轴为直线，可得该抛物线顶点为．
（2）解：令，则，因式分解得，解得，，
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为和
（3）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】
（3）解：根据图象可直接确定时，．
【分析】
（1）直接将二次函数化为顶点式，然后确定顶点坐标和对称轴即可；
（2）求与x轴的交点坐标，令y=0即可求解；
（3）根据二次函数的性质，当y＜0时，函数图象位于x轴的下方，即可求解.
（1）解：将该二次函数化为顶点式为：，
∴该二次函数图象的对称轴为直线，可得该抛物线顶点为．
（2）解：令，则，因式分解得，
解得，，
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为和．
（3）解：根据图象可直接确定时，．
20．潮阳区某中学英歌队在一次汇演后，全体队员每两人之间互赠一张合影照．已知全队共赠送了240张照片，求该英歌队共有多少名队员．
【答案】解：设该英歌队共有x名队员，
依题意，每名队员要送出张照片，全队共送张，
列方程：，
解得（不合题意，舍去），
答：该英歌队共有16名队员．
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】
设英歌队共有x人，每名队员需要给除自己外的其余队员赠送1张照片，因此每名队员赠送（x-1）张照片，全队赠送照片总张数为x（x-1）张，根据总赠送数为240列方程求解即可.
21．某商店销售潮阳特产，进价为每盒30元．调查发现：当售价为每盒50元时，每天可售出40盒；每涨价1元，每天就少售出1盒。设每盒涨价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每盒涨价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：
，
根据题意得：且，
解得：；

（2）解：∵，且，
∴当时，y有最大值900，
答：每盒涨价10元（即售价为60元）时，每天利润最大，最大利润为900元．
【知识点】二次函数的最值；列二次函数关系式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）按照题目给定条件，直接列出对应的二次函数解析式。
（2）利用二次函数的性质，就可以求出该二次函数的最大值，完成解答.
（1）解：
，
根据题意得：且，
解得：；
（2）解：
∵，且，
∴当时，y有最大值900，
答：每盒涨价10元（即售价为60元）时，每天利润最大，最大利润为900元．
22．如图，某农户要用长的篱笆，在练江边靠墙（墙长）围一块长方形苗圃（靠墙的一边不围），苗圃的一边垂直于墙．
（1）设垂直于墙的一边长为，求苗圃面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为多少时，苗圃的面积最大？最大面积是多少平方米？
【答案】（1）解：垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，由题意得，
由且，得，
∴函数关系式为，自变量x的取值范围为；
（2）解：∵，且在自变量取值范围内，
∴当时，S最大
答：当垂直于墙的一边长为时，苗圃面积最大，最大面积为450平方米
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）已知篱笆总长为60m，设垂直于墙的一边长度为，那么平行于墙的一边长度就为，之后根据长方形的面积公式即可得到对应函数关系式，再结合边长为正、平行于墙的一边不超过墙的长度，列出不等式组且，解不等式组即可得到自变量x的取值范围；
（2）对得到的函数解析式进行配方变形，再结合二次函数的性质即可求出对应结果.
（1）解：垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，
由题意得，
由且，得，
∴函数关系式为，自变量x的取值范围为；
（2）解：
∵，且在自变量取值范围内，
∴当时，S最大
答：当垂直于墙的一边长为时，苗圃面积最大，最大面积为450平方米
23．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求顶点D的坐标；
（3）求的面积；
（4）在抛物线上是否存在点P（点P不与点D重合），使得的面积等于的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把代入：，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：，∴顶点D的坐标为；
（3）解：，而点D到x轴的距离为4，∴；
（4）解：存在，设点P的纵坐标为，则
∴
解得，即或，
当时为顶点D，不合题意；
令，
得，
解得，
∴点P的坐标为或．
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线与x轴交于两点，将两点坐标通过待定系数法求出解析式；
（2）把抛物线的一般式配方整理为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标；
（3）直接利用三角形的面积公式计算即可得到的面积；
（4）设点P的纵坐标为，根据三角形面积公式可得，结合的面积求出的值，再将纵坐标代回抛物线解析式，即可算出点P的横坐标，得到点P的坐标.
（1）解：把代入：
，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：，
∴顶点D的坐标为；
（3）解：，而点D到x轴的距离为4，
∴；
（4）解：存在，
设点P的纵坐标为，则
∴
解得，即或，
当时为顶点D，不合题意；
令，
得，
解得，
∴点P的坐标为或．
24．在如图的抛物线上，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q．
（1）求直线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段的长；
（3）当m为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）解：设直线的解析式为，把代入得，解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：设（），则，∴；
（3）解：
，
∵，，
∴当时，最大，最大值为．
【知识点】函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）从给出的图象中可以得到点和的坐标，通过待定系数法就可以求出函数解析式；
（2）先设出点P的坐标为，限定P的横坐标范围为，由于Q和P横坐标相同，且Q在直线BC上，因此可以得到点Q的坐标为，再结合坐标和图形的性质就能得到对应结论；
（3）最后结合三角形面积公式，再利用二次函数的性质，就可以求出对应的结果.
（1）解：设直线的解析式为，
把代入得，解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：设（），则，
∴；
（3）解：
，
∵，，
∴当时，最大，最大值为．
1 / 1

展开更多......

收起↑