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5.4.2　斜抛运动和抛体运动规律的应用
1．(多选)(2025·山东青岛高一期中)喷水管喷出的水柱初始速率为20 m/s，消防员控制出水时水速与地面的角度，以达到水柱浇灭着火点的目的。忽略所有阻力，不计水柱出口离地高度。下列说法正确的是 (　　)
A．该水柱能到达的最高点是20 m
B．水柱最远能到达距离水柱出口20 m处
C．水柱出口速度方向与地面成25°和 65°夹角时，水平射程相同
D．水柱不可能到达离出水口水平距离为10 m、高度为20 m的位置
2．(2025·浙江温州高一检测)2022年2月3日晚，我国女足在女足亚洲杯半决赛中对阵日本女足，最终点球大战6－5战胜日本队，晋级决赛。假设球员踢球后，足球从地面上的A点斜向上以速度v飞出，方向与水平方向成θ角，恰好从横梁下边缘B点水平进入球门，已知B点离地面的高度为h，不计足球在空中受到的阻力，下列不能表示足球从A点到B点的运动时间的是 (　　)
A．t＝ B．t＝
C．t＝ D．t＝
3．质量不同的甲、乙两个小球在同一位置分别以v1、v2的水平初速度向一个倾角为θ的斜面抛出，飞行一段时间后，甲球恰好垂直撞在斜面上，小球在空中的飞行时间为t1；乙球到达斜面的位移恰好最小，小球在空中的飞行时间为t2，则t1∶t2等于 (　　)
A．2∶1 B．1∶2
C．2v2∶v1 D．v1∶2v2
4．(多选)将一个小球以水平速度v0＝10 m/s从O点向右抛出，经 s小球恰好垂直落到斜面上的A点，不计空气阻力，g取10 m/s2，B点是小球做自由落体运动在斜面上的落点，如图所示，以下判断正确的是 (　　)
A．斜面的倾角是30°
B．小球的抛出点距斜面的竖直高度是15 m
C．若将小球以水平速度v0′＝5 m/s向右抛出，则它一定落在AB的中点P的上方
D．若将小球以水平速度v0′＝5 m/s向右抛出，则它一定落在AB的中点P处
5．(多选)在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的球1和球2，如图所示，不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法正确的是 (　　)
A．起跳时，球1的竖直方向的分速度等于球2的竖直方向的分速度
B．球1的速度变化率小于球2的速度变化率
C．球1的飞行时间大于球2的飞行时间
D．过网时球1的速度大于球2的速度
6．(2025·山东潍坊期末)如图所示，某同学将篮球自空中P点以大小为v0的初速度竖直向上抛出，篮球因受到水平恒定风力作用，到达Q点时速度方向水平。P、Q两点连线与水平方向夹角为37°，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则篮球运动到Q点时的速度大小为 (　　)
A．v0 B．v0 C．v0 D．v0
7．如图所示，将小球从倾角为45°的斜面上的P点先后以不同速度向右水平抛出，小球分别落在斜面上的A点、B点，以及水平面上的C点。已知B点为斜面底端点，P、A、B、C在水平方向间隔相等。不计空气阻力，则 (　　)
A．三次抛出小球后，小球在空中飞行的时间均不相同
B．小球落到A、B两点时，其速度的方向不同
C．若小球落到A、C两点，则两次抛出时小球的速率之比为∶3
D．若小球落到B、C两点，则两次抛出时小球的速率之比为∶3
8．(2023·湖南卷)如图甲所示，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是 (　　)
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2在最高点的速度小于v1
C．两谷粒从O到P的运动时间相等
D．两谷粒从O到P的平均速度相等
9．(2025·辽宁本溪高一期末)甲、乙两位运动员在体育场进行投掷标枪训练。甲站在A点，将标枪以v1＝25 m/s的初度沿与水平方向间夹角θ＝53°方向掷出，乙站在B点，将标枪以某一初速度v2水平掷出，两支标枪都在水平地面上的C点插入地面。甲投掷标枪投出点的高度h1＝4.2 m，乙投掷标枪投出点的高度h2＝1.8 m，A、B两点间的距离x0＝51 m，两标枪的飞行轨迹如图所示。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)甲掷出的标枪在飞行过程中离地面的最大高度H；
