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5.4.1　抛体运动的规律
1．如图所示，小球甲从A点水平抛出，小球乙从B点自由释放，两小球先后经过C点时速度大小相等，且它们的速度方向间夹角为θ＝45°，已知BC高h，不计空气的阻力。由以上条件可知 (　　)
A．甲小球做平抛运动的初速度大小为
B．甲、乙两小球到达C点所用时间之比为1∶
C．A、B两点的高度差为h
D．A、B两点的水平距离为
2．(2025·陕西宝鸡高一期中)平抛是一种常见的曲线运动，也是一种较简单的曲线运动，伽利略在对平抛运动的研究中，提出了运动的合成与分解的思想与方法，开启了人类利用较简单的运动或熟悉的方法研究较复杂运动的先河。正确理解平抛运动，掌握其规律，是学习曲线运动的基础。若有一个物体从距离水平地面一定高度处开始做平抛运动，则下列说法正确的是 (　　)
A．物体的加速度大小恒定不变，方向时刻变化
B．运动中两段相等时间里物体的速度变化量不相同
C．物体落地时的竖直分速度大小与初速度大小无关
D．物体在空中运动的时间由高度和初速度共同决定
3．如图所示，一个小球(可视为质点)从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，运动轨迹恰好与半圆轨道相切于B点。半圆轨道圆心为O，半径为R，且OB与水平方向夹角为53°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度大小为(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6) (　　)
A． B．
C． D．
4．(多选)如图所示，虚线为A、B两个小球从等宽不等高的台阶抛出的运动轨迹，A球从台阶1的右端水平抛出后，运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两个球在台阶3右端点相遇，不计空气阻力，下列说法不正确的是 (　　)
A．两个球抛出时A的速度大于B的速度
B．两个球相遇时A的速度大小为B的2倍
C．台阶1、2的高度差是台阶2、3高度差的4倍
D．两个球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值为B的2倍
5．水平抛出的小球，t秒末的速度方向与水平方向的夹角为θ1，t＋t0秒末速度方向与水平方向的夹角为θ2，忽略空气阻力，则小球初速度的大小为 (　　)
A．gt0(cos θ1－cos θ2) B．
C．gt0(tan θ1－tan θ2) D．
6．(2025·江苏无锡期末)为了研究空气动力学问题，如图所示，某人将质量为m的小球从距地面高h处以一定初速度水平抛出，在距抛出点水平距离L处，有一根管口比小球直径略大的竖直细管，上管口距地面的高度为。小球在水平方向上受恒定风力作用，在竖直方向上阻力不计，若小球恰能无碰撞地通过细管，重力加速度为g，则下列说法正确的是 (　　)
A．小球在管外运动的时间为
B．小球的初速度大小为L
C．风力的大小为
D．小球落地时的速度大小为2
7．(2025·河南郑州高一检测)一个可升降水平平台上有物块(视为质点)以某速度向右滑出，为防止物块直接掉落在地上摔坏，用一个斜劈固定在距平台右侧x＝1.2 m处，物块先落在斜劈斜面AB上，再下滑着地，如图所示。已知斜面AB长l＝6 m，斜面倾角θ＝53°，重力加速度大小g取10 m/s2, sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。若物块刚好沿斜面从A端滑下，到B端时速度刚好为零。
(1)求物块刚滑出平台时的速度大小v0；
(2)求物块从O运动到B的时间t；
(3)调节平台高度，发现平台低于某高度时，物块无法落在斜面AB上，求此高度的最大值H。
8．(2023·浙江1月选考)如图所示，在考虑空气阻力的情况下，一颗小石子从O点抛出沿轨迹OPQ运动，其中P是最高点。若空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，则小石子竖直方向分运动的加速度大小 (　　)
A．O点最大
B．P点最大
C．Q点最大
D．整个运动过程保持不变
9．(2025·辽宁沈阳高一期中)如图所示，直角坐标系xOy的x轴水平向右、y轴竖直向下，一个挡板的曲线形状满足方程y＝4－1.25x2，现从坐标原点以速率v0＝1 m/s竖直向上抛出小球甲，经过时间t1返回到坐标原点，再从坐标原点以速率v0＝1 m/s水平向右抛出小球乙，经过一段时间t2落到挡板上，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则t1∶t2为 (　　)
