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5.2.2　关联速度与小船渡河
1．(2025·江苏盐城期中)小船从M出发横渡一条河到N，船头始终垂直于河岸方向，船速大小不变。已知小船的运动轨迹如图中虚线所示，则能表示河水的流速(图中箭头的长短表示流速的大小)的是 (　　)
2．如图所示，从河岸M驶向对岸N，已知船在静水中速度v大于水速u，下列选项图中航程最短的是 (　　)
3．(2025·湖北荆州检测)如图所示，水平光滑长杆上套有物块A，一条细线跨过固定在天花板上O点大小可以忽略的轻质定滑轮一端连接A，另一端悬挂物块B。开始时A位于P点，M为O点正下方杆上一点，现将A、B由静止释放，忽略一切阻力。当A通过杆上N点时，绳与水平方向夹角为37°，L与N关于M对称，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，关于释放后的过程，下列说法正确的是 (　　)
A．A从P到L过程，A的速度先增大后减小
B．A从P到L过程，B的速度先减小后增大
C．A通过N点时速度与B的速度大小比为4∶5
D．A到达M之前，B所受拉力始终大于B的重力
4．如图所示，在宽为H的河流中，甲、乙两船从相距H的A、B两个码头同时开始渡河，船头与河岸均成60°角，两船在静水中的速度大小相等，且乙船恰能沿BC到达正对岸的C。下列说法正确的是 (　　)
A．两船不会相遇 B．两船在C点相遇
C．两船在AC的中点相遇 D．两船在BC的中点相遇
5．河宽d＝60 m，水流速度v1＝4 m/s且保持不变，小船在静水中的行驶速度为v2＝3 m/s，下列说法正确的是 (　　)
A．小船能垂直到达正对岸
B．若船头始终垂直于河岸渡河，渡河过程中水流速度加快，则渡河时间将变长
C．小船渡河时间最短为20 s
D．小船渡河的实际速度一定为5 m/s
6．如图所示，水平固定的光滑细长杆上套有一个物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的细线一端连接Q，另一端悬挂一个物块P。设细线的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小，现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动，下列说法正确的是 (　　)
A．当θ＝90°时，Q的速度为零
B．当θ＝90°时，P的速度为零
C．当θ＝60°时，P、Q的速度大小之比是∶2
D．在θ向90°增大的过程中，P一直处于失重状态
7．若河面宽300 m，水流速度3 m/s，木船相对静水的速度1 m/s，则渡河所需的最短时间为 (　　)
A．75 s B．95 s C．100 s D．300 s
8．(多选)自由泳是竞技游泳比赛项目之一。某名运动员在一次渡河训练中，向某方向以自由泳泳姿匀速运动，因水流原因，实际运动路径与河岸夹角为30°，如图所示。已知河水水流速度v水＝0.6 m/s，下列说法正确的是 (　　)
A．该运动员相对于静水的速度可能为0.3 m/s
B．该运动员相对于静水的速度可能为0.6 m/s
C．若该运动员相对于静水的速度为0.5 m/s，则该运动员的实际渡河路径可能垂直于河岸
D．若该运动员加大双腿打水频率以提高游泳速度，则会缩短渡河时间
9．(2025·河南郑州高一检测)有一个小船(视为质点)从岸边A点出发过宽d＝400 m的河，河由宽度之比为1∶3的 Ⅰ、Ⅱ 区域组成。Ⅰ 区域水速大小v1＝3 m/s，Ⅱ 区域水速大小v2＝5 m/s，方向向右，如图所示。为保证小船安全过河，小船在 Ⅰ、Ⅱ 区域相对于静水的速度分别为v3＝5 m/s和v4＝3 m/s。B点为对岸上的点，且A、B连线与河岸垂直。求：
(1)小船以最短时间过河到达的位置；
(2)小船以最短位移过河到达的位置。
10．已知河宽200 m，一艘小艇从河岸上的A处出发渡河，小艇艇身保持与河岸垂直，经过t1＝10 min，小艇到达正对岸下游x＝120 m的C处，如图所示，如果小艇保持速度大小不变逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过t2＝12.5 min，小艇恰好到达正对岸的B处，求：
(1)水流的速度v1；
(2)小艇在静水中的速度v2；
(3)小艇直线过河时船头与河岸的夹角α。
