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6.4.3　圆周运动中的多解问题和临界问题
1．如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧。若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为 (　　)
A． B．2
C． D．
2．如图所示，一艘汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h。已知水面能对汽艇提供的径向阻力最大为重力的20%，重力加速度g取10 m/s2，若要使汽艇安全转弯，则最小转弯半径为 (　　)
A．50 m B．100 m
C．150 m D．200 m
3．(多选)(2025·河南南阳高一检测)如图所示，半径为R的半球形容器固定在水平转台上，转台绕过容器球心O的竖直轴线以角速度ω匀速转动，质量相同的小物块A、B随容器转动且相对器壁静止，A、B和球心O点连线与竖直方向的夹角分别为α和β，α>β，α＝60°，此时物块A受到的摩擦力恰好为零，重力加速度为g，则 (　　)
A．转台转动的角速度大小为
B．B受到的摩擦力可能为零
C．B受到沿容器壁向上的摩擦力
D．若ω增大，则在B滑动之前，B受到的摩擦力增大
4．(多选)如图所示，金属环M、N用不可伸长的细线连接，分别套在水平粗糙细杆和竖直光滑细杆上，当整个装置以竖直杆为轴以不同大小的角速度匀速转动时，两金属环一直相对杆不动，下列说法正确的是 (　　)
A．转动的角速度越大，细线中的拉力越大
B．转动的角速度越大，环M与水平杆之间的弹力不变
C．转动的角速度越大，环N与竖直杆之间的弹力不变
D．转动的角速度不同，环M与水平杆之间的摩擦力大小可能相等
5．(多选)(2025·河南郑州检测)如图所示，光滑杆的底端用铰链固定在O点，质量为m的小球穿过光滑杆，现使光滑杆绕过O点的竖直轴OO′以恒定的角速度ω转动时，光滑杆与竖直方向的夹角为θ，小球也随之在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是 (　　)
A．保持θ不变，ω越小，小球的向心加速度越小
B．保持θ不变，ω越小，小球相对O点越高
C．保持ω不变，θ越大，小球的向心加速度越大
D．保持ω不变，θ越大，小球相对O点越低
6．(多选)如图所示，圆弧半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置在水平地面上，两个质量均为m的小球A、B以不同的速度进入管内(两小球直径略小于半圆管横截面直径)，A通过最高点C时，对管壁上部压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁上下部均无压力，则关于小球A通过最高点C时的速度vA及A、B两球落地点间的距离x，下列关系式正确的是(重力加速度大小为g) (　　)
A．x＝R B．x＝2R
C．vA＝ D．vA＝2
7．(2023·全国甲卷)一个质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
8．(多选)(2025·河南安阳高一检测)光滑圆环竖直放置，可绕竖直直径OO′在水平面内转动，轻绳的一端固定在圆环的顶端，另一端拴住套在圆环上的质量为m的小球A(可视为质点)，且小球恰好与圆环的圆心等高，现使圆环绕OO′转动的角速度ω由零逐渐增加到某一数值，则轻绳的拉力及圆环对小球的弹力变化情况为 (　　)
A．轻绳的拉力一直增大
B．轻绳的拉力大小不变
C．圆环对小球的弹力可能先增加后减小
D．圆环对小球的弹力可能先减小后增加
9．(2025·山东德州检测)如图甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点。质量为m的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部分的半径R＝0.4 m，重力加速度大小取10 m/s2。
(1)若轨道固定，则小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物块在Q点的速度大小v；
(2)若轨道不固定，则给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a与F对应关系如图乙所示，求μ和m。
10．如图所示，小球Q在竖直平面内逆时针做匀速圆周运动，当Q球转到与O在同一水平线上时，有另一小球P从距圆周最高点为h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，重力加速度为g。求：
(1)Q球转动的角速度ω；
(2)Q球做匀速圆周运动的周期及其最大值。
11．如图所示是一段S形单行盘山公路的示意图。弯道1、弯道2可看作同一水平面上的圆弧，圆心分别为O1、O2，弯道中心线半径分别为r1＝10 m，r2＝20 m，有一直道与弯道1、弯道2两弯道圆弧相切。质量m＝1 200 kg的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的125%，行驶时要求汽车不打滑。(sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，g取10 m/s2)
(1)若汽车以一恒定的速率沿弯道中心、直道中心线(图中虚线所示)行驶，求通过盘山公路的最大速率v(可用根式表示)；
