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8.1.2　变力做功和机车启动问题
1．如图所示，一台小电动机用轻绳通过动滑轮将一个重物由静止开始以2 m/s2的加速度匀加速向上提起。已知重物的质量为1 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计滑轮的质量及绳与滑轮间的摩擦，若运动过程中滑轮未碰到天花板，小电动机的最大输出功率P＝60 W，则重物匀加速运动持续的时间和重物能获得的最大速度分别为 (　　)
A．2 s，10 m/s B．2.5 s，6 m/s
C．2 s，6 m/s D．2.5 s，12 m/s
2．(2025·江西赣州高一检测)力F对物体所做的功可由公式W＝Fs cos α求得。但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。那么，用这个公式不能直接求变力做的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解力F所做的功。如图所示，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是 (　　)
A.图甲中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功为W＝F
B．图乙中，全过程中F做的总功为108 J
C．图丙中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，则小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为W＝πRf
D．图丁中，力F的大小不变，当用不同方向的力F将小球从P拉至Q时，F做的功都是W＝Fl sin θ
3．(多选)(2025·天津河西区期末)步兵战车的质量为m，其在平直的路面上从静止开始加速，经时间t0其速度达到最大值vm。设在加速过程中步兵战车发动机的功率恒为P，步兵战车所受阻力恒为f。下列说法正确的是 (　　)
A．加速过程中，步兵战车的加速度先保持不变，再逐渐减小
B．加速过程中，步兵战车的位移大于t0
C．步兵车的最大速度vm＝
D．加速过程中，步兵战车所受合外力做的功为Pt0
4．(2025·浙江嘉兴高一期末)为方便残障人士出行，嘉兴市投用了配备轮椅专用停放区的新型纯电动公交车，如图所示。已知车和乘客总质量m＝1.5×104 kg，车子保持额定功率P＝180 kW沿水平路面行驶，行驶过程中所受阻力恒为车重的4%，重力加速度g取10 m/s2，则车子 (　　)
A．启动阶段的加速度不变
B．受到的阻力为600 N
C．最大行驶速度为20 m/s
D．匀速行驶150 km的过程中，牵引力做功9×108 J
5．(2025·广东广州高一期末)电动自行车在平直路面上匀速行驶，某个时刻从车上掉落一件货物，车行驶的功率不变，货物掉落前后车速随时间的变化图像比较符合实际的是 (　　)
　　　　　　
　　　　　　
6．(2025·广东广州高一期末)北京冬奥会使得人们参与冰雪运动的热情高涨。如图所示的是滑雪滑道PQR，质量为60 kg的滑雪爱好者从顶端P由静止滑下，从末端R滑出时的速度为18 m/s，滑行过程中姿势保持不变，P端相对滑道最低点Q的高度为24 m，R端相对Q点的高度为4 m，重力加速度g取10 m/s2。从P到R过程中，该滑雪爱好者克服阻力做的功和重力做的功的比值约为 (　　)
A．0.1 B．0.2 C．0.8 D．1
7．(多选)(2025·湖南长沙高一检测)用如图所示的装置匀速提升浸没在容器底部的正方体物块A，物块A的质量为5 kg，棱长为10 cm，水的深度为60 cm。物块A露出水面前滑轮组的机械效率为80%，物块露出水面前在水中上升的时间为5 s。物块A与容器底部未紧密接触，水对物块A的阻力、绳子的重力、绳子与滑轮间摩擦都忽略不计，ρ水＝1.0×103 kg/m3，g取10 N/kg。下列说法正确的是 (　　)
A．物块A的重力为50 N
B．物块A上升的速度为0.12 m/s
C．物块A露出水面前，拉力所做的有用功为20 J
D．物块A完全露出水面后，滑轮组的机械效率约为83.3%