5.2.2　关联速度与小船渡河
1．(2025·江苏盐城期中)小船从M出发横渡一条河到N，船头始终垂直于河岸方向，船速大小不变。已知小船的运动轨迹如图中虚线所示，则能表示河水的流速(图中箭头的长短表示流速的大小)的是 (　　)
C　解析：小船做曲线运动，小船的合速度沿切线，船头始终垂直于河岸方向，设小船合速度与水流方向的夹角为θ，则有tan θ＝，小船运动过程中，小船合速度与水流方向的夹角先减小后增大，由于船速v船大小不变，可知v水先增大后减小，C正确。
2．如图所示，从河岸M驶向对岸N，已知船在静水中速度v大于水速u，下列选项图中航程最短的是 (　　)
B　解析：由于船在静水中速度v大于水速u，所以当船的合速度方向垂直于河岸时，船到达正对岸，航程最短，此时船头斜向上游，B正确。
3．(2025·湖北荆州检测)如图所示，水平光滑长杆上套有物块A，一条细线跨过固定在天花板上O点大小可以忽略的轻质定滑轮一端连接A，另一端悬挂物块B。开始时A位于P点，M为O点正下方杆上一点，现将A、B由静止释放，忽略一切阻力。当A通过杆上N点时，绳与水平方向夹角为37°，L与N关于M对称，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，关于释放后的过程，下列说法正确的是 (　　)
A．A从P到L过程，A的速度先增大后减小
B．A从P到L过程，B的速度先减小后增大
C．A通过N点时速度与B的速度大小比为4∶5
D．A到达M之前，B所受拉力始终大于B的重力
A　解析：A从P到L过程，绳子拉力方向与速度方向先为锐角后为钝角，所以绳子拉力对A先做正功后做负功，故A的速度先增大后减小，A正确；开始时B的速度为0，当A运动到M点时，B下到最低点，B的速度也为0，A过了M点后，B又有了向上的速度，故A从P到L过程，B的速度先增大后减小再增大，B错误；A通过N点时，设A、B速度分别为vA、vB，根据题意有vAcos 37°＝vB，故＝＝，C错误；结合B选项分析可知，A到达M之前B先向下加速后向下减速，故B先失重后超重，故B所受拉力先小于B的重力后大于B的重力，D错误。
4．如图所示，在宽为H的河流中，甲、乙两船从相距H的A、B两个码头同时开始渡河，船头与河岸均成60°角，两船在静水中的速度大小相等，且乙船恰能沿BC到达正对岸的C。下列说法正确的是 (　　)
A．两船不会相遇 B．两船在C点相遇
C．两船在AC的中点相遇 D．两船在BC的中点相遇
D　解析：设两船在静水中的速度大小为v，根据题述乙船恰能沿BC到达正对岸的C可知，v cos 60°＝v水，渡河时间t＝＝，甲船沿河岸方向分速度v cos 60°＝，在渡河时间t＝内甲船沿河岸方向位移s＝(v cos 60°＋v水)t＝(＋)＝，刚好等于A、B两个码头之间距离的2倍，即两船在BC的中点相遇，D正确，A、B、C错误。
5．河宽d＝60 m，水流速度v1＝4 m/s且保持不变，小船在静水中的行驶速度为v2＝3 m/s，下列说法正确的是 (　　)
A．小船能垂直到达正对岸
B．若船头始终垂直于河岸渡河，渡河过程中水流速度加快，则渡河时间将变长
C．小船渡河时间最短为20 s
D．小船渡河的实际速度一定为5 m/s
C　解析：由于船速小于水速，小船的合速度不可能垂直于河岸，A错误；当船头垂直于河岸时，小船渡河时间最短，为tmin＝＝20 s，当水速增大时，渡河时间不受影响，B错误，C正确；由于船速方向未知，无法求解小船的渡河速度，D错误。
6．如图所示，水平固定的光滑细长杆上套有一个物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的细线一端连接Q，另一端悬挂一个物块P。设细线的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小，现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动，下列说法正确的是 (　　)
A．当θ＝90°时，Q的速度为零
B．当θ＝90°时，P的速度为零
C．当θ＝60°时，P、Q的速度大小之比是∶2
D．在θ向90°增大的过程中，P一直处于失重状态
B　解析：当θ＝90°时，P的速度为0，位置最低，此时Q到达O点正下方，速度最大，A错误，B正确；由题图可知，P、Q用同一根绳连接，则Q沿绳子方向的速度与P的速度相等，则当θ＝60°时，vQcos 60°＝vP，解得vP∶vQ＝1∶2，C错误；P从开始运动到到达最低点的过程中，先向下做加速运动，加速度向下，处于失重状态，然后又减速向下运动，加速度向上，处于超重状态，D错误。