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶4 D．1∶6
10．在足够高处将质量m＝1 kg的小球沿水平方向抛出，已知在抛出后第2 s末时小球速度大小为25 m/s，g取10 m/s2。求：
(1)第2 s末小球下降的竖直高度；
(2)小球沿水平方向抛出时的初速度大小；
(3)2 s内小球位移的大小。
11．如图甲所示是我国传统农具——鼓风车，如图乙所示是其工作原理示意图。转动摇柄，联动风箱内的风叶，向车斗内送风，入料仓漏口H漏出的谷物经过车斗，质量大于2.0×10-5 kg的谷粒为饱粒，落入第一出料口A1B；质量为1.2×10-5～2.0×10-5 kg的谷粒为瘪粒，落入第二出料口A2B；质量小于1.2×10-5 kg的草屑被吹出出风口。已知A1、B、A2三点在同一水平线上，A1B的宽度为0.27 m；A1在H正下方，A1H的高度为0.45 m；质量为2.0×10-5 kg的谷粒从H漏出，恰好经B点落入A2B，设谷物从H漏出时速度为零；谷粒在车斗内所受水平风力恒定且相等，只考虑其所受重力和水平风力作用，重力加速度g取10 m/s2。
　
(1)求谷粒从H落到出料口所经历的时间；
(2)求谷粒所受水平风力的大小；
(3)若瘪粒恰好能全部落入A2B，求A2B的宽度。
5.4.1　抛体运动的规律
1．如图所示，小球甲从A点水平抛出，小球乙从B点自由释放，两小球先后经过C点时速度大小相等，且它们的速度方向间夹角为θ＝45°，已知BC高h，不计空气的阻力。由以上条件可知 (　　)
A．甲小球做平抛运动的初速度大小为
B．甲、乙两小球到达C点所用时间之比为1∶
C．A、B两点的高度差为h
D．A、B两点的水平距离为
B　解析：根据自由落体运动的规律，可知乙球运动到C点时的速度为，又因两球先后经过C点时的速度大小相等，所以甲球在C点的合速度为，又因此时甲球的速度与水平方向的夹角为45°，所以甲球做平抛运动的初速度大小为，A错误；根据vy＝gt，可知tA＝，tB＝，两球运动到C点的时间之比为∶＝1∶，B正确；A、B两点的高度差为 eq \f(v,2g)－ eq \f(v,2g)＝，C错误；A、B两点间的水平距离为x＝v0tA＝h，D错误。
2．(2025·陕西宝鸡高一期中)平抛是一种常见的曲线运动，也是一种较简单的曲线运动，伽利略在对平抛运动的研究中，提出了运动的合成与分解的思想与方法，开启了人类利用较简单的运动或熟悉的方法研究较复杂运动的先河。正确理解平抛运动，掌握其规律，是学习曲线运动的基础。若有一个物体从距离水平地面一定高度处开始做平抛运动，则下列说法正确的是 (　　)
A．物体的加速度大小恒定不变，方向时刻变化
B．运动中两段相等时间里物体的速度变化量不相同
C．物体落地时的竖直分速度大小与初速度大小无关
D．物体在空中运动的时间由高度和初速度共同决定
C　解析：物体做平抛运动的加速度为重力加速度，大小、方向均保持不变，A错误；物体做平抛运动的加速度为重力加速度，根据Δv＝gt，可知运动中两段相等时间里物体的速度变化量相同，B错误；物体做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有2gh＝v，解得vy＝，可知物体落地时的竖直分速度大小只跟下落高度有关，与初速度大小无关，C正确；物体做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有h＝gt2，解得t＝，可知物体在空中运动的时间只由高度决定，与初速度无关，D错误。
3．如图所示，一个小球(可视为质点)从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，运动轨迹恰好与半圆轨道相切于B点。半圆轨道圆心为O，半径为R，且OB与水平方向夹角为53°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度大小为(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6) (　　)
A． B．
C． D．
C　解析：飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，可知速度与水平方向的夹角为37°，设位移与水平方向的夹角为θ，则有：tan θ＝＝，因为tan θ＝＝，则竖直位移y＝0.6R，v＝2gy＝1.2gR，tan 37°＝，则有v0＝＝，C正确。