8．(2023·湖北卷)两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为 (　　)
A． B．
C． D．
9．(多选)如图甲所示，“水上飞人”是一种水上娱乐运动。喷水装置向下持续喷水，总质量为M的人与喷水装置受到向上的反作用力腾空而起，在空中做各种运动。一段时间内，人与喷水装置在竖直方向运动的v-t图像如图乙所示，水的反冲作用力的功率恒定，规定向上的方向为正，忽略水管对喷水装置的拉力以及空气的阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是 (　　)
A．t1～t2时间内，水的反作用力越来越大
B．水的反作用力的功率为Mgv2
C．t1时刻，v-t图像切线的斜率为g
D．t2～t3时间内，水的反作用力做的功为Mgv2t3
10．(2025·福建三明高一期中)电池技术作为电动汽车技术的核心和瓶颈，是电动汽车研究的重点和热点方向。国内某公司研发的全气候电池，在低温条件下能实现充电时间缩短到1 h内，自加热速率达到7 ℃/min，－10 ℃环境下电池总能量最多可释放90%。搭载该型号电池的国产电动汽车作为交通服务用车为北京冬奥会提供了交通保障。已知该型号电动汽车配置的全气候电池总能量是60 kW·h，汽车电动机最大功率是160 kW，最大车速是180 km/h，在平直公路上行驶过程中受到的阻力f与车速v的关系式为f＝kv2，k为比例系数。求：
(1)电动汽车以最大速度行驶时的牵引力和比例系数k；
(2)电动汽车的电池充满电后，在－10 ℃的环境下，以54 km/h的速度在平直公路匀速行驶时的最大续航里程(汽车电动机驱动汽车行驶的能量占电池释放能量的80%)。
11．某汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车质量为5 t，汽车在运动中所受阻力的大小恒为车重的。(g取10 m/s2)求：
(1)若汽车以额定功率启动，则汽车所能达到的最大速度是多少？当汽车速度达到5 m/s时，其加速度是多少？
(2)若汽车以恒定加速度0.5 m/s2启动，则其匀加速过程能维持多长时间？
12．(2025·广东深圳高一期末)家用电梯内部装置可简略为如图所示。钢绳缠绕在电动机驱动轮上，一端悬吊轿厢，另一端悬吊配重，钢绳和驱动轮之间的静摩擦力驱使轿厢上下运行。小明在一楼搭乘电梯回家，共上升30 m高度。电梯轿厢质量m＝2×103 kg，配重质量M＝3×103 kg，电梯满载时乘客总质量m1＝1×103 kg，设定电梯启动和制动的加速度大小均为2 m/s2，中间阶段以2 m/s的速度匀速运行。重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，钢绳质量不计。求：
(1)满载时，向上加速过程中钢绳对轿厢拉力的大小；
(2)满载时，向上加速过程中钢绳对轿厢拉力的最大瞬时功率；
(3)轿厢空载，由静止开始，从小明家到达一楼过程中，加速、匀速和减速阶段电动机所做的功。
8.1.2　变力做功和机车启动问题
1．如图所示，一台小电动机用轻绳通过动滑轮将一个重物由静止开始以2 m/s2的加速度匀加速向上提起。已知重物的质量为1 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计滑轮的质量及绳与滑轮间的摩擦，若运动过程中滑轮未碰到天花板，小电动机的最大输出功率P＝60 W，则重物匀加速运动持续的时间和重物能获得的最大速度分别为 (　　)
A．2 s，10 m/s B．2.5 s，6 m/s
C．2 s，6 m/s D．2.5 s，12 m/s
B　解析：重物由静止开始以2 m/s2的加速度匀加速向上升起，由牛顿第二定律可得2F－mg＝ma，代入数据解得F＝6 N，绳获得的最大速度v1＝＝ m/s＝10 m/s，由速度时间公式可得重物匀加速运动持续的时间t＝＝ s＝2.5 s，此后重物做加速度减小的加速运动，直到2F′＝mg时，绳子的最大速度为v2＝＝ m/s＝12 m/s，重物运动的最大速度为v2′＝＝ m/s＝6 m/s，B正确。