(2)甲掷出的标枪在空中运动的时间t；
(3)乙掷出的标枪初速度v2的大小。
10．风洞实验室中可以产生沿水平方向、大小可调节的风力。如图所示，将一个质量为m的小球放入风洞实验室的光滑水平地面上的O点，小球以初速度v0水平向右抛出，此时调节水平风力的大小为恒定值F，F的方向始终与初速度v0的方向垂直，最后小球运动到水平地面上的P点。已知O、P两点连线与初速度v0方向的夹角为θ。求：
(1)该小球运动到P点时的速度大小和P点速度方向与初速度v0方向夹角的正切值；
(2)OP之间的距离。
11．跳台滑雪是一种滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆，如图所示。测得ab间的距离为40 m，斜坡与水平方向的夹角为30°，求运动员在a处的速度大小、在空中飞行的时间和运动员在空中离坡面的最大距离。不计空气阻力，g取10 m/s2。(结果可保留根号)
5.4.2　斜抛运动和抛体运动规律的应用
1．(多选)(2025·山东青岛高一期中)喷水管喷出的水柱初始速率为20 m/s，消防员控制出水时水速与地面的角度，以达到水柱浇灭着火点的目的。忽略所有阻力，不计水柱出口离地高度。下列说法正确的是 (　　)
A．该水柱能到达的最高点是20 m
B．水柱最远能到达距离水柱出口20 m处
C．水柱出口速度方向与地面成25°和 65°夹角时，水平射程相同
D．水柱不可能到达离出水口水平距离为10 m、高度为20 m的位置
ACD　解析：当水柱竖直向上时，此时速度在竖直方向达到最大，此时达到最高点hm＝ eq \f(v,2g)＝ m＝20 m，A正确；设出水时水速与地面的角度为θ，则将速度分解为水平方向和竖直方向，竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做匀速运动，对出水到水落地过程有t＝，得水平距离x＝v0cos θ·t＝ eq \f(2v,g)sin θcos θ＝ eq \f(v,g)sin 2θ，由数学知识可得x≤ eq \f(v,g)＝40 m，所以将水柱出口速度与地面成25°和 65°角代入，因为有sin 50°＝sin 130°，所以此时水平射程相同，B错误，C正确；由前面分析可得，当高度为20 m时，水柱必定竖直向上，此时水平距离为零，水柱改变角度，竖直方向将不可能达到最大高度，因此水柱不可能到达离出水口水平距离为10 m、高度为20 m的位置，D正确。
2．(2025·浙江温州高一检测)2022年2月3日晚，我国女足在女足亚洲杯半决赛中对阵日本女足，最终点球大战6－5战胜日本队，晋级决赛。假设球员踢球后，足球从地面上的A点斜向上以速度v飞出，方向与水平方向成θ角，恰好从横梁下边缘B点水平进入球门，已知B点离地面的高度为h，不计足球在空中受到的阻力，下列不能表示足球从A点到B点的运动时间的是 (　　)
A．t＝ B．t＝
C．t＝ D．t＝
B　解析：根据题意可知，足球从A点以速度v飞出，足球的水平初速度vx＝v cos θ，竖直初速度vy＝v sin θ，恰好从横梁下边缘B点水平进入球门，由逆向思维可得，足球相当于从B点以v cos θ水平抛出，到达A点时，下落高度为h，竖直方向速度为v sin θ，竖直方向上做自由落体运动，根据y＝t可得，运动时间t＝＝，竖直方向有vy＝gt，可得，飞行时间t＝＝，竖直方向有y＝gt2，可得，飞行时间t＝＝，综上，A、C、D正确，B错误。
3．质量不同的甲、乙两个小球在同一位置分别以v1、v2的水平初速度向一个倾角为θ的斜面抛出，飞行一段时间后，甲球恰好垂直撞在斜面上，小球在空中的飞行时间为t1；乙球到达斜面的位移恰好最小，小球在空中的飞行时间为t2，则t1∶t2等于 (　　)
A．2∶1 B．1∶2
C．2v2∶v1 D．v1∶2v2
D　解析：将甲球垂直撞在斜面上的速度分解，如图甲所示，由图可知，tan θ＝＝，可得t1＝，过乙球抛出点作斜面的垂线，如图乙所示，当小球落在斜面上的B点时，位移最小，则水平方向x＝v2t2，竖直方向y＝gt，根据几何关系tan θ＝，则tan θ＝ eq \f(v2t2,\f(1,2)gt)，解得t2＝，则t1∶t2＝v1∶2v2，D正确。
4．(多选)将一个小球以水平速度v0＝10 m/s从O点向右抛出，经 s小球恰好垂直落到斜面上的A点，不计空气阻力，g取10 m/s2，B点是小球做自由落体运动在斜面上的落点，如图所示，以下判断正确的是 (　　)