4．(多选)如图所示，虚线为A、B两个小球从等宽不等高的台阶抛出的运动轨迹，A球从台阶1的右端水平抛出后，运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两个球在台阶3右端点相遇，不计空气阻力，下列说法不正确的是 (　　)
A．两个球抛出时A的速度大于B的速度
B．两个球相遇时A的速度大小为B的2倍
C．台阶1、2的高度差是台阶2、3高度差的4倍
D．两个球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值为B的2倍
ABC　解析：两个小球都做平抛运动，水平方向都做匀速直线运动，由x＝v0t，根据题意，A运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两个球在台阶3右端点相遇，x和t都相等，所以v0相等，A错误；因为水平速度相等，台阶的宽度也相等，所以两个小球在空中运动的总时间之比为2∶1，所以相遇时两个球竖直速度之比为2∶1，合速度之比一定不等于2∶1，B错误；根据平抛运动h＝gt2，x＝v0t，解得h＝ eq \f(g,2v)x2，台阶1、3的高度差与台阶2、3高度差之比＝＝，所以，台阶1、2的高度差与台阶2、3高度差之比＝，C错误；设台阶2、3的高度差为h0，则台阶1、3的高度差为4h0，设台阶的宽度为x0，根据平抛运动的推论tan α＝2tan β得tan α13＝2tan β13＝2×＝，tan α23＝2tan β23＝2×＝，两个球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值与B的速度与水平方向的夹角的正切值之比为＝，D正确。
5．水平抛出的小球，t秒末的速度方向与水平方向的夹角为θ1，t＋t0秒末速度方向与水平方向的夹角为θ2，忽略空气阻力，则小球初速度的大小为 (　　)
A．gt0(cos θ1－cos θ2) B．
C．gt0(tan θ1－tan θ2) D．
D　解析：小球做平抛运动，水平方向上的速度不变，竖直方向上是自由落体运动，有vy＝gt。在t秒末tan θ1＝，在t＋t0秒末tan θ2＝，得v0＝，D正确。
6．(2025·江苏无锡期末)为了研究空气动力学问题，如图所示，某人将质量为m的小球从距地面高h处以一定初速度水平抛出，在距抛出点水平距离L处，有一根管口比小球直径略大的竖直细管，上管口距地面的高度为。小球在水平方向上受恒定风力作用，在竖直方向上阻力不计，若小球恰能无碰撞地通过细管，重力加速度为g，则下列说法正确的是 (　　)
A．小球在管外运动的时间为
B．小球的初速度大小为L
C．风力的大小为
D．小球落地时的速度大小为2
C　解析：小球在竖直方向上做自由落体运动，故从抛出点到上管口的运动过程，有＝gt2，解得小球在管外运动的时间为t＝，小球在水平方向上做匀减速运动，因恰能无碰撞地通过细管，故小球到管口时的水平速度刚好减为零，设小球的初速度为v0，则有L＝t，解得小球的初速度大小为v0＝2L，A、B错误；设风力大小为F，水平方向根据牛顿第二定律有F＝ma，由匀变速直线运动规律可得0－v＝－2aL，联立可得F＝，C正确；小球到达上管口时，水平速度减为零，进入管中后其不再受风力作用，只有竖直方向的运动，从抛出到落地全程，小球在竖直方向上做自由落体运动，所以有v2＝2gh，解得小球落地时的速度大小为v＝，D错误。
7．(2025·河南郑州高一检测)一个可升降水平平台上有物块(视为质点)以某速度向右滑出，为防止物块直接掉落在地上摔坏，用一个斜劈固定在距平台右侧x＝1.2 m处，物块先落在斜劈斜面AB上，再下滑着地，如图所示。已知斜面AB长l＝6 m，斜面倾角θ＝53°，重力加速度大小g取10 m/s2, sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。若物块刚好沿斜面从A端滑下，到B端时速度刚好为零。
(1)求物块刚滑出平台时的速度大小v0；
(2)求物块从O运动到B的时间t；
(3)调节平台高度，发现平台低于某高度时，物块无法落在斜面AB上，求此高度的最大值H。
答案：(1)3 m/s　(2)2.8 s　(3)5.12 m
解析：(1)对物块刚好运动到A点时的速度正交分解，如图所示
设平抛过程的时间为t1，有tan θ＝＝
又x＝v0t1
联立解得v0＝3 m/s，t1＝0.4 s。
(2)物块刚好运动到A点时竖直分速度vy＝gt1＝4 m/s
则在A点时的速度大小v＝ eq \r(v＋v)＝5 m/s
由题意可知物块在斜面上做匀减速直线运动，设运动时间为t2，有l＝t2，解得t2＝2.4 s，则物块从O运动到B的时间t＝t1＋t2＝2.8 s。