(2)汽车从弯道1的A点进入，从同一直径上的B点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间匀速安全通过弯道。设路宽d＝10 m，求此最短时间(A、B两点都在轨道的中心线上，计算时视汽车为质点，保留2位有效数字)。
6.4.3　圆周运动中的多解问题和临界问题
1．如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧。若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为 (　　)
A． B．2
C． D．
C　解析：小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，C正确。
2．如图所示，一艘汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h。已知水面能对汽艇提供的径向阻力最大为重力的20%，重力加速度g取10 m/s2，若要使汽艇安全转弯，则最小转弯半径为 (　　)
A．50 m B．100 m
C．150 m D．200 m
A　解析：汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h，即10 m/s，径向阻力最大为重力的20%，则f＝0.2mg，根据圆周运动公式，径向阻力提供向心力，即f＝，代入数据解得最小转弯半径R＝＝ m＝50 m，A正确。
3．(多选)(2025·河南南阳高一检测)如图所示，半径为R的半球形容器固定在水平转台上，转台绕过容器球心O的竖直轴线以角速度ω匀速转动，质量相同的小物块A、B随容器转动且相对器壁静止，A、B和球心O点连线与竖直方向的夹角分别为α和β，α>β，α＝60°，此时物块A受到的摩擦力恰好为零，重力加速度为g，则 (　　)
A．转台转动的角速度大小为
B．B受到的摩擦力可能为零
C．B受到沿容器壁向上的摩擦力
D．若ω增大，则在B滑动之前，B受到的摩擦力增大
AD　解析：对物块A受力分析，因为此时物块A受到的摩擦力恰好为零，则有mg tan 60°＝mω2R sin 60°，解得ω＝＝，A正确；同理可求当B所受到的摩擦力为0时，ωB＝<ω＝，所以A受到的静摩擦力为零时，B有沿容器壁向上滑动的趋势，即B受到沿容器壁向下的摩擦力，B、C错误；B所受摩擦力沿容器壁向下，若ω增大，则所需的向心力变大，B受到的摩擦力一定增大，D正确。
4．(多选)如图所示，金属环M、N用不可伸长的细线连接，分别套在水平粗糙细杆和竖直光滑细杆上，当整个装置以竖直杆为轴以不同大小的角速度匀速转动时，两金属环一直相对杆不动，下列说法正确的是 (　　)
A．转动的角速度越大，细线中的拉力越大
B．转动的角速度越大，环M与水平杆之间的弹力不变
C．转动的角速度越大，环N与竖直杆之间的弹力不变
D．转动的角速度不同，环M与水平杆之间的摩擦力大小可能相等
BCD　解析：对N受力分析，知绳子的拉力在竖直方向的分力恒等于重力，即F cos θ＝mNg，所以只要角度不变，绳子的拉力不变，环N与竖直杆之间的弹力FN＝F sin θ不变，A错误，C正确；对M受力分析知竖直方向FN′＝F cos θ＋mg＝mNg＋mg，与角速度无关，B正确；当转动的角速度较小时，绳子的拉力可提供向心力，此时的摩擦力方向水平向右；当转动的角速度较大时，绳子的拉力不足以提供向心力，此时的摩擦力方向水平向左，两种情况摩擦力大小可能相等，D正确。
5．(多选)(2025·河南郑州检测)如图所示，光滑杆的底端用铰链固定在O点，质量为m的小球穿过光滑杆，现使光滑杆绕过O点的竖直轴OO′以恒定的角速度ω转动时，光滑杆与竖直方向的夹角为θ，小球也随之在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是 (　　)
A．保持θ不变，ω越小，小球的向心加速度越小
B．保持θ不变，ω越小，小球相对O点越高
C．保持ω不变，θ越大，小球的向心加速度越大
D．保持ω不变，θ越大，小球相对O点越低
BD　解析：小球随着光滑杆在水平面内做圆周运动，则小球的重力和光滑杆支持力的合力提供向心力，则有Fn＝，由牛顿第二定律得Fn＝ma，解得a＝，可知θ相同，小球的向心加速度保持不变，A错误；由于Fn＝mω2r，则整理得＝ω2r，则保持θ不变，ω越小，小球做圆周运动的轨道半径越大，则小球相对O点越高，B正确；由a＝，可知θ越大，小球的向心加速度越小，C错误；由＝ω2r，可知保持ω不变，θ越大，小球做圆周运动的轨道半径越小，则小球相对O点越低，D正确。
6．(多选)如图所示，圆弧半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置在水平地面上，两个质量均为m的小球A、B以不同的速度进入管内(两小球直径略小于半圆管横截面直径)，A通过最高点C时，对管壁上部压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁上下部均无压力，则关于小球A通过最高点C时的速度vA及A、B两球落地点间的距离x，下列关系式正确的是(重力加速度大小为g) (　　)
A．x＝R B．x＝2R
C．vA＝ D．vA＝2
BD　解析：在最高点，对A球有3mg＋mg＝m eq \f(v,R)，解得vA＝2，C错误，D正确；对B球有mg＝m eq \f(v,R)，解得vB＝，离开圆管后两球均做平抛运动，由平抛运动规律可得落地时A、B的水平分位移分别为xA＝vAt＝vA＝4R，xB＝vBt＝vB＝2R，则x＝xA－xB＝2R，A错误，B正确。
