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6.4.2　水平、竖直面内的圆周运动
1．如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法正确的是 (　　)
A．若v0＝，则小球对管内上壁有压力
B．若v0>，则小球对管内下壁有压力
C．若0 D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
2．(多选)(2025·海南文昌高一检测)山崖边的公路常被称为最危险公路，一辆汽车欲安全通过此弯道公路，下列说法正确的是 (　　)
A．若汽车以恒定的角速度转弯，选择内圈较为安全
B．若汽车以恒定的线速度大小转弯，选择外圈较为安全
C．汽车在转弯时受到重力、支持力和摩擦力作用
D．汽车在转弯时受到重力、支持力作用
3．(2025·山东青岛检测)火力发电的主要燃料是煤粉，将煤块制成煤粉的机械为球磨机。球磨机的核心部件是一个半径为R的躺卧圆筒，里面装有小钢球，小钢球与筒壁间的动摩擦因数足够大。圆筒匀速转动时，小钢球被带到一定高度处脱离筒壁，落下后与煤块发生碰撞将煤块击碎。如图所示，当小钢球通过A点时，与圆筒分离，此后小钢球仅在重力作用下到达位置B，AB连线过圆心O，已知重力加速度为g。圆筒旋转的角速度ω为 (　　)
A． B．
C． D．
4．高速公路转弯处弯道圆弧半径R＝100 m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ＝0.23。最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，若路面是水平的，问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所允许的最大速率vm为多大？当超过vm时，将会出现什么现象？(g取9.8 m/s2)
5．(2025·重庆沙坪坝区检测)如图所示，质量为m1、m2的两个小球A、B套在光滑圆环上，圆环绕竖直方向的直径匀速旋转，已知m16．随着科技的发展，无人机越来越多地走进人们的生活。如图所示是一架无人机正在对一只趴在地上不动的小刺猬进行拍摄。无人机在刺猬的上空以刺猬所在竖直线为中轴线，在水平面内做匀速圆周运动，已知无人机的质量为m＝1.6 kg，飞行的角速度大小为ω＝ rad/s，无人机到小刺猬的距离为r＝5 m，其轨道中心距小刺猬高度为h＝4 m，小刺猬和无人机均可看作质点，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是 (　　)
A．空气对无人机的作用力方向竖直向上
B．空气对无人机的作用力大小为12 N
C．由于无人机飞行时要消耗电能，所以其机械能是不断增加的
D．当无人机运动到B点时，突然从无人机上掉落一个小物体，不计空气阻力的影响，小物体落地时距离小刺猬为3 m
7．(2025·重庆检测)如图所示，倾角α＝45°、高H＝0.2 m的斜面MNP固定在水平地面上。O点位于M点正上方且与N点等高。不可伸长的轻质细绳下方悬挂一个质量为m＝0.3 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在O点。小球在竖直平面内做圆周运动，到最低点时恰好拉断细绳做平抛运动并垂直击中斜面的中点Q，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求小球做平抛运动的时间；
(2)求细绳能够承受的最大拉力；
(3)若小球击中斜面反弹的速度大小为击中前的一半，则反弹后小球能不能落到M点。
6.4.2　水平、竖直面内的圆周运动
1．如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法正确的是 (　　)
A．若v0＝，则小球对管内上壁有压力
B．若v0>，则小球对管内下壁有压力
C．若0 D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
C　解析：在最高点，只有重力提供向心力时，由mg＝m eq \f(v,R)，解得v0＝，此时小球对管内壁无压力，A错误；若v0＞，则有mg＋FN＝m eq \f(v,R)，表明小球对管内上壁有压力，B错误；若0＜v0＜，则有mg－FN＝m eq \f(v,R)，表明小球对管内下壁有压力，C正确；综上分析，D错误。
2．(多选)(2025·海南文昌高一检测)山崖边的公路常被称为最危险公路，一辆汽车欲安全通过此弯道公路，下列说法正确的是 (　　)
A．若汽车以恒定的角速度转弯，选择内圈较为安全
B．若汽车以恒定的线速度大小转弯，选择外圈较为安全
C．汽车在转弯时受到重力、支持力和摩擦力作用
D．汽车在转弯时受到重力、支持力作用
ABC　解析：若汽车以恒定的角速度转弯，根据F向＝mω2r，在内圈时转弯半径小，所需向心力小，汽车受到的摩擦力小，不易打滑，选择内圈较为安全，A正确；若汽车以恒定的线速度大小转弯，根据F向＝m，在外圈时转弯半径大，所需向心力小，汽车受到的摩擦力小，不易打滑，选择外圈较为安全，B正确；汽车在转弯时，水平方向受到的摩擦力提供向心力，竖直方向上受到的重力和支持力平衡，向心力是效果力，不是物体实际受到的力，需由其他力提供，C正确，D错误。