2．(2025·江西赣州高一检测)力F对物体所做的功可由公式W＝Fs cos α求得。但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。那么，用这个公式不能直接求变力做的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解力F所做的功。如图所示，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是 (　　)
A.图甲中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功为W＝F
B．图乙中，全过程中F做的总功为108 J
C．图丙中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，则小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为W＝πRf
D．图丁中，力F的大小不变，当用不同方向的力F将小球从P拉至Q时，F做的功都是W＝Fl sin θ
A　解析：题图甲中F大小不变，根据功的定义可得物块从A到C过程中，力F做的功为W＝Fs＝F，A正确；题图乙F-x图像与横轴所围的面积代表功，则全过程中F做的总功为W＝15×6 J＋×6 J＝72 J，B错误；题图丙中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，可用微元法得小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为W＝－f·＝－πRf，C错误；题图丁中力的方向不同时，力和位移的夹角不同，力做的功不同，D错误。
3．(多选)(2025·天津河西区期末)步兵战车的质量为m，其在平直的路面上从静止开始加速，经时间t0其速度达到最大值vm。设在加速过程中步兵战车发动机的功率恒为P，步兵战车所受阻力恒为f。下列说法正确的是 (　　)
A．加速过程中，步兵战车的加速度先保持不变，再逐渐减小
B．加速过程中，步兵战车的位移大于t0
C．步兵车的最大速度vm＝
D．加速过程中，步兵战车所受合外力做的功为Pt0
BC　解析：在加速过程中步兵战车发动机的功率恒为P，根据牛顿第二定律可得a＝＝，可知随着速度的增大，加速度逐渐减小，对应的v-t图像如图所示，
根据v-t图像与横轴围成的面积表示位移，可知加速过程中，步兵战车的位移满足x>t0，A错误，B正确；当牵引力等于阻力时，速度达到最大，则有vm＝，C正确；加速过程中，步兵战车所受合外力做的功为W合＝Pt0－Wf4．(2025·浙江嘉兴高一期末)为方便残障人士出行，嘉兴市投用了配备轮椅专用停放区的新型纯电动公交车，如图所示。已知车和乘客总质量m＝1.5×104 kg，车子保持额定功率P＝180 kW沿水平路面行驶，行驶过程中所受阻力恒为车重的4%，重力加速度g取10 m/s2，则车子 (　　)
A．启动阶段的加速度不变
B．受到的阻力为600 N
C．最大行驶速度为20 m/s
D．匀速行驶150 km的过程中，牵引力做功9×108 J
D　解析：由题意可知，该公交车以额定功率启动，有P＝Fv，F－f＝ma，f＝0.04mg，启动过程中速度增大，所以公交车的牵引力F减小，加速度减小，A错误；因为阻力恒为车重的4%，有f＝0.04mg＝6 000 N，B错误；当公交车的牵引力大小等于阻力大小时，公交车的速度达到最大值，有P＝fvmax，解得vmax＝30 m/s，C错误；汽车匀速行驶时，其牵引力大小等于阻力大小，即F牵＝f＝6 000 N，则牵引力做的功为W＝F牵x＝9×108 J，D正确。
5．(2025·广东广州高一期末)电动自行车在平直路面上匀速行驶，某个时刻从车上掉落一件货物，车行驶的功率不变，货物掉落前后车速随时间的变化图像比较符合实际的是 (　　)
　　　　　　
　　　　　　
A　解析：电动自行车的功率P＝Fv，匀速行驶时，牵引力大小等于阻力大小，即F＝f，加速度a＝0，货物掉落后瞬间速度未变，车整体质量减小，阻力减小为f′，牵引力大于阻力，具有向前的加速度，车开始加速，由于功率不变，牵引力逐渐减小，加速度减小，当牵引力F′的大小趋近于f′的大小时，加速度趋近于0，电动自行车达到最大速度v′＝，以后继续做匀速运动，A正确。