A．斜面的倾角是30°
B．小球的抛出点距斜面的竖直高度是15 m
C．若将小球以水平速度v0′＝5 m/s向右抛出，则它一定落在AB的中点P的上方
D．若将小球以水平速度v0′＝5 m/s向右抛出，则它一定落在AB的中点P处
AC　解析：设斜面倾角为θ，对小球在A点的速度进行分解，有tan θ＝，解得θ＝30°，A正确；小球距过A点水平面的距离h＝gt2＝15 m，所以小球的抛出点距斜面的竖直高度肯定大于15 m，B错误；若小球的初速度v0′＝5 m/s，过A点作水平面，小球落到该水平面的水平位移是小球以初速度v0＝10 m/s抛出时的一半，延长小球运动的轨迹线，得到小球应该落在P、A之间，C正确，D错误。
5．(多选)在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的球1和球2，如图所示，不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法正确的是 (　　)
A．起跳时，球1的竖直方向的分速度等于球2的竖直方向的分速度
B．球1的速度变化率小于球2的速度变化率
C．球1的飞行时间大于球2的飞行时间
D．过网时球1的速度大于球2的速度
AD　解析：乒乓球起跳后到最高点的过程，其逆过程可看成平抛运动，两球起跳后能到达的最大高度相同，由v2＝2gh得，起跳时竖直方向分速度大小相等，A正确；速度变化率即加速度，两球在空中的加速度都等于重力加速度，所以两球的速度变化率相同，B错误；由h＝gt2可得两球飞行时间相同，C错误；由x＝vt可知，球1的水平位移较大，运动时间相同，则球1的水平速度较大，D正确。
6．(2025·山东潍坊期末)如图所示，某同学将篮球自空中P点以大小为v0的初速度竖直向上抛出，篮球因受到水平恒定风力作用，到达Q点时速度方向水平。P、Q两点连线与水平方向夹角为37°，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则篮球运动到Q点时的速度大小为 (　　)
A．v0 B．v0 C．v0 D．v0
C　解析：根据运动的独立性可知，竖直方向有h＝ eq \f(v,2g)，t＝，水平方向有x＝，由几何关系得＝tan 37°，联立解得，篮球运动到Q点时的速度vx＝v0，C正确。
7．如图所示，将小球从倾角为45°的斜面上的P点先后以不同速度向右水平抛出，小球分别落在斜面上的A点、B点，以及水平面上的C点。已知B点为斜面底端点，P、A、B、C在水平方向间隔相等。不计空气阻力，则 (　　)
A．三次抛出小球后，小球在空中飞行的时间均不相同
B．小球落到A、B两点时，其速度的方向不同
C．若小球落到A、C两点，则两次抛出时小球的速率之比为∶3
D．若小球落到B、C两点，则两次抛出时小球的速率之比为∶3
C　解析：根据h＝gt2，得t＝，由于小球落到B、C处时下落的高度相同，则这两次小球飞行时间相同，大于落在A处时的飞行时间，A错误；小球落在斜面上时，竖直方向的位移和水平方向的位移比值一定，即有tan 45°＝＝＝，故＝2，因此小球落在斜面上时，速度方向与水平方向的夹角与初速度无关，则小球落在A、B两点处的速度方向相同，B错误；小球落到A、B两点，竖直位移y＝ eq \f(v,2g)，水平位移x＝y＝ eq \f(2v,g)，则v0＝，根据P、A、B在水平方向间隔相等可得，两次抛出时小球的速率之比v0A∶v0B＝1∶，小球落到B、C两点时，运动的时间相等，而P、A、B、C在水平方向间隔相等，根据v0＝可知，两次抛出时小球的速率之比为v0B∶v0C＝2∶3，所以v0A∶v0C＝∶3，C正确，D错误。
8．(2023·湖南卷)如图甲所示，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是 (　　)
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2在最高点的速度小于v1
C．两谷粒从O到P的运动时间相等
D．两谷粒从O到P的平均速度相等
B　解析：由于忽略空气阻力，两谷粒抛出后只受重力作用，则加速度相同，A错误；两谷粒同时抛出后，谷粒1在竖直方向做自由落体运动，谷粒2在竖直方向做竖直上抛运动，所以到P点时谷粒2所用时间大于谷粒1所用的时间，但水平位移相同，故谷粒2的水平分速度小于谷粒1的水平分速度，则谷粒2在最高点的速度小于v1，B正确，C错误；从O到P两谷粒位移相同，但运动时间不同，则平均速度不同，D错误。