(3)此时情况等同于物块平抛轨迹恰好过A点和B点，设初速度大小为v′，过A点和B点的时间分别为tA和tB，则过A点有
H－l sin θ＝gt，x＝v′tA
过B点有H＝gt，x＋l cos θ＝v′tB
联立解得对应高度的最大值H＝5.12 m。
8．(2023·浙江1月选考)如图所示，在考虑空气阻力的情况下，一颗小石子从O点抛出沿轨迹OPQ运动，其中P是最高点。若空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，则小石子竖直方向分运动的加速度大小 (　　)
A．O点最大
B．P点最大
C．Q点最大
D．整个运动过程保持不变
A　解析：空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，即f＝kv，小石子在O点抛出时速度斜向右上方，此时速度最大，空气阻力斜向左下方最大，上升过程中空气阻力与竖直方向夹角增大，故抛出时空气阻力分解在竖直方向的分力最大，而小石子重力竖直向下且大小不变，根据牛顿第二定律可知在抛出时竖直方向分运动的加速度最大，即在O点处最大，A正确。
9．(2025·辽宁沈阳高一期中)如图所示，直角坐标系xOy的x轴水平向右、y轴竖直向下，一个挡板的曲线形状满足方程y＝4－1.25x2，现从坐标原点以速率v0＝1 m/s竖直向上抛出小球甲，经过时间t1返回到坐标原点，再从坐标原点以速率v0＝1 m/s水平向右抛出小球乙，经过一段时间t2落到挡板上，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则t1∶t2为 (　　)
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶4 D．1∶6
C　解析：由竖直上抛运动的规律可得t1＝＝0.2 s，由平抛运动的规律x＝v0t2，y＝gt，结合y＝4－1.25x2，综合可得t2＝0.8 s，则有t1∶t2＝1∶4，C正确，A、B、D错误。
10．在足够高处将质量m＝1 kg的小球沿水平方向抛出，已知在抛出后第2 s末时小球速度大小为25 m/s，g取10 m/s2。求：
(1)第2 s末小球下降的竖直高度；
(2)小球沿水平方向抛出时的初速度大小；
(3)2 s内小球位移的大小。
答案：(1)20 m　(2)15 m/s　(3)10 m
解析：(1)小球在竖直方向做自由落体运动，第2 s末小球下降的竖直高度：h＝gt2＝×10×22 m＝20 m。
(2)第2 s末小球在竖直方向分速度vy＝gt＝20 m/s
由速度的分解法可知，小球平抛初速度v0＝ eq \r(v2－v)＝ m/s＝15 m/s。
(3)2 s内水平位移x＝v0t＝30 m
则2 s内小球位移的大小s＝＝10 m。
11．如图甲所示是我国传统农具——鼓风车，如图乙所示是其工作原理示意图。转动摇柄，联动风箱内的风叶，向车斗内送风，入料仓漏口H漏出的谷物经过车斗，质量大于2.0×10-5 kg的谷粒为饱粒，落入第一出料口A1B；质量为1.2×10-5～2.0×10-5 kg的谷粒为瘪粒，落入第二出料口A2B；质量小于1.2×10-5 kg的草屑被吹出出风口。已知A1、B、A2三点在同一水平线上，A1B的宽度为0.27 m；A1在H正下方，A1H的高度为0.45 m；质量为2.0×10-5 kg的谷粒从H漏出，恰好经B点落入A2B，设谷物从H漏出时速度为零；谷粒在车斗内所受水平风力恒定且相等，只考虑其所受重力和水平风力作用，重力加速度g取10 m/s2。
　
(1)求谷粒从H落到出料口所经历的时间；
(2)求谷粒所受水平风力的大小；
(3)若瘪粒恰好能全部落入A2B，求A2B的宽度。
答案：(1)0.3 s　(2)1.2×10-4 N　(3)0.18 m
解析：(1)谷粒从H落到出料口的过程，竖直方向和水平方向都是初速度为零的匀加速直线运动，竖直方向上有h＝gt2
将h＝0.45 m代入可得t＝0.3 s。
(2)对质量为2.0×10-5 kg的谷粒，从H漏出恰好经B点，水平方向有x1＝at2
设风力大小为F，由牛顿第二定律F＝ma
将x1＝0.27 m、t＝0.3 s、m＝2.0×10-5 kg代入，联立可解得F＝1.2×10-4 N。
(3)对质量等于1.2×10-5 kg的瘪粒，恰好落到A2点，设A2B宽度为x2，则有
x1＋x2＝a′t2，F＝m′a′
将m′＝1.2×10-5 kg、x1＝0.27 m、t＝0.3 s、F＝1.2×10-4 N代入可得x2＝0.18 m。

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