3．(2025·山东青岛检测)火力发电的主要燃料是煤粉，将煤块制成煤粉的机械为球磨机。球磨机的核心部件是一个半径为R的躺卧圆筒，里面装有小钢球，小钢球与筒壁间的动摩擦因数足够大。圆筒匀速转动时，小钢球被带到一定高度处脱离筒壁，落下后与煤块发生碰撞将煤块击碎。如图所示，当小钢球通过A点时，与圆筒分离，此后小钢球仅在重力作用下到达位置B，AB连线过圆心O，已知重力加速度为g。圆筒旋转的角速度ω为 (　　)
A． B．
C． D．
B　解析：设AB连线与水平直径的夹角为θ，在A点时，根据牛顿第二定律可得mg sin θ＝m，其中v＝ωR，从A点开始小钢球做斜上抛运动，则有2R cos θ＝v sin θ·t，－2R sin θ＝v cos θ·t－gt2，联立可得ω＝，B正确。
4．高速公路转弯处弯道圆弧半径R＝100 m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ＝0.23。最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，若路面是水平的，问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所允许的最大速率vm为多大？当超过vm时，将会出现什么现象？(g取9.8 m/s2)
答案：15 m/s　汽车做离心运动或出现翻车事故
解析：在水平路面上转弯，向心力只能由静摩擦力提供。
设汽车质量为m，则最大静摩擦力fmax＝μmg　①
当汽车以最大速率转弯时不发生径向滑动，则
m eq \f(v,R)＝μmg　②
联立①②两式得vm＝　③
代入数据到③式中可得vm≈15 m/s
当汽车的速度超过15 m/s时，需要的向心力m大于最大静摩擦力，也就是说提供的合外力不足以维持汽车做圆周运动所需的向心力，汽车将做离心运动，严重的将会出现翻车事故。
5．(2025·重庆沙坪坝区检测)如图所示，质量为m1、m2的两个小球A、B套在光滑圆环上，圆环绕竖直方向的直径匀速旋转，已知m1C　解析：光滑圆环绕竖直方向的直径匀速旋转，稳定后，两小球在圆环上在水平面内做匀速圆周运动，小球所受重力与圆环的支持力提供向心力，则小球一定在O点所在水平面的下面，B、D错误；如图所示，
根据牛顿第二定律可得mg tan θ＝mω2R sin θ，解得ω＝，两小球转动的角速度相等，所以θ相同，两小球在同一水平面上，C正确，A错误。
6．随着科技的发展，无人机越来越多地走进人们的生活。如图所示是一架无人机正在对一只趴在地上不动的小刺猬进行拍摄。无人机在刺猬的上空以刺猬所在竖直线为中轴线，在水平面内做匀速圆周运动，已知无人机的质量为m＝1.6 kg，飞行的角速度大小为ω＝ rad/s，无人机到小刺猬的距离为r＝5 m，其轨道中心距小刺猬高度为h＝4 m，小刺猬和无人机均可看作质点，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是 (　　)
A．空气对无人机的作用力方向竖直向上
B．空气对无人机的作用力大小为12 N
C．由于无人机飞行时要消耗电能，所以其机械能是不断增加的
D．当无人机运动到B点时，突然从无人机上掉落一个小物体，不计空气阻力的影响，小物体落地时距离小刺猬为3 m
D　解析：对无人机受力分析，如图甲所示，所以空气对无人机的作用力方向与竖直向上有夹角，A错误；因为无人机在水平面内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律F合＝mRω2，由几何关系R2＝r2－h2，其中F＝F2－(mg)2，联立解得，空气对无人机的作用力大小为F＝20 N，B错误；因为无人机在水平面内做匀速圆周运动，其动能不变，重力势能不变，故无人机的机械能不变，C错误；当无人机运动到B点时，突然从无人机上掉落一个小物体，小物体做平抛运动，则h＝gt2，x＝vt＝Rωt，联立可得x＝3 m，作出物体下落过程中的俯视图，如图乙所示，则小物体落地时距离小刺猬为s＝＝ m＝3 m，D正确。
7．(2025·重庆检测)如图所示，倾角α＝45°、高H＝0.2 m的斜面MNP固定在水平地面上。O点位于M点正上方且与N点等高。不可伸长的轻质细绳下方悬挂一个质量为m＝0.3 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在O点。小球在竖直平面内做圆周运动，到最低点时恰好拉断细绳做平抛运动并垂直击中斜面的中点Q，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求小球做平抛运动的时间；
(2)求细绳能够承受的最大拉力；
(3)若小球击中斜面反弹的速度大小为击中前的一半，则反弹后小球能不能落到M点。
答案：(1)0.1 s　(2)9 N　(3)恰好落到M点
解析：(1)小球做平抛运动并垂直击中斜面的中点，有
tan 45°＝，x＝＝v0t
解得v0＝1 m/s，t＝0.1 s。
(2)小球做平抛运动的竖直位移为
h＝gt2＝0.05 m
所以细绳的长度为L＝H－h－＝0.05 m
在最低点，由牛顿第二定律得
FT－mg＝m eq \f(v,L)
解得FT＝9 N。
(3)若小球击中斜面反弹的速度大小为击中前的一半，设小球经过t′时间落到地面，则在竖直方向上有
－＝(gt)t′－gt′2
解得t′＝0.2 s
所以水平方向位移为
x′＝v0t′＝0.1 m
由此可知，小球从Q点反弹后做斜上抛运动，恰好落到M点。

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