7．若河面宽300 m，水流速度3 m/s，木船相对静水的速度1 m/s，则渡河所需的最短时间为 (　　)
A．75 s B．95 s C．100 s D．300 s
D　解析：当木船船头垂直河岸时，沿垂直于河岸方向上的速度最大，渡河用时最短，已知木船相对静水的速度v＝1 m/s，则渡河时间最短为tmin＝＝ s＝300 s，D正确。
8．(多选)自由泳是竞技游泳比赛项目之一。某名运动员在一次渡河训练中，向某方向以自由泳泳姿匀速运动，因水流原因，实际运动路径与河岸夹角为30°，如图所示。已知河水水流速度v水＝0.6 m/s，下列说法正确的是 (　　)
A．该运动员相对于静水的速度可能为0.3 m/s
B．该运动员相对于静水的速度可能为0.6 m/s
C．若该运动员相对于静水的速度为0.5 m/s，则该运动员的实际渡河路径可能垂直于河岸
D．若该运动员加大双腿打水频率以提高游泳速度，则会缩短渡河时间
ABD　解析：根据运动的合成和分解可知，当运动员沿垂直于虚线向上游方向运动时，具有最小速度，则有v＝v水sin 30°，解得v＝0.3 m/s，只要运动员速度大于等于0.3 m/s，调整适当的角度，均可以沿虚线方向到达对岸，A、B正确。运动员要垂直到达正对岸，根据运动的合成和分解可知，运动员在沿河岸方向的合速度为零，设此时运动员游泳的方向与岸边夹角为θ，则有v cos θ＝0.6，解得v＝≥0.6 m/s；由此可知要垂直到达正对岸，运动员的最小速度应大于0.6 m/s，C错误。若该运动员加大双腿打水频率以提高游泳速度，在垂直于河岸方向的速度增大，河宽一定，所以会缩短渡河时间，D正确。
9．(2025·河南郑州高一检测)有一个小船(视为质点)从岸边A点出发过宽d＝400 m的河，河由宽度之比为1∶3的 Ⅰ、Ⅱ 区域组成。Ⅰ 区域水速大小v1＝3 m/s，Ⅱ 区域水速大小v2＝5 m/s，方向向右，如图所示。为保证小船安全过河，小船在 Ⅰ、Ⅱ 区域相对于静水的速度分别为v3＝5 m/s和v4＝3 m/s。B点为对岸上的点，且A、B连线与河岸垂直。求：
(1)小船以最短时间过河到达的位置；
(2)小船以最短位移过河到达的位置。
答案：(1)在B点下游560 m处　(2)B点
解析：(1)船头正对对岸过河时用时最短，过 Ⅰ 区域有
t1＝＝20 s
水流方向位移s1＝v1t1＝60 m
过 Ⅱ 区域有t2＝＝100 s
水流方向位移s2＝v2t2＝500 m
则小船最后在B点下游的位置离B的距离为
s＝s1＋s2＝560 m。
(2)过 Ⅱ 区域时，由于v4v实＝ eq \r(v－v)＝4 m/s
设水流方向位移为s4，由几何关系有tan θ＝＝
解得s4＝400 m
即船过 Ⅱ 区域时沿水流方向位移是大于等于400 m的。
要使船能够最终到达正对岸B点，则船过 Ⅰ 区域时沿河岸上游方向的位移大于等于400 m即可。设船头与河岸上游夹角为α，在垂直河岸方向有v3sin α·t3＝d
沿河岸上游方向有s3＝(v3cos α－v1)t3
又s3≥400 m，联立可解得cos α－≥4sin α
可见，只要船在 Ⅰ 区域船头与河岸上游夹角满足上式要求，船最终可以到达正对岸，所以小船以最短位移过河到达的位置是B点。
10．已知河宽200 m，一艘小艇从河岸上的A处出发渡河，小艇艇身保持与河岸垂直，经过t1＝10 min，小艇到达正对岸下游x＝120 m的C处，如图所示，如果小艇保持速度大小不变逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过t2＝12.5 min，小艇恰好到达正对岸的B处，求：
(1)水流的速度v1；
(2)小艇在静水中的速度v2；
(3)小艇直线过河时船头与河岸的夹角α。
答案：(1)0.2 m/s　(2) m/s　(3)53°
解析：(1)艇身与河岸垂直渡河，由x＝v1t1得
v1＝＝ m/min＝12 m/min＝0.2 m/s。
(2)艇身与河岸垂直时，有d＝v2t1，得v2＝20 m/min＝ m/s。
(3)小艇逆向上游行驶，恰好到达正对岸时，速度情况如图所示
小艇与河岸夹角α的余弦满足cos α＝，解得α＝53°。

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