7．(2023·全国甲卷)一个质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
C　解析：由题可知，F∝rn，T∝，设F＝k1rn，T＝，由向心力公式有F＝m()2r，联立解得n＝3，C正确。
8．(多选)(2025·河南安阳高一检测)光滑圆环竖直放置，可绕竖直直径OO′在水平面内转动，轻绳的一端固定在圆环的顶端，另一端拴住套在圆环上的质量为m的小球A(可视为质点)，且小球恰好与圆环的圆心等高，现使圆环绕OO′转动的角速度ω由零逐渐增加到某一数值，则轻绳的拉力及圆环对小球的弹力变化情况为 (　　)
A．轻绳的拉力一直增大
B．轻绳的拉力大小不变
C．圆环对小球的弹力可能先增加后减小
D．圆环对小球的弹力可能先减小后增加
BD　解析：当圆环静止时，小球在轻绳拉力T、重力mg和圆环支持力N的作用下保持平衡，在圆环绕OO′转动的角速度ω由零逐渐增加到某一数值ω0的过程中，由于小球在竖直方向受力始终平衡，且T与竖直方向夹角不可能变化，所以T大小不变，在水平方向上，取指向圆心为正方向，根据牛顿第二定律有T cos 45°＋N＝mω2R，若ω0较小，使得小球所需向心力小于T cos 45°，则角速度从0逐渐增大到ω0的过程中，N减小；若ω0较大，使得小球所需向心力大于T cos 45°，则角速度从0逐渐增大到ω0的过程中，N先减小后增大，综上所述可知A、C错误，B、D正确。
9．(2025·山东德州检测)如图甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点。质量为m的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部分的半径R＝0.4 m，重力加速度大小取10 m/s2。
(1)若轨道固定，则小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物块在Q点的速度大小v；
(2)若轨道不固定，则给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a与F对应关系如图乙所示，求μ和m。
答案：(1)4 m/s　(2)0.2　1 kg
解析：(1)根据题意可知小物块在Q点时，合力提供向心力，有
mg＋3mg＝m
代入数据解得
v＝4 m/s。
(2)根据题意可知，当F≤4 N时，小物块与轨道一起向左加速，根据牛顿第二定律可得
F＝(M＋m)a
根据题图乙有
＝0.5 kg-1，即M＋m＝2 kg
当外力F>4 N时，轨道与小物块有相对滑动，对轨道有
F－μmg＝Ma
结合题图乙有a＝F－
可知＝1 kg-1，即M＝1 kg
截距b＝－＝－2 m/s2
联立以上各式可得m＝1 kg，μ＝0.2。
10．如图所示，小球Q在竖直平面内逆时针做匀速圆周运动，当Q球转到与O在同一水平线上时，有另一小球P从距圆周最高点为h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，重力加速度为g。求：
(1)Q球转动的角速度ω；
(2)Q球做匀速圆周运动的周期及其最大值。
答案：(1)2π(n＝0，1，2，3，…)
(2)(n＝0，1，2，3，…)　4
解析：(1)小球P做自由落体运动，有h＝gt2
解得t＝
Q球运动到最高点的时间
t′＝＋nT(n＝0，1，2，3，…)
由于T＝，t＝t′
解得ω＝2π(n＝0，1，2，3，…)。
(2)根据公式T＝
解得T＝(n＝0，1，2，3，…)
当n取0时，周期最大，最大值Tmax＝4。
11．如图所示是一段S形单行盘山公路的示意图。弯道1、弯道2可看作同一水平面上的圆弧，圆心分别为O1、O2，弯道中心线半径分别为r1＝10 m，r2＝20 m，有一直道与弯道1、弯道2两弯道圆弧相切。质量m＝1 200 kg的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的125%，行驶时要求汽车不打滑。(sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，g取10 m/s2)
(1)若汽车以一恒定的速率沿弯道中心、直道中心线(图中虚线所示)行驶，求通过盘山公路的最大速率v(可用根式表示)；
(2)汽车从弯道1的A点进入，从同一直径上的B点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间匀速安全通过弯道。设路宽d＝10 m，求此最短时间(A、B两点都在轨道的中心线上，计算时视汽车为质点，保留2位有效数字)。
答案：(1)5 m/s　(2)1.8 s
解析：(1)由静摩擦力提供向心力kmg＝m eq \f(v,r1)
解得v1＝＝5 m/s
由静摩擦力提供向心力kmg＝m eq \f(v,r2)
解得v2＝＝5 m/s
比较v1、v2 大小，则通过盘山公路的最大速率v＝5 m/s。
(2)用时最短路线应为过A、B两点且与路内侧边相切的圆弧，如图所示
则有R2＝r＋
解得R＝12.5 m
由kmg＝m eq \f(v,R)可得vm＝＝12.5 m/s
sin θ＝＝
解得θ＝53°
线路长度s＝·2πR≈23.1 m
解得tmin＝≈1.8 s。

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