6．(2025·广东广州高一期末)北京冬奥会使得人们参与冰雪运动的热情高涨。如图所示的是滑雪滑道PQR，质量为60 kg的滑雪爱好者从顶端P由静止滑下，从末端R滑出时的速度为18 m/s，滑行过程中姿势保持不变，P端相对滑道最低点Q的高度为24 m，R端相对Q点的高度为4 m，重力加速度g取10 m/s2。从P到R过程中，该滑雪爱好者克服阻力做的功和重力做的功的比值约为 (　　)
A．0.1 B．0.2 C．0.8 D．1
B　解析：由能量守恒可知从P到R过程中，该滑雪爱好者克服阻力做的功Wf＝mg－mv2，解得Wf＝60×10× J－×60×182 J＝2 280 J，从P到R过程中，重力做的功WG＝mg＝12 000 J，则＝＝0.19，B正确。
7．(多选)(2025·湖南长沙高一检测)用如图所示的装置匀速提升浸没在容器底部的正方体物块A，物块A的质量为5 kg，棱长为10 cm，水的深度为60 cm。物块A露出水面前滑轮组的机械效率为80%，物块露出水面前在水中上升的时间为5 s。物块A与容器底部未紧密接触，水对物块A的阻力、绳子的重力、绳子与滑轮间摩擦都忽略不计，ρ水＝1.0×103 kg/m3，g取10 N/kg。下列说法正确的是 (　　)
A．物块A的重力为50 N
B．物块A上升的速度为0.12 m/s
C．物块A露出水面前，拉力所做的有用功为20 J
D．物块A完全露出水面后，滑轮组的机械效率约为83.3%
ACD　解析：物块A的重力为GA＝mAg＝5×10 N＝50 N，A正确；物块A上升的速度为v＝＝ m/s＝0.1 m/s，B错误；物块A露出水面前，受到的浮力的大小为F浮＝ρ水gV＝1.0×103×10×0.13 N＝10 N，拉力所做的有用功为W有用＝(G－F浮)(h水－hA)＝(50－10)×(0.6－0.1)J＝20 J，C正确；物块A露出水面前，拉力所做的总功为W总＝＝25 J，根据滑轮组原理可知绳子移动的距离为s＝2(h水－hA)＝1 m，绳子的自由端拉力为F＝＝25 N，物块A露出水面前，根据受力分析有2F＝G动＋GA－F浮，可得动滑轮的重力为G动＝10 N，物块A露出水面后，根据受力分析有2F′＝G动＋GA，可得绳子的拉力为F′＝30 N，物块A完全露出水面后，滑轮组的机械效率为η′＝×100%＝≈83.3%，D正确。
8．(2023·湖北卷)两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为 (　　)
A． B．
C． D．
D　解析：因动车在达到速度最大时动力与阻力大小相等、方向相反，两节动车在铁轨上运行时所受的阻力大小分别为f1＝、f2＝，将它们编成动车组后，该动车组的最大功率为P1＋P2，该动车组所受的阻力大小为f1＋f2，所以该动车组所能达到的最大速度为＝，D正确。
9．(多选)如图甲所示，“水上飞人”是一种水上娱乐运动。喷水装置向下持续喷水，总质量为M的人与喷水装置受到向上的反作用力腾空而起，在空中做各种运动。一段时间内，人与喷水装置在竖直方向运动的v-t图像如图乙所示，水的反冲作用力的功率恒定，规定向上的方向为正，忽略水管对喷水装置的拉力以及空气的阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是 (　　)
A．t1～t2时间内，水的反作用力越来越大
B．水的反作用力的功率为Mgv2
C．t1时刻，v-t图像切线的斜率为g
D．t2～t3时间内，水的反作用力做的功为Mgv2t3
BC　解析：设水的反作用力的恒定功率为P，由P＝Fv可得水的反作用力F＝，由v-t图像可知t1～t2时间内，人与喷水装置的速度v越来越大，则水的反作用力越来越小，A错误；t2时刻，人与喷水装置的速度达到最大值v2，开始匀速上升，水的反作用力F＝Mg，水的反作用力的恒定功率P＝Fv＝Mgv2，B正确；由v-t图像可知t1时刻，人与喷水装置的速度为v1，设水的反作用力为F1，由P＝Mgv2、P＝F1v1可知，F1＝Mg，由牛顿第二定律有F1－Mg＝Ma，可得t1时刻，v-t图像切线的斜率即人与喷水装置的加速度a＝g，C正确；由P＝，可得W＝Pt，结合P＝Fv＝Mgv2可知，t2～t3时间内，水的反作用力做的功为W＝Mgv2，D错误。