9．(2025·辽宁本溪高一期末)甲、乙两位运动员在体育场进行投掷标枪训练。甲站在A点，将标枪以v1＝25 m/s的初度沿与水平方向间夹角θ＝53°方向掷出，乙站在B点，将标枪以某一初速度v2水平掷出，两支标枪都在水平地面上的C点插入地面。甲投掷标枪投出点的高度h1＝4.2 m，乙投掷标枪投出点的高度h2＝1.8 m，A、B两点间的距离x0＝51 m，两标枪的飞行轨迹如图所示。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)甲掷出的标枪在飞行过程中离地面的最大高度H；
(2)甲掷出的标枪在空中运动的时间t；
(3)乙掷出的标枪初速度v2的大小。
答案：(1)24.2 m　(2)4.2 s　(3)20 m/s
解析：(1)甲掷出的标枪做斜抛运动，竖直方向做竖直上抛运动，利用逆向思维有
(v1sin θ)2＝2gh0
甲掷出的标枪在飞行过程中离地面的最大高度H＝h0＋h1
解得H＝24.2 m。
(2)甲掷出的标枪做斜抛运动，竖直方向做竖直上抛运动，则有－h1＝v1sin θ·t－gt2
解得t＝4.2 s。
(3)甲掷出的标枪做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，则有x1＝v1cos θ·t
结合题意可知，乙掷出的标枪水平分位移为
x2＝x1－x0
乙掷出的标枪做平抛运动，则有
x2＝v2t1，h2＝gt
解得v2＝20 m/s。
10．风洞实验室中可以产生沿水平方向、大小可调节的风力。如图所示，将一个质量为m的小球放入风洞实验室的光滑水平地面上的O点，小球以初速度v0水平向右抛出，此时调节水平风力的大小为恒定值F，F的方向始终与初速度v0的方向垂直，最后小球运动到水平地面上的P点。已知O、P两点连线与初速度v0方向的夹角为θ。求：
(1)该小球运动到P点时的速度大小和P点速度方向与初速度v0方向夹角的正切值；
(2)OP之间的距离。
答案：(1)v0　2tanθ　(2) eq \f(2mv,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(F－mg))cos θ)tan θ
解析：(1)设小球运动到P点时的速度大小为v，OP之间的距离为L。以O点为坐标原点、初速度v0方向为x轴正方向、风力F方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，有
沿v0方向x＝v0t
沿风力F方向F－mg＝ma，vy＝at，y＝at2
由题意知tan θ＝
小球运动到P点时的速度大小v＝ eq \r(v＋v)
解得v＝v0
设P点的速度方向和x轴(初速度v0)的夹角为α，有
tanα＝
P点速度方向与初速度v0方向夹角的正切值tan α＝2tan θ。
(2)OP之间的距离L＝
解得L＝ eq \f(2mv,F－mg)tan θ＝ eq \f(2mv,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(F－mg))cosθ)tan θ。
11．跳台滑雪是一种滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆，如图所示。测得ab间的距离为40 m，斜坡与水平方向的夹角为30°，求运动员在a处的速度大小、在空中飞行的时间和运动员在空中离坡面的最大距离。不计空气阻力，g取10 m/s2。(结果可保留根号)
答案：10m/s　2 s　 m
解析：运动员从a处运动到b处，做平抛运动，根据平抛运动规律
L sin 30°＝gt2，L cos 30°＝v0t
解得t＝2 s，v0＝10 m/s
根据运动的合成与分解，当运动员的速度方向与坡面平行时，运动员离坡面最远，
根据正交分解法，将运动员的运动分解为垂直斜面向上方向和沿斜面向下方向的两个分运动，
在垂直斜面方向上为匀减速直线运动，初速度v0y＝v0sin 30°
加速度ay＝g cos 30°
设最远距离为h，则h＝ eq \f(v,2ay)
联立解得h＝ m。

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