10．(2025·福建三明高一期中)电池技术作为电动汽车技术的核心和瓶颈，是电动汽车研究的重点和热点方向。国内某公司研发的全气候电池，在低温条件下能实现充电时间缩短到1 h内，自加热速率达到7 ℃/min，－10 ℃环境下电池总能量最多可释放90%。搭载该型号电池的国产电动汽车作为交通服务用车为北京冬奥会提供了交通保障。已知该型号电动汽车配置的全气候电池总能量是60 kW·h，汽车电动机最大功率是160 kW，最大车速是180 km/h，在平直公路上行驶过程中受到的阻力f与车速v的关系式为f＝kv2，k为比例系数。求：
(1)电动汽车以最大速度行驶时的牵引力和比例系数k；
(2)电动汽车的电池充满电后，在－10 ℃的环境下，以54 km/h的速度在平直公路匀速行驶时的最大续航里程(汽车电动机驱动汽车行驶的能量占电池释放能量的80%)。
答案：(1)3 200 N　1.28 N/(m2·s-2)　(2)540 km
解析：(1)设汽车电动机最大功率为P，以最大速度vm行驶时的牵引力为F，则P＝Fvm，当汽车以最大速度运行时牵引力大小等于阻力大小，则F＝f＝kv
解得F＝3 200 N，k＝1.28 N/(m2·s-2)。
(2)电池总能量为E＝60 kW·h，最终转化为汽车动力的能量E1＝E×90%×80%＝1.555 2×108 J
电动汽车在－10 ℃的环境下，在平直高速公路上匀速行驶的速度v1＝54 km/h＝15 m/s
设牵引力为F1，阻力为f1，续航里程为s，则
F1＝f1＝kv，E1＝f1 s
解得s＝540 km。
11．某汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车质量为5 t，汽车在运动中所受阻力的大小恒为车重的。(g取10 m/s2)求：
(1)若汽车以额定功率启动，则汽车所能达到的最大速度是多少？当汽车速度达到5 m/s时，其加速度是多少？
(2)若汽车以恒定加速度0.5 m/s2启动，则其匀加速过程能维持多长时间？
答案：(1)12 m/s　1.4 m/s2　(2)16 s
解析：(1)汽车以额定功率启动，当a＝0时，v达到最大值vm
则vm＝＝ m/s＝12 m/s
当速度为5 m/s时，牵引力F＝＝ N＝12 000 N
则加速度a＝＝ m/s2＝1.4 m/s2。
(2)由P＝Fv，F－Ff＝ma′得，P＝(Ff＋ma′)v
则v＝＝ m/s＝8 m/s
匀加速直线运动的时间t＝＝ s＝16 s。
12．(2025·广东深圳高一期末)家用电梯内部装置可简略为如图所示。钢绳缠绕在电动机驱动轮上，一端悬吊轿厢，另一端悬吊配重，钢绳和驱动轮之间的静摩擦力驱使轿厢上下运行。小明在一楼搭乘电梯回家，共上升30 m高度。电梯轿厢质量m＝2×103 kg，配重质量M＝3×103 kg，电梯满载时乘客总质量m1＝1×103 kg，设定电梯启动和制动的加速度大小均为2 m/s2，中间阶段以2 m/s的速度匀速运行。重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，钢绳质量不计。求：
(1)满载时，向上加速过程中钢绳对轿厢拉力的大小；
(2)满载时，向上加速过程中钢绳对轿厢拉力的最大瞬时功率；
(3)轿厢空载，由静止开始，从小明家到达一楼过程中，加速、匀速和减速阶段电动机所做的功。
答案：(1)3.6×104 N　(2)7.2×104 W　(3)2×104 J　2.8×105 J　0
解析：(1)加速上升阶段，对轿厢和乘客受力分析，由牛顿第二定律有T－(m＋m1)g＝(m＋m1)a
解得T＝3.6×104 N。
(2)当钢绳对轿厢拉力最大，轿厢速度最大时，钢绳对轿厢做功的功率最大
钢绳最大拉力为T＝3.6×104 N，最大速度为2 m/s
则钢绳对轿厢做功的最大瞬时功率为P＝Tv
解得P＝7.2×104 W。
(3)在加速下降过程中，位移为h1＝
解得h1＝1 m
电动机做的功为W1，对轿厢和配重根据动能定理有
W1＋mgh1－Mgh1＝(M＋m)v2
解得W1＝2×104 J；
在匀速下降过程中，位移h2＝30 m－2h1
解得h2＝28 m
电动机做的功为W2，对轿厢和配重根据动能定理有
W2＋mgh2－Mgh2＝0
解得W2＝2.8×105 J；
在减速下降过程中，位移h3＝
得h3＝1 m
电动机做的功为W3，对轿厢和配重根据动能定理有
W3＋mgh3－Mgh3＝0－(M＋m)v2
解得W3＝0。

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